2022年全国新高考Ⅰ卷数学试题变式题第1-4题解析版

这是一份2022年全国新高考Ⅰ卷数学试题变式题第1-4题解析版，共35页。试卷主要包含了若集合，则，若集合，，则，已知集合，，则，已知集合，集合，则，已知集合，则等内容，欢迎下载使用。
 2022年全国新高考Ⅰ卷数学试题变式题1-4题
原题1
1．若集合，则（    ）
A． B． C． D．
变式题1基础
2．若集合，，则（    ）
A． B．
C． D．
变式题2基础
3．已知集合，，则（    ）
A． B． C． D．
变式题3基础
4．已知集合，集合，则（　　）
A． B． C． D．
变式题4基础
5．已知集合，则（    ）
A． B． C． D．
变式题5巩固
6．若集合，，则（    ）
A． B． C． D．
变式题6巩固
7．已知集合，，则（    ）
A． B． C． D．
变式题7巩固
8．已知集合，则（    ）
A． B． C． D．
变式题8提升
9．已知集合，，则（    ）
A． B． C． D．
变式题9提升
10．已知集合，集合，则（    ）
A． B． C． D．
变式题10提升
11．若集合，，则等于（    ）
A． B． C． D．
原题2
12．若，则（    ）
A． B． C．1 D．2
变式题1基础
13．已知复数，是的共轭复数，则（    ）
A．0 B． C．1 D．2
变式题2基础
14．已知i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若，则为（    ）
A． B． C． D．
变式题3基础
15．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则复数的虚部是（    ）
A． B． C． D．
变式题4基础
16．已知（i为虚数单位），则（    ）
A． B． C． D．
变式题5巩固
17．i为虚数单位，复数，复数z的共轭复数为，则的虚部为
A．i B． C． D．1
变式题6巩固
18．已知复数满足，则复数的共轭复数（    ）
A． B． C． D．
变式题7巩固
19．已知，则（    ）
A．5 B． C． D．6
变式题8巩固
20．若，则的值为（    ）
A． B．2 C． D．3
变式题9提升
21．已知复数，是z的共轭复数，则（    ）
A．0 B． C．1 D．2
变式题10提升
22．若，则（    ）
A． B． C． D．
变式题11提升
23．已知复数，则（    ）
A． B． C． D．
原题3
24．在中，点D在边AB上，．记，则（    ）
A． B． C． D．
变式题1基础
25．在中，是边上一点，，则（   ）
A． B．
C． D．
变式题2基础
26．在中，点在线段上，且，则（    ）
A． B．
C． D．
变式题3基础
27．在中，为边上的中线，在线段上，，则（    ）
A． B．
C． D．
变式题4基础
28．在等边中，O为重心，D是的中点，则（    ）
A． B． C． D．
变式题5巩固
29．如图所示，在中，是边的中线，是的中点，若，，则等于（    ）

A． B．
C． D．
变式题6巩固
30．在平行四边形中，，若交于点M，则（    ）
A． B．
C． D．
变式题7巩固
31．如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，线段交于点，设，，用，表示为（    ）

A． B．
C． D．
变式题8巩固
32．如图，在平行四边形中，对角线与交于点O，且，则（    ）

A． B． C． D．
变式题9提升
33．如图所示，在由个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形中，设，则（    ）

A． B．
C． D．
变式题10提升
34．如图，在直角梯形中，，为边上一点，，为的中点，则＝（    ）

A． B．
C． D．
变式题11提升
35．地砖是一种地面装饰材料，也叫地板砖，用黏土烧制而成，质坚、耐压、耐磨、防潮．地板砖品种非常多，图案也多种多样．如图是某公司大厅的地板砖铺设方式，地板砖有正方形与正三角形两种形状，且它们的边长都相同，若，，则（    ）

A． B．
C． D．
原题4
36．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（    ）
A． B． C． D．
变式题1基础
37．海洋农牧化使人类可以像经营牧场和管理牛羊一样经营海洋和管理水生生物，从而实现海洋渔业资源利用与生态环境修复兼顾.不同的海洋牧场需要不同的鱼礁，其中一种鱼礁的形状如图所示，它是由所有棱长均为的四个正四棱锥水平固定在一个平面上，且上面四个顶点相连构成的几何体框架，则这个几何体框架的体积为（    ）(棱台体积公式：，，分别为棱台的上､下底面面积，为棱台的高)

A． B． C． D．
变式题2基础
38．如图是一款多功能粉碎机的实物图，它的进物仓为正四棱台，已知该四棱台的上底面棱长为，下底面棱长为，侧棱长为，则该款粉碎机进物仓的体积为（    ）

A． B． C． D．
变式题3基础
39．紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶，石瓢壶，潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：），那么该壶的容积约为（    ）

A． B． C． D．
变式题4基础
40．某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图1所示，该几何体为上、下底面周长分别为36cm，28cm的正四棱台，若棱台的高为3cm，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为（    ）

A． B． C． D．
变式题5巩固
41．鼎是古代烹煮用的器物，它是我国青铜文化的代表，在古代被视为立国之器，是国家和权力的象征.图①是一种方鼎，图②是根据图①绘制的方鼎简易直观图，图中四棱台是鼎中盛烹煮物的部分，四边形是矩形，其中，，，点到平面的距离为，则这个方鼎一次最多能容纳的食物体积为（    ）
（假定烹煮的食物全在四棱台内）

A． B． C． D．
变式题6巩固
42．我国南北朝名著《张邱建算经》中记载：“今有方亭，下方三丈，上方一丈，高二丈五尺，预接筑为方锥，问：接筑高几何？”大致意思是：有一个正四棱台的上､下底面边长分别为一丈､三丈，高为二丈五尺，现从上面补上一段，使之成为正四棱锥，则所补的小四棱锥的高是多少？那么，此高和原四棱台的体积分别是(注：1丈等于10尺)（    ）
A．12.5尺､10833立方尺 B．12.5尺､32500立方尺
C．3.125尺､10833立方尺 D．3.125尺､32500立方尺
变式题7巩固
43．《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭，其中上底面与下底面的面积之比为，方亭的高，，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭四个侧面的面积之和，则方亭的体积为（    ）

A． B． C． D．
变式题8巩固
44．中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，古代用它作为长方棱台（上、下底面均为矩形的棱台）的专用术语，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之，亦倍下袤，上袤从之，各以其广乘之，并，以高若深乘之，皆六而一．”即：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘，把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一．现有一外接球的表面积为的“刍童”如图所示，记为四棱台，其上、下底面均为正方形，且，则该“刍童”的体积为（    ）

A．224 B．448 C．或448 D．或224
变式题9提升
45．斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所特有．图一图二是斗拱实物图，图三是斗拱构件之一的“斗”的几何体．本图中的斗是由棱台与长方体形凹槽（长方体去掉一个小长方体）组成．若棱台两底面面积分别是400cm2，900cm2，高为9cm，长方体形凹橹的体积为4300cm3，那么这个斗的体积是（    ）
注：台体体积公式是V（S'S）h．

A．5700cm3 B．8100cm3 C．10000cm3 D．9000cm3
变式题10提升
46．《乌鸦喝水》是《伊索寓言》中一个寓言故事。通过讲述一只乌鸦喝水的故事，告诉人们遇到困难要运用智慧、认真思考才能让问题迎刃而解的道理。如图2所示，乌鸦想喝水，发现有一个锥形瓶，上面部分是圆柱体，下面部分是圆台，瓶口直径为3厘米，瓶底直径为9厘米，瓶口距瓶颈为厘米，瓶颈到水位线距离和水位线到瓶底距离均为厘米现将1颗石子投入瓶中，发现水位线上移厘米，若只有当水位线到达瓶口时，乌鸦才能喝到水，则乌鸦共需要投入的石子数量至少是？（石子体积均视为一致）
圆台体积公式：，其中，为圆台高，为圆台下底面半径，为圆台上底面半径（    ）

A．2颗 B．3颗 C．4颗 D．5颗
变式题11提升
47．对24小时内降水在平地上单位面积的积水厚度（mm）进行如下规定：
积水厚度区间




级别
小雨
中雨
大雨
暴雨

小明用一个圆台形容器（如图）接了24小时雨水，则这天的降雨属于哪个等级（   ）
A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨

参考答案：
1．D
【分析】求出集合后可求.
【详解】，故，
故选：D
2．B
【分析】先解出集合A，再求出.
【详解】集合.
因为，所以.
故选：B
3．D
【分析】求得集合再求交集即可
【详解】由题，，故
故选：D
4．D
【分析】解不等式化简集合A，再利用交集的定义计算作答.
【详解】，，
所以
故选：D
5．C
【分析】首先求出集合，根据对数函数的性质求出集合，再根据交集的定义计算可得；
【详解】解：，
，
所以；
故选：C
6．A
【分析】先解出集合A、B,再求.
【详解】因为，，所以.
故选：A．
7．B
【分析】先利用对数的真数为正、指数函数的值域化简两个集合，再求其交集.
【详解】因为，
，
所以.
故选：B.
8．B
【分析】化简集合A，根据交集运算求解即可.
【详解】，
，
故选：B
9．A
【分析】首先求出绝对值不等式和对数不等式的解集，得出集合，进而可求出.
【详解】由，得或，所以，
由，得，所以，
所以.
故选：A.
10．B
【分析】分别解出集合A,B,再根据集合的交集运算求得答案.
【详解】因为，
，
所以，
故选：B
11．D
【分析】解不等式化简集合A，B，再利用交集的定义直接求解作答.
【详解】不等式化为：，解得：，则，
不等式，即，整理得：，解得，则，
所以.
故选：D
12．D
【分析】利用复数的除法可求，从而可求.
【详解】由题设有，故，故，
故选：D
13．B
【分析】利用复数的除法可求，进而可求.
【详解】∵，
所以.
故选：B．
14．C
【分析】利用复数的除法运算求出z，再利用共轭复数及乘法计算作答.
【详解】因，则，，
所以.
故选：C
15．A
【分析】由复数的几何意义确定复数，根据共轭复数的定义求，再由复数的运算求的代数形式，由此确定其虚部.
【详解】由题意得：复数，所以，
则
所以 ，
所以复数的虚部是，
故选：A.
16．D
【分析】利用复数的乘除运算求复数，再由共轭复数的概念写出.
【详解】由题设，则，
所以，故.
故选：D
17．C
【分析】先化简得，即得复数和它的虚部.
【详解】由题得，
所以.
所以的虚部为.
故选：C.
【点睛】本题主要考查复数的混合运算，考查复数的共轭复数和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
18．D
【分析】根据复数的乘方运算和复数的除法运算求得，再由共轭复数的概念可得选项.
【详解】解：因为 ，所以，
故，
故选：D
【点睛】结论点睛：求解复数的运算问题时要牢记复数的相关运算技巧和结论：，，，，，，．
19．C
【分析】易知，代入后利用复数的乘法求得复数，然后求得，利用复数的求模公式求解结果.
【详解】易知，所以，所以，
于是，，，
所以，
故选：C.
20．D
【分析】由题知，进而根据求解即可.
【详解】解：因为，所以，
故设，则，
所以.
故选：D
21．B
【分析】利用的周期性可求，再利用复数的除法可求，求出的模后可求.
【详解】因为（），，
所以，
所以，而，
故选B．
【点睛】本题考查复数的除法、乘方和复数的模，注意计算复数和的时候需利用的周期性，该问题属于中档题.
22．A
【分析】求出共轭复数，根据复数运算法则即可得解.
【详解】，，
.
故选：A
【点睛】此题考查复数的概念辨析和基本运算，关键在于熟练掌握复数的运算法则，根据法则求解.
23．C
【分析】求得，代入，根据复数的运算法则，即可求解.
【详解】由题意，复数，可得，
则，
故选：C.
【点睛】本题主要考查了共轭复数的概念，以及复数的四则运算的应用，其中解答中熟记复数的除法运算法则，分子和分母同时乘分母的共轭复数，将分母转化为实数求解是解答的关键，着重考查了运算、求解能力.
24．B
【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】因为点D在边AB上，，所以，即，
所以．
故选：B．
25．A
【分析】根据向量的加法、减法、数乘运算求解即可.
【详解】
故选：A
26．B
【分析】根据向量的线性运算公式化简可得.
【详解】由已知
所以，
故选：B.

27．B
【分析】由向量的线性运算法则计算．
【详解】由题意，
故选：B．
28．D
【分析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算计算作答.
【详解】O为的重心，延长AO交BC于E，如图，

E为BC中点，则有，而D是的中点，
所以.
故选：D
29．B
【分析】由平面向量基本定理及线性运算可得：，得解．
【详解】解：由题意可得：，
由图可知：，
又因为，，
所以，
故选：B．

【点睛】本题考查了平面向量基本定理及线性运算，属于中档题．
30．B
【分析】根据三角形相似的性质结合向量的运算，即可得出答案.
【详解】，为线段靠近点的四等分点
显然，即

故选：B

【点睛】本题主要考查了用基底表示向量，属于中档题.
31．A
【解析】由题意可得为的中点，则，即，又，从而可得答案.
【详解】由题意，所以与全等.
则与全等,所以
所以为的中点，则
在直角中，,所以
是等腰直角三角形，则
所以,即
又在等边三角形中，
所以
故选：A
【点睛】关键点睛：本题考查利用基底向量来表示平面向量，解答本题的关键的由几何图形的性质得到，从而，再根据得出答案，属于中档题.
32．C
【分析】根据给定条件，利用向量加法法则结合向量线性运算求解作答.
【详解】在平行四边形中，，
所以.
故选：C
33．D
【分析】建立直角坐标系，设，，由余弦定理求得后，再由余弦定理得，由同角三角函数的平方关系可得，进而可得点，由即可得解.
【详解】如图建立直角坐标系，
由题意易知≌，则，，
不妨设，，则，，
所以，，
在中，由余弦定理可得，
所以解得，，
则即，
所以，
所以点即，
所以，
设，
则，解得，
所以.
故选：D.

【点睛】本题考查了余弦定理和平面向量的综合应用，考查了计算能力和转化化归思想，属于中档题.
34．C
【分析】根据平面向量的三角形法则和共线定理即可得答案.
【详解】解：






故选：C.
【点睛】本题考查用基底表示向量，向量的线性运算，是中档题.
35．D
【分析】以的中点为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系，并设，可得，，的坐标，再设，得解得即可得解．
【详解】如图，以的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，设，则，，，，
所以，，．
设，则解得
所以，即，
故选：D．

【点睛】思路点睛：本题考查平面向量的线性表示，解题方法是建立平面直角坐标系，把向量的线性运算用坐标表示，解方程组得出结论．本题也可直接利用向量的线性运算求解，如图中，，，再由向量加减法法则计算可得．
36．C
【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．
【详解】依题意可知棱台的高为(m)，所以增加的水量即为棱台的体积．
棱台上底面积，下底面积，
∴
．

故选：C．
37．B
【分析】由题可知构成的几何体是一个上底面边长为m，下底面边长为m，侧棱长为m的正四棱台，根据棱台的体积公式可得选项．
【详解】由题可知构成的几何体是一个上底面边长为m，下底面边长为m，侧棱长为m的正四棱台，所以该正四棱台的高为m，其体积为().
故选：B.
38．B
【分析】先画出满足题意的正四棱台，过点作于点，过点作于点，根据正棱台的结构特征，求出该棱台的高，再根据棱台的体积公式，即可求出结果.
【详解】画出满足题意的正四棱台如下，

则底面的棱长为，底面的棱长为，侧棱，
则，，
上底面的面积为，下底面的面积为，
过点作于点，过点作于点，
根据正四棱台的结构特征可得：与都是该正棱台的高，且，，
因此，
所以正四棱台的体积为，
即该款粉碎机进物仓的体积为.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：
求解本题的关键在于根据题中所给条件，求出棱台的高，再根据棱台的体积公式即可求解.
39．B
【分析】根据题意可知圆台上底面半径为3，下底面半径为5，高为4，由圆台的结构可知该壶的容积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积，设大圆锥的高为，所以，求出的值，最后利用圆锥的体积公式进行运算，即可求出结果.
【详解】解：根据题意，可知石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，
圆台上底面半径为3，下底面半径为5，高为4，
可知该壶的容积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积，
设大圆锥的高为，所以，解得：，
则大圆锥的底面半径为5，高为10，小圆锥的底面半径为3，高为6，
所以该壶的容积.
故选：B.

40．B
【分析】利用台体的体积公式直接计算.
【详解】由题意可知，该四棱台的上、下底面边长分别为9cm，7cm．
故该香料收纳罐的容积为
故选：B
41．D
【分析】在四棱台中，先求出，利用相似，求出点分别到平面和平面的距离，进而求出四棱台的体积.
【详解】几何体为四棱台，所以延长必交于一点，记为O，
且四棱锥相似于，所以.过点作OH⊥面于H，
作OG⊥面于G，则,又，解得：OG=,OH=，
四棱台的体积.
故选：D
【点睛】求棱台的体积：
（1）直接利用体积公式求体积；
（2）利用分割法，大棱锥体积减去小棱锥的体积.
42．A
【分析】根据题意画出图形，利用棱锥与棱台的结构特征求出正四棱台的高，再计算它的体积．
【详解】解：如图所示，
正四棱锥的下底边长为三丈，即尺，
高二丈五，即尺；
截去一段后，得正四棱台，且上底边长为尺，
所以，
解得，
所以该正四棱台的体积是
（立方尺）．
故选：A．

43．C
【分析】分析可知，设，则，，过点、在平面内分别作，，垂足分别为点、，根据正四棱台的侧面积计算出的值，再利用台体的体积公式可求得结果.
【详解】由题意得，设，则，.
过点、在平面内分别作，，垂足分别为点、，

在等腰梯形中，因为，，，则四边形为矩形，
所以，，，
因为，，，所以，，
所以，，所以，，
所以等腰梯形的面积为，得.
所以，，，故方亭的体积为.
故选：C.
44．C
【分析】连接，交于点，连接，交于点，连接，确定球心在直线上，分球心在线段上或其延长线上两种情况，并利用勾股定理求出，最后根据刍童的体积公式即可求得结果．
【详解】连接，交于点，连接，交于点，
连接，则由球的几何性质可知，刍童外接球的球心必在直线上，
由题意可得，，
设球的半径为，由，得．
连接，，在中，，
即，得．
在中，，即，得．
当球心在线段上时，，

则该刍童的体积；
当球心在线段的延长线上时，，
则该刍童的体积为．
故选：C．
45．C
【解析】利用棱台体积公式直接求解．
【详解】解：斗是由棱台与长方体形凹槽（长方体去掉一个小长方体）组成．
棱台两底面面积分别是，，高为，长方体形凹橹的体积为，
这个斗的体积是：
．
故选：．
【点睛】本题考查几何体的体积的求法，考查棱台体积公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
46．C
【解析】先利用圆台的体积公式求出一颗石子的体积，再求出锥形瓶的体积，然后用锥形瓶的体积除以一颗石子的体积，就得乌鸦共需要投入的石子数量.
【详解】如图1所示，，，，所以．原水位线直径，投入石子后，水位线直径，则由圆台公式得到，．同理，空瓶体积是由空瓶圆台加圆柱体得到，即

，则需要石子的个数，
即，则至少需要4颗石子．
故选：C．

【点睛】此题考查圆台、圆柱的体积计算，属于基础题.
47．B
【分析】由题意知降雨量是雨水的体积除以容器口面积，计算出圆台的体积可得答案.
【详解】由题意知降雨量是雨水的体积除以容器口面积，
因为圆台形容器中水的高度为圆台形容器高度的一半，
且下底面半径是40mm，上底面半径是80mm，
可得圆台中雨水的上底面半径是mm，
所以雨水的厚度为
mm，是中雨，
故选：B．