2022-2023学年河北省邯郸市第十中学高二上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年河北省邯郸市第十中学高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知数列的前n项和，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由可得答案.

【详解】因，则．

故选：C

2．已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的（    ）

A．充分必要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据线面平行的判定定理，结合充分、必要条件的概念，即可得答案.

【详解】若，则或，故充分性不成立，

若，则，必要性成立，

故“”是“”的必要不充分条件，

故选：C

3．双曲线的离心率为，则的一条渐近线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据离心率计算公式，即可容易求得结果.

【详解】因为的离心率为，所以，

所以渐近线方程为.

故选：B.

4．在正四面体中，F是的中点，E是的中点，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用空间向量加减法的运算法则即可得解.

【详解】依题意，结合图形可得，

．

故选：A.

5．已知等差数列满足，则的值为（    ）

A．－3 B．3 C．－12 D．12

【答案】B

【分析】根据等差数列的性质若则可得.

【详解】由等差中项的性质可得，，解得，

∵，∴．

故选：B

6．已知椭圆，若长轴长为8，离心率为，则此椭圆的标准方程为

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据长轴长求出，由离心率为求出，从而求出，问题得解．

【详解】因为椭圆长轴长为8，所以，即，

又离心率为，所以，解得：，

则=，

所以椭圆的标准方程为：．

故选D

【点睛】本题主要考查了椭圆的性质，属于基础题．

7．在数列中，已知对任意正整数，有，则等于（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用作差法及等比数列的通项公式，结合等比数列的求和公式即可求解.

【详解】当时，由，得，

所以.

当时，，也满足合上式.

所以数列的通项公式为.

所以.

所以数列是等比数列，首项为，公比为，

所以.

故选：D.

8．在平行六面体中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱的长为b，且.则（     ）

A．的长为

B．直线与AC所成角的余弦值

C．的长为

D．直线与BC所成角的余弦值

【答案】C

【分析】利用空间向量的运算逐项进行计算即可判断.

【详解】对于A，，

，

所以，故选项A错误；

对于B，由题意可知：，，

所以，

，

所以，

故选项B错误；

对于C，，，

，

所以，故选项C正确；

对于D，由选项B的分析可知：，由题意可知：，

，

所以，

故选项D错误，

故选：C.

二、多选题

9．已知直线：和圆：，则（    ）

A．直线恒过定点 B．存在使得直线与直线：垂直

C．直线与圆相离 D．若，直线被圆截得的弦长为

【答案】BD

【分析】A选项，化为点斜式可以看出直线恒过的点，

B选项两直线斜率存在且垂直，斜率乘积为，从而存在满足题意，

C选项直线过的定点在圆的内部，故可以判断C选项；

当时，先求圆心到直线的距离，再根据垂径定理求弦长

【详解】直线，即，则直线恒过定点，故A错误；

当 时，直线与直线垂直，故B正确；

∵定点在圆O：x2+y2=9内部，∴直线l与圆O相交，故C不正确：

当时，直线l化为，即x+y+2=0，

圆心O到直线的距离，

直线l被圆O截得的弦长为，故D正确，

故选：BD.

10．在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点，则（    ）

A．点到直线的距离为 B．直线到直线的距离为

C．点到平面的距离为 D．直线到平面的距离为

【答案】BD

【分析】建立坐标系，求出向量在单位向量上的投影，结合勾股定理可得点到直线的距离，判断A；先证明再转化为点到直线的距离求解，判断B；求解平面的法向量，利用点到平面的距离公式进行求解，判断C；把直线到平面的距离转化为到平面的距离，利用法向量进行求解，判断D.

【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，

则

因为，

所以.

所以点到直线的距离为，故A错误；

因为所以，即

所以点到直线的距离即为直线到直线的距离，

，

所以直线到直线的距离为，故B正确；

设平面的一个法向量为，.

由令，则，即.

设点到平面的距离为，则，即点到平面的距离为，故C错误；

因为平面，平面，所以平面，

所以直线到平面的距离等于到平面的距离.，

由（3）得平面的一个法向量为，

所以到平面的距离为，

所以直线到平面的距离为，故D正确.

故选：BD

11．已知等比数列的公比为，其前项之积为，且满足，，，则（        ）

A． B．

C．的值是中最小的 D．使成立的最大正整数的值为4043

【答案】ABD

【分析】由等比数列的性质得，再对选项逐一判断，

【详解】由，，得，且，

对于A，，故A正确，

对于B，，故B正确，

对于C，当时，，当时，，

故的值是中最小的，故C错误，

对于D，，，故使成立的最大正整数的值为4043，故D正确，

故选：ABD

12．已知动点在圆上，直线过点，则（    ）

A．当直线与圆相切时，l的方程为

B．当直线过点时，点到直线的距离的最大值为

C．当直线的斜率为时，直线被圆所截得的弦长为

D．若圆上恰有4个点到直线的距离为1，则直线斜率

【答案】BCD

【分析】分当直线斜率不存在和存在时两种情况讨论判断A；求得圆心到直线的距离，再与半径求和判断B；根据几何法求弦长判断C；根据圆心到直线的距离解不等式判断D.

【详解】由题知，圆的圆心为，半径为.

对于A，当直线斜率不存在时，方程为，此时圆心到的距离为，等于半径，故满足；

当直线斜率存在时，设方程为，则有，解得，故方程为，

故当直线与圆相切时，l的方程为或，故A错误；

对于B，直线过点时，其方程为即，

此时圆心到直线的距离为，

故点到直线的距离的最大值为，故B正确；

对于C，当直线的斜率为时，其方程为即，

此时圆心到直线的距离为，故直线被圆所截得的弦长为，故C正确；

对于D，若圆上恰有4个点到直线的距离为1，则圆心到直线的距离，

设直线方程为，则，即，解得，故D正确.

故选：BCD

三、填空题

13．数列的前项和，则的通项公式___________.

【答案】

【分析】根据求得，当时，利用求得的表达式，验证首项是否适合，即可得答案.

【详解】由题意数列的前项和，则，

当时，，

不适合上式，

故的通项公式，

故答案为：

14．抛物线的焦点为，为抛物线上一动点，定点，则的最小值为___________.

【答案】

【分析】根据抛物线的定义，将转化为到准线的距离，再结合图形可求出结果.

【详解】由，得，准线方程为：，

过作准线的垂线，垂足为，

则，

当且仅当三点共线时，等号成立.

故答案为：

15．已知正三棱柱的所有棱长都相等，是侧棱的中点，则异面直线和所成的角的余弦值为___________．

【答案】0

【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出，，计算二者的数量积，即可得答案.

【详解】设中点为，中点为，

由正三棱柱性质知底面，底面，

则，，

又底面是等边三角形，是中点，

则．

以为原点，，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

设正三棱柱的棱长都为2，

则，，，，

∴，，则

∴，

即异面直线和成角的余弦值为0,

故答案为：0.

16．已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，且椭圆C的离心率为，点P是椭圆C上的一点，且，则__________.

【答案】##

【分析】由已知，根据题意画出示意图，分别设出点P、A，B坐标，并表示出直线、直线的斜率，根据已知的离心率得到，再根据，结合已知得到，然后利用正切和差公式可直接求解.

【详解】由已知，椭圆的左，右顶点分别为A，B，如图所示，

椭圆C的离心率为，所以，

设点在轴上方，点，，，

因为点在椭圆上，所以，

所以为直线的倾斜角，为直线的倾斜角，

则，，

而，

所以，

所以

.

故答案为：.

四、解答题

17．在等差数列中，，前12项的和.

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列为以1为首项，3为公比的等比数列，求数列前8项的和.

【答案】(1)；

(2)3332.

【分析】（1）根据已知求出，即得解；

（2）求出，再利用分组求和求解.

【详解】（1）解：设公差为，因为，前12项的和，

所以，解得，

所以.

（2）解：由题意得，所以，

所以数列前8项的和为

=.

18．如图四边形ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，.

(1)求证：AC⊥平面BDE；

(2)若BE与平面ABCD所成角为，求二面角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由已知可得且,由线面垂直的判定定理即可得到证明;

（2）以为原点,方向为轴,方向为轴,方向为轴建立空间直角坐标系,利用已知条件求出平面的一个法向量和平面的一个法向量,利用向量的夹角公式计算即可.

【详解】（1）因为DE⊥平面ABCD，平面ABCD，所以

因为四边形ABCD是正方形，所以

又因为，平面BDE，平面BDE，

所以AC⊥平面BDE

（2）底面，平面，

，

四边形ABCD是正方形，

故DA，DC，DE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，

因为BE与平面ABCD所成角为，平面，且垂足为，

故，所以.

又，所以，

所以，，，，，

所以

设平面BEF的一个法向量，

则，令，则

因为AC⊥平面BDE，

所以为平面BDE的一个法向量，.

所以，

所以，

所以二面角的正弦值为.

19．已知数列的前n项和为，，．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，数列的前n项和为．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意构造函数可得，可得为首项是，公比为的等比数列，所以，再利用和之间的关系求即可；

（2）由，利用等差数列求和即可得解.

【详解】（1）由可得，而，

所以，所以为首项是，公比为的等比数列，

所以，

所以，

当时，，

当时，也满足上式，

所以；

（2），

已知为首项为1公差为1的等差数列，

所以.

20．已知椭圆的中心为坐标原点O，左右焦点分别为，，短轴长为2，离心率，过右焦点的直线交椭圆于P，Q两点．

(1)求椭圆的标准方程．

(2)当直线的倾斜角为时，求的面积．

【答案】(1)．

(2)．

【分析】（1）根据条件列出关于的式子，利用待定系数法求椭圆方程；

（2）直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理表示三角形的面积.

【详解】（1），解得：，∴．

（2）倾斜角为，，

∴：，

，得，

， ，

∴．

21．已知双曲线：与双曲线的渐近线相同，且经过点.

(1)求双曲线的方程；

(2)已知双曲线的左､右焦点分别为，，直线经过，倾斜角为，与双曲线交于两点，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据共渐近线设出双曲线方程，代入点的坐标即可得解；

（2）根据题意求出直线的方程，联立直线方程与双曲线方程，消去后由韦达定理得，从而由弦长公式求得弦长，再求出到直线距离后即可求得的面积．

【详解】（1）依题意，设所求双曲线方程为，

代入点得，即，

所以双曲线方程为，即．

（2）由（1）得，则，，，

又直线倾斜角为，则，故直线的方程为，

设，，

联立，消去，得，

则，，，

由弦长公式得，

又点到直线的距离，

所以．

22．已知：在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点为中点，.

(1)求证：平面平面；

(2)求直线与平面所成角大小；

(3)求点到平面的距离.

【答案】(1)证明见解析；

(2)；

(3).

【分析】（1）以AB所在的直线为x轴，以AD所在的直线为y 轴，以AP所在的直线为z轴，建立如图所示的直角坐标系，求出平面PCD的法向量为，平面的法向量为，即得证；

（2）设直线与平面所成角为，利用向量法求解；

（3）利用向量法求点到平面的距离.

【详解】（1）证明：

PA平面ABCD，ABCD为正方形，以AB所在的直线为x轴，以AD所在的直线为y 轴，以AP所在的直线为z轴，建立如图所示的直角坐标系.

由已知可得A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1）

M为PD的中点，，所以，，，

所以，又PDAM，，平面PCD AM 平面PCD.   

平面PCD的法向量为.

设平面的法向量为,，

令，则，.

. 平面MAC平面PCD.

（2）解：设直线与平面所成角为，

由(1)可得：平面PCD的法向量为，，

，即直线与平面所成角大小.

（3）解：， 设点到平面的距离为， .

点到平面的距离为.