2022年中考数学分类汇编22讲专题21 与三角形、四边形相关的压轴题

专题21 与三角形、四边形相关的压轴题

解答题

1．（2022·黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，M为BC的中点，OA、OB的长分别是一元二次方程的两个根，，动点P从点D出发以每秒1个单位长度的速度沿折线向点B运动，到达B点停止．设运动时间为t秒，的面积为S．(1)求点C的坐标；(2)求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；(3)在点P的运动过程中，是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2．（2022·贵州黔东南）阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题：

如图，和都是等边三角形，点在上．

求证：以、、为边的三角形是钝角三角形．

(1)【探究发现】小明通过探究发现：连接，根据已知条件，可以证明，，从而得出为钝角三角形，故以、、为边的三角形是钝角三角形．

请你根据小明的思路，写出完整的证明过程．

(2)【拓展迁移】如图，四边形和四边形都是正方形，点在上．

①试猜想：以、、为边的三角形的形状，并说明理由．

②若，试求出正方形的面积．

3．（2022·海南）如图1，矩形中，，点P在边上，且不与点B、C重合，直线与的延长线交于点E．(1)当点P是的中点时，求证：；

(2)将沿直线折叠得到，点落在矩形的内部，延长交直线于点F．

①证明，并求出在（1）条件下的值；②连接，求周长的最小值；③如图2，交于点H，点G是的中点，当时，请判断与的数量关系，并说明理由．

4．（2022·吉林）如图，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿边向终点匀速运动．以为一边作，另一边与折线相交于点，以为边作菱形，点在线段上．设点的运动时间为，菱形与重叠部分图形的面积为．(1)当点在边上时，的长为          ；（用含的代数式表示）

(2)当点落在边上时，求的值；(3)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．

5．（2022·黑龙江牡丹江）在菱形和正三角形中，，是的中点，连接、．

(1)如图1，当点在边上时，写出与的数量关系 ．（不必证明）

(2)如图2，当点在的延长线上时，线段、有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给予证明；

(3)如图3，当点在的延长线上时，线段、又有怎样的数量关系，写出你的猜想（不必证明）．

6．（2022·内蒙古呼和浩特）下面图片是八年级教科书中的一道题：如图，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证．（提示：取的中点，连接．）(1)请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件：      ；

(2)如图1，若点是边上任意一点（不与、重合），其他条件不变．求证：；

(3)在（2）的条件下，连接，过点作，垂足为．设，当为何值时，四边形是平行四边形，并给予证明．

7．（2022·福建）已知，AB＝AC，AB＞BC．

(1)如图1，CB平分∠ACD，求证：四边形ABDC是菱形；

(2)如图2，将（1）中的△CDE绕点C逆时针旋转（旋转角小于∠BAC），BC，DE的延长线相交于点F，用等式表示∠ACE与∠EFC之间的数量关系，并证明；(3)如图3，将（1）中的△CDE绕点C顺时针旋转（旋转角小于∠ABC），若，求∠ADB的度数．

8．（2022·湖南衡阳）如图，在菱形中，，，点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，过点作于点，作交直线于点，交直线于点，设与菱形重叠部分图形的面积为（平方单位），点运动时间为（秒）．

(1)当点与点重合时，求的值；(2)当为何值时，与全等；(3)求与的函数关系式；

(4)以线段为边，在右侧作等边三角形，当时，求点运动路径的长．

9．（2022·浙江金华）如图，在菱形中，，点E从点B出发沿折线向终点D运动．过点E作点E所在的边（或）的垂线，交菱形其它的边于点F，在的右侧作矩形．

(1)如图1，点G在上．求证：．(2)若，当过中点时，求的长．

(3)已知，设点E的运动路程为s．当s满足什么条件时，以G，C，H为顶点的三角形与相似（包括全等）？

10．（2022·四川南充）如图，在矩形中，点O是的中点，点M是射线上动点，点P在线段上（不与点A重合），．(1)判断的形状，并说明理由．(2)当点M为边中点时，连接并延长交于点N．求证：．(3)点Q在边上，，当时，求的长．

11．（2022·湖北武汉）已知是的角平分线，点E，F分别在边，上，，，与的面积之和为S．

(1)填空：当，，时，

①如图1，若，，则_____________，_____________；

②如图2，若，，则_____________，_____________；

(2)如图3，当时，探究S与m、n的数量关系，并说明理由：

(3)如图4，当，，，时，请直接写出S的大小．

12．（2022·山东临沂）已知是等边三角形，点B，D关于直线AC对称，连接AD，CD．

(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)在线段AC上任取一点Р（端点除外），连接PD．将线段PD绕点Р逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处．请探究：当点Р在线段AC上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？说明理由．(3)在满足（2）的条件下，探究线段AQ与CP之间的数量关系，并加以证明．

13．（2022·江西）问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角板与正方形重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）．

(1)操作发现：如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当与重合时，重叠部分的面积为__________；当与垂直时，重叠部分的面积为__________；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积与S的关系为__________；

(2)类比探究：若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中，分别与正方形的边相交于点M，N．

①如图2，当时，试判断重叠部分的形状，并说明理由；

②如图3，当时，求重叠部分四边形的面积（结果保留根号）；

(3)拓展应用：若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为（设），将绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，的两边与正方形的边所围成的图形的面积为，请直接写出的最小值与最大值（分别用含的式子表示），

（参考数据：）

14．（2022·贵州贵阳）小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．

如图，在中，为边上的高，，点在边上，且，点是线段上任意一点，连接，将沿翻折得．

(1)问题解决：如图①，当，将沿翻折后，使点与点重合，则______；

(2)问题探究：如图②，当，将沿翻折后，使，求的度数，并求出此时的最小值；(3)拓展延伸：当，将沿翻折后，若，且，根据题意在备用图中画出图形，并求出的值．

15．（2022·吉林长春）【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中．他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在上，点B的对应点为点E，折痕为；再沿过点F的直线折叠，使点C落在上，点C的对应点为点H，折痕为；然后连结，沿所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想．

【问题解决】(1)小亮对上面的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：

证明：四边形是矩形，

∴．

由折叠可知，，．

∴．

∴．

请你补全余下的证明过程．

【结论应用】(2)的度数为________度，的值为_________；

(3)在图①的条件下，点P在线段上，且，点Q在线段上，连结、，如图②，设，则的最小值为_________．（用含a的代数式表示）

16．（2022·广东深圳）（1）【探究发现】如图①所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点．求证：

（2）【类比迁移】如图②，在矩形中，为边上一点，且将沿翻折到处，延长交边于点延长交边于点且求的长．

（3）【拓展应用】如图③，在菱形中，为边上的三等分点，将沿翻折得到，直线交于点求的长．

17．（2022·黑龙江）和都是等边三角形．

(1)将绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有（或）成立；请证明．(2)将绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；(3)将绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．

18．（2022·辽宁锦州）在中，，点D在线段上，连接并延长至点E，使，过点E作，交直线于点F．

(1)如图1，若，请用等式表示与的数量关系：____________．

(2)如图2．若，完成以下问题：

①当点D，点F位于点A的异侧时，请用等式表示之间的数量关系，并说明理由；

②当点D，点F位于点A的同侧时，若，请直接写出的长．

19．（2022·广西）已知，点A，B分别在射线上运动，．

(1)如图①，若，取AB中点D，点A，B运动时，点D也随之运动，点A，B，D的对应点分别为，连接．判断OD与有什么数量关系?证明你的结论：(2)如图②，若，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，求点O与点C的最大距离：(3)如图③，若，当点A，B运动到什么位置时，的面积最大?请说明理由，并求出面积的最大值．

20．（2022·湖北十堰）【阅读材料】如图①，四边形中，，，点，分别在，上，若，则．

【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形．已知，，，，道路，上分别有景点，，且，，若在，之间修一条直路，则路线的长比路线的长少_________（结果取整数，参考数据：）．

21．（2022·陕西）问题提出(1)如图1，是等边的中线，点P在的延长线上，且，则的度数为__________．

问题探究(2)如图2，在中，．过点A作，且，过点P作直线，分别交于点O、E，求四边形的面积．

问题解决(3)如图3，现有一块型板材，为钝角，．工人师傅想用这块板材裁出一个型部件，并要求．工人师傅在这块板材上的作法如下：

①以点C为圆心，以长为半径画弧，交于点D，连接；

②作的垂直平分线l，与于点E；

③以点A为圆心，以长为半径画弧，交直线l于点P，连接，得．

请问，若按上述作法，裁得的型部件是否符合要求？请证明你的结论．