初中数学人教版七年级下册第五章 相交线与平行线5.3 平行线的性质5.3.2 命题、定理、证明教案

教学目标

1.了解命题的概念以及命题的构成.

2.知道什么是真命题和假命题，并会判断命题的真假.

3.理解什么是定理和证明.

4.初步体会命题在数学中的应用，感受数学语言的严谨性，培养学生的语言表达能力和归纳能力.

教学重难点

重点：区分命题的题设和结论.

难点：找出题设和结论不明显的命题的题设和结论；举反例判断一个简单命题是假命题.

课前准备

多媒体课件

教学过程

导入新课

导入模式

教师：在我们日常讲话中，经常会遇到这样的语句(多媒体展示)，如：

(1)中华人民共和国的首都是北京；

(2)我们班的同学多么聪明；

(3)浪费是可耻的；

(4)春天万物更新.

在几何里，我们同样会有这样的语句，如：

(1)平行于同一条直线的两条直线平行；

(2)对顶角相等.

观察一下，它们有什么共同点，在语文学习当中，我们把这样的句子叫做什么语句呢？

师生活动

先让学生交流，然后学生代表回答.

设计意图

在教学过程中，将创设的问题情境和语文联系起来，不仅容易激发学生的好奇心，引起学生的学习兴趣，而且渗透了“学科间的整合”，提升了学生的核心素养.

教师：像这样的判断句，在数学当中经常遇到，如(多媒体展示)：

板书

(1)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；

(2)等式两边都加上同一个数，结果仍是等式；

(3)对顶角相等；

(4)如果两条直线不平行，那么同位角不相等.

教师提问：你们能说一说这4个语句有什么共同点吗？

学生在教师的引导下分析每个语句的特点，并能总结出这些语句都是对某一件事情作出“是”或“不是”的判断.初步感受到有些数学语言是对某一件事作出判断的.

探究新知

探究点一：命题的概念

教师：像这些语句一样，判断一件事情的语句，叫做命题.现在同学们判断下列语句是不是命题.

(1)两点之间，线段最短.

(2)画出两条互相平行的直线.

(3)过直线外一点，作已知直线的垂线.

(4)a，b两条直线平行吗？

(5)玫瑰花是动物.

(6)若＝，则a＝b.

一名学生判断回答，不对的题目，其他同学补充纠正.

请同学们再举出“命题”的例子.师生共同判断，给予评价.

教师归纳：判断语句是否为命题要紧扣两条：(1)命题必须是一个完整的句子，通常是陈述句，疑问句和命令性语句都不是命题；(2)必须对某一件事件作出肯定或否定的判断.这两条缺一不可.

设计意图

通过具体的实例，让学生了解命题.

探究点二：命题的组成

教师：观察黑板上的命题，思考：命题由哪几个部分组成？

师生活动

学生在明确命题概念的基础上分小组讨论命题的结构，让学生总结出命题的结构.

命题由题设和结论两部分组成.题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.

教师：你们是怎样寻找题设和结论的.学生代表回答，教师引导得出结论：任何一个命题，都可以写成“如果……那么……”的形式.

“如果”后面的是题设，“那么”后面的是结论.

请大家指出“对顶角相等”这一命题的题设，结论，并写成“如果……，那么……”的形式.

师生活动

结合我们学习的这一章内容，找出命题(本章中学到的结论)，并指出命题的题设、结论.

设计意图

充分发挥小组讨论的优势，让学生积极参与到学习过程中，让学生总结出命题的结构.

探究点三：真命题与假命题

教师：判断下列语句是不是命题，是命题的指出命题的题设和结论，并判断此命题是否正确.

(1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点；

(2)两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行；

(3)相等的角是对顶角；

(4)任意两个直角都相等.

学生独立思考，学生代表回答，其他同学纠正补充，最后总结结果：四个语句都是命题.

命题(1)的题设是“两直线相交”，结论是“只有一个交点”；

命题(2)的题设是“两条直线被第三条直线所截形成的同旁内角互补”，结论是“这两条直线平行”；

命题(3)的题设是“两个角相等”，结论是“它们是对顶角”；

命题(4)的题设是“两个角是直角”，结论是“它们相等”.

其中(1)(2)(4)是正确命题，(3)是错误命题.

教师总结：如果命题的题设成立，那么结论一定成立，像这样的命题称为真命题；如果命题的题设成立时，不能保证结论一定成立，像这样的命题称为假命题.判断一个命题是真命题，必须经过推理证实；判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可.

设计意图

通过分析语句，练习了找命题的题设和结论，更容易回答出命题的正确与否.

探究点四：定理

教师：请同学们判断下列命题哪些是真命题？哪些是假命题？

(1)在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么也垂直于另一条；

(2)如果两个角互补，那么它们是邻补角；

(3)如果｜a｜＝|b|，那么a＝b；

(4)经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；

(5)两点确定一条直线.

师生活动

学生代表回答，如果出现错误或不完整，请其他学生修正或补充，教师点评.

教师归纳：上述问题中(1)(4)(5)的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理.定理也可以作为继续推理的依据.前面学过的一些图形的性质，都是真命题，例如“两条直线平行，同旁内角互补”等.

教师追问：经过推理证明得到的真命题叫做定理.同学们能说出我们学过的定理有哪些吗？

学生独立思考，然后回答，师生共同补充学过的定理.

设计意图

学生积极思考教师所提出的问题，练习怎样判断真、假命题.以上面问题中的真命题为切入点引出定理的概念.

让学生回顾学过的定理，进一步加深对定理概念的理解.

探究点五：证明

教师：请同学们判断下列两个命题的真假，并思考如何判断命题的真假.

命题1： 在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条.

教师：命题1是真命题还是假命题？

学生抢答：真命题.

教师：你能将命题1所叙述的内容用图形语言表达出来吗？

学生画出图1：

图1

教师：这个命题的题设和结论分别是什么呢？

学生回答：题设：在同一平面内，一条直线垂直于两条平行线中的一条；

结论：这条直线也垂直于两条平行线中的另一条.

教师：你能结合图形用几何语言表述命题的题设和结论吗？

学生回答：在同一平面内，若b∥c，a⊥b，则a⊥c.

教师：请同学们思考如何利用已经学过的定义、定理来证明这个结论呢？

已知：在同一平面内，b∥c，a⊥b.求证：a⊥c.

证明：如图1，∵ a⊥b(已知)，∴ ∠1＝90°(垂直的定义).

又∵ b∥c(已知)，

∴ ∠1＝∠2(两直线平行，同位角相等).

∴ ∠2＝∠1＝90°(等量代换).∴ a⊥c(垂直的定义).

教师：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过一系列推理，才能做出判断，这个推理的过程叫做证明.刚才我们对命题1作出了判断，经过一系列的过程对命题1进行了证明，回顾一下，证明一个命题的正确性要分为几个步骤.

学生思考交流，学生代表回答，其他同学补充，教师引导得出结论.要证明一个命题的正确性要分为三步：第一步，分析命题的题设和结论；第二步，根据命题画出图形，结合图形，根据题设写出已知，根据结论写出求证；第三步，书写证明过程.

教师：对于命题1这个真命题，经过了三步，我们证明了它的正确性，大家接着看.

命题2：相等的角是对顶角.

教师：判断这个命题的真假.

学生回答：假命题.

教师：这个命题的题设和结论分别是什么？

学生回答：题设：两个角相等；结论：这两个角互为对顶角.

教师：我们知道假命题是在题设成立的前提下，结论不一定成立，你能否利用图形举例说明当两个角相等时它们不一定是对顶角的关系？

学生画图回答：如图2所示，OC是∠AOB的平分线，∠1＝∠2，但它们不是对顶角.

图2

教师总结：要证明一个命题是假命题，只要举一个反例即可.

设计意图

通过分析两个命题，让学生学会如何判断命题的真假，怎样来证明命题的真假.通过对命题1正确性的推理，来说明什么是证明.证明一个命题为真命题的步骤又有哪些？渗透了“推理”与“证明”的联系、区别.判断一个命题是假命题，只要举出一个反例就可以了.

新知应用

例1  把命题“同位角相等”改写成“如果……那么……”的形式，并分别指出命题的题设和结论.

学生代表回答，其他同学补充纠正，教师引导，得出结论.

解：可以写成“如果两个角是同位角，那么这两个角相等”.题设是“两个角是同位角”，结论是“这两个角相等”.

设计意图

练习命题的改写以及分清命题的题设和结论.

例2  下列命题哪些是正确的，哪些是错误的？

(1)两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；

(2)等式两边都加上同一个数，结果仍是等式；

(3)互为相反数的两个数相加得0；

(4)同旁内角互补；

(5)对顶角相等.

师生活动

学生独立完成，并回答.

解：(1)(4)错误，(2)(3)(5)正确.

设计意图

练习判断命题的正确与错误.

例3  完成下面的证明过程：

已知：如图3所示，∠1＝∠2，∠C＝∠D，求证：∠A＝∠F.

图3

证明：∵ ∠1＝∠2(已知)，∠2＝∠3(    )，

∴ ∠1＝        (等量代换)，

∴         ∥        (    )，

∴ ∠C＝∠4(    ).

又∵ ∠C＝∠D(已知)，

∴ ∠D＝∠4(    )，

∴ DF∥AC(    )，

∴ ∠A＝∠F(    ).

学生独立完成，并回答.如果错误，其他同学补充.

答案：对顶角相等  ∠3  BD  CE  同位角相等  两直线平行  两直线平行，同位角相等  等量代换  内错角相等，两直线平行  两直线平行，内错角相等

教师：除以上证明方法以外，还有其他的方法吗？请同学们独立思考，再交流相法.

设计意图

让学生熟悉证明的过程，会填写出一些证明的关键步骤和理由.通过不同方法的引导，拓展学生思维，逐步提高推理能力.

课堂练习

(见导学案“当堂达标”)

参考答案

1.A  2.C  3.若∠α＝50°，∠β＝60°，则∠α+∠β＞90°(答案不唯一)

4.①②④

5.①②  ④  平行于同一条直线的两条直线平行(答案不唯一)

6.对顶角相等  等量代换  同位角相等，两直线平行  两直线平行，内错角相等  等式的性质  内错角相等，两直线平行

7.解：(1)如果两条直线平行，那么同位角相等.题设：两条直线平行；结论：同位角相等.

(2)如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等.题设：两个角是同一个角的补角；结论：这两个角相等.

(3)如果过已知两点画直线，那么能够画而且只能画一条.题设：过已知两点画直线；结论：能画且只能画一条.

(4)如果一个角小于直角，那么这个角叫做锐角.题设：一个角小于直角；结论：这个角叫做锐角.

8.解：(1)已知∠B＝∠D，∠A＝∠C，证明∠1＝∠2.

证明：∵ ∠A＝∠C，∴ AB∥CD.

∴ ∠B＝∠BFC.

∵ ∠B＝∠D，∴ ∠BFC＝∠D，

∴ DE∥BF，∴ ∠DMN＝∠2.

∵ ∠1＝∠DMN，∴ ∠1＝∠2.

(2)已知∠B＝∠D，∠1＝∠2，证明∠A＝∠C.

证明：∵ ∠1＝∠2，∠1＝∠DMN，

∴ ∠DMN＝∠2.

∴ DE∥BF，∴ ∠BFC＝∠D.

∵ ∠B＝∠D，∴ ∠B＝∠BFC.

∴ AB∥CD.∴ ∠A＝∠C.

(3)已知∠1＝∠2，∠A＝∠C，证明∠B＝∠D.

证明：∵ ∠A＝∠C，∴ AB∥CD.

∴ ∠B＝∠BFC.

∵ ∠1＝∠2，∠1＝∠DMN，

∴ ∠DMN＝∠2，∴ DE∥BF.

∴ ∠BFC＝∠D.∴ ∠B＝∠D.

(见导学案“课后提升”)

参考答案

解：(1)命题一：如果①②成立，那么③成立；

命题二：如果①③成立，那么②成立；

命题三：如果②③成立，那么①成立.

(2)命题一：∵ AB∥CD，∴ ∠B＝∠CDF.

∵ ∠B＝∠C，∴ ∠C＝∠CDF.

∴ CE∥BF，∴ ∠E＝∠F，

∴ 命题一是真命题.

命题二：∵ AB∥CD，∴ ∠B＝∠CDF.

∵ ∠E＝∠F，∴ CE∥BF，

∴ ∠C＝∠CDF，∴ ∠B＝∠C，∴ 命题二为真命题.

命题三：∵ ∠E＝∠F，∴ CE∥BF，

∴ ∠C＝∠CDF.

又∵ ∠B＝∠C，∴ ∠B＝∠CDF，

∴ AB∥CD.

∴ 命题三为真命题.

课堂小结

教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：

1.什么叫做命题？你能举出一些例子吗？

2.命题是由哪两部分组成的？

3.举例说明什么是真命题，什么是假命题.

4.什么是定理？你学过哪些定理？

5.谈谈你对证明的理解.

布置作业

教材第23，24页习题5.3第6，12，13题

板书设计

教学反思