2022年中考数学冲刺+挑战压轴题专题汇编02 填空题

2022年中考数学冲刺 挑战压轴题专题汇编（苏州考卷）

02挑战压轴题（填空题）

1．（2021·江苏苏州）如图，射线、互相垂直，，点位于射线的上方，且在线段的垂直平分线上，连接，．将线段绕点按逆时针方向旋转得到对应线段，若点恰好落在射线上，则点到射线的距离______．

2．（2020·江苏苏州）如图，已知是一个锐角，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，画射线．过点作，交射线于点，过点作，交于点．设，，则________．

3．（2019·江苏苏州）如图，一块含有角的直角三角板，外框的一条直角边长为，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为，则图中阴影部分的面积为_______(结果保留根号)

4．（黑龙江省哈尔滨市第十七中学2021-2022学年八年级下学期开学考试数学试题）如图，等边中，点D、点E在AB上，连接CD、CE，，点F在CE的延长线上，连接DF，点G在DF的延长线上，且，若BE=2AD，，，则GF=______．

5．（四川省成都市天府新区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点C为圆心，任意长为半径作弧，分别交AC，CB于点E和F；②分别以E，F为圆心，大于EF为半径画弧，两弧交于点D；③作射线CD交AB于点G；延长CA至H，使CH＝CB，连接HG，若AH＝2，AB＝5，则△AHG的周长为 _____．

6．（2022·重庆实验外国语学校八年级阶段练习）将矩形进行如图所示的折叠，使得点恰好落在的延长线上的点处，点落在点处，折痕分别与边、对角线交于点、，连接交边于点．若，，，则的长度为________．

7．（2021·湖北武汉·九年级阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D、E、F分别在边BC、AB和AC上，把△AEF沿直线EF折叠到△GEF，点A的对应点恰好落在线段FD上的点G处，把△BEG沿直线BG折叠，点E的对应点恰好落在点D处，线段FC与FD也恰好关于某条直线对称，则的值为 _____．

8．（2022·江苏省锡山高级中学实验学校模拟预测）如图，已知点A和y轴上的动点C(0，m)，点B在第二象限内，△ABO和△DBC都是等边三角形，点B、C、D按顺时针方向排列．将△CBD沿CD翻折得△CED，当点C在y轴上运动时，设点E的坐标为(x，y)，则y与x的函数关系式为________．

9．（2021·全国·九年级专题练习）如图，OA与OB是⊙O的两条互相垂直的半径，点C在OA上，，，连接BC并延长交⊙O于点D，则的面积是______

10．（2021·江苏·姜堰区实验初中八年级阶段练习）如图，在中，且的面积为，以、为边分别往的形外作等边、，分别过点、作、，连接、交于点，则线段的最小值为______________．

2022年中考数学冲刺 挑战压轴题专题汇编（苏州考卷）

02挑战压轴题（填空题）

1．（2021·江苏苏州）如图，射线、互相垂直，，点位于射线的上方，且在线段的垂直平分线上，连接，．将线段绕点按逆时针方向旋转得到对应线段，若点恰好落在射线上，则点到射线的距离______．

【答案】

【解析】

【分析】

添加辅助线，连接，过点作交ON与点P．根据旋转的性质，得到，在和中，，根据三角函数和已知线段的长度求出点到射线的距离．

【详解】

如图所示，连接，过点作交ON与点P．

∵线段绕点按逆时针方向旋转得到对应线段

∴，

∴

即

∵点在线段的垂直平分线上

∴，

∵

∴

∴

∴

【点睛】

本题主要考查旋转的性质和三角函数．对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连的线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．

2．（2020·江苏苏州）如图，已知是一个锐角，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，画射线．过点作，交射线于点，过点作，交于点．设，，则________．

【答案】

【解析】

【分析】

连接AB交OD于点H，过点A作AG⊥ON于点G，根据等腰三角形的性质得OH⊥AB，AH=BH，从而得四边形ABED是平行四边形，利用勾股定理和三角形的面积法，求得AG的值，进而即可求解．

【详解】

连接AB交OD于点H，过点A作AG⊥ON于点G，

由尺规作图步骤，可得：OD是∠MON的平分线，OA=OB，

∴OH⊥AB，AH=BH，

∵，

∴DE∥AB，

∵，

∴四边形ABED是平行四边形，

∴AB=DE=12，

∴AH=6，

∴OH=，

∵OB∙AG=AB∙OH，

∴AG===，

∴=．

故答案是：．

【点睛】

本题主要考查等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质定理，勾股定理，锐角三角函数的定义，添加合适的辅助线，构造直角三角形是解题的关键．

3．（2019·江苏苏州）如图，一块含有角的直角三角板，外框的一条直角边长为，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为，则图中阴影部分的面积为_______(结果保留根号)

【答案】

【解析】

【分析】

过顶点A作AB⊥大直角三角形底边，先求出CD，然后得到小等腰直角三角形的底和高，再利用大直角三角形的面积减去小直角三角形面积即可

【详解】

如图：过顶点A作AB⊥大直角三角形底边

由题意：

∴

        =cm

∴小等腰直角三角形的直角边为cm

∴大等腰直角三角形面积为10×10÷2=50cm2

小等腰直角三角形面积为=36-16cm2

∴

【点睛】

本题主要考查阴影部分面积的计算，涉及到直角三角形的基本性质，本题关键在于做出正确的辅助线进行计算

4．（黑龙江省哈尔滨市第十七中学2021-2022学年八年级下学期开学考试数学试题）如图，等边中，点D、点E在AB上，连接CD、CE，，点F在CE的延长线上，连接DF，点G在DF的延长线上，且，若BE=2AD，，，则GF=______．

【答案】

【解析】

【分析】

将绕点C逆时针旋转，得到，连接DH、EH，过点H作交BA延长线于点P．根据旋转易证，，为等边三角形．即可得出，．从而可得出．由题意，即可推出，从而可证，进而可证．由题意，可求出．即可证明，再结合题意，可证明，得出，由此即易证，得出，即，最后再根据题意，即可求出GF的长．

【详解】

解：如图，将绕点C逆时针旋转，得到，连接DH、EH，过点H作交BA延长线于点P．

∵为等边三角形，

∴．

∴由旋转可知，，，．

∴，为等边三角形，

∴，，

∴．

∵，

∴．

∵，

∴．

∴，即．

∵，

∴，

∴．

∵，

∴．

∵，即，

∴，

∴．

即在和中，，

∴，

∴，

∵，

∴．

∵，

∴．

故答案为：．

【点睛】

本题为旋转综合题，考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，平行线的判定和性质，三角形全等的判定和性质等知识，综合性极强，困难题型．正确的作出辅助线是解题关键．

5．（四川省成都市天府新区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点C为圆心，任意长为半径作弧，分别交AC，CB于点E和F；②分别以E，F为圆心，大于EF为半径画弧，两弧交于点D；③作射线CD交AB于点G；延长CA至H，使CH＝CB，连接HG，若AH＝2，AB＝5，则△AHG的周长为 _____．

【答案】7

【解析】

【分析】

利用全等三角形的性质，证明GH=GB，根据△AHG的周长=AH+AG+GH=AH+AG+GB=AH+AB，可得结论．

【详解】

解：由作图可知，CH=CB，∠GCH=∠GCB，

在△GCH和△GCB中，

，

∴△GCH≌△GCB（SAS），

∴GH=GB，

∴△AHG的周长=AH+AG+GH=AH+AG+GB=AH+AB=2+5=7．

故答案为：7．

【点睛】

本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

6．（2022·重庆实验外国语学校八年级阶段练习）将矩形进行如图所示的折叠，使得点恰好落在的延长线上的点处，点落在点处，折痕分别与边、对角线交于点、，连接交边于点．若，，，则的长度为________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据题意易证，即得出．利用勾股定理即可求出CE的长，再根据题意易证，即得出，代入数据即可求出的长，从而可求出ED的长，又易证，即得出，代入数据即可求出EI的长．

【详解】

解：由翻折可知，在和中，，

∴，

∴．

∵，

∴．

∵，，

∴，

∴，

即，

解得：，

∴．

∵，，

∴，

∴，即

解得：．

故答案为：．

【点睛】

本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理以及三角形相似的判定和性质．数据处理较大，较难，解题的关键是利用数形结合的思想来求解．

7．（2021·湖北武汉·九年级阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D、E、F分别在边BC、AB和AC上，把△AEF沿直线EF折叠到△GEF，点A的对应点恰好落在线段FD上的点G处，把△BEG沿直线BG折叠，点E的对应点恰好落在点D处，线段FC与FD也恰好关于某条直线对称，则的值为 _____．

【答案】

【解析】

【分析】

根据线段FC与FD也恰好关于某条直线对称，可得FC＝FD，由折叠可得∠AFEAFG（∠C+∠FDC）＝∠C，所以EF∥BC，得，然后证明∠FEA＝30°，再利用特殊角三角函数值即可解决问题．

【详解】

解：∵线段FC与FD也恰好关于某条直线对称，

∴FC＝FD，

∴∠FDC＝∠C，

由折叠可知：∠AFEAFG（∠C+∠FDC）＝∠C，

∴EF∥BC，

∴，

∴，

由折叠可知：∠BEG＝∠BDG，

∴∠AEG＝∠FDC，

∴∠AEG＝∠C，

∴∠AEFGEACEFA，

∵∠A＝90°，

∴∠FEA+∠EFA＝90°，

∴∠FEA＝30°，

∴tan30°．

∴的值为．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查折叠的性质、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质，解直角三角形，同时还考查了分类讨论的数学思想．解决本题的关键是掌握翻折的性质．

8．（2022·江苏省锡山高级中学实验学校模拟预测）如图，已知点A和y轴上的动点C(0，m)，点B在第二象限内，△ABO和△DBC都是等边三角形，点B、C、D按顺时针方向排列．将△CBD沿CD翻折得△CED，当点C在y轴上运动时，设点E的坐标为(x，y)，则y与x的函数关系式为________．

【答案】

【解析】

【分析】

连接AD、BE，过D作DM⊥y轴于M，先证明△ABD≌△OBC，根据全等三角形的性质即可得出AD=OC；进而得出点D的坐标，由△AOB为等边三角形结合点A、O的坐标即可得出点B的坐标，由翻折的性质可得出四边形BCED是菱形，再根据菱形的性质结合点B、C、D的坐标即可得出点E的坐标，根据点E坐标的横纵坐标之间的关系即可得出结论；

【详解】

解：连接AD、BE，过D作DM⊥y轴于M，如图1所示，

:△AOB和△BCD都是等边三角形，

..AB=OB，BD=BC，∠ABO=∠CBD=60°，

∠ABD=∠ABO+∠OBD，∠OBC=∠OBD+∠DBC，

∠ABD=∠OBC；

在△ABD和△OBC中，有，

(SAS)，

AD=OC，AD=OC=m，∠DAM=∠BAO-∠BAD=60°-(90°-60°)=30°DM=ADsin∠DAM=m，AM=ADcos∠DAM=m，

A，

D(，m，)，

将△CBD沿CD翻折得△CED且△BCD是等边三角形，

四边形BCED是菱形，

BE、CD互相平分，

△AOB是等边三角形，且点O(0，0)，点A，

点B，

点E

点E在图形上运动．

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、特殊角的三角函数值以及一次函数图象上点的坐标特征，证明△ABD≌△OBC和求出点E的坐标是解题的关键．

9．（2021·全国·九年级专题练习）如图，OA与OB是⊙O的两条互相垂直的半径，点C在OA上，，，连接BC并延长交⊙O于点D，则的面积是______

【答案】

【解析】

【分析】

方法1：要求的面积，已知，将问题转化为求OC边上的高DH．显然，得到CH与DH的关系，再在中利用勾股定理建立等量关系．

方法2：发现与有一边共线，共线边上的高OE是相同的。先在求得BC，OE，CE，BE，然后求出CD的长，再利用求解．

方法3：要求的面积，已知，将问题转化为求OC边上的高DH．显然，，由已知条件OC，AC及求得BC，再利用圆中相似三角形求得CD的长．

方法4：要求的面积，将问题转化为求OC边上的高．由条件可知中，，，自然想到构造一个“A”型相似基本图形，从而建立与高OE有关的等量关系．

方法5：已知，将问题转化为求OC边上的高DH．由，，可建立直角坐标系，将线段长度转化为求点的坐标．

【详解】

妙解1

如图2，过点D作于点H，

∵，AC=2，

∴，

∵，，

∴，

∴．

不妨设，则，

在中，，，

∴，

解得，

∴，

∴．

妙解2

如图3，过点O作于点E，

∵，AC=2，

∴．

在中，由，

∴，

∵，，

∴，

∴，

．

∵，

∴，

∴，

∴．

妙解3

如图4，过点D作 于点H，延长AO交圆于点E．

在中，，，

于是有．

由得（即相交弦定理），

∴ 由．

∵，，

∴，

∴ ， 即，

解得，

∴．

妙解4

如图5，过点D作 交BO的延长线于点E．

∵，

∴，

∴．

设，

则，即，．

在 中，由勾股定理得

，即，

解得．

∴，，

．

妙解5

如图6，以O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，过点D作于点H．

在中，，，

则，，

所以直线BC的解析式为．

不妨设，则，

在中，，

∴，

解得，

∴，

∴．

故答案为．

【点睛】

本题考查圆的三角形面积，圆中半径，勾股定理，三角形相似，相交弦定理，直角坐标系解析法等涉及知识多，难度大，利用辅助线画出准确图形是关键．

10．（2021·江苏·姜堰区实验初中八年级阶段练习）如图，在中，且的面积为，以、为边分别往的形外作等边、，分别过点、作、，连接、交于点，则线段的最小值为______________．

【答案】

【解析】

【分析】

连接AE，BE，先证明ECA≌△BDE，得到AE=BE，再证明△ECA≌△BPA，AB=AE=BE，即可得到△ABE是等边三角形，由AB长度和位置固定，则 E点位置固定过点E作EF⊥AB于F，当OE最小时，即PE最小，当P在EF上时，此时EP有最小值，由此求解即可得到答案．

【详解】

解：如图所示，连接AE，BE，

∵CE//DP、DE//PC，

∴四边形CPDE是平行四边形，∠ECP=∠EDP，∠ECP+∠CPD=180°

∴PE=2OE，CE=PD，ED=PC，∠CPD=180°-∠ECP

∵△PAC、△PDB都是等边三角形，

∴AP=AC=PC=ED，CE=PD=BP=BD，∠ACP=∠CPA=∠DPB=∠DBP=∠BDP=60°

∴∠ECA=∠ECP+∠ACP=∠EDB=∠BDP+∠EDP，

∴△ECA≌△BDE（SAS），

∴AE=BE，

∵∠CPD+∠CPA+∠APB+∠BPD=360°，

∴∠APB+120°+180°-∠ECP=360°，

∴∠APB=60°+∠ECP=∠ECA，

∴△ECA≌△BPA（SAS），

∴AB=AE=BE，

∴△ABE是等边三角形，

∵AB长度和位置固定，

∴E点位置固定

过点E作EF⊥AB于F，

∴AF=5，

∴

∵PE=2OE，

∴当OE最小时，即PE最小，

∴当P在EF上时，此时EP有最小值，

∴此时有

∴ ，

∴

∴ ，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．