人教版七年级下册第五章 相交线与平行线5.3 平行线的性质5.3.2 命题、定理、证明教案设计

5.3.2 命题、定理、证明

一、教学目标

【知识与技能】

1.理解命题，定理及证明的概念，会区分命题的题设和结论.

2.会判断真假命题，知道证明的意义及必要性，了解反例的作用.

3.理解证明要步步有据，培养学生养成科学严谨的学习态度.

【过程与方法】

经历判断命题真假的过程，对命题的真假有一个初步的了解.

【情感态度与价值观】

初步培养学生不同几何语言相互转化的能力.   

二、课型

新授课

三、课时

1课时

四、教学重难点

【教学重点】 

命题的概念和区分命题的题设与结论.

【教学难点】

区分命题的题设和结论.

五、课前准备 

教师：课件、三角尺、直尺等.

学生：三角尺、铅笔、练习本.

六、教学过程

（一）导入新课（出示课件2）

让学生阅读课件中的两个例子，讨论句子含义。

（二）探索新知

1.出示课件4-5，探究命题的概念

教师出示问题：

完成下列问题：

请同学读出下列语句：

（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；

（2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；

（3）对顶角相等；

（4）等式两边都加同一个数，结果仍是等式．

这些句子有何特点？

学生答：都对事情做出了判定.

教师问：这样的句子叫做命题.什么叫做命题？

学生答：像这样判断一件事情的语句，叫做命题.

总结点拨：（出示课件5）

教师强调：

1.只要对一件事情作出了判断,不管正确与否,都是命题.

如：相等的角是对顶角.

2.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,那么它就不是命题.如：画线段AB=CD.

考点1：命题的识别

判断下列四个语句中，哪个是命题， 哪个不是命题？并说明理由：

（1）对顶角相等吗？

（2）画一条线段AB=2cm;

（3）两条直线平行，同位角相等；

（4）相等的两个角，一定是对顶角.（出示课件6）

师生共同讨论解答如下：

解：（3）（4）是命题，（1）（2）不是命题.

理由如下：（1）是问句，故不是命题；（2）是做一件事情，也不是命题.

总结点拨：①命题必须是一个完整的句子，而且必须做出肯定或否定的判断．疑问句、感叹句、作图过程的叙述都不是命题；②命题常见的关键词有“是”“不是”“相等”“不相等”“如果……那么……”．

出示课件7，学生自主练习后口答，教师订正.

2.出示课件8-10，命题的构成

教师问：观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？与同伴交流.

（1）如果两个三角形的三条边相等，那么这两个三角形的周长相等；

（2）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等；

（3）如果一个数的平方等于9，那么这个数是3.

学生答：都是“如果……那么……”的形式.

教师问：命题一般都可以写成“如果……那么……”的形式.

1.“如果”后接的部分是题设,

2.“那么”后接的部分是结论.

如命题：熊猫没有翅膀.改写为：“如果……那么……”的形式.

学生答：如果这个动物是熊猫，那么它就没有翅膀.

师生一起总结：添加“如果”“那么”后，命题的意义不能改变，改写的句子要完整，语句要通顺，使命题的题设和结论更明朗，易于分辨，改写过程中，要适当增加词语，切不可生搬硬套.

总结点拨：（出示课件10）

命题的组成：   题设——已知事项  

命题

                结论——由已知事项推出的事项

两直线平行，同位角相等

题设（条件）       结论

考点2：命题表述形式的变换

分别把下列命题写成“如果……那么……”的形式.

(1)两点确定一条直线；

(2)等角的补角相等；

(3)内错角相等. （出示课件11）

学生独立思考后，师生共同分析解答.

教师依次展示学生解答过程：

学生1解：(1)如果有两个定点，那么过这两点有且只有一条直线；

学生2解：(2)如果两个角分别是两个等角的补角，那么这两个角相等；

学生3解：(3)如果两个角是内错角，那么这两个角相等.

总结点拨：把命题写成“如果……那么……”的形式时，应添加适当的词语，使语句通顺．

出示课件12，学生自主练习后口答，教师订正.

3.出示课件13，探究真假命题的概念.

教师问：有些命题如果题设成立，那么结论一定成立；而有些命题题设成立时，结论不一定成立. 如命题：“如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除”是条件也成立，结论也成立吗？

学生答：如命题：“如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除”是条件也成立，结论也成立.

教师问：上面的命题：条件也成立，结论也成立.这样的命题是正确命题. 如命题：“如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除”是一个正确的命题吗？

学生答：是一个正确的命题.

教师问：有些命题题设成立时，结论不一定成立.这样的命题是错误的命题.如命题：“如果两个角互补，那么它们是邻补角”就是一个怎样的命题呢？

学生答：“如果两个角互补，那么它们是邻补角”就是一个错误的命题.

教师问：正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题.则命题“内错角相等，两直线平行”是真命题还是假命题？

学生答：是真命题.

教师问：怎样确定定一个命题真假呢？

师生一起解答：确定一个命题真假的方法：

利用已有的知识，通过观察、验证、推理、举反例等方法.

考点3：真假命题的识别

下列命题哪些命题是正确的，哪些命题是错误的？

（1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；

（2）等式两边都加同一个数，结果仍是等式；

（3）互为相反数的两个数相加得0；

（4）同旁内角互补；

（5）对顶角相等．

学生独立思考后，师生共同解答.

解：真命题有（2）、（3）、（5）；假命题有（1）、（4）.

总结点拨：判断一个命题是真命题还是假命题，就是判断一个命题是否正确，即由条件能否得出结论．如果命题正确，就是真命题；如果命题不正确，就是假命题．

出示课件15，学生自主练习后口答，教师订正.

4.出示课件16-19，探究证明和反证法（举反例）

教师出示问题：

一天早上，张老汉来到公安局里告状说：王五刚刚在他地里偷了一袋子苹果.公安局长立即派干警将王五传唤到公安局审讯:公安局长问张老汉：“你怎知是王五偷了你的苹果?”“因为早上我发现王五从苹果园那边过来，把一袋东西背回家，还发现我果园的苹果被人偷了，我知道王五家没有苹果树.所以我家苹果肯定是王五偷的.”

张老汉想证明什么？他是怎么证明的？

学生答：张老汉想证明偷了他的苹果，王五从他家的苹果园那边经过，把一袋东西背回家.

教师问：根据张老汉的证明，你能断定苹果是王五偷的吗？你觉得有疑点吗？

学生答：根据张老汉的证明，不能断定苹果是王五偷的，有疑点：因为只是经过，张老汉的推断太牵强.

总结点拨：（出示课件16）

这种从已知条件出发（列出理由），推断出结论的证明方法，叫综合法.综合法是最常用的证明方法.

教师出示问题：公安局长一时拿不定主意，就问旁边的梁副局长：“梁局长，你怎么看？”

梁局长会如何回答呢？

学生答：梁局长说“这事要证明是王五干的，还得弄清那袋子里装的是不是刚摘的苹果，还要看看地里的脚印是不是王五的才行.如果袋子里装的是刚摘的苹果，且地里的脚印是王五的，那就一定是他偷的.”

总结点拨：（出示课件17）

从结论出发，逆着寻找所需要的条件的思考过程，叫分析.在分析的过程中，如果发现所需要的条件，都已具备或可从已知条件中推得.那么证明就很容易了.

总结点拨：（出示课件18）

证明的概念

在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明.

教师强调：证明的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等.

教师问：如何判定一个命题是假命题呢？

学生答：举一个反例即可.

教师问：例如，要判定命题“相等的角是对顶角”是假命题如何证明？

师生一起解答：可以举出如下反例：如图，OC是∠AOB的平分线， ∠1=∠2，但它们不是对顶角.

总结点拨：（出示课件19）确定一个命题是假命题的方法：

只要举出一个例子（反例）：它符合命题的题设，但不满足结论即可.

考点4：利用证明推理解决问题

如图，∠1=∠2，试说明直线AB，CD平行.（出示课件20）

师生共同分析：

要证明AB，CD平行，就需要同位角相等的条件，图中∠1与∠3就是同位角.我们只要找到：能说明它们相等的条件就行了.从图中，我们可以发现：∠2与∠3是对顶角，所以∠3=∠2.这样我们就找到了∠1与∠3相等的确切条件了.

学生独立思考后，师生共同解答.

证明：∵∠2与∠3是对顶角，

∴∠3=∠2.

又∵∠1=∠2,

∴∠1=∠3.

∴AB∥CD.

出示课件21，学生自主练习，教师给出答案。

5.出示课件23-24，探究公理和定理的概念

教师问：数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.我们学习过的公里有哪些？

教师依次展示学生答案：

学生1答：直线公理：两点确定一条直线.

学生2答：线段公理：两点间线段最短.

学生3答：平行线公理：经过直线外的一点有且仅有一条直线与已知直线平行.

教师问：有些命题是基本事实，还有些命题它们的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理.定理也可以作为继续推理的依据.我们学过的定理有哪些？

教师依次展示学生答案：

学生1答：补角的性质：同角或等角的补角相等.

学生2答：余角的性质：同角或等角的余角相等.

学生3答：对顶角的性质：对顶角相等.

学生4答：垂线的性质：①在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②垂线段最短.

教师总结如下：

学过的定理：（1）补角的性质：同角或等角的补角相等.

（2）余角的性质：同角或等角的余角相等.

（3）对顶角的性质：对顶角相等.

（4）垂线的性质：①在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②垂线段最短.

考点5：利用公理定理进行推理

  已知：b∥c， a⊥b ．求证：a⊥c．（出示课件25）

学生独立思考后，师生共同解答.

证明： ∵ a ⊥b（已知）,

∴ ∠1=90°（垂直的定义）.

又∵  b ∥ c（已知）,

∴ ∠2=∠1=90°（两直线平行，同位角相等）.

∴ a ⊥ c（垂直的定义）.

出示课件26，学生自主练习，教师给出答案.

教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么样吧.

（三）课堂练习（出示课件27-35）

练习课件第27-35页题目，约用时20分钟.

（四）课堂小结（出示课件36）

（五）课前预习

预习下节课（5.4第1课时）的相关内容.

知道平移的定义和平移的画法.

七、课后作业

教材第22页练习第1,2题.

八、板书设计

1.知识梳理：

命题

   2.考点讲解

   考点1  考点2  考点3  考点4   考点5

九、教学反思

成功之处：本节课通过命题及其证明的学习，让学生感受到要说明一个定理成立，应当证明；要说明一个命题是假命题，可以举反例．同时让学生感受到数学的严谨，初步养成学生言之有理、落笔有据的推理习惯，发展初步的演绎推理能力

不足之处：课堂上高估了学生的能力，学生对推理过程的书写错误较多，定理、公理的应用不熟练，需要在后边的学习中加以强调.