2022年中考数学分类汇编22讲专题05 一次方程

专题05 一次方程（组）与一元二次方程

一．选择题

1．（2022·内蒙古包头）若是方程的两个实数根，则的值为（       ）

A．3或 B．或9 C．3或 D．或6

【答案】A

【分析】结合根与系数的关系以及解出方程进行分类讨论即可得出答案．

【详解】解：∵，

∴，

,则两根为：3或-1，

当时，，

当时，，故选：A．

【点睛】此题考查了根与系数的关系以及解二元一次方程，正确解出方程进行分类讨论是解题的关键．

2．（2022·黑龙江）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（       ）

A．8 B．10 C．7 D．9

【答案】B

【分析】设有x支队伍，根据题意，得，解方程即可．

【详解】设有x支队伍，根据题意，得，

解方程，得x1=10，x2=-9（舍去），故选B．

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．

3．（2022·四川雅安）若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（　　）

A．﹣3 B．0 C．3 D．9

【答案】C

【分析】先移项把方程化为再配方可得结合已知条件构建关于c的一元一次方程，从而可得答案．

【详解】解：x2+6x+c＝0，

移项得：

配方得： 而（x+3）2＝2c，

解得： 故选C

【点睛】本题考查的是配方法，掌握“配方法解一元二次方程的步骤”是解本题的关键．

4．（2022·贵州黔东南）已知关于的一元二次方程的两根分别记为，，若，则的值为（       ）

A．7 B． C．6 D．

【答案】B

【分析】根据根与系数关系求出=3，a=3，再求代数式的值即．

【详解】解：∵一元二次方程的两根分别记为，，

∴+=2，

∵，

∴=3，

∴·=-a=-3，

∴a=3，

∴．故选B．

【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数关系，代数式的值，掌握一元二次方程的根与系数关系，代数式的值是解题关键．

5．（2022·广西梧州）一元二次方程的根的情况（       ）

A．有两个相等的实数根  B．有两个不相等的实数根  C．没有实数根 D．无法确定

【答案】B

【分析】根据判别式即可判断求解．

【详解】解：由题意可知：，

∴，

∴方程由两个不相等的实数根，故选：B．

【点睛】本题考察了一元二次方程根的判别式：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．

6．（2022·湖北武汉）若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（       ）

A．2或6 B．2或8 C．2 D．6

【答案】A

【分析】根据一元二次方程有实数根先确定m的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系得出，把变形为，再代入得方程，求出m的值即可．

【详解】解:∵关于x的一元二次方程有两个实数根,

∴,

∴

∵是方程的两个实数根,

∵，

又

∴

把代入整理得,

解得, 故选A

【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）由根与系数的关系结合，找出关于m的一元二次方程．

7．（2022·湖南郴州）一元二次方程的根的情况是（       ）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．只有一个实数根 D．没有实数根

【答案】A

【分析】根据即可判断．

【详解】解：，，，

，

一元二次方程有两个不相等的实数根．

故选：A．

【点睛】本题主要考查利用判别式来判断一元二次方程根的个数：当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程无实数根，掌握利用判别式判断方程根的方法是解题的关键．

8．（2022·广西贵港）若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（       ）

A．0， B．0，0 C．， D．，0

【答案】B

【分析】直接把代入方程，可求出m的值，再解方程，即可求出另一个根．

【详解】解：根据题意，

∵是一元二次方程的一个根，

把代入，则

，

解得：；

∴，

∴，

∴，，

∴方程的另一个根是；

故选：B

【点睛】本题考查了解一元二次方程，方程的解，解题的关键是掌握解一元二次方程的步骤进行计算．

9．（2022·北京）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用方程有两个相等的实数根，得到∆=0，建立关于m的方程，解答即可．

【详解】∵一元二次方程有两个相等的实数根，

∴∆=0，

∴，

解得，故C正确．

故选：C．

【点睛】此题考查利用一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根有三种情况：有两个不等的实数根时∆>0；当一元二次方程有两个相等的实数根时，∆=0；当方程没有实数根时，∆<0，正确掌握此三种情况是正确解题的关键．

10．（2022·山东临沂）方程的根是（     ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】先把方程的左边分解因式化为从而可得答案．

【详解】解：，

或

解得：

故选B

【点睛】本题考查的是利用因式分解的方法解一元二次方程，掌握“十字乘法分解因式”是解本题的关键．

11．（2022·黑龙江牡丹江）下列方程没有实数根的是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】通过题目可知这几个方程都是一元二次方程，因此可以通过来确定有没有实数根，即可求解

【详解】解：A、△=，有两个不相等的实数根；

B、△=，故有两个不相等的实数根；

C、△=,故没有实数根；

D、△=，故有两个不相等的实数根

故选C

12．（2022·海南）若代数式的值为6，则x等于（       ）

A．5 B． C．7 D．

【答案】A

【分析】根据代数式的值为6列方程计算即可．

【详解】∵代数式的值为6

∴，解得故选：A

【点睛】此题考查了解一元一次方程，根据题意列方程是解本题的关键．

13．（2022·广西贺州）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”， “沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是，高是；圆柱体底面半径是，液体高是．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据液体的体积不变列方程解答．

【详解】解：圆柱体内液体的体积为：

由题意得，

，

故选：B．

【点睛】本题考查一元一次方程的应用，涉及圆柱与圆锥的体积，是基础考点，掌握液体体积不变列方程是解题关键．

14.（2022·黑龙江）国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费360元．其中毛笔每支15元，围棋每副20元，共有多少种购买方案？（       ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】A

【分析】设设购买毛笔x支，围棋y副，根据总价=单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数即可得出购买方案的数量．

【详解】解：设购买毛笔x支，围棋y副，根据题意得，

15x+20y=360，即3x+4y=72，

∴y=18-x．

又∵x，y均为正整数，

∴或或或或，

∴班长有5种购买方案．故选：A．

【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系“共花费360元”，列出二元一次方程是解题的关键．

15．（2022·辽宁营口）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天可以追上慢马？若设快马x天可以追上慢马，则下列方程正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】设快马x天可以追上慢马，根据路程=速度×时间，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．

【详解】解：设快马x天可以追上慢马，

依题意，得： 240x-150x=150×12．

故选：D．

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．

16．（2022·广西）方程3x＝2x＋7的解是（     ）

A．x＝4 B．x＝﹣4 C．x＝7 D．x＝﹣7

【答案】C

【分析】先移项再合并同类项即可得结果；

【详解】解：3x＝2x＋7

移项得，3x-2x=7；

合并同类项得，x＝7；

故选：C．

【点睛】本题主要考查解一元一次方程，掌握一元一次方程的求解步骤是解题的关键．

17．（2022·贵州铜仁）为了增强学生的安全防范意识，某校初三（1）班班委举行了一次安全知识抢答赛，抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分．小红一共得70分，则小红答对的个数为（       ）

A．14 B．15 C．16 D．17

【答案】B

【分析】设小红答对的个数为x个，根据抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分，列出方程求解即可．

【详解】解：设小红答对的个数为x个，

由题意得，

解得，

故选B．

【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是列出方程求解是解题的关键．

18．（2022·广东深圳）张三经营了一家草场，草场里面种植上等草和下等草．他卖五捆上等草的根数减去11根，就等下七捆下等草的根数；卖七捆上等草的根数减去25根，就等于五捆下等草的根数．设上等草一捆为根，下等草一捆为根，则下列方程正确的是（       ）

A．  B．  C． D．

【答案】C

【分析】设上等草一捆为根，下等草一捆为根，根据“卖五捆上等草的根数减去11根，就等下七捆下等草的根数；卖七捆上等草的根数减去25根，就等于五捆下等草的根数．”列出方程组，即可求解．

【详解】解：设上等草一捆为根，下等草一捆为根，根据题意得：

．故选：C

【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．

19．（2022·贵州贵阳）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论：

①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而增大；

②方程组的解为；

③方程的解为；

④当时，．

其中结论正确的个数是（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】由函数图象经过的象限可判断①，由两个一次函数的交点坐标可判断②，由一次函数与坐标轴的交点坐标可判断③④，从而可得答案．

【详解】解：由一次函数的图象过一，二，四象限，的值随着值的增大而减小；

故①不符合题意；

由图象可得方程组的解为，即方程组的解为；

故②符合题意；

由一次函数的图象过 则方程的解为；故③符合题意；

由一次函数的图象过 则当时，．故④不符合题意；

综上：符合题意的有②③，故选B

【点睛】本题考查的是一次函数的性质，一次函数的图象的交点坐标与二元一次方程组的解，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练的运用数形结合的方法解题是关键．

20．（2022·广西河池）某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x．则所列方程为(     )

A．30（1+x）2＝50 B．30（1﹣x）2＝50

C．30（1+x2）＝50 D．30（1﹣x2）＝50

【答案】A

【分析】根据题意和题目中的数据，可以得到，从而可以判断哪个选项是符合题意的．

【详解】解：由题意可得，，故选：A．

【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的增长率问题．

二．填空题

21．（2022·湖北鄂州）若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则的值为 _____．

【答案】

【分析】先根据题意可以把a、b看做是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系得到a+b=4，ab=3，再根据进行求解即可．

【详解】解：∵a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，

∴可以把a、b看做是一元二次方程的两个实数根，

∴a+b=4，ab=3，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了分式的求值，一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．

22．（2022·福建）推理是数学的基本思维方式、若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误．

例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下：

设任意一个实数为x，令，

等式两边都乘以x，得．①

等式两边都减，得．②

等式两边分别分解因式，得．③

等式两边都除以，得．④

等式两边都减m，得x＝0.⑤

所以任意一个实数都等于0.

以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是______．

【答案】④

【分析】根据等式的性质2即可得到结论．

【详解】等式的性质2为：等式两边同乘或除以同一个不为0的整式，等式不变，

∴第④步等式两边都除以，得，前提必须为，因此错误；

故答案为：④．

【点睛】本题考查等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键．

23．（2022·广西梧州）一元二次方程的根是_________．

【答案】或

【分析】由两式相乘等于0，则这两个式子均有可能为0即可求解．

【详解】解：由题意可知：或，

∴或，

故答案为：或．

【点睛】本题考查一元二次方程的解法，属于基础题，计算细心即可．

24．（2022·四川内江）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且＝x12+2x2﹣1，则k的值为 _____．

【答案】2

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系以及解的定义得到x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，再根据＝x12+2x2﹣1，推出＝4﹣k，据此求解即可．

【详解】解：∵x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，

∴x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，

∴x12＝2x1﹣k+1，

∵＝x12+2x2﹣1，

∴＝2（x1+x2）﹣k，

∴＝4﹣k，

解得k＝2或k＝5，

当k＝2时，关于x的方程为x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合题意；

当k＝5时，关于x的方程为x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符合题意；

∴k＝2，

故答案为：2．

【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．

25．（2022·广东深圳）已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为________________．

【答案】9

【分析】根据根的判别式的意义得到△，然后解关于的方程即可．

【详解】解：根据题意得△，

解得．

故答案为：9．

【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．

26．（2022·上海）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知5、6月的增长率相同，则增长率为_____．

【答案】20%

【分析】根据该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x结合5月、7月营业额即可得出关于x的一元二次方程，解此方程即可得解．

【详解】解：设该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x，根据题意得，

解得，（舍去）

所以，增长率为20%

故答案为：20%

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．

27．（2022·山东威海）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则mn＝_____．

【答案】1

【分析】由第二行方格的数字，字母，可以得出第二行的数字之和为m，然后以此得出可知第三行左边的数字为4，第一行中间的数字为m-n+4，第三行中间数字为n-6，第三行右边数字为，再根据对角线上的三个数字之和相等且都等于m可得关于m，n方程组，解出即可．

【详解】如图，根据题意，可得

第二行的数字之和为：m+2+(-2)=m

可知第三行左边的数字为：m-(-4)-m=4

第一行中间的数字为：m-n-(-4)=m-n+4

第三行中间数字为m-2-(m-n+4)=n-6

第三行右边数字为：m-n-(-2)=m-n+2

再根据对角线上的三个数字之和相等且都等于m可得方程组为：

解得 ∴ 故答案为：1

【点睛】本题考查了有理数加法，列代数式，以及二元一次方程组，解题的关键是根据表格，利用每行，每列，每条对角线上的三个数之和相等列方程．

28．（2022·广西贺州）若实数m，n满足，则__________．

【答案】7

【分析】根据非负数的性质可求出m、n的值，进而代入数值可求解．

【详解】解：由题意知，m，n满足，

∴m-n-5=0，2m+n−4=0，

∴m=3，n=-2，

∴，

故答案为：7．

【点睛】此题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．

29．（2022·广东）若是方程的根，则____________．

【答案】1

【分析】本题根据一元二次方程的根的定义，把x=1代入方程得到a的值．

【详解】把x=1代入方程，得1−2+a=0，

解得a=1，

故答案为：1．

【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，一元二次方程的根就是一元二次方程的解,就是能够使方程左右两边相等的末知数的值．

30．（2022·江苏无锡）二元一次方程组的解为________．

【答案】

【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．

【详解】解：．

①+②×2得：7x=14，

解得：x=2，

把x=2代入②得：2×2-y=1

解得：y=3，

所以，方程组的解为，

故答案为：．

【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

31．（2022·四川雅安）已知是方程ax+by＝3的解，则代数式2a+4b﹣5的值为 _____．

【答案】1

【分析】把代入ax+by＝3可得，而2a+4b﹣5，再整体代入求值即

可．

【详解】解：把代入ax+by＝3可得：

，

2a+4b﹣5

．

故答案为：1

【点睛】本题考查的是二元一次方程的解，利用整体代入法求解代数式的值，掌握“方程的解的含义及整体代入的方法”是解本题的关键．

32．（2022·广西）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是________．

【答案】

【分析】先根据是关于x的一元一次方程的解，得到，再把所求的代数式变形为，把整体代入即可求值．

【详解】解：∵是关于x的一元一次方程的解，

∴，

∴

．

故答案为：14．

【点睛】本题考查了代数式的整体代入求值及一元一次方程解的定义，把所求的代数式利用完全平方公式变形是解题的关键．

33．（2022·内蒙古呼和浩特）某超市糯米的价格为5元/千克，端午节推出促销活动：一次购买的数量不超过2千克时，按原价售出，超过2千克时，超过的部分打8折．若某人付款14元，则他购买了_______千克糯米；设某人的付款金额为元，购买量为千克，则购买量关于付款金额的函数解析式为______．

【答案】     3     ##

【分析】根据题意列出一元一次方程，函数解析式即可求解．

【详解】解：，

超过2千克，

设购买了千克，则，

解得，

设某人的付款金额为元，购买量为千克，则购买量关于付款金额的函数解析式为：

，

故答案为：3，．

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，列函数解析式，根据题意列出方程或函数关系式是解题的关键．

34．（2022·山东潍坊）方程组的解为___________．

【答案】

【分析】用①×2+②×3，可消去未知数y，求出未知数x，再把x的值代入②求出y即可．

【详解】解：，

①×2+②×3，得13x=26，

解得：x=2，

把x=2代入②，得6-2y=0，

解得y=3，

故方程组的解为．

故答案为：．

【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键．

35．（2022·贵州贵阳）“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”如： 从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数，的系数与相应的常数项，即可表示方程，则 表示的方程是_______．

【答案】

【分析】根据横着的算筹为10，竖放的算筹为1，依次表示的系数与等式后面的数字，即可求解．

【详解】解： 表示的方程是

故答案为：

【点睛】本题考查了列二元一次方程组，理解题意是解题的关键．

36．（2022·吉林长春）《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住，设店中共有x间房，可求得x的值为________．

【答案】8

【分析】设店中共有x间房，根据“今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住”可列一元一次方程，求解即可．

【详解】设店中共有x间房，

由题意得，，

解得，

所以，店中共有8间房，

故答案为：8．

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，准确理解题意，找到等量关系是解题的关键．

37．（2022·湖南长沙）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数t的值为___________．

【答案】

【分析】根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，可得，求解即可．

【详解】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，

，

，

故答案为：．

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，即一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，熟练掌握知识点是解题的关键．

38．（2022·江苏泰州）方程有两个相等的实数根，则m的值为__________.

【答案】1

【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ=4-4m=0，解之即可得出结论．

【详解】解：∵关于x的方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根，

∴Δ=（-2）2-4m=4-4m=0，

解得：m=1．

故答案为：1．

【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．

39．（2022·湖北武汉）有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，5辆大货车与2辆小货车一次可以运货25吨，则4辆大货车与3辆小货车一次可以运货___________吨．

【答案】23.5

【分析】设每辆大货车一次可以运货x吨，每辆小货车一次可以运货y吨，根据“3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，5辆大货车与2辆小货车一次可以运货25吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，再整体求得（4x+3y）即可得出结论．

【详解】解：设每辆大货车一次可以运货x吨，每辆小货车一次可以运货y吨，

依题意，得：，

两式相加得8x+6y=47，

∴4x+3y=23.5(吨) ，

故答案为：23.5．

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

40．（2022·上海）解方程组的结果为_____．

【答案】

【分析】利用平方差公式将②分解因式变形，继而可得④，联立①④利用加减消元法，算出结果即可．

【详解】解：

由②，得：③，

将①代入③，得：，即④，

①+②，得：，

解得：，

①−②，得：，

解得：，

∴方程组的结果为       ．

【点睛】本题考查解二元二次方程组，与平方差公式分解因式，能够熟练掌握平方差公式分解因式是解决本题的关键．

三．解答题

41．（2022·广东）《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生要凑钱购买1本．若每人出8元，则多了3元；若每人出7元，则少了4元．问学生人数和该书单价各是多少？

【答案】学生人数为7人，该书的单价为53元．

【分析】设学生人数为x人，然后根据题意可得，进而问题可求解．

【详解】解：设学生人数为x人，由题意得：

，

解得：，

∴该书的单价为（元），

答：学生人数为7人，该书的单价为53元．

【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键．

42．（2022·内蒙古赤峰）某学校建立了劳动基地，计划在基地上种植A、B两种苗木共6000株，其中A种苗木的数量比B种苗木的数量的一半多600株．

(1)请问A、B两种苗木各多少株？

(2)如果学校安排350人同时开始种植这两种苗木，每人每天平均能种植A种苗木50株或B种苗木30株，应分别安排多少人种植A种苗木和B种苗木，才能确保同时完成任务？

【答案】(1)A苗木的数量是2400棵，B苗木的数量是3600棵；

(2)安排100人种植A苗木，250人种植B苗木，才能确保同时完成任务．

【分析】（1）根据在基地上种植A，B两种苗木共6000株，A种苗木的数量比B种苗木的数量的一半多600株，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题；

（2）根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题，最后要检验．

(1)

解：设A苗木的数量是x棵，则B苗木的数量是y棵，

根据题意可得：，

解得：，

答：A苗木的数量是2400棵，B苗木的数量是3600棵；

(2)

解：设安排a人种植A苗木，则安排（350-a）人种植B苗木，

根据题意可得：，

解得，a=100，

经检验，a=100是原方程的解，

∴350-a=250，

答：安排100人种植A苗木，250人种植B苗木，才能确保同时完成任务．

【点睛】本题考查二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组．

43．（2022·湖南）中国“最美扶贫高铁”之一的“张吉怀高铁”开通后，张家界到怀化的运行时间由原来的3.5小时缩短至1小时，运行里程缩短了40千米．已知高铁的平均速度比普通列车的平均速度每小时快200千米，求高铁的平均速度．

【答案】296km/h

【分析】设高铁的速度，再表示出普通列车的速度，然后根据高铁行驶的路程+40=普通列车行驶的路程列出方程，再求出解即可．

【详解】解：设高铁的平均速度为xkm/h，则普通列车的平均速度为(x-200)km/h，

由题意得：x+40=3.5(x-200)，

解得：x=296.

答：高铁的平均速度为296 km/h．

【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．

44．（2022·四川广安）某企业下属A、B两厂向甲乙两地运送水泥共520吨，A厂比B厂少运送20吨，从A厂运往甲乙两地的运费分别为40元/吨和35元/吨，从B厂运往甲乙两地的运费分别为28元/吨和25元/吨．

(1)求A、B两厂各运送多少吨水泥?

(2)现甲地需要水泥240吨，乙地需要水泥280吨．受条件限制，B厂运往甲地的水泥最多150吨．设从A厂运往甲地a吨水泥，A、B两厂运往甲乙两地的总运费为w元．求w与a之间的函数关系式，请你为该企业设计一种总运费最低的运输方案，并说明理由

【答案】(1)A厂运送了250吨，B厂运送270吨；

(2)；A厂运往甲地90吨，运往乙地160吨；B厂运往甲地150吨，运往乙地120吨；

【分析】（1）设A厂运送x吨，B厂运送y吨，然后列出方程组，解方程组即可得到答案；

（2）根据题意，列出w与a之间的函数关系式，然后进行整理即可，再结合B厂运往甲地的水泥最多150吨，求出总运费最低的方案．

(1)

解：根据题意，设A厂运送x吨，B厂运送y吨，则

，解得，

∴A厂运送了250吨，B厂运送270吨；

(2)

解：根据题意，则

，

整理得：；

∵B厂运往甲地的水泥最多150吨，

∴，

∴；

当时，总运费最低；

此时的方案是：

A厂运往甲地90吨，运往乙地160吨；B厂运往甲地150吨，运往乙地120吨

【点睛】此题考查了一次函数的实际应用问题．此题难度较大，解题的关键是理解题意，读懂题意，求得一次函数解析式，然后根据一次函数的性质求解．

45．（2022·广西桂林）解二元一次方程组：．

【答案】

【分析】利用加减消元法可解答．

【详解】解：

①+②得：2x＝4，

∴x＝2，

把x＝2代入①得：2﹣y＝1，

∴y＝1，

∴原方程组的解为：．

【点睛】本题考查二元一次方程组的解法，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．

46．（2022·江苏常州）第十四届国际数学教育大会（ICME-14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME-14的举办年份．

(1)八进制数3746换算成十进制数是_______；

(2)小华设计了一个进制数143，换算成十进制数是120，求的值．

【答案】(1)2022

(2)9

【分析】（1）根据八进制换算成十进制的方法即可作答；

（2）根据n进制换算成十进制的方法可列出关于n的一元二次方程，解方程即可求解．

(1)

，

故答案为：2022；

(2)

根据题意有：，

整理得：，

解得n=9，（负值舍去），

故n的值为9．

【点睛】本题考查了有理数的运算以及一元二次方程的应用等知识，根据题意列出关于n的一元二次方程是解答本题的关键．

47．（2022·江苏泰州）如图，在长为50 m，宽为38 m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260 m2，道路的宽应为多少？

【答案】4

【分析】根据题意设道路的宽应为x米，则种草坪部分的长为(50−2x)m，宽为(38−2x)m，再根据题目中的等量关系建立方程即可得解．

【详解】解：设道路的宽应为x米，由题意得

(50-2x)×(38-2x)=1260

解得：x1=4，x2=40(不符合题意，舍去)

答：道路的宽应为4米．

【点睛】此题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是能根据题目中的等量关系建立方程．

48．（2022·黑龙江齐齐哈尔）解方程：

【答案】，

【分析】直接开方可得或，然后计算求解即可．

【详解】解：∵

∴或

解得，．

【点睛】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程．

49．（2022·贵州贵阳）（1）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示．

用“<”或“>”填空：a_______b，ab_______0；

（2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．

①x2+2x−1=0；②x2−3x=0；③x2−4x=4；④x2−4=0．

【答案】（1）＜，＜；（2）①x1=-1+，x2=-1-；②x1=0，x2=3；③x1=2+，x2=2-；④x1=-2，x2=2．

【分析】（1）由题意可知：a＜0，b＞0，据此求解即可；

（2）找出适当的方法解一元二次方程即可．

【详解】解：（1）由题意可知：a＜0，b＞0，

∴a＜b，ab＜0；

故答案为：＜，＜；

（2）①x2+2x−1=0；

移项得x2+2x=1，

配方得x2+2x+1=1+1，即(x+1)2=2，

则x+1=±，

∴x1=-1+，x2=-1-；

②x2−3x=0；

因式分解得x(x-3)=0，

则x=0或x-3=0，

解得x1=0，x2=3；

③x2−4x=4；

配方得x2-4x+4=4+4，即(x-2)2=8，

则x-2=±，

∴x1=2+，x2=2-；

④x2−4=0．

因式分解得(x+2) (x-2)=0，

则x+2=0或x-2=0，

解得x1=-2，x2=2．

【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．还考查了实数与数轴．

50．（2022·内蒙古呼和浩特）计算求解：

(1)计算  (2)解方程组

【答案】(1)5(2)

【分析】（1）先去绝对值，算负整数指数幂，将特殊角三角函数值代入，再计算即可；

（2）直接解二元一次方程组即可．

(1)

原式＝2+3

5；

(2)

整理方程组得：，

由①得：y＝5-4x③，

将③代入②得：-5x＝5，

解得：x＝-1，

将x＝-1代入③得：y＝9，

则方程组得解为：．

【点睛】本题考查实数运算和解二元一次方程组，解答本题的关键是掌握各知识点的运算法则．

51．（2022·湖南长沙）电影《刘三姐》中，有这样一个场景，罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀？”该歌词表达的是一道数学题．其大意是：把300条狗分成4群，每个群里，狗的数量都是奇数，其中一个群，狗的数量少：另外三个群，狗的数量多且数量相同．问：应该如何分？请你根据题意解答下列问题：

(1)刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出答案：“九十九条打猎去，九十九条看羊来，九十九条守门口，剩下三条给财主．”请你根据以上信息，判断以下三种说法是否正确，在题后相应的括号内，正确的打“√”，错误的打“×”．

①刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的，但不是唯一正确的答案．（       ）

②刘三姐的姐妹们给出的答案是唯一正确的答案．（       ）

③该歌词表达的数学题的正确答案有无数多种．（       ）

(2)若罗秀才再增加一个条件：“数量多且数量相同的三个群里，每个群里狗的数量比数量较少的那个群里狗的数量多40条”，求每个群里狗的数量．

【答案】(1)√，×，×

(2)数量少的群里狗的数量为45只，狗的数量多且数量相同的群里狗的数量为85只

【分析】（1）根据题意，姐妹们给出的答案是符合要求的；除此之外，还可分成97,97,97,9等，这里的每群狗的数量还需要是正整数，所以答案不是无数种，即可判断；

（2）设数量少的狗群的数量为只，则狗的数量多且数量相同的群里狗的数量为只，根据狗的总数为300只，可列一元一次方程，求解即可．

(1)

根据题意，姐妹们给出的答案是符合要求的；除此之外，还可分成97,97,97,9等，

刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的，但不是唯一正确的答案，

∵这里的每群狗的数量还需要是正整数，

∴答案不是无数种，

∴①√，②×，③×，

故答案为：√，×，×；

(2)

设数量少的狗群的数量为只，则狗的数量多且数量相同的群里狗的数量为只，由题意得：

，

解得，

（只），

所以，数量少的群里狗的数量为45只，狗的数量多且数量相同的群里狗的数量为85只．

【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，整式加减的运用，准确理解题意并熟练掌握知识点是解题的关键．

52．（2022·四川雅安）某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品和5件B商品费用相同，购进3件A商品和1件B商品总费用为360元．

(1)求A，B两种商品每件进价各为多少元？（列方程或方程组求解）

(2)若该商场计划购进A，B两种商品共80件，其中A商品m件．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，求销售完A，B两种商品后获得总利润w（元）与m（件）的函数关系式．

【答案】(1)A，B两种商品每件进价分别为每件100元，每件60元．

(2)利润w（元）与m（件）的函数关系式为：

【分析】（1）设A，B两种商品每件进价分别为每件x元，每件y元，则根据购进3件A商品和5件B商品费用相同，购进3件A商品和1件B商品总费用为360元，列方程组，再解方程组即可；

（2）由总利润等于销售A，B两种商品的利润之和列函数关系式即可．

(1)

解：设A，B两种商品每件进价分别为每件x元，每件y元，则

解得：，

答：A，B两种商品每件进价分别为每件100元，每件60元．

(2)

解：由题意可得：

即总利润w（元）与m（件）的函数关系式为：

【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一次函数的应用，确定相等关系列方程或函数关系是解本题的关键．

53．（2022·海南）我省某村委会根据“十四五”规划的要求，打造乡村品牌，推销有机黑胡椒和有机白胡椒．已知每千克有机黑胡椒比每千克有机白胡椒的售价便宜10元，购买2千克有机黑胡椒和3千克有机白胡椒需付280元，求每千克有机黑胡椒和每千克有机白胡椒的售价．

【答案】每千克有机黑胡椒售价为50元，每千克有机白胡椒售价为60元

【分析】设每千克有机黑胡椒售价为x元，每千克有机白胡椒售价为y元，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

【详解】解：设每千克有机黑胡椒售价为x元，每千克有机白胡椒售价为y元．

根据题意，得

解得

答：每千克有机黑胡椒售价为50元，每千克有机白胡椒售价为60元．

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组．