河南省郑州市二中共同体2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

2022-2023学年上学期九年级期末试题

数学

注意事项：

1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．

2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效．

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（    ）

A．     B．     C．     D．

2．正方形在太阳光的投影下得到的几何图形一定是（    ）

A．正方形     B．平行四边形或一条线段     C．矩形     D．菱形

3．已知三边长是，与相似的三角形三边长可能是（    ）

A．     B．     C．     D．

4．已知在中，，那么的长为（    ）

A．     B．     C．     D．

5．如图所示，在中，，若，则（    ）

A．     B．     C．     D．

6．下列说法正确的是（    ）

A．四边相等的四边形是正方形     B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

C．对角线相等的四边形是矩形     D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形

7．在反比例函数（k为常数）上有三点，若，则的大小关系为（    ）

A．     B．     C．     D．

8．小明准备在2023年春节期间去看电影，他想在《满江红》，《龙马精神》，《流浪地球2》，《想见你》，《回天有我》这五部电影中选取两部去观看，他选取背面完全相同的五张卡片，在正面分别写上片名，然后背面向上，洗匀后随机抽取两张，则小明抽中《满江红》和《流浪地球2》的概率是（    ）

A．     B．     C．     D．

9．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C．它的对称轴为直线，则下列说法中正确的有（    ）

①；②；③；④．

A．1个     B．2个     C．3个     D．4个

10．如图，正方形中，，点E，F分别为上一点，且，连接交对角线于点G，点P，Q分别为的中点，则的长为（    ）

A．6     B．     C．     D．

二、填空题（每小题3分，共15分）

11．写出一个经过点的二次函数的解析式：__________．

12．在一个不透明的袋子中装有12个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.4附近，则袋子中红球约有__________个．

13．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数a的最大值是__________．

14．如图，等腰直角三角形中，点A，B分别在x轴，y轴上，直角顶点C落在反比例函的图象上，的中点D落在y轴上，若，则__________．

15．如图，矩形中，，点E为的中点，点P为边上一个动点，连接，过点P作于点Q，当与相似时，的长为__________．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分）

16．（12分）（1）计算：．

（2）若，求的值．

（3）解方程：．

17．（8分）把边长为1厘米的6个相同正方体摆成如图的形式．

（1）在网格中画出该几何体的主视图、左视图、俯视图；

（2）直接写出该几何体的表面积为__________；

（3）如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再添加__________小正方体．

18．（9分）“水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图象，水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的（如图），水柱的最高点为P，，水嘴高．

（1）以A为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，求图中抛物线的解析式；

（2）求水柱落点C与水嘴底部A的距离．

19．（9分）妙乐寺塔，又名妙乐寺真身舍利塔，位于河南省焦作市武陟县城西7.5公里处，建于后周显德二年，是我国现存最古老、规模最大、保存最为完整的五代大型砖塔，2001年6月25日妙乐寺塔作为五代时期古建筑，被国务院公布为第五批全国重点文物保护单位．某数学兴趣小组准备测量妙乐寺塔的高度，由于塔底不可到达，小组准备用无人机测量，组员小明操作无人机飞至离地面高度为60米的C处时，测得妙乐寺塔的顶端A的俯角为，他操控无人机水平飞行70米至塔另一侧D处时，测得塔的顶端A的俯角为．已知A，B，C，D在同一平面内，求妙乐寺塔的高度．（精确到0.1米，参考数据：）

20．（9分）如图，矩形中，，点M，N分别为上一点，且，连接．

（1）当时，求证：四边形是菱形；

（2）填空：

①当__________时，四边形是矩形；

②当__________时，以为对角线的正方形的面积为．

21．（9分）如图，直线交x轴于点A，交反比例函数的图象于，两点．

（1）求反比例函数的解析式和a的值；

（2）根据图象直接写出不等式的解集；

（3）点M为y轴上任意一点，点N为平面内任意一点，若以C，D，M，N为顶点的四边形是菱形，直接写出点N的坐标．

22．（9分）如图，二次函数的图象交x轴于点两点，交y轴于点C．

（1）求二次函数的解析式；

（2）点M为直线下方二次函数图象上一个动点，连接，求面积的最大值；

（3）点P为直线上一个动点，将点P向右平移6个单位长度得到点Q，设点P的横坐标为m，若线段与二次函数的图象只有一个交点，直接写出m的取值范围．

23．（10分）数学兴趣小组活动中，刘老师展示一个问题情境，供同学们探究：

问题情境：如图，中，，点P为斜边上不与A，B重合的一个动点，过点P作于点Q，分别过P，Q作，交于点D，请讨论可能发现的结论．

以下是讨论过程：

请仔细阅读讨论过程，完成下述任务：

（1）小明推导四边形是平行四边形的依据是____________________，

小亮推导四边形是平行四边形的依据是____________________，

其中小亮得出的依据是__________（填序号）；

①SSS     ②SAS     ③AAS     ④ASA     ⑤HL

（2）当点D恰好落在上时，请证明小红的结论；

（3）若的中点为E，当点E恰好落在一边的垂直平分线上时，直接写出此时的长．

2022—2023年度第一学期九年级期末试卷答案

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.  B  2.  B  3. A  4. A  5. C  6. D  7. C  8. C  9. B  10. D

二、填空题(每小题3分，共15分)

11. 答案不唯一，如  12. 8  13.1   14.  4  15.  或4

三、解答题（共8题，共75分）

16. 解：（1）原式．……………………4分

（2）∵，∴y＝3x，∴．………………………………4分

（3）解：∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣3，

∴Δ＝b2﹣4ac＝9﹣4×1×（﹣3）＝9+12＝21>0，

．………………………………………………………………4分

17. 解：（1）如图所示：

……………………3分

（2）26.…………………………………………………………………………6分

（3）2．……………………………………………………………………………8分

18. 解：(1)设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，

∵顶点P（2，10），∴y＝a（x﹣2）2+10，

把D（0，6）代入y＝a（x﹣2）2+10得，

4a＝﹣4.∴a＝﹣1，∴y＝﹣（x﹣2）2+10．………………………………5分

（2）当y＝0时，0＝﹣（x﹣2）2+10.

解得x1＝，x2＝（舍去）.

所以C（，0）．

答：水柱落点C与水嘴底部A的距离AC为（）m．………9分

19. 解：如图，过点A作AE⊥CD，垂足为E，设AE=x，

在Rt△ACE中，∠C=45°，∴CE=AE=x，………………………………………3分

在Rt△ADE中，∠D=25°，

，………………………………………………6分

∵CD=CE+DE，,

解得，x≈22.38米.

则AB=BE-AE=60-22.38=37.62≈37.6米.

答：妙乐寺塔AB的高度约为37.6米.………………………………………………9分

20.解（1）证明：∵AM＝3，CN＝3，

∴BM＝8﹣3＝5，DN＝8﹣3＝5，

∴DN＝BM，又∵DN∥BM，

∴四边形DMBN为平行四边形，……………………………………………………3分

在Rt△DAM中，DM＝＝＝5，

∴DM＝BM，

∴平行四边形DMBN为菱形，

∴当AM＝3时，四边形DMBN为菱形；…………………………………………5分

（2）①4；……………………………………………………………………………7分

②或………………………………………………………………………………9分

21.解：（1）将点C的坐标（2，4）代入反比例函数中得：k＝2×4＝8，

∴反比例函数的解析式为，……………………………………………………3分

∵点D在反比例函数图象上，∴a==2；……………………………………………5分

（2）由图象可知，不等式>的解集为2<x<4或x<0；…………………………7分

（3）点N的坐标为（2，0）或（6，6）．……………………………………9分

【提示】①当以CD为一边时，如图1，则N（2，0）；

②当以CD为一条对角线时，如图2，

此时点M与原点重合，N（6，6），

综上，以点C，D，M，N为顶点的四边形是菱形，点N的坐标为（2，0）或（6，6）．

22.  解：（1）将A（﹣2，0），B（4，0）代入y=ax²+bx-8，

得，解得，

∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣8；……………………………………………………3分

（2）当x＝0时，y＝﹣8，∴C（0，﹣8），

设直线BC的解析式为：y＝kx﹣8，将B（4，0）代入，

得0＝4k﹣8，解得k＝2，∴直线BC的解析式为：y＝2x﹣8，……………………5分

如图1，过点M作MH⊥x轴，垂足为H，交直线BC于点N，设H（x，0），

∴N（x，2 x﹣8），M（x，x 2﹣2 x﹣8），

∴MN＝（2 x﹣8）﹣（x 2﹣2 x﹣8）＝﹣x 2+4 x，

∴==

=，0＜x＜4.

∴当x=2时，△MBC面积的最大值为8；…………………………………………………7分

（3）0＜m≤4或m＝．……………………………………………………………9分

【提示】①当点P在线段BC上时，

∵P，Q的距离为6，而C,B的水平距离是4，∴此时只有一个交点，即0＜m≤4，

∴线段PQ与抛物线只有一个公共点；

②当点P在点B的右侧时，线段PQ与抛物线没有公共点；

③当点P在点C的左侧时，

∵y＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9，

∴抛物线的顶点为（1，﹣9），

令y＝2x﹣8＝﹣9，解得x＝，

∵1﹣（）＝＜6，

∴当m＝时，抛物线和PQ交于抛物线的顶点（1，﹣9），即m＝时，线段PQ与抛物线只有一个公共点，

综上，0＜m≤4或m＝．

23. 解：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④；………………………………………………………………………………3分

（2）如图1，当点D恰好落在BC上时，∵PQ⊥AC，∴∠AQP=∠C=90°，

∴PQ∥BC，又∵QD∥AB，∴四边形PBDQ是平行四边形，∴QD=PB，

由讨论可知四边形APDQ是平行四边形，∴QD=AP，

∴AP=PB，即点P为AB的中点；……………………………………………………7分

(3) 满足条件的AP的值为或或5．……………………………………………10分

【提示】分三种情况,设AP=x，则AQ=，PE=，

①如图2中，当点E落在线段AC的垂直平分线MN上时，

△PEN∽△ACB，可得=，即，得.

②如图3中，当点E落在线段AB的垂直平分线MN上时，

△PEN∽△ABC，可得=，即，得.

③如图4中，当点E落在线段BC的垂直平分线上时，点M与点P重合，点N与点D重合，∴.

综上所述，满足条件的AP的长为或或5．