7.3万有引力理论的成就-高一物理同步精品讲义（人教2019必修第二册 ）

第七章 万有引力与宇宙航行

第3课  万有引力理论的成就

知识点01  “称量”地球的质量

1．思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转的影响，物体的重力等于地球对物体的引力．

2．关系式：mg＝G.

3．结果：m地＝，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量．

4．推广：若知道某星球表面的重力加速度和星球半径，可计算出该星球的质量．

【即学即练1】已知金星和地球的半径分别为R1、R2，金星和地球表面的重力加速度分别为g1、g2，则金星与地球的质量之比为(　　)

A.  B.  C.  D.

【答案】　A

【解析】　根据星球表面物体的重力近似等于物体受到的万有引力有mg＝G，得M＝，故＝，故选A.

知识点02  计算天体的质量

1．思路：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力．

2．关系式：＝mr.

3．结论：m太＝，只要知道引力常量G、行星绕太阳运动的周期T和轨道半径r就可以计算出太阳的质量．

4．推广：若已知卫星绕行星运动的周期和卫星与行星之间的距离，可计算出行星的质量．

【即学即练2】)2019年1月3日，我国探月工程“嫦娥四号”探测器成功着陆月球背面的预选着陆区．在着陆之前，“嫦娥四号”探测器在距月球表面高度约为262 km的圆形停泊轨道上，绕月飞行一周的时间约为8 000 s，已知月球半径约为1 738 km，引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由此可计算出月球的质量约为(　　)

A．7.4×1022 kg   B．6×1024 kg

C．6.4×1023 kg   D．2×1030 kg

【答案】　A

【解析】

根据G＝m(R＋h)，解得M＝，代入数据解得M≈7.4×1022 kg，故选A.

知识点03  发现未知天体、预言哈雷彗星回归

海王星的发现：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道.1846年9月23日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星．

英国天文学家哈雷预言哈雷彗星的回归周期约为76年．

【即学即练3】地球的公转轨道接近圆，但彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆．天文学家哈雷曾经在1682年跟踪过一颗彗星，他算出这颗彗星轨道的半长轴约等于地球公转半径的18倍，并预言这颗彗星将每隔一定时间就会出现．哈雷的预言得到证实，该彗星被命名为哈雷彗星．哈雷彗星最近出现的时间是1986年，根据开普勒行星运动第三定律估算，它下次飞近地球将大约在(　　)

A．2042年 B．2052年

C．2062年 D．2072年

【答案】C

【解析】

设彗星的周期为T1，地球的公转周期为T2，这颗彗星轨道的半长轴约等于地球公转半径的18倍，由开普勒第三定律＝k得：＝＝≈76，1986＋76＝2062年，即彗星下次飞近地球将在2062年，故C项正确．

考法01  天体质量的计算

计算中心天体质量的两种方法

1．重力加速度法

(1)已知中心天体的半径R和中心天体表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于中心天体对物体的引力，有mg＝G，解得中心天体质量为M＝.

(2)说明：g为天体表面的重力加速度．

未知星球表面的重力加速度通常这样给出：让小球做自由落体、平抛、竖直上抛等运动，从而计算出该星球表面的重力加速度．

2．“卫星”环绕法

(1)将天体的运动近似看成匀速圆周运动，其所需的向心力都来自万有引力，由＝mr，可得M＝.

(2)这种方法只能求中心天体质量，不能求环绕星体质量．

【典例1】(多选)一卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为r，卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T，已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，则地球的质量可表示为(　　)

A.  B.  C.  D.

【答案】　AC

【解析】

　根据G＝mr得，M＝，选项A正确，B错误；在地球的表面附近有mg＝G，则M＝，选项C正确，D错误．

考法02  天体密度的计算

若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝

(1)将M＝代入上式得ρ＝.

(2)将M＝代入上式得ρ＝.

(3)当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则ρ＝.

【典例2】假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，已知引力常量为G，忽略该天体自转．

(1)若卫星距该天体表面的高度为h，测得卫星在该处做圆周运动的周期为T1，则该天体的密度是多少？

(2)若卫星贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T2，则该天体的密度是多少？

【答案】　(1)　(2)

【解析】

　设卫星的质量为m，天体的质量为M.

(1)卫星距天体表面的高度为h时，

G＝m(R＋h)，则有M＝

天体的体积为V＝πR3

故该天体的密度为ρ＝＝＝

(2)卫星贴近天体表面运动时有G＝mR，则有M＝

故ρ＝＝＝.

题组A  基础过关练

1．已知地球半径为R，月球半径为r，地球与月球之间的距离（两球中心之间的距离）为L。月球绕地球公转的周期为T1，地球自转的周期为T2，地球绕太阳公转周期为T3，假设公转运动都视为圆周运动，万有引力常量为G，由以上条件可知（　　）

A．地球的质量为

B．太阳的质量为

C．地球的密度为ρ=

D．月球绕地球运动的加速度为a=

【答案】D

【解析】A．月球绕地球公转时，根据万有引力提供向心力

可得

故A错误；

B．地球绕太阳公转时，地球中心到太阳中心的距离未知，无法求解太阳的质量，故B错误；

C．物体在地球表面绕地球运转时，设其周期为，根据万有引力提供向心力

可得

根据密度公式可知地球的密度为

但是绕地球表面的物体的周期，故C错误；

D．月球绕地球公转时，根据牛顿第二定律

可得

故D正确。

故选D。

2．在某行星表面做一个竖直上抛实验，得到质量为m=1kg的物体离行星表面高度h随时间t的变化关系，如图所示，已知万有引力常量为G，物体只受万有引力，不考虑行星自转的影响，则可以求出（　　）

A．该行星的半径

B．该行星的质量

C．该行星近地卫星的环绕速度

D．物体在该行星表面受到的万有引力大小

【答案】D

【解析】AB．由图可知，物体上升的最大高度为25m，物体上升时间为2.5s，则

解得行星表面的重力加速度为

在行星表面万有引力等于重力，即

由此可知，已知万有引力常量和行星表面的重力加速度，不可以求出行星的半径和行星的质量，故AB错误；

C．对近地卫星，万有引力提供向心力，即

解得卫星的环绕速度为

由于行星半径未知，所以不可以求出近地卫星的环绕速度，故C错误；

D．物体在行星表面的万有引力等于物体的重力，故D正确。

故选D。

3．1789年英国物理学家卡文迪许测出引力常量G，因此卡文迪许被人们称为“能称出地球质量的人”。若已知引力常量为G，地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，地球上一个昼夜的时间为T1（地球自转周期），一年的时间为T2（地球公转周期），地球中心到月球中心的距离为L1，地球中心到太阳中心的距离为L2。下列说法正确的是（　　）

A．地球的质量

B．太阳的质量

C．月球的质量

D．由题中数据可求月球的密度

【答案】B

【解析】A．若不考虑地球自转，根据地球表面万有引力等于重力，有

则

故A错误；

B．根据太阳对地球的万有引力提供向心力，有

则

故B正确；

CD．由题中数据无法求出月球的质量，也无法求出月球的密度，故CD错误。

故选B。

4．月球，地球唯一的一颗天然卫星，是太阳系中第五大的卫星。航天员登月后，观测羽毛的自由落体运动，得到羽毛的速度随时间变化的图像如图所示。已知月球半径为，引力常量为，则（　　）

A．月球表面的重力加速度大小为

B．月球表面的重力加速度大小为

C．月球的平均密度为

D．月球的平均密度为

【答案】D

【解析】AB．由图像斜率表示加速度，得月球表面的重力加速度大小为

故AB错误；

CD．根据月球表面上的物体受到的万有引力等于重力，即

月球密度

联立以上各式得月球的平均密度为

故C错误，D正确。

故选D。

5．2021年2月10日19时52分，我国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动，成功实现环绕火星运动，成为我国第一颗人造火星卫星。我国航天局发布了由“天问一号”拍摄的首张火星图像（如图）。在“天问一号”环绕火星做匀速圆周运动时，周期为，轨道半径为，已知火星的半径为，引力常量为，不考虑火星的自转。下列说法正确的是（　　）

A．火星的质量

B．火星的质量

C．火星表面的重力加速度的大小

D．火星表面的重力加速度的大小

【答案】A

【解析】AB．设“天问一号”的质量为，万有引力提供向心力，有

得

故A正确，B错误；

CD．不考虑火星自转，则万有引力提供重力，有

将代入可得

故CD错误。

故选A。

6．2022年1月20日，中国国家航天局发布了由环绕火星运行的天问一号探测器及其正在火星表面行走的祝融号火星车发送回来的一组包含探测器与火星合影新图像引起了西方媒体的广泛关注。已知天问一号探测器绕火星运动的周期为T，火星的半径为R，“祝融号”火星车的质量为m，在火星表面的重力大小为G1，万有引力常量为G，忽略火星的自转，则下列不正确的是（　　）

A．火星表面的重力的加速度为 B．火星的质量为

C．火星的平均密度为 D．天问一号距火星地面的高度为

【答案】B

【解析】A．设“祝融号”火星车的质量为m，设火星表面的重力加速度为，“祝融号”质量不变，在火星表面

解得

选项A正确；

B．忽略火星的自转，设火星质量为M，在火星表面上则有

解得

选项B错误；

C．火星的平均密度为

选项C正确；

D．天问一号绕火星运动过程有

解得天问一号距地面的高度为

选项D正确。

本题选不正确项，故选B。

题组B  能力提升练

7．为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国于2021年发射“天问一号”火星探测器。假设“天问一号”被火星引力捕捉后先在离火星表面高度为h的圆轨道上运动，运行周期分别为；制动后在近火的圆轨道上运动，运行周期为，火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为G。仅利用以上数据，下列说法正确的是（　　）

A．可以求得“天问一号”火星探测器的密度为

B．可以求得“天问一号”火星探测器的密度为

C．可以求得火星的密度为

D．由于没有火星的质量和半径，所以无法求得火星的密度

【答案】C

【解析】A．根据万有引力提供向心力

将“天问一号”的质量约掉，无法求得“天问一号”的密度，A错误；

B．有A项分析可知，B错误；

C．根据万有引力提供向心力

求得火星的密度

C正确；

D．由C项分析可知，D错误．

故选C。

8．（多选）假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为，在赤道的大小为g；地球自转的周期为；地球近地卫星的周期为T；引力常量为G。地球的密度为（　　）

A． B． C． D．

【答案】BD

【解析】AB．设地球半径为R，由万有引力定律在两极和赤道分别有

设地球的密度为，则地球质量为

联立三式可得

故A错误，B正确；

CD．由近地卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动，轨道半径等于地球半径，万有引力提供向心力

联立两式解得

故C错误，D正确。

故选BD。

9．（多选）中国新闻网宣布：在摩洛哥坠落的陨石被证实来自火星。某同学想根据平时收集的部分火星资料（如图所示）计算出火星的密度，再与这颗陨石的密度进行比较。下列计算火星密度的公式，正确的是（引力常量G已知，忽略火星自转的影响）（　　）

A．ρ＝  B．ρ＝  C．ρ＝  D．ρ＝

【答案】ACD

【解析】设近地卫星的质量为，火星的质量为，对近地卫星，火星的万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力，则有

可得

火星的密度为

将代入上式可得

又火星对近地卫星的万有引力近似等于近地卫星的重力，则有

解得

火星的密度为

故ACD正确，B错误。

故选ACD。

10．（多选）中国首次火星探测任务“天问一号”已于2021年2月10日成功环绕火星。火星公转轨道半径是地球公转轨道半径的，火星的半径为地球半径的，火星的质量为地球质量的，火星探测器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动（探测器可视为火星的近地卫星），探测器绕火星运行周期为T，已知火星和地球绕太阳公转的轨道都可近似为圆轨道，地球和火星可看作均匀球体，则（　　）

A．火星的公转周期和地球的公转周期之比为

B．火星的自转周期和地球的自转周期之比为

C．探测器环绕火星表面运行速度与环绕地球表面运行速度之比为

D．火星的平均密度为

【答案】CD

【解析】AB．设太阳质量为M，火星、地球质量分别为m1、m2，轨道半径分别为r1、r2，公转周期分别为T1、T2，则

解得

故A、B错误；

C．设火星、地球的半径分别为R1、R2，探测器质量为m，运行速度分别为v1、v2，则

解得

故C正确；

D．探测器绕火星表面附近运行时，有

整理得

即

故D正确。

故选CD。

题组C  培优拔尖练

11．（多选）如图所示，人造卫星P（可视为质点）绕地球做匀速圆周运动。在卫星运动轨道平面内，过卫星P作地球的两条切线，两条切线的夹角为θ，设卫星P绕地球运动的周期为T，线速度为v，引力常量为G。下列说法正确的是（　　）

A．θ越大，T越小

B．θ越小，v越大

C．若测得T和θ，则地球的密度为

D．若测得T和θ，则地球的密度为

【答案】AD

【解析】A．由，得

由几何关系得，因地球半径不变，夹角θ越大，卫星的轨道半径越小，则T就越小，A正确；

B．夹角θ越小，卫星的轨道半径越大，v就越小，B错误；

CD．若测得T和θ，由万有引力充当向心力，有，求得地球的质量

地球的体积，又，联立解得

C错误，D正确。

故选AD。

12．（多选）某同学在学习中记录了一些与地球、月球有关的数据资料如表中所示，利用这些数据来计算地球表面与月球表面之间的最近距离，则下列表达式中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【解析】由题，激光器发出激光束从发出到接收的时间为t=2.565s，光速为c，则有：s=c•．故A错误．由题，月球绕地球转动的线速度为：v=1km/s，周期为：T=27.3s，则月球公转的半径为：R′=，s=R′-R-r=-R-r．故B正确．月球表面的重力加速度g与月球绕地球转动的线速度v没有关系，不能得到g=，则不能求出s=-R-r．故C错误．以月球为研究对象，月球绕地球公转时，由地球的万有引力提供向心力．设地球质量为M，月球的质量为m，则得：，又在地球表面，有：g0＝；联立上两式得：R′=；则有：s=s=R′-R-r=-R-r．故D正确．故选BD．