河北省邯郸市2022-2023学年高二上学期期末考试数学必刷题A卷(含答案)

邯郸市2022-2023学年高二上学期期末考试数学必刷题A卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列四个命题中，正确的有（       ）

A．若直线的倾斜角为，则

B．直线的倾斜角的取值范围为

C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为

D．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为

2．已知数列的通项公式为，则数列是（    ）

A．以1为首项，为公比的等比数列 B．以3为首项，为公比的等比数列

C．以1为首项，3为公比的等比数列 D．以3为首项，3为公比的等比数列

3．已知圆和圆的半径分别为方程的两根，两圆的圆心距是， 则两圆的位置关系是（　　）

A．内含 B．外离 C．内切 D．相交

4．若，则三角形ABC必定是三角形

A．锐角 B．直角 C．钝角 D．等腰直角

5．已知双曲线的离心率为，实轴长为2，实轴的左端点为，虚轴的上顶点为为右支上任意一点，则面积的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

6．若将一个椭圆绕其中心旋转90°，所得椭圆短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭圆称为“对偶椭圆”，下列椭圆中是“对偶椭圆”的是（    ）

A． B．

C． D．

7．在长方体中，，，．过的平面分别交线段，于两点，四边形为正方形，则异面直线与所成角的余弦值（     ）

A． B． C． D．

8．（陕西省2018届高三第一次模拟）设等差数列的前项和为，若，则

A．27 B．36

C．45 D．54

二、多选题

9．（多选）给出下列命题，其中是真命题的是（    ）

A．若直线的方向向量，直线的方向向量，则与垂直

B．若直线的方向向量，平面的法向量，则

C．若平面，的法向量分别为，，则

D．若平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则

10．过抛物线：的焦点的直线与相交于，两点.若长最小值为6，则下列结论正确的是（    ）

A．抛物线方程为

B．的中点到准线的距离最小值为3

C．直线的斜率为时，为的一个四等分点

D．

11．我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始，已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则下列说法正确的是（    ）

A．小寒比大寒的晷长长一尺

B．春分和秋分两个节气的晷长相同

C．小雪的晷长为一丈五寸

D．立春的晷长比立秋的晷长长

12．已知双曲线（）的左焦点与抛物线的焦点重合，是双曲线的右焦点，则下列说法正确的有（    ）

A．抛物线的准线方程为：

B．双曲线的实轴长为4

C．双曲线的一条渐近线方程为

D．为双曲线上一点若，则

三、填空题

13．已知直线和直线互相平行，则的值为_____.

14．已知等差数列，满足，其中，，三点共线，则数列的前项和_____．

15．在长方体中，，，，则点D到平面的距离是______．

16．已知斜率为2的直线l过抛物线的焦点F，且与y轴相交于点A，若（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为________．

四、解答题

17．已知两点，.

（1）求过、两点的直线方程；

（2）求线段的垂直平分线的直线方程；

（3）若圆经过、两点且圆心在直线上，求圆的方程.

18．设为等差数列，是正项等比数列，且，.在①，②，这两个条件中任选一个，回答下列问题：

（1）写出你选择的条件并求数列和的通项公式；

（2）在（1）的条件下，若，求数列的前项和.

19．已知长方体中，，，，，分别是，的中点.

（1）求证：直线平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

20．已知数列的各项均不为零．设数列的前项和为，数列的前项和为，且，．

（Ⅰ）求，的值；

（Ⅱ）证明数列是等比数列，并求的通项公式；

（Ⅲ）证明：.

21．如图所示的几何体中，底面ABEF是等腰梯形，，矩形ABCD所在平面与底面ABEF垂直，且，O是AB中点.

（1）求证：平面BCF；

（2）若M是CF上一点，当平面ADF时，求异面直线OM与CE所成角的余弦值.

22．图，点P（0，﹣1）是椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径，l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A、B两点，l2交椭圆C1于另一点D．

（1）求椭圆C1的方程；

（2）求△ABD面积的最大值时直线l1的方程．

参考答案：

1．B

【分析】根据直线的倾斜角概念及范围，以及倾斜角和斜率的关系，逐项判定，即可求解.

【详解】因为直线的倾斜角的取值范围是，即，所以，

当时直线的斜率，所以A、C均错误；B正确；

若直线的斜率，此时直线的倾斜角为，所以D错误；

故选：B

2．A

【分析】由通项公式可知，这是等比数列，然后利用等比数列的定义求出首项和公比即可.

【详解】因为，，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列.

故选：A

3．C

【分析】解方程，再利用几何法克判断两圆的位置关系.

【详解】解方程，可得，，故两圆半径分别为、，

因为两圆的圆心距是，故两圆内切.

故选：C.

4．B

【分析】由得到，，即可求解.

【详解】

，即

所以三角形ABC必定是直角三角形

故选：B

【点睛】本题主要考查了平面向量的基本运算，属于基础题.

5．D

【分析】根据题意列式求解，再结合双曲线的渐近线分析可得到直线的距离大于两平行线间距离，运算求解.

【详解】由已知得，解得，

故双曲线的方程为，，

∵直线的方程为，与一条渐近线平行，两平行线间距离，

所以到直线的距离，即的取值范围为，

又∵，所以面积，

故面积的取值范围为.

故选：D.

6．A

【分析】由题意可得，所给的椭圆中的，的值求出的值，进而判断所给命题的真假．

【详解】解：因为椭圆短的轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，即，

即，

中，，，所以，

故，所以正确；

中，，，所以，所以不正确；

中，，，所以，所以不正确；

中，，，所以，所以不正确；

故选：．

7．D

【分析】建立适当的空间直角坐标系，利用向量法即可求得异面直线所成角的余弦值.

【详解】

建立如图所示的空间直角坐标系，四边形为正方形，所以,

在中，,所以，

则

所以

设异面直线与所成的角为,

则

故选：D.

8．D

【详解】设等差数列公差为d，则由题意可得：，∴，即，

∴，故选D.

9．AD

【分析】根据空间向量数量积的值即可判断A；根据空间向量数量积的值即可判断B；根据两平面法向量之间的关系可判断C；，，利用法向量与上面两向量的数量积可判断D.

【详解】对于A，，

则，所以直线与垂直，故A是真命题；

对于B，，则，

所以或，故B是假命题；

对于C，，所以不成立，故C是假命题；

对于D，易得，，

因为向量是平面的法向量，

所以，即，

得，故D是真命题．

故选：AD.

10．ABC

【分析】由题意可知，当斜率不存在时，即过抛物线的焦点，且垂直轴，即为通径时，取得最小值，可求得p的值，即可判断A;当PQ为抛物线通经时，的中点到准线的距离最小，判断B;由A的分析求得，可判断C; 由A的分析求得，判断D.

【详解】当直线斜率不存在时，即过抛物线的焦点，且垂直轴，

， ,

，

当斜率存在时，设直线的方程为，

设，，，，

联立直线与抛物线的方程得，可得①，

由韦达定理，可得，

由抛物线的定义，可得，

综合以上两种情况可得，当斜率不存在时，即过抛物线的焦点，且垂直轴，取得最小值，

的最小值为6，

，即，

抛物线的方程为，故选项正确，

当PQ垂直轴时，的中点到准线的距离最小，最小值为，故选项正确，

当直线的斜率为时，

将，代入①中，可得，解得两根为，

不妨取，，

由抛物线得的定义可得，，，

则 , ，即为的一个四等分点，故C选项正确．

由①可知：，

由于，故D错误，

故选：

11．ABD

【分析】先计算从夏至到冬至的晷长构成等差数列的基本量以及由冬至到夏至的晷长构成等差数列的基本量，再对选项各个节气对应的数列的项进行计算，判断说法的正误即可．

【详解】解：由题意可知，由夏至到冬至的晷长构成等差数列，其中，，则，

同理可得，由冬至到夏至的晷长构成等差数列，其中，，则，

故大寒与小寒相邻，小寒比大寒的晷长长10寸，即一尺，故选项正确；

因为春分的晷长为，所以，

因为秋分的晷长为，所以，

故春分和秋分两个节气的晷长相同，故选项正确；

因为小雪的晷长为，所以，

又115寸即一丈一尺五寸，故小雪的晷长为一丈一尺五寸，故选项错误；

因为立春的晷长和立秋的晷长分别为，，

所以，，

所以，故立春的晷长比立秋的晷长长，故选项正确．

故选：．

【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是读懂题意，构造等差数列.本题考察了逻辑推理和转化化归能力，属于中档题.

12．BD

【分析】由抛物线方程得焦点坐标，得抛物线准线方程，从而得双曲线的焦点坐标，求得参数，得实轴长，由双曲线方程可得其渐近线方程，由双曲线定义可求得点到焦点的距离

【详解】抛物线的焦点是 ,所以，，，

，（舍去），所以，

抛物线准线方程是，A错；

双曲线实轴长为，B正确；

双曲线的渐近线方程是，即，C错；

由双曲线定义，即，或（舍去），D正确．

故选：BD．

13．

【解析】根据两直线平行可得出关于实数满足的等式与不等式，由此可解得实数的值.

【详解】由于直线和直线互相平行，则，解得.

故答案为：.

【点睛】本题考查利用两直线平行求参数值，考查计算能力，属于基础题.

14．

【分析】根据平面向量基本定理先得到，再由等差数列的性质，以及求和公式，即可求出结果.

【详解】因为，其中，，三点共线，

所以；

因为为等差数列，所以，

因此数列的前项和.

故答案为8

【点睛】本题主要考查求数列的前项和，熟记平面向量基本定理，等差数列的性质以及求和公式即可，属于常考题型.

15．

【详解】∵平面，过D点作DE⊥于E点，则

∴DE长即为所求.

在△DC中，

故答案为

16．

【分析】由直线斜率表示出，表示出的面积，解出，即可求得抛物线方程.

【详解】

如上图，因为直线斜率为2，所以，又

，则抛物线方程为.

故答案为：.

17．（1）；（2）；（3）.

【分析】（1）利用两点式求直线方程，化成一般式即可；

（2）利用中点坐标公式求其中点坐标，利用求斜率，写出直线的点斜式方程，化成一般式即可；

（3）利用待定系数法求其圆的方程.

【详解】（1）由题意，得直线方程为，整理得；

（2）线段的中点坐标（0,-2），，

则所求直线的斜率为-1，故所求的直线方程是，

即；

（3）设所求圆的方程是，圆心坐标为，

由题意可知，解得

所求的圆的方程是.

18．（1）条件选择见解析，，；（2）.

【解析】（1）设的公差为，的公比为，根据所选的条件结合已知条件得出和的方程组，解出这两个量的值，利用等差数列和等比数列的通项公式可求得数列和的通项公式；

（2）求得，利用分组求和法可求得.

【详解】（1）选择①：设的公差为，的公比为.

则根据题意有，解得，

所以，；

选择②：设的公差为，的公比为.

则根据题意有，解得，

所以，；

（2）由（1）可知，

所以

.

【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：

（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；

（2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和；

（3）对于型数列，利用分组求和法；

（4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法.

19．（1）证明见解析；（2）

【分析】（1）设中点为，证明四边形为平行四边形，得到，再利用线面平行判断定理证明即可；

（2）将直线与平面所成角转化成直线与平面所成角，即线面角，求出相应长度，求解即可.

【详解】（1）设中点为，且是中点，

所以，且，

又与平行且相等，且为的中点，

所以，且，四边形为平行四边形，

所以，又平面，平面，

故直线平面；

（2）因为为长方体，

所以平面平面，

所以直线与平面所成角即直线与平面所成角，

因为平面，所以点为点在平面的投影，

连接、，则即直线与平面所成角，

在中，，，

所以，

即直线与平面所成角的正弦值为.

【点睛】本题主要考查线面平行的证明和线面角的求法，考查学生空间想象能力和转化能力，属于中档题.

20．（Ⅰ）2，4；（Ⅱ）证明见解析，；（Ⅲ）证明见解析.

【分析】（Ⅰ）直接给n赋值求出，的值；（Ⅱ）利用项和公式化简，再利用定义法证明数列是等比数列，即得等比数列的通项公式；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，再利用等比数列求和证明不等式.

【详解】（Ⅰ），令，得，，；

令，得，即，，．

证明：（Ⅱ），①

，②

②①得：，

，，

从而当时，，④

③④得：，即，，．

又由（Ⅰ）知，，，．

数列是以2为首项，以为公比的等比数列，则.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，

因为当时，，所以.

于是.

【点睛】本题主要考查等比数列性质的证明和通项的求法，考查等比数列求和和放缩法证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

21．（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）依题意证得，，进而由线面垂直的判定定理可证得结果；

（2）依题意作出异面直线OM与CE所成的角，然后用余弦定理求出其余弦值.

【详解】（1）证明：连接OF.

∵底面ABEF是等腰梯形，，，O是AB中点F，

∴四边形OBEF为平行四边形，∴，∴，∴.

∵平面平面ABEF，，平面平面，

∴平面ABEF∵平面ABEF，∴.

又∵∴平面CBF.

（2）如图，过M作， MN与DF交于点N，

又∵，∴，

∵平面ADF，平面OMNA，平面平面，

∴，∴四边形为平行四边形，

∴，N，M为FC､DF的中点.

取EF中点P，连接MP，OP.

∵M，N为CF，DF中点，∴.

∴即为异面直线OM与CE所成角.

由题可求得，，，

∴，

即异面直线OM与CE所成角的余弦值为.

22．（1） （2）

【详解】(1)由题意得所以椭圆C1的方程为

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．

由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，

则直线l1的方程为y＝kx－1.又圆C2：x2＋y2＝4，

故点O到直线l1的距离

所以

又l2⊥l1，故直线l2的方程为x＋ky＋k＝0.由

消去y，整理得(4＋k2)x2＋8kx＝0，

故.所以

设△ABD的面积为S，则，

所以，

当且仅当时取等号．所以所求直线l1的方程为