2022-2023学年黑龙江省鸡西市密山市杨木中学七年级（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年黑龙江省鸡西市密山市杨木中学七年级（上）期末数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年黑龙江省鸡西市密山市杨木中学七年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．5a+6b＝11ab B．9a﹣a＝8
C．a2+3a＝4a2 D．3ab+4ab＝7ab
2．（3分）小颖为了宣传“创建全国文明城市，人人有责”，特意制作了一个正方体玩具，其展开图如图所示，则原正方体中与“文”字相对的字是（　　）

A．全 B．城 C．市 D．明
3．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．0是最小的数
B．﹣a一定是负数
C．两数相加，和大于任何一个加数
D．线段AB和线段BA表示的是同一条线段
4．（3分）下列说法不一定成立的是（　　）
A．若a＝b，则a﹣3＝b﹣3 B．若a＝3，则a2＝3a
C．若3a＝2b，则 D．若a＝b，则
5．（3分）关于x的方程3x﹣a+5＝0的解是x＝4，则a的值（　　）
A．15 B．17 C．﹣5 D．0
6．（3分）一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，则乙工程队单独铺设需要24天，如果由这两个工程队从两端同时施工，铺好这条管线需要的天数是（　　）
A．8天 B．7天 C．6天 D．5天
7．（3分）如果2x2﹣x﹣2＝0，那么6x2﹣3x﹣1的值等于（　　）
A．5 B．3 C．﹣7 D．﹣9
8．（3分）已知线段AB＝10cm，点C是直线AB上一点，BC＝4cm，若M是AC的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是（　　）
A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．5cm
9．（3分）在如图所示方位角中，射线OA表示的方向是（　　）

A．东偏南30° B．南偏东60° C．西偏南30° D．南偏西60°
10．（3分）如图，直线AB、CD交于点O，OE⊥AB，∠DOF＝90°，OB平分∠DOG，则下列结论：①图中，∠DOE的余角有四个；②∠AOF的补角有2个；③OD为∠EOG的角平分线；④∠COG＝∠AOD﹣∠EOF．其中正确的是（　　）

A．①②④ B．①③④ C．①④ D．②③④
二、填空题（每题3分，共30分）
11．（3分）2021年5月11日，国务院第七次全国人口普查小组在发布会上公布，全国人口共141178万人，则141178万人用科学记数法表示为 　 　人．
12．（3分）若m﹣4与m+2互为相反数，则m＝　 　．
13．（3分）如图，A、D分别是线段CB上的点，AC＝2AB，D是AB的中点，若CD＝6cm，则线段AB的长为　 　cm．

14．（3分）一个角的余角等于它补角的，则这个角是　 　度．
15．（3分）已知关于x的方程（a﹣2）x＝9与x+1＝4的解相同，则a的值是 　 　．
16．（3分）若a﹣b＝3，ab＝5，则﹣7a﹣3ab+7b＝　 　．
17．（3分）如图，OC是∠AOB的平分线，若∠AOB＝140°，∠BOD＝25°，则∠COD＝　 　．

18．（3分）已知线段AB＝16cm，点C是线段AB的中点，点E在线段AB上，且CEAC，则BE的长度为　 　cm．
19．（3分）古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百里．驽马日行一百二十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走200里，跑得慢的马每天走120里．慢马先走12天，快马几天可追上慢马？则快马 　 　天可追上慢马．
20．（3分）现有一张边长为1的正方形纸片，第一次沿着线段AP1剪开，留下三角形ABP1，第二次取BP1的中点P2，再沿着AP2剪开，留下三角形ABP2；第三次取BP的中点P3，再沿着AP3剪开，留下三角形ABP3；…，如此进行下去，在第n次后，被剪去图形的面积之和是 　 　．

三、解答题（共60分）
21．（6分）计算：
（1）7+（﹣6）﹣（﹣4）×3；
（2）﹣23÷8（﹣2）2．
22．（6分）解下列方程：
（1）x+10＝7x﹣2；
（2）．
23．（5分）先化简，再求值：5b2﹣7a2+2（a2﹣b2+ab）﹣（2b2﹣6a2），其中a＝﹣2，b．
24．（7分）元旦期间，小明的爸爸妈妈带小明外出旅游，乘轮船从A地到B地共用3h，从B地返回A地共用5h，已知水流速度是4km/h，求轮船在静水中的速度及A，B两地之间的距离．
25．（8分）已知a，b，c在数轴上的位置如图所示．
（1）化简：|a+b|﹣|c﹣b|+|b﹣a|；
（2）若a的绝对值的相反数是﹣2，b的倒数是它本身，c2＝9，求﹣a+2b+c﹣（a+b﹣c）的值．

26．（8分）如图，点B是线段AC上一点，且AB＝18cm，BCAB．
（1）试求出线段AC的长；
（2）如果点O是线段AC的中点，请求线段OB的长．

27．（10分）某商店5月1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种优惠方案，方案一：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的八折优惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的九五折优惠．已知小敏5月1日前不是该商店的会员．
（1）若小敏不购买会员卡，所购买商品的价格为120元，实际应支付多少元？
（2）请问所购买商品的价格是多少时，两种方案的优惠情况相同？
28．（10分）如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．
（1）如图1，当∠AOB＝90°，∠BOC＝60°时，∠MON的度数是多少？为什么？
（2）如图2，当∠AOB＝70°，∠BOC＝60°时，∠MON＝　 　（直接写出结果）．
（3）如图3，当∠AOB＝α，∠BOC＝β时，猜想：∠MON＝　 　（直接写出结果）．

2022-2023学年黑龙江省鸡西市密山市杨木中学七年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．5a+6b＝11ab B．9a﹣a＝8
C．a2+3a＝4a2 D．3ab+4ab＝7ab
【分析】根据合并同类项法则逐一判断即可．
【解答】解：A.5a与6b不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B.9a﹣a＝8a，故本选项不合题意；
C．a2与3a不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
D.3ab+4ab＝7ab，正确，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了合并同类项，合并同类项时，系数相加减，字母及其指数不变．
2．（3分）小颖为了宣传“创建全国文明城市，人人有责”，特意制作了一个正方体玩具，其展开图如图所示，则原正方体中与“文”字相对的字是（　　）

A．全 B．城 C．市 D．明
【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．
【解答】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中有“文”字的一面相对面上的字是城．
故选：B．
【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
3．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．0是最小的数
B．﹣a一定是负数
C．两数相加，和大于任何一个加数
D．线段AB和线段BA表示的是同一条线段
【分析】根据实数的意义，负数的定义，有理数的加法法则，线段的定义，可得答案．
【解答】解：A、没有最小的数，原说法错误，故此选项不符合题意；
B、﹣a不一定是负数，当a＜0时，﹣a是正数，原说法错误，故此选项不符合题意；
C、两个负数相加和小于任何一个加数，原说法错误，故此选项不符合题意；
D、线段AB和线段BA表示的是同一条线段，原说法正确，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了实数的意义，负数的定义，有理数的加法法则，线段的定义，熟记定义和法则是解题关键，注意没有最小的数．
4．（3分）下列说法不一定成立的是（　　）
A．若a＝b，则a﹣3＝b﹣3 B．若a＝3，则a2＝3a
C．若3a＝2b，则 D．若a＝b，则
【分析】根据等式的性质求解即可．
【解答】解：A．若a＝b，则a﹣3＝b﹣3，成立；
B．若a＝3，则a2＝3a，成立；
C．若3a＝2b，则，成立；
D．当a＝b＝0时，不成立．
故选：D．
【点评】本题考查了等式的性质，利用等式的性质是解题关键．
5．（3分）关于x的方程3x﹣a+5＝0的解是x＝4，则a的值（　　）
A．15 B．17 C．﹣5 D．0
【分析】把x＝4代入方程计算即可求出a的值．
【解答】解：∵x＝4是方程3x﹣a+5＝0的解，
∴把x＝4代入方程可得3x4﹣a+5＝0，
解得a＝17，
故选：B．
【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
6．（3分）一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，则乙工程队单独铺设需要24天，如果由这两个工程队从两端同时施工，铺好这条管线需要的天数是（　　）
A．8天 B．7天 C．6天 D．5天
【分析】设这两个工程队从两端同时施工x天可以铺好这条管线，根据工程问题的数量关系建立方程求出其解即可．
【解答】解：设这两个工程队从两端同时施工x天可以铺好这条管线，根据题意，得
xx＝1，
解得：x＝8．
故要8天可以铺设好这条管线．
故选：A．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，工作总量＝工作效率×工作时间的运用，解答时甲工程队完成的工作量+乙工程队完成的工作量＝总工作量建立方程是关键．
7．（3分）如果2x2﹣x﹣2＝0，那么6x2﹣3x﹣1的值等于（　　）
A．5 B．3 C．﹣7 D．﹣9
【分析】由2x2﹣x﹣2＝0得2x2﹣x＝2，将其代入6x2﹣3x﹣1＝3（2x2﹣x）﹣1计算可得．
【解答】解：∵2x2﹣x﹣2＝0，
∴2x2﹣x＝2，
则6x2﹣3x﹣1＝3（2x2﹣x）﹣1
＝3×2﹣1
＝6﹣1
＝5，
故选：A．
【点评】本题考查了求代数式的值的应用，能整体代入是解此题的关键．
8．（3分）已知线段AB＝10cm，点C是直线AB上一点，BC＝4cm，若M是AC的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是（　　）
A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．5cm
【分析】本题应考虑到A、B、C三点之间的位置关系的多种可能，即当点C在线段AB上时和当点C在线段AB的延长线上时．
【解答】解：（1）当点C在线段AB上时，则MNACBCAB＝5cm；
（2）当点C在线段AB的延长线上时，则MNACBC＝7﹣2＝5cm．
综合上述情况，线段MN的长度是5cm．
故选：D．

【点评】首先要根据题意，考虑所有可能情况，画出正确图形．再根据中点的概念，进行线段的计算．
9．（3分）在如图所示方位角中，射线OA表示的方向是（　　）

A．东偏南30° B．南偏东60° C．西偏南30° D．南偏西60°
【分析】用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，根据方位角的概念，写出射线OA表示的方向即可．
【解答】解：根据方位角的概念，射线OA表示的方向是南偏东60度．
故选：B．
【点评】本题主要考查了方向角，描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．
10．（3分）如图，直线AB、CD交于点O，OE⊥AB，∠DOF＝90°，OB平分∠DOG，则下列结论：①图中，∠DOE的余角有四个；②∠AOF的补角有2个；③OD为∠EOG的角平分线；④∠COG＝∠AOD﹣∠EOF．其中正确的是（　　）

A．①②④ B．①③④ C．①④ D．②③④
【分析】根据已知条件以及余角的定义，即可知道∠DOE的余角有∠EOF，∠BOD，∠BOG，∠AOC，根据补角的定义，可知∠AOF的补角只有∠BOF，根据角平分线的定义，无法证明OD为∠EOG的角平分线，根据对顶角以及余角的性质，得出∠COG＝∠AOD﹣∠EOF．
【解答】解：①∵OE⊥AB，
∴∠BOE＝90°，
∵∠DOF＝90°，
∴∠EOF＝∠BOD，
∵OB平分∠DOG，
∴∠GOB＝∠BOD＝∠AOC，
∴∠DOE的余角有∠EOF，∠BOD，∠BOG，∠AOC，
故①正确，
②根据补角的定义，可知∠AOF的补角为∠BOF，∠EOG，∠COE，故②错误，
③∵不能证明∠GOD＝∠EOD，∴无法证明OD为∠EOG的角平分线，故③错误，
④根据对顶角以及余角的性质，
∴∠AOD＝∠BOC，
由①得∠EOF＝∠BOG，
∴∠COG＝∠AOD﹣∠EOF，
故④正确，
故选：C．
【点评】本题考查了余角、补角、对顶角以及角平分线的性质，注意结合图形，发现角与角之间的关系，难度适中．
二、填空题（每题3分，共30分）
11．（3分）2021年5月11日，国务院第七次全国人口普查小组在发布会上公布，全国人口共141178万人，则141178万人用科学记数法表示为 　1.41178×109　人．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．据此解答即可．
【解答】解：141178万＝1411780000＝1.41178×109，
故答案为：1.41178×109．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
12．（3分）若m﹣4与m+2互为相反数，则m＝　1　．
【分析】首先根据题意，可得：（m﹣4）+（m+2）＝0；然后根据解一元一次方程的方法，求出m的值是多少即可．
【解答】解：∵m﹣4与m+2互为相反数，
∴（m﹣4）+（m+2）＝0，
去括号，可得：m﹣4+m+2＝0，
移项，可得：m+m＝4﹣2，
合并同类项，可得：2m＝2，
系数化为1，可得：m＝1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
13．（3分）如图，A、D分别是线段CB上的点，AC＝2AB，D是AB的中点，若CD＝6cm，则线段AB的长为　　cm．

【分析】根据D是AB的中点，得出ADAB，再根据AC＝2AB，CD＝6cm，得出CDAB＝6cm，从而得出结论．
【解答】解：∵D是AB的中点，
∴ADAB，
∵AC＝2AB，CD＝6cm，
∴CD＝CA+AD＝2ABABAB＝6cm，
∴ABcm．
故答案为：．
【点评】本题考查的是两点间的距离线段中点的性质，灵活运用中点的性质是解题的关键，注意数形结合思想的正确运用．
14．（3分）一个角的余角等于它补角的，则这个角是　60　度．
【分析】先设这个角是x，则其余角是90°﹣x，其补角是180°﹣x，再根据余角等于它补角的列出方程，求出x的值即可．
【解答】解：设这个角是x，则其余角是90°﹣x，其补角是180°﹣x，
则90°﹣x（180°﹣x），
解得x＝60°．
故答案为：60．
【点评】本题考查的是余角及补角的定义，能根据余角及补角的定义列出关于x的方程是解答此题的关键．
15．（3分）已知关于x的方程（a﹣2）x＝9与x+1＝4的解相同，则a的值是 　5　．
【分析】先解一元一次方程x+1＝4，把x的值代入方程（a﹣2）x＝9得a的值．
【解答】解：x+1＝4，
解得，x＝3．
∵方程（a﹣2）x＝9与x+1＝4的解相同，
∴把x＝3代入方程（a﹣2）x＝9，
得，3（a﹣2）＝9，
3a﹣6＝9，
3a＝15，
a＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，掌握同解方程的解法，代入求值是解题的关键．
16．（3分）若a﹣b＝3，ab＝5，则﹣7a﹣3ab+7b＝　﹣36　．
【分析】﹣7a﹣3ab+7b＝﹣7（a﹣b）﹣3ab，再代入求值即可．
【解答】解：﹣7a﹣3ab+7b＝﹣7（a﹣b）﹣3ab，
∵a﹣b＝3，ab＝5，
∴﹣7a﹣3ab+7b＝﹣7（a﹣b）﹣3ab＝﹣7×3﹣3×5＝﹣21﹣15＝﹣36．
故答案为：﹣36．
【点评】本题考查了代数式求值，将代数式变形，再代入求值是解本题的关键，综合性较强，难度不大．
17．（3分）如图，OC是∠AOB的平分线，若∠AOB＝140°，∠BOD＝25°，则∠COD＝　45°　．

【分析】根据角平分线的性质，可得∠BOC，根据角的和差，可得答案．
【解答】解：∵OC是∠AOB的平分线，∠AOB＝140°，
∴∠BOC∠AOB＝70°．
∵∠BOD＝25°，
∴∠COD＝BOC﹣∠BOD＝70°﹣25°＝45°，
故答案为：45°．
【点评】本题考查了角的计算，利用角平分线的性质得出∠BOC是解题关键，又利用了角的和差．
18．（3分）已知线段AB＝16cm，点C是线段AB的中点，点E在线段AB上，且CEAC，则BE的长度为　10或6　cm．
【分析】根据线段中点的性质推出AC＝BCAB16＝8（cm），再根据题意分当点E在点C左侧时和当点E在点C右侧时两种情况进行讨论，根据线段之间的和差关系进行求解即可．
【解答】解：∵AB＝16cm，点C是线段AB的中点，
∴AC＝BCAB16＝8（cm），
∴CEAC8＝2（cm），
当点E在点C的左侧时，
BE＝BC+EC＝8+2＝10（cm）；
当点E在点C右侧时，
BE＝BC﹣EC＝8﹣2＝6（cm）．
综上，BE的长度为10cm或6cm．
故答案为：10或6．
【点评】本题考查两点间的距离，解题的关键是根据线段中点的性质得出AC＝BCAB，与此同时根据题意进行分类讨论（当点E在点C左侧时和当点E在点C右侧时），也可以作出图形进行求解．
19．（3分）古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百里．驽马日行一百二十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走200里，跑得慢的马每天走120里．慢马先走12天，快马几天可追上慢马？则快马 　18　天可追上慢马．
【分析】设快马x天可以追上慢马，根据快马和慢马所走的路程相等建立方程即可．
【解答】解：设快马x天可以追上慢马，
依题意，得200x＝120x+120×12．
解得x＝18．
即快马18天可以追上慢马．
故答案是：18．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
20．（3分）现有一张边长为1的正方形纸片，第一次沿着线段AP1剪开，留下三角形ABP1，第二次取BP1的中点P2，再沿着AP2剪开，留下三角形ABP2；第三次取BP的中点P3，再沿着AP3剪开，留下三角形ABP3；…，如此进行下去，在第n次后，被剪去图形的面积之和是 　1　．

【分析】根据图形先计算BP1，BP2，BP3•••的长，再根据面积差可得结论．
【解答】解：如图，由题意得：
BP1＝1，
BP2，
BP3，
•••，
∴BPn，
∴被剪去图形的面积之和＝1﹣△ABPn的面积＝11．
故答案为：1．
【点评】本题考查了图形类规律问题，根据图形确定BPn的长是本题的关键．
三、解答题（共60分）
21．（6分）计算：
（1）7+（﹣6）﹣（﹣4）×3；
（2）﹣23÷8（﹣2）2．
【分析】根据有理数的混合运算法则进行计算即可．
【解答】解：（1）7+（﹣6）﹣（﹣4）×3＝7﹣6+12＝13；
（2）﹣23÷8（﹣2）2＝﹣1﹣1＝﹣2．
【点评】本题考查有理数的混合运算的有关内容，解题的关键是注意符号的变化．
22．（6分）解下列方程：
（1）x+10＝7x﹣2；
（2）．
【分析】（1）移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可．
（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可．
【解答】解：（1）移项，可得：x﹣7x＝﹣2﹣10，
合并同类项，可得：﹣6x＝﹣12，
系数化为1，可得：x＝2．

（2）去分母，可得：3（x﹣1）＝12+2x，
去括号，可得：3x﹣3＝12+2x，
移项，可得：3x﹣2x＝12+3，
合并同类项，可得：x＝15．
【点评】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
23．（5分）先化简，再求值：5b2﹣7a2+2（a2﹣b2+ab）﹣（2b2﹣6a2），其中a＝﹣2，b．
【分析】直接利用整式的加减运算法则化简，再把已知数据代入得出答案．
【解答】解：原式＝5b2﹣7a2+2a2﹣2b2+2ab﹣2b2+6a2
＝a2+2ab+b2，
当时，
原式＝a2+2ab+b2
＝4+2×（﹣2）
＝4﹣2
．
【点评】此题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键．
24．（7分）元旦期间，小明的爸爸妈妈带小明外出旅游，乘轮船从A地到B地共用3h，从B地返回A地共用5h，已知水流速度是4km/h，求轮船在静水中的速度及A，B两地之间的距离．
【分析】设轮船在静水中的速度是xkm/h，则A，B两地之间的距离是3（x+4）km，可得：3（x+4）＝5（x﹣4），即可解得答案．
【解答】解：设轮船在静水中的速度是xkm/h，则A，B两地之间的距离是3（x+4）km，
根据题意得：3（x+4）＝5（x﹣4），
解得x＝16，
∴3（x+16）＝3×（16+4）＝60，
答：轮船在静水中的速度是16km/h，A，B两地之间的距离是60km．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．
25．（8分）已知a，b，c在数轴上的位置如图所示．
（1）化简：|a+b|﹣|c﹣b|+|b﹣a|；
（2）若a的绝对值的相反数是﹣2，b的倒数是它本身，c2＝9，求﹣a+2b+c﹣（a+b﹣c）的值．

【分析】（1）根据题意判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果；
（2）根据题意确定出a，b，c的值，代入原式计算即可求出值．
【解答】解：（1）∵a+b＞0，c﹣b＜0，b﹣a＜0，
∴原式＝a+b+c﹣b﹣b+a
＝2a﹣b+c；
（2）由题意，得a＝2，b＝1，c＝﹣3，
∴﹣a+2b+c﹣（a+b﹣c）
＝﹣a+2b+c﹣a﹣b+c
＝﹣2a+b+2c
＝﹣4+1﹣6
＝﹣9．
【点评】本题考查了整式的加减﹣化简求值，掌握运算法则是关键．
26．（8分）如图，点B是线段AC上一点，且AB＝18cm，BCAB．
（1）试求出线段AC的长；
（2）如果点O是线段AC的中点，请求线段OB的长．

【分析】（1）求出线段BC用AB+BC可得结论；
（2）利用线段中点的意义，求出线段OC，用OC﹣BC即可．
【解答】解：（1）∵AB＝18cm，BCAB，
∴BC＝6（cm）．
∴AC＝AB+BC＝18+6＝24（cm）．
（2）∵点O是线段AC的中点，
∴OCAC＝12（cm）．
∵BC＝6cm，
∴OB＝OC﹣BC＝12﹣6＝6（cm）．
【点评】本题主要考查了线段中点的意义，两点之间的距离，正确使用线段的中点的意义是解题的关键．
27．（10分）某商店5月1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种优惠方案，方案一：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的八折优惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的九五折优惠．已知小敏5月1日前不是该商店的会员．
（1）若小敏不购买会员卡，所购买商品的价格为120元，实际应支付多少元？
（2）请问所购买商品的价格是多少时，两种方案的优惠情况相同？
【分析】（1）根据所购买商品的价格和折扣直接计算出实际应付的钱；
（2）根据两种不同方案分别求出商品的原价与实际所付价钱的一次函数关系式，根据两种方案的优惠情况相同可得方程，解此方程可得答案．
【解答】解：（1）120×0.95＝114（元），
若小敏不购买会员卡，所购买商品的价格为120元时，实际应支付114元；
（2）设所付钱为y元，购买商品价格为x元，
则按方案一可得到一次函数的关系式：y＝0.8x+168，
则按方案二可得到一次函数的关系式：y＝0.95x，
两种方案的优惠情况相同，那么可得到：
0.95x＝0.8x+168，
解得：x＝1120，
∴所购买商品的价格在1120元时，两种方案的优惠情况相同．
【点评】本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题．注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数y随x的变化，结合自变量的取值范围确定最值．
28．（10分）如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．
（1）如图1，当∠AOB＝90°，∠BOC＝60°时，∠MON的度数是多少？为什么？
（2）如图2，当∠AOB＝70°，∠BOC＝60°时，∠MON＝　35°　（直接写出结果）．
（3）如图3，当∠AOB＝α，∠BOC＝β时，猜想：∠MON＝　α　（直接写出结果）．
【分析】（1）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC求出即可；
（2）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC求出即可；
（3）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC求出即可．
【解答】解：（1）如图1，∵∠AOB＝90°，∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝90°+60°＝150°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC∠AOC＝75°，∠NOC∠BOC＝30°
∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝45°．

（2）如图2，
∵∠AOB＝70°，∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝70°+60°＝130°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC∠AOC＝65°，∠NOC∠BOC＝30°
∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝65°﹣30°＝35°．
故答案为：35°．

（3）如图3，∠MONα，与β的大小无关．
理由：∵∠AOB＝α，∠BOC＝β，
∴∠AOC＝α+β．
∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，
∴∠MOC∠AOC（α+β），
∠NOC∠BOCβ，
∴∠AON＝∠AOC﹣∠NOC＝α+ββ＝αβ．
∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC
（α+β）βα
即∠MONα．
故答案为：α．
【点评】本题考查了角平分线定义和角的有关计算，关键是求出∠AOC、∠MOC、∠NOC的度数和得出∠MON＝∠MOC﹣∠NOC．
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