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期末专题10 统计综合-【备战期末必刷真题】2022-2023学年高一数学下学期期末考试真题必刷强化训练（新高考广东专用）
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这是一份期末专题10 统计综合-【备战期末必刷真题】2022-2023学年高一数学下学期期末考试真题必刷强化训练（新高考广东专用），文件包含期末专题10统计综合原卷版docx、期末专题10统计综合解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共49页， 欢迎下载使用。
期末专题10 统计综合
一、单选题
1．（2022春·广东东莞·高一统考期末）已知树人中学高一年级总共有学生人，其中男生人，按男生、女生进行分层，并按比例分配抽取名学生参加湿地保护知识竞赛，已知参赛学生中男生比女生多人，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分层抽样的性质直接计算.
【详解】由已知可得参赛的男生有人，
故参赛的女生有人，
参赛人数共人，
所以高一年级总人数为人，
即，
故选：B.
2．（2022春·广东肇庆·高一统考期末）数据3，4，5，6，7，8，9，10的80%分位数为（ ）
A．8 B．9 C．6.4 D．8.4
【答案】B
【分析】根据百分位数的计算即可求解.
【详解】数据3，4，5，6，7，8，9，10的80%分位数是第7个数，为9．
故选:B．
3．（2022春·广东清远·高一统考期末）下列调查中，调查方式选择合理的是（ ）
A．了解某市高一年级学生的身高情况，选择普查
B．了解长征运载火箭的设备零件质量情况，选择抽样调查
C．了解一批待售袋装牛奶的细菌数是否达标，选择普查
D．了解一批炮弹的杀伤力，选择抽样调查
【答案】D
【分析】根据调查方式的特点逐个辨析即可
【详解】AC总量太大不适合普查，B应该普查，根据抽样调查和普查的特点即可判断D正确.
故选：D
4．（2022春·广东湛江·高一统考期末）某学校有高中学生2000人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为700，660，640.为调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为100的样本，那么应抽取高二年级学生的人数为（ ）
A．32 B．33 C．64 D．66
【答案】B
【分析】根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比上总体容量，按此比例求出在各年级中抽取的人数.
【详解】解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为，
则高二年级抽取的人数是人，
故选:B．
5．（2022春·广东佛山·高一统考期末）2020年，我国进行了第七次全国人口普查，根据普查结果，2020年11月1日零时佛山市常住人口为9498863人，其中禅城区、南海区、顺德区、三水区、高明区常住人口比重分别为：14%、38.61%、33.99%、8.46%、4.94%，则这组数据的上四分位数（即第75百分位数）是（ ）
A．8.46% B．14% C．33.99% D．38.61%
【答案】C
【分析】将数据由小到大排列，然后根据百分位数的定义直接计算可得.
【详解】由小到大排列：4.94%、8.46%、14%、33.99%、38.61%.
因为，所以四分位数为.
故选：C
6．（2022春·广东肇庆·高一统考期末）某中学高一年级有女生380人，男生420人，学校想通过抽样的方法估计高一年级全体学生的平均体重．学校从女生和男生中抽取的样本分别为40和80，经计算这40个女生的平均体重为49kg，80个男生的平均体重为57kg，依据以上条件，估计高一年级全体学生的平均体重最合理的计算方法为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用比例分配的分层随机抽样计算可得答案.
【详解】用女生样本的平均体重49kg估计女生总体的平均体重，用男生样本的平均体重57kg估计男生总体的平均体重，按女生和男生在总人数中的比例计算总体的平均体重，所以D选项最合理.
故选：D．
7．（2022春·广东韶关·高一统考期末）某社区为迎接2022农历虎年，组织了庆祝活动，已知参加活动的老年人、中年人、青年人的人数比为12：15：13，如果采用分层抽样的方法从所有人中抽取一个80人的样本进行调查，则应抽取的青年人的人数为（ ）
A．20 B．22 C．24 D．26
【答案】D
【分析】由分层抽样抽样比可得答案.
【详解】由分层抽样可知，抽取青年人人数为.
故选：D．
8．（2022春·广东梅州·高一统考期末）某高中开展学生视力水平的调查活动，已知该校高一年级有学生1050人，高二年级有学生1000人，高三年级有学生950人，现需要从全校学生中用分层抽样的方法抽取100人进行调查，则应从高一学生中抽取的人数为（ ）
A．30 B．33 C．35 D．36
【答案】C
【分析】根据分层抽样的比例求解即可.
【详解】根据分层抽样的方法,应从高一学生中抽取的人数为．
故选：C.
9．（2022春·广东潮州·高一统考期末）一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4，，7，8（其中），若该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的方差和第60百分位数是（ ）
A．，5 B．5，5 C．，6 D．5，6
【答案】C
【分析】由题意，根据中位数和众数的定义有，解得，从而可求该组数据的平均数，进而可求该组数据的方差；根据第百分位数的计算方法，由于，所以该组数据的第60百分位数是该组数据按从小到大的顺序排列后的第4位数.
【详解】解：由题意知，，解得，
所以该组数据的平均数为，
所以该组数据的方差是．
因为，所以该组数据的第60百分位数是该组数据按从小到大的顺序排列后的第4位数，即是6.
故选：C.
10．（2022春·广东惠州·高一统考期末）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和估计抽取的高中生近视人数分别为（ ）
A．180，40 B．180，20 C．180，10 D．100，10
【答案】B
【分析】利用总量乘以抽取比例即可得到样本容量；根据图表可知高中生近视率 从而估计抽取的高中生近视人数
【详解】所有学生数为3000+4000+2000=9000，故样本容量为 9000×2%=180，
根据图甲以及抽取百分比可知，样本中高中生人数为2000×2%=40，
根据图乙可知，抽取的高中生近视人数为40×50%=20，
故选：B．
11．（2022春·广东·高一校联考期末）五月初，受疫情影响线下课暂停，某校组织学生居家通过三种方式自主学习，每种学习方式人数分布如图1所示，解封后为了解学生对这三种学习方式的满意程度，利用分层抽样的方法抽取4%的同学进行满意率调查，得到的数据如图2所示． 则下列说法中不正确的是（ ）
A．样本容量为240
B．若，则本次自主学习学生的满意度不低于四成
C．总体中对方式二满意的学生约为300人
D．样本中对方式一满意的学生为24人
【答案】B
【分析】对A，根据总人数抽取4%的同学进行计算判断即可；
对B，根据统计图计算样本总体满意度进行判断即可；
对C，根据方式二中总人数和样本满意度计算判断即可；
对D，根据满意率计算即可
【详解】对A，由饼图可得总人数为，故样本容量为，故A正确；
对B，当时，满意的人数为，故满意度为，故B错误；
对C，总体中对方式二满意的学生约为人，故C正确；
对D，样本中对方式一满意的学生为人，故D正确；
故选：B
12．（2022秋·广东深圳·高一深圳中学校考期末）甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙成绩的平均数分别为，，标准差分别为，，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】利用甲、乙两名同学6次考试的成绩统计及平均数和方差的定义求解即可．
【详解】由甲乙两名同学6次考试的成绩统计图知：
甲组数据靠上，乙组数据靠下，
甲组数据相对集中，乙组数据相对分散分散布，
由甲乙两组数据的平均数分别为，标准差分别为，
得，．
故选：C．
二、多选题
13．（2022春·广东阳江·高一校考期末）为丰富老年人的业余生活，某小区组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个兴趣社团，该小区共有2000名老年人，每位老人依据自己兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加朗诵社的老人有8名，参加太极拳社团的有12名，则（ ）
A．这五个社团的总人数为100
B．脱口秀社团的人数占五个社团总人数的20%
C．这五个社团总人数占该小区老年人数的4%
D．从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为40%
【答案】BC
【分析】A选项，根据参加朗诵社的老人有8名，占五个社团的总人数的，求出五个社团的总人数；B选项，求出参加太极拳社团的人数占五个社团的总人数的百分比，从而求出脱口秀社团的人数占五个社团总人数的百分比；C选项，用五个社团总人数除以2000求出百分比；D选项，来自脱口秀社团和来自舞蹈社团的概率之和为结果.
【详解】参加朗诵社的老人有8名，占五个社团的总人数的，故总人数为，A错误；
参加太极拳社团的人数为12，占五个社团的总人数的，
所以脱口秀社团的人数占五个社团总人数的，B正确；
这五个社团总人数占该小区老年人数的，C正确；
从这五个杜团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为，D错误.
故选：BC
14．（2022春·广东·高一校联考期末）小明用某款手机性能测试APP对10部不同品牌的手机的某项性能进行测试，所得的分数按从小到大的顺序（相等数据相邻排列）排列为：81，84，84，87，，y，93，96，96，99，已知总体的中位数为90，则（ ）
A．
B．该组数据的均值一定为90
C．该组数据的众数一定为84和96
D．若要使该总体的标准差最小，则
【答案】ABD
【分析】依题意可得，即可求出平均数，即可判断A、B，再利用特殊值判断C，利用基本不等式判断D；
【详解】解：因为总体的中位数为90，所以，所以该组数据的均值为，故A正确，B正确，当时，众数为84，90，96，当，时，众数为84，87，93，96，故C错误；要使该总体的标准差最小，即方差最小，即最小，又，当且仅当时，即时等号成立，故D正确．
故选：ABD
15．（2022春·广东惠州·高一统考期末）将一组数据从小到大排列为：，中位数和平均数均为a，方差为，从中去掉第6项，从小到大排列为：，方差为，则下列说法中一定正确的是（ ）
A． B．的中位数为a
C．的平均数为a D．
【答案】AC
【分析】由中位数的定义即可判断A、B选项；由平均数的定义即可判断C选项；由方差的定义即可判断D选项.
【详解】由的中位数和平均数均为a，可知，，故A正确；
的中位数为，不一定等于，故的中位数不一定为a，B错误；
，故的平均数为a，C正确；
，由于，
故，
故，D错误.
故选：AC.
16．（2022春·广东茂名·高一统考期末）一种新冠病毒变种在多个国家和地区蔓延扩散，令全球再度人心惶惶．据悉，新冠病毒变种被世界卫生组织定义为“关切变异株”，被命名为奥密克戎（Omicron）．根据初步研究发现，奥密克戎变异株比贝塔（Beta）变异株和德尔塔（Delta）变异株具有更多突变，下图是某地区奥密克戎等病毒致病比例（新增病例占比）随时间变化的对比图，则下列说法正确的有（ ）
A．奥密克戎变异株感染的病例不到天占据新增病例的多
B．德尔塔变异株用了天占据该地区约的新增病例
C．贝塔变异株的传染性比德尔塔变异株的传染性强
D．德尔塔变异株感染的病例占新增病例用了约天
【答案】AD
【分析】根据统计图逐项判断可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，奥密克戎变异株感染的病例不到天占据新增病例的多，A对；
对于B选项，德尔塔变异株用了近天占据该地区约的新增病例，B错；
对于C选项，德尔塔变异株感染的病例占新增病例的用了近天左右，
而贝塔变异株感染的病例占新增病例的所用时间超过了天，C错；
对于D选项，德尔塔变异株感染的病例占新增病例用了约天，D对.
故选：AD.
17．（2022春·广东深圳·高一统考期末）根据第七次全国人口普查结果，女性人口约为68844万人，总人口性别比（以女性为100，男性对女性的比例）为105.07，与2010年第六次全国人口普查基本持平.根据下面历次人口普查人口性别构成统计图，下面说法正确的是（ ）
A．近20年来，我国总人口性别比呈递减趋势
B．历次人口普查，2000年我国总人口性别比最高
C．根据第七次全国人口普查总人口性别比，估计男性人口为72334万人
D．根据第七次全国人口普查总人口性别比，估计男性人口为73334万人
【答案】AC
【分析】根据统计图提供的数据判断.
【详解】近20年来，我国总人口性别比呈递减趋势，所以A正确；
由统计图数据知，历次人口普查，1953年我国总人口性别比最高，所以B不正确；
根据第七次全国人口普查总人口性别比，设男性人口为，
，则估计男性人口为72334万人，故C正确，D不正确.
故选：AC.
18．（2022春·广东广州·高一校联考期末）2020年前8个月各月社会消费品的零售总额增速如图所示，则下列说法正确的有（ ）
A．受疫情影响，1~2月份社会消费品的零售总额明显下降
B．社会消费品的零售总额前期增长较快，后期增长放缓
C．与6月份相比，7月份社会消费品的零售总额名义增速回升幅度有所扩大
D．与4月份相比，5月份社会消费品的零售总额实际增速回升幅度有所扩大
【答案】AB
【分析】根据图象和图中的数据逐个分析判断即可
【详解】对于选项A：由图可知，1~2月份社会消费品的零售总额名义增速和实际增速都小于0，所以1~2月份社会消费品的零售总额明显下降，故选项A正确；
对于选项B：由图可知，社会消费品的零售总额前期增长较快，后期增长较缓，所以选项B正确；
对于选项C：由图可知，6月份社会消费品的零售总额名义增速回升幅度为，7月份社会消费品的零售总额名义增速回升幅度为，所以选项C错误；
对于选项D：由图可知，4月份社会消费品的零售总额实际增速间升幅度为，5月份社会消费品的零售总额实际增速回升幅度为，所以选项D错误.
故选：AB.
19．（2022春·广东佛山·高一统考期末）广东某高校为传承粤语文化，举办了主题为“粤唱粤美好”的校园粤语歌手比赛在比赛中，由A，B两个评委小组（各9人）给参赛选手打分．根据两个评委小组对同一名选手的打分绘制成如图所示折线图，则下列说法正确的是（ ）
A．A组打分的众数为47 B．B组打分的中位数为75
C．A组的意见相对一致 D．B组打分的均值小于A组打分的均值
【答案】AC
【分析】由折线图中的数据，结合众数、中位数、平均数的定义对四个选项逐一分析判断即可．
【详解】解：由折线图可知，小组打分的分值为：42，47，45，46，50，47，50，47，
则小组打分的分值的众数为47，故选项A正确；
小组打分的分值为：55，36，70，66，75，68，68，62，58，
按照从小到大排列为：36，55，58，62，66，68，68，70，75，
中间数为66，故中位数为66，故选项B错误；
小组的打分成绩比较均匀，波动更小，故A小组意见相对一致，故选项C正确；
小组的打分分值的均值，而小组的打分分值的均值，
所以小组打分的分值的均值大于小组打分的分值的均值，故选项D错误．
故选：AC．
20．（2022春·广东茂名·高一统考期末）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规模群体感染的标准为“连续天，每天新增疑似病例不超过人”，过去天，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下：甲地：中位数为，极差为；乙地：平均数为，众数为；丙地：平均数为，中位数为；丁地：平均数为，方差为，甲、乙、丙、丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的是（ ）
A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地
【答案】ACD
【分析】计算出甲地每天新增疑似病数的最大值，可判断A；利用特例法可判断B；利用反证法可判断CD.
【详解】甲地的中位数为，极差为，所以，最大值不大于，故A符合；
若乙地过去天每天新增疑似病例人数分别为、、、、、、、、、，
则满足平均数为，众数为，但不满足每天新增疑似病例不超过人，故B不符合；
假设丙地至少有一天新增疑似病例人数超过人，
由中位数为可得平均数的最小值为，
与题意矛盾，故C符合；
假设至少有一天新增疑似病例超过人，则方差的最小值为，与题意矛盾，故D符合．
故选：ACD.
21．（2022春·广东广州·高一华南师大附中校考期末）某篮球运动员8场比赛中罚球次数的统计数据分别为：2，6，8，3，3，4，6，8，关于该组数据，下列说法正确的是（ ）
A．中位数为3 B．众数为3，6，8
C．平均数为5 D．方差为4.75
【答案】BCD
【分析】由中位数、众数、平均数及方差的概念与计算公式可得解.
【详解】将该组数据从小到大重新排列为：2,3,3,4,6,6,8,8,
所以中位数为，故A错误；
众数为出现次数最多的数，为3，6，8，故B正确；
平均数为，故C正确；
方差为，故D正确.
故选：BCD．
22．（2022秋·广东深圳·高一深圳中学校考期末）下列说法正确的是（ ）
A．数据1，2，3，3，4，5的平均数和中位数相同
B．数据6，5，4，3，3，3，2，2，1的众数为3
C．有甲、乙、丙三种个体按3：1：2的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30
D．甲组数据的方差为4，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是乙组
【答案】AB
【分析】利用平均数与中位数的定义可判断A；利用众数的定义可判断B；利用分层抽样的定义及抽样比求解判断C；利用方差的定义及意义可判断D.
【详解】对于A，平均数为，中位数为，故A正确；
对于B，数据的众数为3，故B正确；
对于C，设样本容量为x，由题知，解得，即样本容量为18，故C错误；
对于D，乙组数据的平均数为，方差为，又，所以两组数据中较稳定的是甲组，故D错误.
故选：AB
三、填空题
23．（2022春·广东佛山·高一统考期末）2022年2月20日晚，备受瞩目的第24届冬季奥运会在北京圆满落幕．这是一场疫情肆虐下的体育盛会，是一场团结、友谊、奋进、拼搏的盛会，是一场充分体现中华民族文化自信的盛会．筹备期间，某大学青年志愿者协会接到组委会志愿者服务邀请，计划从大一至大三青年志愿者中选出24名志愿者参与冬奥会的志愿服务工作．已知大一至大三的青年志愿者人数分别为50，40，30，则按分层抽样的方法，在大一青年志愿者中应选派__________人．
【答案】
【分析】根据分层抽样按比例抽取计算即可
【详解】由题意，在大一青年志愿者中应选派人
故答案为：
24．（2022春·广东中山·高一统考期末）设一组样本数据的平均数是3，则数据，，…，的平均数为__________.
【答案】7
【分析】根据平均数的性质求解即可
【详解】∵样本数据的平均数是3，
∴，
∴数据的平均数
故答案为：7
25．（2022春·广东揭阳·高一统考期末）期中考试后，班主任老师想了解全班学生的成绩情况．已知班级共有55名学生，期中考试考了语文、数学、英语、物理、化学、历史、政治、生物、地理共9门学科．在这个调查中，总体的容量是__________．
【答案】
【分析】依题意可知班主任老师想了解全班学生每个科目的成绩，即可得到总体的容量；
【详解】解：依题意班主任老师想了解全班学生的成绩情况，即了解全班学生每个科目的成绩，
所以总体的容量是.
故答案为：
26．（2022春·广东茂名·高一统考期末）北京时间2月20日，北京冬奥会比赛日收官，中国代表团最终以9枚金牌4枚银牌2枚铜共15枚奖牌的总成绩，排名奖牌榜第三，创造新的历史．据统计某高校共有本科生1600人，硕士生600人，博士生200人申请报名做志愿者，现用分层抽样方法从中抽取博士生30人，则该高校抽取的志愿者总人数为____________．
【答案】360
【分析】根据分层抽样的性质得出该高校抽取的志愿者总人数.
【详解】因为，用分层抽样方法从中抽取博士生30人，所以本科生、硕士生抽取的人数分别为人、人，则该高校抽取的志愿者总人数为.
故答案为：360
27．（2022春·广东梅州·高一统考期末）某班数学兴趣小组8名同学的数学竞赛成绩（单位：分）分别为：80，68，90，70，88，96，89，98，则该数学成绩的第80百分位数为___．
【答案】96
【分析】根据第百分位数的定义及步骤即可求解，
【详解】由题意可知，将8名同学的数学竞赛成绩按从小到大的顺序排列分别为：68，70，80，88，89，90，96，98，
由，得该数学成绩的第80百分位数为96.
故答案为：96.
28．（2022春·广东·高一校联考期末）某工厂年前加紧手套生产，设该工厂连续天生产的手套数依次为（单位：万只）．若这组数据的方差为，且，则该工厂这天平均每天生产手套___________万只．
【答案】
【分析】由可直接求得结果.
【详解】，.
故答案为：.
29．（2022春·广东肇庆·高一统考期末）一所初级中学为了估计全体学生的平均身高和方差，通过抽样的方法从初一年级随机抽取了30人，计算得这30人的平均身高为154cm，方差为30；从初二年级随机抽取了40人，计算得这40人的平均身高为167cm，方差为20；从初三年级随机抽取了30人，计算得这30人的平均身高为170cm，方差为10．依据以上数据，若用样本的方差估计全校学生身高的方差，则全校学生身高方差的估计值为_________．
【答案】64.4
【分析】利用方差及平均数公式可得， 进而即得.
【详解】初一学生的样本记为，，…，，方差记为，初二学生的样本记为，，…，，方差记为，初三学生的样本记为，，…，，方差记为．
设样本的平均数为，则，
设样本的方差为．
则
又，
故，
同理，，
因此，
．
故答案为：.
30．（2022秋·广东深圳·高一深圳中学校考期末）一组数据，…，的平均数是30，则数据，，…，的平均数是________．
【答案】61
【分析】根据平均数的性质求解即可
【详解】∵样本数据的平均数是30，∴，
∴数据的平均数
故答案为：61
四、解答题
31．（2022秋·广东江门·高一校考期末）一次高三高考适应性测试，化学、地理两选考科目考生的原始分数分布如下：
等级
A
B
C
D
E
比例
约
约
约
约
约
化学学科各等级对应的原始分区间
地理学科各等级对应的原始分区间
（1）分别求化学、地理两学科原始成绩分数的分位数的估计值（结果四舍五入取整数）；
（2）按照“”新高考方案的“等级转换赋分法”，进行等级赋分转换，求（1）中的估计值对应的等级分，并对这种“等级转换赋分法”进行评价.
附：“”新高考方案的“等级转换赋分法”
（一）等级转换的等级人数占比与各等级的转换分赋分区间
等级
A
B
C
D
E
原始分从高到低排序的等级人数占比
约
约
约
约
约
转换分T的赋分区间
（二）计算等级转换分T的等比例转换赋分公式：，其中分别表示原始分Y对应等级的原始分区间下限和上限；分别表示原始分对应等级的转换分赋分区间下限和上限（T的计算结果四舍五入取整数）.
【答案】（1）；（2）化学和地理的等级分都是，评价见解析.
【分析】（1）根据题目所给数据求得的估计值.
（2）根据赋分公式求得化学和地理的等级分，并由此进行评价.
【详解】（1）依题意，.
（2）设化学的等级分为，
则.
设地理的等级分为，
则.
等级赋分的意义是将不同科目的成绩进行比较.如果本题中和都是，说明化学分，和地理分，在考生中的排位是相同的.
32．（2022春·广东揭阳·高一统考期末）某校对学生成绩统计（折合百分制，得分为整数），考试该次竞赛的成绩分布，将样本分成5组，绘成频率分布直方图（如图），图中从左到右依次为第一组到第五组，各小组的小长方形的高的比为1∶3∶6∶4∶2，第五组的频数为12．
(1)该样本的容量是多少？
(2)该样本的第75百分位数在第几组中？
【答案】(1)
(2)第四组
【分析】（1）根据已知条件，结合频率与频数的关系，即可求解．
（2）根据已知条件，结合第75百分位数的定义，即可求解．
(1)
解：由题意可知，第五组的频率为，
则样本的容量为．
(2)
解：因为的频率为，
的频率为，
的频率为，
的频率为，
，，
该样本的第百分位数在第四组中．
33．（2022春·广东汕头·高一统考期末）有一种鱼的身体吸收汞，一定量身体中汞的含量超过其体重的（即百万分之一）的鱼被人食用后，就会对人体产生危害.在条鱼的样本中发现的汞含量（单位：）如下：
(1)因为样本数据的极差为，所以取区间为，组距为，请把频率分布表补充完整；
(2)请把频率分布直方图补充完整；
(3)求得上述样本数据的平均数为和标准差为，则在上述样本中，有多少条鱼的汞含量在以平均数为中心、倍标准差的范围内？
【答案】(1)频率分布表见解析
(2)频率分布直方图见解析
(3)
【分析】（1）根据分组、频数、频率，结合题中数据可制成频率分布表；
（2）根据频率分布表可作出频率分布直方图；
（3）求出相应的区间，结合样本数据可得结果.
（1）
解：根据题意，频率分布表如下表所示：
分组
频数
频率
合计
（2）
解：频率分布直方图如下图所示：
（3）
解：平均数为，标准差为，，，
在上述样本中，其中汞含量在范围内的鱼的条数为.
34．（2022春·广东惠州·高一统考期末）2022年4月开始，新冠奥密克戎病毒在上海等地肆虐，感染病毒人数急剧上升．全国各地积极应对，认真做好新冠病毒防控工作，实现社会面动态清零．为保障抗疫一线医疗物资的供应，惠州市某企业加班加点生产口罩、防护服，消毒水等防疫物品．在加大生产的同时，该公可狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量．该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：[40，50），[50，60），[60，70），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求出直方图中m的值：
(2)利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数．（中位数精确到0.1）
【答案】(1)
(2)平均数为，中位数为
【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程，解得即可；
（2）根据频率分布直方图中平均数、中位数计算公式计算可得；
【详解】（1）解：由频率分布直方图可得，
解得；
（2）解：平均数为
因为，，
所以中位数位于之间，
设中位数为，则，解得，
所以可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为，中位数为；
35．（2022春·广东佛山·高一统考期末）5月11日是世界防治肥胖日．我国超过一半的成年人属于超重或肥胖，6～17岁的儿童青少年肥胖率接近20%，肥胖已成为严重危害我国居民健康的公共卫生问题．目前，国际上常用身体质量指数（Body Mass Index，缩写BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康．我国成人的BMI数值标准为：BMI<18.5为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．为了解某公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取了60名男员工、40名女员工的身高和体重数据，通过计算得到男女员工的BMI值并将女员工的BMI值绘制成如图所示的频率分布直方图：
(1)求图中a的值，并估计样本中女员工BMI值的中位数；
(2)已知样本中男员工BMI值的平均数为22，试估计该公司员工BMI值的平均数．
【答案】(1)，估计样本中女员工BMI值的中位数为
(2)
【分析】（1）根据频率直方图的矩形面积之和为1求解a的值，再根据中位数左边的频率和为0.5求解中位数即可；
（2）先根据频率分布直方图计算女员工的平均BMI值，再求解该公司员工BMI值的平均数即可
（1）
由题意，，解得.因为，，故中位数在之间，设为，则，解得.故估计样本中女员工BMI值的中位数为
（2）
由题意，样本中女员工BMI值的平均数为，故估计该公司员工BMI值的平均数
36．（2022春·广东韶关·高一统考期末）为弘扬我国优秀传统文化，某校组织了高一年级学生进行这方面的知识测试．根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示．
(1)求图中a的值；
(2)试估计高一级本次知识测试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(3)该校准备对本次知识测试成绩优秀（将成绩从高到低排列，排在前15%的为优秀）的学生进行嘉奖，则受嘉奖的学生分数不低于多少？（结果保留一位小数）
【答案】(1)；
(2)71；
(3)86.7
【分析】（1）直接由频率和为1求解即可；
（2）由每组区间的中点值乘该组频率，再求和即可求解；
（3）先利用频率确定受嘉奖学生最低分所在区间，再由方程求解即可.
（1）
由，解得；
（2）
，故本次知识测试成绩的平均分为71；
（3）
设受嘉奖的学生分数不低于x分，因为，对应的频率和为，对应的频率，
故，所以，解得．故受嘉奖的学生分数不低于86.7．
37．（2022春·广东茂名·高一统考期末）某单位为了了解退休职工生活情况，对50名退休职工做了一次问卷调查，满分100分，并从中随机抽取了10名退休职工的问卷，得分情况统计如下：
分数
77
79
81
84
88
92
93
人数
1
1
1
3
2
1
1
试回答以下问题：
(1)求抽取的10名退休职工问卷得分的均值和方差.
(2)10名退休职工问卷得分在与之间有多少人？这些人占10名退休职工的百分比为多少？
【答案】(1)，
(2)6人，占
【分析】（1）根据平均数和方差的计算公式直接求解即可，
（2）由（1）直接计算和，再找在这之间的人数，从而可求出百分比
(1)
抽取的10名退休职工问卷得分的均值为
，
抽取的10名退休职工问卷得分的方差为
(2)
由（1）可得，
所以，，
所以10名退休职工问卷得分在与之间有6人，占的百分比为
38．（2022春·广东阳江·高一校考期末）某精准扶贫帮扶单位为帮助定点扶贫村真正脱贫，决定在该村兴办一个年产量为1000万块的瓷砖厂，以吸纳富余劳动力，提高村民收入.已知瓷砖的质量以某质量指标值t(单位：分，t∈[0，100])为衡量标准，为估算其经济效益，该瓷砖厂进行了试产，并从中随机抽取了100块瓷砖，进行了统计，其统计结果如表所示：
质量指标值t
[30，40)
[40，50)
[50，60)
[60，70)
[70，80]
[80，90)
[90，100]
频数
2
13
21
25
24
11
4
试利用样本分布估计总体分布的思想解决下列问题(注：每组数据取区间的中点值).
（1）在一天内抽检瓷砖，若出现了瓷砖的质量指标值t在区间内，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，其中近似为样本平均数，s近似为样本的标准差，并已求得s≈14.若某天抽检到的瓷砖有1块的t值为20分，则从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？
（2）已知每块瓷砖的质量指标值t与等级及纯利润y(单位：元)的关系如表所示：
质量指标值t
[0，40)
[40，60)
[60，80)
[80，90)
[90，100]
产品等级
次品
三级
二级
一级
特级
纯利润(元/块)
﹣10
1
3
5
10
假定该瓷砖厂所生产的瓷砖都能销售出去，且瓷砖厂的总投资为3000万元(含引进生产线､兴建厂房等一切费用在内)，问：该厂能否在一年之内通过生产并销售瓷砖收回投资？试说明理由.
【答案】（1）应对当天的生产过程进行检查；（2）该瓷砖厂不能在一年之内通过生产并销售瓷砖收回投资，理由见解析.
【分析】（1）由平均数计算公式求得，从而可得﹣3s，判断20是否在区间[0，﹣3s)内，即可得出结论；
（2）列表可得瓷砖的质量指标值t与对应频率，由平均数公式可求得样本中每块瓷砖的平均利润，利用样本平均数估计总体平均数，计算可得该瓷砖厂的年盈利，与总投资3000作比较，即可得出结论.
【详解】解：（1）根据表中数据，
可得=×(35×2+45×13+55×21+65×25+75×24+85×11+95×4)=65.5，
又s≈14，
所以﹣3s≈65.5﹣3×14=23.5，
而20<23.5，即抽检到的这块瓷砖的t值在区间[0，﹣3s)内，
故应对当天的生产过程进行检查.
（2）由题意可知，瓷砖的质量指标值t与对应频率如下表所示：
质量指标值t
[0，40)
[40，60)
[60，80)
[80，90)
[90，100]
产品等级
次品
三级
二级
一级
特级
纯利润(元/块)
﹣10
1
3
5
10
频率
0.02
0.34
0.49
0.11
0.04
故样本中每块瓷砖的平均利润为=﹣10×0.02+1×0.34+3×0.49+5×0.11+10×0.04=2.56(元)，
利用样本平均数估计总体平均数，可得该瓷砖厂的年盈利大约为2.56×1000=2560(万元)，
而2560万元<3000万元，
故该瓷砖厂不能在一年之内通过生产并销售瓷砖收回投资.
【点睛】平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小．
39．（2022春·广东揭阳·高一统考期末）《中国制造2025》是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领，制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基．发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线某电子产品制造企业为了提升生产效率，对现有的一条电子产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的电子产品中随机抽取了1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表（单位：件）
质量指标值
产品
60
100
160
300
200
100
80
(1)估计产品的某项质量指标值的70百分位数.
(2)估计这组样本的质量指标值的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）；
(3)设表示不大于x的最大整数，表示不小于x的最小整数，s精确到个位，，，，根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有65%落在内，则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定；若有95%落在内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，可认为生产线技术改造成功．请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造是成功的？（参考数据： ，）
【答案】(1)69
(2)平均数61和方差241
(3)不能判定生产线技术改造成功
【分析】（1）由可求得结果；
（2）根据平均值和方差公式求解即可得解；
（3）根据定义求出，再根据频率分布表可求出结果.
(1)
设产品的某项质量指标值的70百分位数为，则，解得.
所以估计产品的某项质量指标值的70百分位数为.
(2)
由题，可知
．
．
(3)
由知，，
则，，
该抽样数据落在内的频率约为；
又，，
该抽样数据落在内的频率约为，
∴可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但不能判定生产线技术改造成功．
40．（2022春·广东深圳·高一统考期末）（身体质量指数）是目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准，其计算公式是：.在我国，成人的数值参考标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖.某大学为了解学生的身体肥胖情况，研究人员从学校的学生体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取了60名男学生，40名女学生的身高体重数据，计算出他（她）们的，整理得到如下的频率分布表和频率分布直方图.同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，用样本估计总体.
分组
频数
频率
15
0.15
40
0.40
30
0.30
10
0.10
5
0.05
合计
100
1.00
(1)根据及频率分布直方图，估计该校学生为肥胖的百分比；
(2)已知样本中60名男学生的平均数为，根据频率分布直方图，估计样本中40名女学生的平均数.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由频率分布直方图求得的频率，从而可得该校学生为肥胖的百分比；
（2）先根据频率分布直方图求出样本的的平均数，再根据样本的的平均数等于，即可得解.
(1)
解：由频率分布直方图可知的频率为，
所以的频率为，
所以估计该校学生为肥胖的百分比为；
(2)
解：样本的的平均数为，
则，
解得，
所以估计样本中40名女学生的平均数.
41．（2022春·广东广州·高一统考期末）为庆祝“五四”青年节，广州市有关单位举行了“五四”青年节团知识竞赛活动，为了解全市参赛者成绩的情况，从所有参赛者中随机抽样抽取100名，将其成绩整理后分为6组，画出频率分布直方图如图所示（最低90分，最高150分），但是第一、二两组数据丢失，只知道第二组的频率是第一组的2倍．
(1)求第一组、第二组的频率各是多少？并补齐频率分布直方图；
(2)现划定成绩大于或等于上四分位数即第75百分位数为“良好”以上等级，根据直方图，估计全市“良好”以上等级的成绩范围（保留1位小数）；
(3)现知道直方图中成绩在内的平均数为136，方差为8，在内的平均数为144，方差为4，求成绩在内的平均数和方差．
【答案】(1)第一组的频率为，则第二组的频率为，频率分布直方图见解析；
(2)
(3)平均数为，方差为
【分析】（1）设第一组的频率为，则第二组的频率为，根据所有的频率之和为得到方程，即可求出，即可补全频率分布直方图；
（2）按照百分位数计算规则计算可得；
（3）按照平均数、方差公式计算可得；
(1)
解：设第一组的频率为，则第二组的频率为，依题意，解得，
所以第一组的频率为，则第二组的频率为，
补全频率分布直方图如下：
(2)
解：由，设上四分位数为，则，
所以，解得，
所以全市“良好”以上等级的成绩范围；
(3)
解：由频率分布直方图可知中有人，设为，
则
，
则
中有人，设为，
则
，
则
所以成绩在内的平均数为；
所以
所以方差为
42．（2022春·广东梅州·高一统考期末）梅州市沙田柚根据色泽、果面、风味等评分指标打分，得分在区间（0，25]，（25，50]，（50，75]，（75，100]内分别评定为三级柚、二级柚、一级柚，特级柚，某经销商从我市柚农手中收购一批沙田柚，共M袋（每袋50kg），并随机抽取20袋分别进行检测评级，得分数据的频率分布直方图如图所示：
(1)求a的值，并用样本估计该经销商采购的这批沙田柚的平均得分；
(2)该经销商计划在下面两个方案中选择一个作为销售方案：
方案1：将采购的这批沙田柚不经检测，统一按每袋350元直接售出；
方案2：将采购的这批沙田柚逐袋检测分级，并将每袋沙田柚重新包装成5小袋（每小袋10kg），检测分级所需费用和人工费平均每袋20元，各等级沙田柚每小袋的售价和包装材料成本如下表所示：
沙田柚等级
三级
二级
一级
特级
售价（元/小袋）
55
68
85
98
包装材料成本（元/小装）
2
2
4
5
假设这批沙田柚各级比例按前面随机抽取的20袋的样本结果估计，并可以全部销售出去，那么该经销商采用哪种销售方案所得利润更大？请通过计算说明理由．
【答案】(1)；估计经销商采购的这批沙田柚的平均得分为；
(2)该经销商采用方案所得利润更大，理由见解析.
【分析】（1）利用频率分布直方图中所有小长方形的面积之和为1，结合在频率分布直方图中，平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和即可求解；
（2）根据已知条件分别算出两种方案的利润，然后比较两种方案利润的大小即可求解.
（1）
因为，所以，
于是
所以估计经销商采购的这批沙田柚的平均得分为.
（2）
若经销商采用方案，则收入为元.
若经销商采用方案，则有：
袋沙田柚中三级沙田柚约袋，小袋，
二级沙田柚约袋，小袋，
一级沙田柚约袋，小袋，
特级沙田柚约袋，小袋.
袋沙田柚共卖：
元，
袋沙田柚的包装袋成本为：
元，
所以方案2的利润为元，
因为，且袋沙田柚成本相同，
所以该经销商采用方案所得利润更大.
期末专题10 统计综合
一、单选题
1．（2022春·广东东莞·高一统考期末）已知树人中学高一年级总共有学生人，其中男生人，按男生、女生进行分层，并按比例分配抽取名学生参加湿地保护知识竞赛，已知参赛学生中男生比女生多人，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分层抽样的性质直接计算.
【详解】由已知可得参赛的男生有人，
故参赛的女生有人，
参赛人数共人，
所以高一年级总人数为人，
即，
故选：B.
2．（2022春·广东肇庆·高一统考期末）数据3，4，5，6，7，8，9，10的80%分位数为（ ）
A．8 B．9 C．6.4 D．8.4
【答案】B
【分析】根据百分位数的计算即可求解.
【详解】数据3，4，5，6，7，8，9，10的80%分位数是第7个数，为9．
故选:B．
3．（2022春·广东清远·高一统考期末）下列调查中，调查方式选择合理的是（ ）
A．了解某市高一年级学生的身高情况，选择普查
B．了解长征运载火箭的设备零件质量情况，选择抽样调查
C．了解一批待售袋装牛奶的细菌数是否达标，选择普查
D．了解一批炮弹的杀伤力，选择抽样调查
【答案】D
【分析】根据调查方式的特点逐个辨析即可
【详解】AC总量太大不适合普查，B应该普查，根据抽样调查和普查的特点即可判断D正确.
故选：D
4．（2022春·广东湛江·高一统考期末）某学校有高中学生2000人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为700，660，640.为调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为100的样本，那么应抽取高二年级学生的人数为（ ）
A．32 B．33 C．64 D．66
【答案】B
【分析】根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比上总体容量，按此比例求出在各年级中抽取的人数.
【详解】解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为，
则高二年级抽取的人数是人，
故选:B．
5．（2022春·广东佛山·高一统考期末）2020年，我国进行了第七次全国人口普查，根据普查结果，2020年11月1日零时佛山市常住人口为9498863人，其中禅城区、南海区、顺德区、三水区、高明区常住人口比重分别为：14%、38.61%、33.99%、8.46%、4.94%，则这组数据的上四分位数（即第75百分位数）是（ ）
A．8.46% B．14% C．33.99% D．38.61%
【答案】C
【分析】将数据由小到大排列，然后根据百分位数的定义直接计算可得.
【详解】由小到大排列：4.94%、8.46%、14%、33.99%、38.61%.
因为，所以四分位数为.
故选：C
6．（2022春·广东肇庆·高一统考期末）某中学高一年级有女生380人，男生420人，学校想通过抽样的方法估计高一年级全体学生的平均体重．学校从女生和男生中抽取的样本分别为40和80，经计算这40个女生的平均体重为49kg，80个男生的平均体重为57kg，依据以上条件，估计高一年级全体学生的平均体重最合理的计算方法为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用比例分配的分层随机抽样计算可得答案.
【详解】用女生样本的平均体重49kg估计女生总体的平均体重，用男生样本的平均体重57kg估计男生总体的平均体重，按女生和男生在总人数中的比例计算总体的平均体重，所以D选项最合理.
故选：D．
7．（2022春·广东韶关·高一统考期末）某社区为迎接2022农历虎年，组织了庆祝活动，已知参加活动的老年人、中年人、青年人的人数比为12：15：13，如果采用分层抽样的方法从所有人中抽取一个80人的样本进行调查，则应抽取的青年人的人数为（ ）
A．20 B．22 C．24 D．26
【答案】D
【分析】由分层抽样抽样比可得答案.
【详解】由分层抽样可知，抽取青年人人数为.
故选：D．
8．（2022春·广东梅州·高一统考期末）某高中开展学生视力水平的调查活动，已知该校高一年级有学生1050人，高二年级有学生1000人，高三年级有学生950人，现需要从全校学生中用分层抽样的方法抽取100人进行调查，则应从高一学生中抽取的人数为（ ）
A．30 B．33 C．35 D．36
【答案】C
【分析】根据分层抽样的比例求解即可.
【详解】根据分层抽样的方法,应从高一学生中抽取的人数为．
故选：C.
9．（2022春·广东潮州·高一统考期末）一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4，，7，8（其中），若该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的方差和第60百分位数是（ ）
A．，5 B．5，5 C．，6 D．5，6
【答案】C
【分析】由题意，根据中位数和众数的定义有，解得，从而可求该组数据的平均数，进而可求该组数据的方差；根据第百分位数的计算方法，由于，所以该组数据的第60百分位数是该组数据按从小到大的顺序排列后的第4位数.
【详解】解：由题意知，，解得，
所以该组数据的平均数为，
所以该组数据的方差是．
因为，所以该组数据的第60百分位数是该组数据按从小到大的顺序排列后的第4位数，即是6.
故选：C.
10．（2022春·广东惠州·高一统考期末）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和估计抽取的高中生近视人数分别为（ ）
A．180，40 B．180，20 C．180，10 D．100，10
【答案】B
【分析】利用总量乘以抽取比例即可得到样本容量；根据图表可知高中生近视率 从而估计抽取的高中生近视人数
【详解】所有学生数为3000+4000+2000=9000，故样本容量为 9000×2%=180，
根据图甲以及抽取百分比可知，样本中高中生人数为2000×2%=40，
根据图乙可知，抽取的高中生近视人数为40×50%=20，
故选：B．
11．（2022春·广东·高一校联考期末）五月初，受疫情影响线下课暂停，某校组织学生居家通过三种方式自主学习，每种学习方式人数分布如图1所示，解封后为了解学生对这三种学习方式的满意程度，利用分层抽样的方法抽取4%的同学进行满意率调查，得到的数据如图2所示． 则下列说法中不正确的是（ ）
A．样本容量为240
B．若，则本次自主学习学生的满意度不低于四成
C．总体中对方式二满意的学生约为300人
D．样本中对方式一满意的学生为24人
【答案】B
【分析】对A，根据总人数抽取4%的同学进行计算判断即可；
对B，根据统计图计算样本总体满意度进行判断即可；
对C，根据方式二中总人数和样本满意度计算判断即可；
对D，根据满意率计算即可
【详解】对A，由饼图可得总人数为，故样本容量为，故A正确；
对B，当时，满意的人数为，故满意度为，故B错误；
对C，总体中对方式二满意的学生约为人，故C正确；
对D，样本中对方式一满意的学生为人，故D正确；
故选：B
12．（2022秋·广东深圳·高一深圳中学校考期末）甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙成绩的平均数分别为，，标准差分别为，，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】利用甲、乙两名同学6次考试的成绩统计及平均数和方差的定义求解即可．
【详解】由甲乙两名同学6次考试的成绩统计图知：
甲组数据靠上，乙组数据靠下，
甲组数据相对集中，乙组数据相对分散分散布，
由甲乙两组数据的平均数分别为，标准差分别为，
得，．
故选：C．
二、多选题
13．（2022春·广东阳江·高一校考期末）为丰富老年人的业余生活，某小区组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个兴趣社团，该小区共有2000名老年人，每位老人依据自己兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加朗诵社的老人有8名，参加太极拳社团的有12名，则（ ）
A．这五个社团的总人数为100
B．脱口秀社团的人数占五个社团总人数的20%
C．这五个社团总人数占该小区老年人数的4%
D．从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为40%
【答案】BC
【分析】A选项，根据参加朗诵社的老人有8名，占五个社团的总人数的，求出五个社团的总人数；B选项，求出参加太极拳社团的人数占五个社团的总人数的百分比，从而求出脱口秀社团的人数占五个社团总人数的百分比；C选项，用五个社团总人数除以2000求出百分比；D选项，来自脱口秀社团和来自舞蹈社团的概率之和为结果.
【详解】参加朗诵社的老人有8名，占五个社团的总人数的，故总人数为，A错误；
参加太极拳社团的人数为12，占五个社团的总人数的，
所以脱口秀社团的人数占五个社团总人数的，B正确；
这五个社团总人数占该小区老年人数的，C正确；
从这五个杜团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为，D错误.
故选：BC
14．（2022春·广东·高一校联考期末）小明用某款手机性能测试APP对10部不同品牌的手机的某项性能进行测试，所得的分数按从小到大的顺序（相等数据相邻排列）排列为：81，84，84，87，，y，93，96，96，99，已知总体的中位数为90，则（ ）
A．
B．该组数据的均值一定为90
C．该组数据的众数一定为84和96
D．若要使该总体的标准差最小，则
【答案】ABD
【分析】依题意可得，即可求出平均数，即可判断A、B，再利用特殊值判断C，利用基本不等式判断D；
【详解】解：因为总体的中位数为90，所以，所以该组数据的均值为，故A正确，B正确，当时，众数为84，90，96，当，时，众数为84，87，93，96，故C错误；要使该总体的标准差最小，即方差最小，即最小，又，当且仅当时，即时等号成立，故D正确．
故选：ABD
15．（2022春·广东惠州·高一统考期末）将一组数据从小到大排列为：，中位数和平均数均为a，方差为，从中去掉第6项，从小到大排列为：，方差为，则下列说法中一定正确的是（ ）
A． B．的中位数为a
C．的平均数为a D．
【答案】AC
【分析】由中位数的定义即可判断A、B选项；由平均数的定义即可判断C选项；由方差的定义即可判断D选项.
【详解】由的中位数和平均数均为a，可知，，故A正确；
的中位数为，不一定等于，故的中位数不一定为a，B错误；
，故的平均数为a，C正确；
，由于，
故，
故，D错误.
故选：AC.
16．（2022春·广东茂名·高一统考期末）一种新冠病毒变种在多个国家和地区蔓延扩散，令全球再度人心惶惶．据悉，新冠病毒变种被世界卫生组织定义为“关切变异株”，被命名为奥密克戎（Omicron）．根据初步研究发现，奥密克戎变异株比贝塔（Beta）变异株和德尔塔（Delta）变异株具有更多突变，下图是某地区奥密克戎等病毒致病比例（新增病例占比）随时间变化的对比图，则下列说法正确的有（ ）
A．奥密克戎变异株感染的病例不到天占据新增病例的多
B．德尔塔变异株用了天占据该地区约的新增病例
C．贝塔变异株的传染性比德尔塔变异株的传染性强
D．德尔塔变异株感染的病例占新增病例用了约天
【答案】AD
【分析】根据统计图逐项判断可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，奥密克戎变异株感染的病例不到天占据新增病例的多，A对；
对于B选项，德尔塔变异株用了近天占据该地区约的新增病例，B错；
对于C选项，德尔塔变异株感染的病例占新增病例的用了近天左右，
而贝塔变异株感染的病例占新增病例的所用时间超过了天，C错；
对于D选项，德尔塔变异株感染的病例占新增病例用了约天，D对.
故选：AD.
17．（2022春·广东深圳·高一统考期末）根据第七次全国人口普查结果，女性人口约为68844万人，总人口性别比（以女性为100，男性对女性的比例）为105.07，与2010年第六次全国人口普查基本持平.根据下面历次人口普查人口性别构成统计图，下面说法正确的是（ ）
A．近20年来，我国总人口性别比呈递减趋势
B．历次人口普查，2000年我国总人口性别比最高
C．根据第七次全国人口普查总人口性别比，估计男性人口为72334万人
D．根据第七次全国人口普查总人口性别比，估计男性人口为73334万人
【答案】AC
【分析】根据统计图提供的数据判断.
【详解】近20年来，我国总人口性别比呈递减趋势，所以A正确；
由统计图数据知，历次人口普查，1953年我国总人口性别比最高，所以B不正确；
根据第七次全国人口普查总人口性别比，设男性人口为，
，则估计男性人口为72334万人，故C正确，D不正确.
故选：AC.
18．（2022春·广东广州·高一校联考期末）2020年前8个月各月社会消费品的零售总额增速如图所示，则下列说法正确的有（ ）
A．受疫情影响，1~2月份社会消费品的零售总额明显下降
B．社会消费品的零售总额前期增长较快，后期增长放缓
C．与6月份相比，7月份社会消费品的零售总额名义增速回升幅度有所扩大
D．与4月份相比，5月份社会消费品的零售总额实际增速回升幅度有所扩大
【答案】AB
【分析】根据图象和图中的数据逐个分析判断即可
【详解】对于选项A：由图可知，1~2月份社会消费品的零售总额名义增速和实际增速都小于0，所以1~2月份社会消费品的零售总额明显下降，故选项A正确；
对于选项B：由图可知，社会消费品的零售总额前期增长较快，后期增长较缓，所以选项B正确；
对于选项C：由图可知，6月份社会消费品的零售总额名义增速回升幅度为，7月份社会消费品的零售总额名义增速回升幅度为，所以选项C错误；
对于选项D：由图可知，4月份社会消费品的零售总额实际增速间升幅度为，5月份社会消费品的零售总额实际增速回升幅度为，所以选项D错误.
故选：AB.
19．（2022春·广东佛山·高一统考期末）广东某高校为传承粤语文化，举办了主题为“粤唱粤美好”的校园粤语歌手比赛在比赛中，由A，B两个评委小组（各9人）给参赛选手打分．根据两个评委小组对同一名选手的打分绘制成如图所示折线图，则下列说法正确的是（ ）
A．A组打分的众数为47 B．B组打分的中位数为75
C．A组的意见相对一致 D．B组打分的均值小于A组打分的均值
【答案】AC
【分析】由折线图中的数据，结合众数、中位数、平均数的定义对四个选项逐一分析判断即可．
【详解】解：由折线图可知，小组打分的分值为：42，47，45，46，50，47，50，47，
则小组打分的分值的众数为47，故选项A正确；
小组打分的分值为：55，36，70，66，75，68，68，62，58，
按照从小到大排列为：36，55，58，62，66，68，68，70，75，
中间数为66，故中位数为66，故选项B错误；
小组的打分成绩比较均匀，波动更小，故A小组意见相对一致，故选项C正确；
小组的打分分值的均值，而小组的打分分值的均值，
所以小组打分的分值的均值大于小组打分的分值的均值，故选项D错误．
故选：AC．
20．（2022春·广东茂名·高一统考期末）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规模群体感染的标准为“连续天，每天新增疑似病例不超过人”，过去天，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下：甲地：中位数为，极差为；乙地：平均数为，众数为；丙地：平均数为，中位数为；丁地：平均数为，方差为，甲、乙、丙、丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的是（ ）
A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地
【答案】ACD
【分析】计算出甲地每天新增疑似病数的最大值，可判断A；利用特例法可判断B；利用反证法可判断CD.
【详解】甲地的中位数为，极差为，所以，最大值不大于，故A符合；
若乙地过去天每天新增疑似病例人数分别为、、、、、、、、、，
则满足平均数为，众数为，但不满足每天新增疑似病例不超过人，故B不符合；
假设丙地至少有一天新增疑似病例人数超过人，
由中位数为可得平均数的最小值为，
与题意矛盾，故C符合；
假设至少有一天新增疑似病例超过人，则方差的最小值为，与题意矛盾，故D符合．
故选：ACD.
21．（2022春·广东广州·高一华南师大附中校考期末）某篮球运动员8场比赛中罚球次数的统计数据分别为：2，6，8，3，3，4，6，8，关于该组数据，下列说法正确的是（ ）
A．中位数为3 B．众数为3，6，8
C．平均数为5 D．方差为4.75
【答案】BCD
【分析】由中位数、众数、平均数及方差的概念与计算公式可得解.
【详解】将该组数据从小到大重新排列为：2,3,3,4,6,6,8,8,
所以中位数为，故A错误；
众数为出现次数最多的数，为3，6，8，故B正确；
平均数为，故C正确；
方差为，故D正确.
故选：BCD．
22．（2022秋·广东深圳·高一深圳中学校考期末）下列说法正确的是（ ）
A．数据1，2，3，3，4，5的平均数和中位数相同
B．数据6，5，4，3，3，3，2，2，1的众数为3
C．有甲、乙、丙三种个体按3：1：2的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30
D．甲组数据的方差为4，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是乙组
【答案】AB
【分析】利用平均数与中位数的定义可判断A；利用众数的定义可判断B；利用分层抽样的定义及抽样比求解判断C；利用方差的定义及意义可判断D.
【详解】对于A，平均数为，中位数为，故A正确；
对于B，数据的众数为3，故B正确；
对于C，设样本容量为x，由题知，解得，即样本容量为18，故C错误；
对于D，乙组数据的平均数为，方差为，又，所以两组数据中较稳定的是甲组，故D错误.
故选：AB
三、填空题
23．（2022春·广东佛山·高一统考期末）2022年2月20日晚，备受瞩目的第24届冬季奥运会在北京圆满落幕．这是一场疫情肆虐下的体育盛会，是一场团结、友谊、奋进、拼搏的盛会，是一场充分体现中华民族文化自信的盛会．筹备期间，某大学青年志愿者协会接到组委会志愿者服务邀请，计划从大一至大三青年志愿者中选出24名志愿者参与冬奥会的志愿服务工作．已知大一至大三的青年志愿者人数分别为50，40，30，则按分层抽样的方法，在大一青年志愿者中应选派__________人．
【答案】
【分析】根据分层抽样按比例抽取计算即可
【详解】由题意，在大一青年志愿者中应选派人
故答案为：
24．（2022春·广东中山·高一统考期末）设一组样本数据的平均数是3，则数据，，…，的平均数为__________.
【答案】7
【分析】根据平均数的性质求解即可
【详解】∵样本数据的平均数是3，
∴，
∴数据的平均数
故答案为：7
25．（2022春·广东揭阳·高一统考期末）期中考试后，班主任老师想了解全班学生的成绩情况．已知班级共有55名学生，期中考试考了语文、数学、英语、物理、化学、历史、政治、生物、地理共9门学科．在这个调查中，总体的容量是__________．
【答案】
【分析】依题意可知班主任老师想了解全班学生每个科目的成绩，即可得到总体的容量；
【详解】解：依题意班主任老师想了解全班学生的成绩情况，即了解全班学生每个科目的成绩，
所以总体的容量是.
故答案为：
26．（2022春·广东茂名·高一统考期末）北京时间2月20日，北京冬奥会比赛日收官，中国代表团最终以9枚金牌4枚银牌2枚铜共15枚奖牌的总成绩，排名奖牌榜第三，创造新的历史．据统计某高校共有本科生1600人，硕士生600人，博士生200人申请报名做志愿者，现用分层抽样方法从中抽取博士生30人，则该高校抽取的志愿者总人数为____________．
【答案】360
【分析】根据分层抽样的性质得出该高校抽取的志愿者总人数.
【详解】因为，用分层抽样方法从中抽取博士生30人，所以本科生、硕士生抽取的人数分别为人、人，则该高校抽取的志愿者总人数为.
故答案为：360
27．（2022春·广东梅州·高一统考期末）某班数学兴趣小组8名同学的数学竞赛成绩（单位：分）分别为：80，68，90，70，88，96，89，98，则该数学成绩的第80百分位数为___．
【答案】96
【分析】根据第百分位数的定义及步骤即可求解，
【详解】由题意可知，将8名同学的数学竞赛成绩按从小到大的顺序排列分别为：68，70，80，88，89，90，96，98，
由，得该数学成绩的第80百分位数为96.
故答案为：96.
28．（2022春·广东·高一校联考期末）某工厂年前加紧手套生产，设该工厂连续天生产的手套数依次为（单位：万只）．若这组数据的方差为，且，则该工厂这天平均每天生产手套___________万只．
【答案】
【分析】由可直接求得结果.
【详解】，.
故答案为：.
29．（2022春·广东肇庆·高一统考期末）一所初级中学为了估计全体学生的平均身高和方差，通过抽样的方法从初一年级随机抽取了30人，计算得这30人的平均身高为154cm，方差为30；从初二年级随机抽取了40人，计算得这40人的平均身高为167cm，方差为20；从初三年级随机抽取了30人，计算得这30人的平均身高为170cm，方差为10．依据以上数据，若用样本的方差估计全校学生身高的方差，则全校学生身高方差的估计值为_________．
【答案】64.4
【分析】利用方差及平均数公式可得， 进而即得.
【详解】初一学生的样本记为，，…，，方差记为，初二学生的样本记为，，…，，方差记为，初三学生的样本记为，，…，，方差记为．
设样本的平均数为，则，
设样本的方差为．
则
又，
故，
同理，，
因此，
．
故答案为：.
30．（2022秋·广东深圳·高一深圳中学校考期末）一组数据，…，的平均数是30，则数据，，…，的平均数是________．
【答案】61
【分析】根据平均数的性质求解即可
【详解】∵样本数据的平均数是30，∴，
∴数据的平均数
故答案为：61
四、解答题
31．（2022秋·广东江门·高一校考期末）一次高三高考适应性测试，化学、地理两选考科目考生的原始分数分布如下：
等级
A
B
C
D
E
比例
约
约
约
约
约
化学学科各等级对应的原始分区间
地理学科各等级对应的原始分区间
（1）分别求化学、地理两学科原始成绩分数的分位数的估计值（结果四舍五入取整数）；
（2）按照“”新高考方案的“等级转换赋分法”，进行等级赋分转换，求（1）中的估计值对应的等级分，并对这种“等级转换赋分法”进行评价.
附：“”新高考方案的“等级转换赋分法”
（一）等级转换的等级人数占比与各等级的转换分赋分区间
等级
A
B
C
D
E
原始分从高到低排序的等级人数占比
约
约
约
约
约
转换分T的赋分区间
（二）计算等级转换分T的等比例转换赋分公式：，其中分别表示原始分Y对应等级的原始分区间下限和上限；分别表示原始分对应等级的转换分赋分区间下限和上限（T的计算结果四舍五入取整数）.
【答案】（1）；（2）化学和地理的等级分都是，评价见解析.
【分析】（1）根据题目所给数据求得的估计值.
（2）根据赋分公式求得化学和地理的等级分，并由此进行评价.
【详解】（1）依题意，.
（2）设化学的等级分为，
则.
设地理的等级分为，
则.
等级赋分的意义是将不同科目的成绩进行比较.如果本题中和都是，说明化学分，和地理分，在考生中的排位是相同的.
32．（2022春·广东揭阳·高一统考期末）某校对学生成绩统计（折合百分制，得分为整数），考试该次竞赛的成绩分布，将样本分成5组，绘成频率分布直方图（如图），图中从左到右依次为第一组到第五组，各小组的小长方形的高的比为1∶3∶6∶4∶2，第五组的频数为12．
(1)该样本的容量是多少？
(2)该样本的第75百分位数在第几组中？
【答案】(1)
(2)第四组
【分析】（1）根据已知条件，结合频率与频数的关系，即可求解．
（2）根据已知条件，结合第75百分位数的定义，即可求解．
(1)
解：由题意可知，第五组的频率为，
则样本的容量为．
(2)
解：因为的频率为，
的频率为，
的频率为，
的频率为，
，，
该样本的第百分位数在第四组中．
33．（2022春·广东汕头·高一统考期末）有一种鱼的身体吸收汞，一定量身体中汞的含量超过其体重的（即百万分之一）的鱼被人食用后，就会对人体产生危害.在条鱼的样本中发现的汞含量（单位：）如下：
(1)因为样本数据的极差为，所以取区间为，组距为，请把频率分布表补充完整；
(2)请把频率分布直方图补充完整；
(3)求得上述样本数据的平均数为和标准差为，则在上述样本中，有多少条鱼的汞含量在以平均数为中心、倍标准差的范围内？
【答案】(1)频率分布表见解析
(2)频率分布直方图见解析
(3)
【分析】（1）根据分组、频数、频率，结合题中数据可制成频率分布表；
（2）根据频率分布表可作出频率分布直方图；
（3）求出相应的区间，结合样本数据可得结果.
（1）
解：根据题意，频率分布表如下表所示：
分组
频数
频率
合计
（2）
解：频率分布直方图如下图所示：
（3）
解：平均数为，标准差为，，，
在上述样本中，其中汞含量在范围内的鱼的条数为.
34．（2022春·广东惠州·高一统考期末）2022年4月开始，新冠奥密克戎病毒在上海等地肆虐，感染病毒人数急剧上升．全国各地积极应对，认真做好新冠病毒防控工作，实现社会面动态清零．为保障抗疫一线医疗物资的供应，惠州市某企业加班加点生产口罩、防护服，消毒水等防疫物品．在加大生产的同时，该公可狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量．该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：[40，50），[50，60），[60，70），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求出直方图中m的值：
(2)利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数．（中位数精确到0.1）
【答案】(1)
(2)平均数为，中位数为
【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程，解得即可；
（2）根据频率分布直方图中平均数、中位数计算公式计算可得；
【详解】（1）解：由频率分布直方图可得，
解得；
（2）解：平均数为
因为，，
所以中位数位于之间，
设中位数为，则，解得，
所以可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为，中位数为；
35．（2022春·广东佛山·高一统考期末）5月11日是世界防治肥胖日．我国超过一半的成年人属于超重或肥胖，6～17岁的儿童青少年肥胖率接近20%，肥胖已成为严重危害我国居民健康的公共卫生问题．目前，国际上常用身体质量指数（Body Mass Index，缩写BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康．我国成人的BMI数值标准为：BMI<18.5为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．为了解某公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取了60名男员工、40名女员工的身高和体重数据，通过计算得到男女员工的BMI值并将女员工的BMI值绘制成如图所示的频率分布直方图：
(1)求图中a的值，并估计样本中女员工BMI值的中位数；
(2)已知样本中男员工BMI值的平均数为22，试估计该公司员工BMI值的平均数．
【答案】(1)，估计样本中女员工BMI值的中位数为
(2)
【分析】（1）根据频率直方图的矩形面积之和为1求解a的值，再根据中位数左边的频率和为0.5求解中位数即可；
（2）先根据频率分布直方图计算女员工的平均BMI值，再求解该公司员工BMI值的平均数即可
（1）
由题意，，解得.因为，，故中位数在之间，设为，则，解得.故估计样本中女员工BMI值的中位数为
（2）
由题意，样本中女员工BMI值的平均数为，故估计该公司员工BMI值的平均数
36．（2022春·广东韶关·高一统考期末）为弘扬我国优秀传统文化，某校组织了高一年级学生进行这方面的知识测试．根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示．
(1)求图中a的值；
(2)试估计高一级本次知识测试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(3)该校准备对本次知识测试成绩优秀（将成绩从高到低排列，排在前15%的为优秀）的学生进行嘉奖，则受嘉奖的学生分数不低于多少？（结果保留一位小数）
【答案】(1)；
(2)71；
(3)86.7
【分析】（1）直接由频率和为1求解即可；
（2）由每组区间的中点值乘该组频率，再求和即可求解；
（3）先利用频率确定受嘉奖学生最低分所在区间，再由方程求解即可.
（1）
由，解得；
（2）
，故本次知识测试成绩的平均分为71；
（3）
设受嘉奖的学生分数不低于x分，因为，对应的频率和为，对应的频率，
故，所以，解得．故受嘉奖的学生分数不低于86.7．
37．（2022春·广东茂名·高一统考期末）某单位为了了解退休职工生活情况，对50名退休职工做了一次问卷调查，满分100分，并从中随机抽取了10名退休职工的问卷，得分情况统计如下：
分数
77
79
81
84
88
92
93
人数
1
1
1
3
2
1
1
试回答以下问题：
(1)求抽取的10名退休职工问卷得分的均值和方差.
(2)10名退休职工问卷得分在与之间有多少人？这些人占10名退休职工的百分比为多少？
【答案】(1)，
(2)6人，占
【分析】（1）根据平均数和方差的计算公式直接求解即可，
（2）由（1）直接计算和，再找在这之间的人数，从而可求出百分比
(1)
抽取的10名退休职工问卷得分的均值为
，
抽取的10名退休职工问卷得分的方差为
(2)
由（1）可得，
所以，，
所以10名退休职工问卷得分在与之间有6人，占的百分比为
38．（2022春·广东阳江·高一校考期末）某精准扶贫帮扶单位为帮助定点扶贫村真正脱贫，决定在该村兴办一个年产量为1000万块的瓷砖厂，以吸纳富余劳动力，提高村民收入.已知瓷砖的质量以某质量指标值t(单位：分，t∈[0，100])为衡量标准，为估算其经济效益，该瓷砖厂进行了试产，并从中随机抽取了100块瓷砖，进行了统计，其统计结果如表所示：
质量指标值t
[30，40)
[40，50)
[50，60)
[60，70)
[70，80]
[80，90)
[90，100]
频数
2
13
21
25
24
11
4
试利用样本分布估计总体分布的思想解决下列问题(注：每组数据取区间的中点值).
（1）在一天内抽检瓷砖，若出现了瓷砖的质量指标值t在区间内，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，其中近似为样本平均数，s近似为样本的标准差，并已求得s≈14.若某天抽检到的瓷砖有1块的t值为20分，则从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？
（2）已知每块瓷砖的质量指标值t与等级及纯利润y(单位：元)的关系如表所示：
质量指标值t
[0，40)
[40，60)
[60，80)
[80，90)
[90，100]
产品等级
次品
三级
二级
一级
特级
纯利润(元/块)
﹣10
1
3
5
10
假定该瓷砖厂所生产的瓷砖都能销售出去，且瓷砖厂的总投资为3000万元(含引进生产线､兴建厂房等一切费用在内)，问：该厂能否在一年之内通过生产并销售瓷砖收回投资？试说明理由.
【答案】（1）应对当天的生产过程进行检查；（2）该瓷砖厂不能在一年之内通过生产并销售瓷砖收回投资，理由见解析.
【分析】（1）由平均数计算公式求得，从而可得﹣3s，判断20是否在区间[0，﹣3s)内，即可得出结论；
（2）列表可得瓷砖的质量指标值t与对应频率，由平均数公式可求得样本中每块瓷砖的平均利润，利用样本平均数估计总体平均数，计算可得该瓷砖厂的年盈利，与总投资3000作比较，即可得出结论.
【详解】解：（1）根据表中数据，
可得=×(35×2+45×13+55×21+65×25+75×24+85×11+95×4)=65.5，
又s≈14，
所以﹣3s≈65.5﹣3×14=23.5，
而20<23.5，即抽检到的这块瓷砖的t值在区间[0，﹣3s)内，
故应对当天的生产过程进行检查.
（2）由题意可知，瓷砖的质量指标值t与对应频率如下表所示：
质量指标值t
[0，40)
[40，60)
[60，80)
[80，90)
[90，100]
产品等级
次品
三级
二级
一级
特级
纯利润(元/块)
﹣10
1
3
5
10
频率
0.02
0.34
0.49
0.11
0.04
故样本中每块瓷砖的平均利润为=﹣10×0.02+1×0.34+3×0.49+5×0.11+10×0.04=2.56(元)，
利用样本平均数估计总体平均数，可得该瓷砖厂的年盈利大约为2.56×1000=2560(万元)，
而2560万元<3000万元，
故该瓷砖厂不能在一年之内通过生产并销售瓷砖收回投资.
【点睛】平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小．
39．（2022春·广东揭阳·高一统考期末）《中国制造2025》是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领，制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基．发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线某电子产品制造企业为了提升生产效率，对现有的一条电子产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的电子产品中随机抽取了1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表（单位：件）
质量指标值
产品
60
100
160
300
200
100
80
(1)估计产品的某项质量指标值的70百分位数.
(2)估计这组样本的质量指标值的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）；
(3)设表示不大于x的最大整数，表示不小于x的最小整数，s精确到个位，，，，根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有65%落在内，则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定；若有95%落在内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，可认为生产线技术改造成功．请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造是成功的？（参考数据： ，）
【答案】(1)69
(2)平均数61和方差241
(3)不能判定生产线技术改造成功
【分析】（1）由可求得结果；
（2）根据平均值和方差公式求解即可得解；
（3）根据定义求出，再根据频率分布表可求出结果.
(1)
设产品的某项质量指标值的70百分位数为，则，解得.
所以估计产品的某项质量指标值的70百分位数为.
(2)
由题，可知
．
．
(3)
由知，，
则，，
该抽样数据落在内的频率约为；
又，，
该抽样数据落在内的频率约为，
∴可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但不能判定生产线技术改造成功．
40．（2022春·广东深圳·高一统考期末）（身体质量指数）是目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准，其计算公式是：.在我国，成人的数值参考标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖.某大学为了解学生的身体肥胖情况，研究人员从学校的学生体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取了60名男学生，40名女学生的身高体重数据，计算出他（她）们的，整理得到如下的频率分布表和频率分布直方图.同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，用样本估计总体.
分组
频数
频率
15
0.15
40
0.40
30
0.30
10
0.10
5
0.05
合计
100
1.00
(1)根据及频率分布直方图，估计该校学生为肥胖的百分比；
(2)已知样本中60名男学生的平均数为，根据频率分布直方图，估计样本中40名女学生的平均数.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由频率分布直方图求得的频率，从而可得该校学生为肥胖的百分比；
（2）先根据频率分布直方图求出样本的的平均数，再根据样本的的平均数等于，即可得解.
(1)
解：由频率分布直方图可知的频率为，
所以的频率为，
所以估计该校学生为肥胖的百分比为；
(2)
解：样本的的平均数为，
则，
解得，
所以估计样本中40名女学生的平均数.
41．（2022春·广东广州·高一统考期末）为庆祝“五四”青年节，广州市有关单位举行了“五四”青年节团知识竞赛活动，为了解全市参赛者成绩的情况，从所有参赛者中随机抽样抽取100名，将其成绩整理后分为6组，画出频率分布直方图如图所示（最低90分，最高150分），但是第一、二两组数据丢失，只知道第二组的频率是第一组的2倍．
(1)求第一组、第二组的频率各是多少？并补齐频率分布直方图；
(2)现划定成绩大于或等于上四分位数即第75百分位数为“良好”以上等级，根据直方图，估计全市“良好”以上等级的成绩范围（保留1位小数）；
(3)现知道直方图中成绩在内的平均数为136，方差为8，在内的平均数为144，方差为4，求成绩在内的平均数和方差．
【答案】(1)第一组的频率为，则第二组的频率为，频率分布直方图见解析；
(2)
(3)平均数为，方差为
【分析】（1）设第一组的频率为，则第二组的频率为，根据所有的频率之和为得到方程，即可求出，即可补全频率分布直方图；
（2）按照百分位数计算规则计算可得；
（3）按照平均数、方差公式计算可得；
(1)
解：设第一组的频率为，则第二组的频率为，依题意，解得，
所以第一组的频率为，则第二组的频率为，
补全频率分布直方图如下：
(2)
解：由，设上四分位数为，则，
所以，解得，
所以全市“良好”以上等级的成绩范围；
(3)
解：由频率分布直方图可知中有人，设为，
则
，
则
中有人，设为，
则
，
则
所以成绩在内的平均数为；
所以
所以方差为
42．（2022春·广东梅州·高一统考期末）梅州市沙田柚根据色泽、果面、风味等评分指标打分，得分在区间（0，25]，（25，50]，（50，75]，（75，100]内分别评定为三级柚、二级柚、一级柚，特级柚，某经销商从我市柚农手中收购一批沙田柚，共M袋（每袋50kg），并随机抽取20袋分别进行检测评级，得分数据的频率分布直方图如图所示：
(1)求a的值，并用样本估计该经销商采购的这批沙田柚的平均得分；
(2)该经销商计划在下面两个方案中选择一个作为销售方案：
方案1：将采购的这批沙田柚不经检测，统一按每袋350元直接售出；
方案2：将采购的这批沙田柚逐袋检测分级，并将每袋沙田柚重新包装成5小袋（每小袋10kg），检测分级所需费用和人工费平均每袋20元，各等级沙田柚每小袋的售价和包装材料成本如下表所示：
沙田柚等级
三级
二级
一级
特级
售价（元/小袋）
55
68
85
98
包装材料成本（元/小装）
2
2
4
5
假设这批沙田柚各级比例按前面随机抽取的20袋的样本结果估计，并可以全部销售出去，那么该经销商采用哪种销售方案所得利润更大？请通过计算说明理由．
【答案】(1)；估计经销商采购的这批沙田柚的平均得分为；
(2)该经销商采用方案所得利润更大，理由见解析.
【分析】（1）利用频率分布直方图中所有小长方形的面积之和为1，结合在频率分布直方图中，平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和即可求解；
（2）根据已知条件分别算出两种方案的利润，然后比较两种方案利润的大小即可求解.
（1）
因为，所以，
于是
所以估计经销商采购的这批沙田柚的平均得分为.
（2）
若经销商采用方案，则收入为元.
若经销商采用方案，则有：
袋沙田柚中三级沙田柚约袋，小袋，
二级沙田柚约袋，小袋，
一级沙田柚约袋，小袋，
特级沙田柚约袋，小袋.
袋沙田柚共卖：
元，
袋沙田柚的包装袋成本为：
元，
所以方案2的利润为元，
因为，且袋沙田柚成本相同，
所以该经销商采用方案所得利润更大.
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