人教版九年级下册27.1 图形的相似同步练习题

这是一份人教版九年级下册27.1 图形的相似同步练习题，共47页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题27.11 由平行线截得的比例线段（培优篇）（专项练习）
一、单选题
1．如图，AD是△ABC的中线，E是AD中点，BE的延长线与AC交于点F，则AF:AC等于(     )

A．1:2 B．2:3 C．1:3 D．2:5
2．如图，正方形的边，上各有一个点，，连结，且，点，，分别在，，边上，连结，，，，其中与相交于点，，为求出平行四边形的面积，只需知道下列哪条边的长度（ ）

A． B． C． D．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90º，AC = BC = 4，CD⊥AB，垂足为D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为（       ）

A． B． C． D．
4．如图，△ABC中，点D是BC延长线上一点，且∠CAD=90°﹣∠BAC，过点C作CE∥AD交AB于点E，且∠ACE=3∠BCE，AC=3，BE=2，则CD的长为（       ）

A．8 B．7 C．6 D．5
5．如图，直角三角形ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，BE是角平分线．下列结论中：①AE＝3；②AF＝3；③DF＝2；④DE//AB．正确结论是（       ）

A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
6．如图，在△ABC中，过点A作AE⊥BC于点E，过点C作CD⊥AB于点D，AE，CD交于点F，连接BF．将△ABF沿BF翻折得到△A′BF，点A′恰好落在线段AC上且BA′交CD于点G，若AE＝EC，AC＝3，BE＝1，则BG＝（　　）

A．5 B． C． D．3
7．如图，在中，过点作于点，过点作于点，、交于点，连接．将沿翻折得到，点恰好落在线段上且交于点．若，，，则（ ）

A． B． C． D．3
8．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：①分别以点A、D为圆心，大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；②连结MN，分别交AB、AC于点E、F；③连结DE，DF．若BE＝8，AF＝4，CD＝3，则BD的长是（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8
9．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝3cm，动点P从点A出发，沿AB方向以每秒2cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC力向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC翻折，点P的对应点为R，设点Q运动的时间为t秒，若四边形PCRQ为菱形，则t的值为（　　）

A． B．2 C．1 D．
10．如图，已知直线AB：y=x+分别交x轴、y轴于点B、A两点，C（3，0），D、E分别为线段AO和线段AC上一动点，BE交y轴于点H，且AD＝CE，当BD＋BE的值最小时，则H点的坐标为（   ）

A．（0，4） B．（0，5） C．（0，） D．（0，）
二、填空题
11．如图，菱形的四个顶点位于坐标轴上，对角线，交于原点，线段的中点的坐标为，是菱形边上的点，若是等腰三角形，则点的坐标可能是________．

12．如图，在中，，，点是边上一点，且，连接，并取的中点，连接并延长，交于点，则的长为________．

13．如图，点E、F分别是矩形ABCD边BC和CD上的点，把△CEF沿直线EF折叠得到△GEF，再把△BEG沿直线BG折叠，点E的对应点H恰好落在对角线BD上，若此时F、G、H三点在同一条直线上，且线段HF与HD也恰好关于某条直线对称，则的值为______．

14．如图，在中，，点为中点，点在边上，，将沿折叠至，若，则______．

15．如图，已知正方形ABCD的边长为4．将正方形ABCD沿EF对折，使点D恰好落在边AB的中点G处，点C的对应点为点H，延长EG交CB的延长线于P，连接对角线BD，交折痕EF于Q，则线段PQ的长为___．

16．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（-m，m）（m＞0），过点P的直线AB与x轴负半轴交于点A，与直线y＝－x交于点B．若点A的坐标是（－6，0），且2AP＝3PB，则直线AB的函数表达式为______．

17．如图，中，，，点在的延长线上，且，连接并延长，作于，若，则的面积为______．

18．如图，在中，为边上的中线，是的角平分线，交于点F．则的长为______．

三、解答题
19．在8×6的网格中，A，B，C是格点，D是AB与网格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示：
(1) 在线段AC上取点E，使DE＝CD；
(2) 画格点F，使EFAB；
(3) 画点E关于AB的对称点G；
(4) 在射线AG上画点P，使∠PDE与∠GAE互补．






20．如图，在等边三角形中，点分别是边上的点，且，连接，交于点．
(1) 求证：．
(2) 若，求的值．
(3) 若点恰好落在以为直径的圆上，求的值．





21．在ABCD中，点E是AB的中点，点P是BC上一点，连接DE，交AP于点M．N是AP上一点，且AM=MN，连接BN并延长交DC于点F．
(1) 如图1，求证：四边形EBFD是平行四边形；
(2) 如图2，连接MC交BF于点H，过点A作AGMC交DE于点G．
① 求证：MC=2AG；
② 当点P为BC中点时，若BF=a，AP=b，且，直接写出相应的ABCD的面积（用含a，b的式子表示）．








22．阅读与计算，请阅读以下材料，完成相应的任务．
角平分线分线段成比例定理：
如图1，在△ABC中，AD平分，则．
下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图2，过C作，交BA的延长线于点E．
(1)任务一：请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
(2)任务二：如图3，△ABC中，E是BC中点，AD是的平分线，交AC于F．若，，直接写出线段FC的长．











23．已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，其中．
(1)若点，过点作，连接并延长与轴交于点，
①求的值；
②求证：；
(2)若点，求的最小值．


24．如图，在中，，，点为的中点，点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动，点出发后，过点作，交于点，连接．设点的运动时间为．
(1) 用含的式子表示的长；
(2) 求证：是等腰三角形；
(3) 当时（点和点，点和点是对应顶点），求的值；
(4) 连接，当的某一个顶点在的某条边的垂直平分线上时，直接写出的值．

参考答案
1．C
【分析】
作交于，根据平行线分线段成比例定理得到，得到答案．
解：作交于，
，是的中线，
，
，是中点，
，
，
，
故选：．

【点拨】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、添加辅助线，找准对应关系是解题的关键．
2．D
【分析】
解：设，根据正方形的性质及平行四边形的性质利用AAS易证明，得出，再根据平行成比例线段可得出，最后根据平行四边形的面积等于大正方形的面积减去两组全等三角形的面积，化简即可得出答案．
解：设
四边形ABCD为正方形
，
四边形EFGH是平行四边形
HG=EF，


，

在和中


，
同理可证明
S△BGH=S△DEF，S△AGF=S△CEH



即

S平行四边形EFGH=
故选D．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、正方形的性质、平行线成比例线段、全等三角形的判定及性质定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
3．C
【分析】
过点F作FH⊥AC于H，则△AFH∽△AEC，设FH为x，由已知条件可证明△CHF是等腰直角三角形，用x分别表示出FH、CH，利用FH=CH列方程即可求出x的值，利用DF=CD-CF即可求解．
解：如图，过点F作FH⊥AC于H．

在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=BC=4，
∴AB= ，
∵CD⊥AB，
∴CD=AD= ，
∵FH∥EC，
∴，
∵EC=EB=2，
∴，
∴设FH=，则AH=，CH=4-，
∵∠FCH=45°
∴CH=FH
∴
解得
∴
∴
故选C．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，解题的关键是做垂直，构造相似三角形．
4．A
【分析】
运用等腰三角形的性质，平行线的性质，得到∠B=2∠BCE；作AF⊥CE，垂足为F，延长AF交BC于点M，作EG∥AF，交BC于点G，由垂直平分线的性质定理，等腰三角形的性质，以及平行线的性质，求出BC的长度，即可得到答案．
解：∵∠CAD=90°﹣∠BAC，
∴，
∵，
∴，
∵CE∥AD，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵∠ACE=3∠BCE，
∴∠AEC=3∠BCE=∠B+∠BCE，
∴∠B=2∠BCE；
作AF⊥CE，垂足为F，延长AF交BC于点M，作EG∥AF，交BC于点G，如图：

∵△ACE是等腰三角形，
∴AF是CE的垂直平分线，
∴CM=EM，
∴∠MCE=∠MEC，
∴∠BME=2∠MCE=∠B，
∴BE=ME=MC=2，
∵EG∥AF，
∴∠GEC=90°，
∴MG=ME=MC=2，
∵，即，
∴，
∴，
∵，即，
∴；
故选：A．
【点拨】本题考查了平行线分线段成比例，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题．
5．A
【分析】
先过点E作EG⊥BC，垂足为点G，根据三角形的判定定理证明△ABE≌△GBE，再设AE=x，在Rt△CGE中，根据勾股定理解得AE=3，可判断①；根据平行线的性质可知∠AEB=∠AFE，所以AF=AE=3，可判断②；根据△ABC的面积可求得AD的长，由②知AF=3，故可求DF的长，可判断③；根据平行线分线段成比例可知，可判断④；
解：如图：过点E作EG⊥BC，垂足为点G，

∴∠EGB=∠EAB=90°，
∵BE是角平分线，∴∠ABE=∠GBE，
∴ ，
∴△ABE≌△GBE(AAS)
∴AE=GE，AB=BG=6，
∵AC=AE+CE=8，CG=BC-BG=4，
设AE=GE=x，
∴CE=8-x，
在Rt△CGE中，由勾股定理可得： ，
解得x=3，
∴AE=GE=3，故①正确；
由①中△ABE≌△GBE，得∠AEB=∠GEB，
∵EG⊥BC，AD⊥BC，
∴EG∥AD，
∴∠GEB=∠AFE，
∴∠AEB=∠AFE，
∴AF=AE=3，故②正确；
由△ABC的面积，得
，即
∴AD= ，
∴ ，故③不正确；
由①得AE=3，CE=5，
∴ ，
在Rt△ADC中， ，
∴ ，
∴ ，
∴DE不平行于AB，
故④错误；
故选：A．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，平行线分线段成比例，勾股定理，三角形的面积等知识；正确把握知识点的应用是解题的关键；
6．C
【分析】
由题意，先证明△ABE≌△CFE，得到EF=BE=1，然后由勾股定理求出AB=，再结合折叠的性质，以及平行线分线段成比例的性质，即可求出BG的长度．
解：∵CD⊥AB，AE⊥BC，
∴∠AEC=∠ADF=90°，
∵∠AFD=∠CFE，
∴∠BAE=∠FCE，
∵CE=AE，
∴△ABE≌△CFE（ASA），
∴EF=BE=1，
在直角△ACE中，AC=，AE=CE，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴，∠FAC=45°，
在直角△ABE中，由勾股定理，得
，
由折叠的性质，则，，
∴，
∴，
∴∥CE，
∴，
∵BC=3+1=4，，，
∴，
∴；
故选：C．
【点拨】本题考查了平行线分线段成比例，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，熟练运用数形结合的思想进行分析．
7．C
【分析】
由，，可证明，再根据题意即可证明．再由翻折的特点，可知，为等腰直角三角形，所以AE=EC=3，即求出AF长，由于，，可证明,即可证明，由平行线分线段成比例，可推出，即可得出BG长度．
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
由翻折可知：，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴
∴，
由平行线分线段成比例
∴
又∵，
∴
根据勾股定理
∴，
∴
故选C
【点拨】本题考查直角三角形、等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和平行线分线段成比例的性质．综合性较强，证明并正确利用平行线分线段成比例是解题关键．
8．C
【分析】
根据已知条件得出DE∥AC，AE=AF=4，再根据平行线分线段成比例定理的推论，即可得到BD的长．
解：∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠FAD，
由作图可得，EF垂直平分AD，

∴AE＝DE，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴∠FAD＝∠EDA，
∴，
∴∠AFE＝∠DEF，
又∵EA＝ED，EF⊥AD，
∴EF平分∠AED，
∴∠AEF＝∠DEF，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴AE＝AF＝4，
∵，
∴，即，
∴BD＝6，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了基本作图以及平行线分线段成比例定理的运用，平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例．
9．C
【分析】
作PE⊥BC于E，根据菱形的性质得到QE=EC，根据直角三角形的性质得到AB=6cm，根据平行线分线段成比例定理得到比例式，解出x的值即可．
解：作PE⊥BC于E．
∵四边形PCRQ为菱形，
∴QE=EC=（3﹣t）．
∵∠ACB=90°，∠A=30°，BC=3cm，
∴AB=6cm，
∴BP=6﹣2t．
∵PE⊥BC，∠ACB=90°，
∴PE∥AC，
∴，即，
解得：t=1．
故选C．
.
【点拨】本题考查了平行线分线段成比例定理、菱形的性质及翻折变换的性质，灵活运用翻折变换的性质、找准对应边和对应角是解题的关键．
10．A
【分析】
作EF⊥BC于F，设AD=EC=x．利用勾股定理可得BD+BE=+=+，要求BD+BE的最小值，相当于在x轴上找一点M（x，0），使得点M到G（，3），K（，）的距离之和最小．
解：由题意A（0，），B（－3，0），C（3，0），
∴AB=AC=8，
作EF⊥BC于F，设AD=EC=x．

∵EF∥AO，
∴，
∴EF=，CF=，
∵OH∥EF，
∴，
∴OH=，
∴BD+BE=+
=+，
要求BD+BE的最小值，相当于在x轴上找一点M（x，0），使得点M到K（，3），G（，）的距离之和最小．

设G关于x轴的对称点G′（，），直线G′K的解析式为y=kx+b，
则有，
解得k=，b=，
∴直线G′K的解析式为y=x，
当y=0时，x=，
∴当x=时，MG+MK的值最小，
此时OH===4，
∴当BD+BE的值最小时，则H点的坐标为（0，4），
故选A．
【点拨】本题考查一次函数图象上的点的特征、轴对称最短问题、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．
11．或或
【分析】
根据线段的中点的坐标为，易得，根据菱形的性质与直角三角形的性质，可得菱形的边长，，然后分别从①当时，②当时，③当时去分析求解即可求得答案．
解：①过点作于，延长交于点，连接，
∵点的坐标为，
∴在中，，，
∴，
∴，   
∵点为菱形的边的中点，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，，
∴点是线段的中点，点是线段的中点，
∴，，
，，
∴，
∴，
∴；   
②过点作于，延长交于点，
∵点为菱形的边的中点，
∴，
∴，
∴，，
∴点是线段的中点，点是线段的中点，
由①知：，，
∴，，，
∴，   
∴；
③过点作于，延长交于点，连接，，
由①知：，，，
∴，
∴，，
∴是等边三角形，
∴点是线段的中点，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，，
∴，   
∴，
根据题意，菱形关于坐标轴和原点对称，
∴．
综上所述，点的坐标是或或．

【点拨】本题考查菱形的性质，三角形的中位线，平行线分线段成比例，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，中点坐标等知识点．掌握菱形的性质及分类讨论是解答本题的关键．
12．##
【分析】
利用△ABC是直角三角形构造直角坐标系，过点D作DM⊥AC于M，过点D作DN⊥AB于N，利用图中各线段的长度，再结合一次函数、中点坐标公式可以求出图中各点的坐标，即可求出EF的长．
解：根据∠BAC=90°可知△ABC是直角三角形，则以直角△ABC的顶点A点为坐标原点O，以AC为x轴，以AB为y轴构造直角坐标系，过点D作DM⊥AC于M，过点D作DN⊥AB于N，如图，

由AB=AC=4，可知B点坐标为(4,0)，C点坐标为(0,4)，
则直线BC的解析式为，
∵BD=3CD，
∴4CD=BC，
∵DM⊥AC，DN⊥AB，
∴有，，
则有，即有：，
则可求得D点坐标为：(1,3)，
又∵E点为AD中点，
∴根据中点坐标公式又E点坐标为：，
则直线BE的解析式为：，
则易得F点坐标为：，
则EF的长度为：，
故答案为：．
【点拨】本题考查了运用直角坐标系求线段的长度的问题，设计根据点的坐标求解一次函数解析式、中点坐标公式、线段长度公式等知识，利用直角三角形的特点构建直角坐标系是解答本题的关键．
13．
【分析】
根据线段HF与HD也恰好关于某条直线对称，可得HF=HD，由折叠和同角的余角相等得，然后证明，再利用设元法即可解决问题．
解：∵线段HF与HD也恰好关于某条直线对称，
∴HF=HD，
∴∠HFD=∠FDH，
∴∠BHF=2∠HFD
由折叠可知：GF=CF，HG=CE=EG，
，∠BHG=∠BEG，∠CEF=∠GEF，
∵∠BEG+∠CEF+∠GEF=180°，
∴2∠HFD +2∠CEF=180°
∴∠HFD+∠CEF=90°，
又∵∠CFE +∠CEF=90°
∴，
又∵HF=HD，
∴△DHF是等边三角形，
∴∠CBD=∠CEF=30°，
∴，
设GF=CF=x，HF=DF=y，
则HG=CE=EG=，
HF=HG+GF=GE+CF，
即y=x+，
∵，
∴.
【点拨】本题主要考查折叠的性质、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质．解决本题的关键是掌握翻折的性质．
14．
【分析】
过点D作DH⊥BC于点H，交BE于点F，设BE与CD交于点M，由题意易得∠MEC=∠EMC，DH∥AC，则有，然后设，则有，进而可得，最后根据勾股定理可求解．
解：过点D作DH⊥BC于点H，交BE于点F，设BE与CD交于点M，如图所示：

∵，
∴DH∥AC，
∵点为中点，
∴，，
∴点F是BE的中点，
∵，
∴，
由折叠的性质可得：，
∵，
∴，
∴，
∵DH∥AC，
∴，
∴，
设，则有，，，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：，
解得：（负根舍去），
即；
故答案为．
【点拨】本题主要考查平行线所截线段成比例、勾股定理、一元二次方程的解法、等腰三角形的性质与判定、折叠的性质及直角三角形斜边中线定理，熟练掌握平行线所截线段成比例、勾股定理、一元二次方程的解法、等腰三角形的性质与判定、折叠的性质及直角三角形斜边中线定理是解题的关键．
15．
【分析】
如图，过点F作FJ⊥AD于J，过点Q作QK⊥BC于K．想办法求出PB，BK，QK，再利用勾股定理即可解决问题．
解：如图，过点F作FJ⊥AD于J，过点Q作QK⊥BC于K．

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠ABC=90°，AB=AD=4，
由翻折的性质可知，EG=DE，
设EG=DE=x，
在Rt△AEG中，则有22+（4-x）2=x2，
∴x=，
∴EG=DE=，
∵EF⊥DG，
∴∠FEJ+∠ADG=90°，∠ADG+∠AGD=90°，
∴∠FEJ=∠AGD，
∵∠A=∠FJE=90°，FJ=AB=AD，
∴△FJE≌△DAG（AAS），
∴EJ=AG=2，
∴DJ=CF=，
∴BF=BC-CF=，
∵BD=AB=4，DE∥BF，
∴BQ：DQ=BF：DE=7：5，
∴BQ=BD=，
∵∠KBQ=45°，
∴BK=QK=，
∵∠A=∠GBP=90°，AG=GB，∠AGE=∠BGP，
∴△AGE≌△BGP（ASA），
∴AE=PB=，
∴PK=PB+BK=+=，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题考查了翻折变换（折叠问题），正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
16．y＝
【分析】
过点B作BE⊥OA于点E，过点P作PQ⊥OA于Q，由2AP=3PB得出AQ：QE=AP：PB=3：2，PQ：BE=PA：AB=3：5，求出OE、QE、AQ，利用OA=OE+QE+AQ=6即可求解．
解：过点B作BE⊥OA于点E，过点P作PQ⊥OA于Q，

由题意得：∠AOB=60°，
∵PQ∥BE，
∴AQ：QE=AP：PB=3：2，PQ：BE=PA：AB=3：5，
∵PQ=m，OQ=，
∴BE=，
在Rt△OBC中，OE=，
∴
∴ ，解得：
∴，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A（-6，0），代入得，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝，
故答案为y＝．
【点拨】本题主要考查的是一次函数图象与系数的关系、一次函数的性质，涉及到解直角三角形、平行线分线段成比例等知识点，综合性强，由一定的难度．
17．
【分析】
过点B作BF⊥CD于F，由“AAS”可证△BFC≌△CEA，可得CF＝AE＝，BF＝CE，由平行线分线段成比例可求EF＝DF，由三角形中位线定理可求BF＝CE＝，由三角形面积公式可求解．
解：如图，过点B作BF⊥CD于F，

∴∠BFC＝∠AEC＝90°，
∴∠BCF+∠FBC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCF+∠ACE＝90°，
∴∠ACE＝∠FBC，
在△BFC与△CEA中，
，
∴△BFC≌△CEA（AAS），
∴CF＝AE＝，BF＝CE，
∵BF⊥CD，AE⊥CD，
∴BF∥AE，
∴，
∴EF＝DF，
又∵AB＝BD，
∴BF＝AE＝，
∴CE＝BF＝，
∴EF＝＝DF，
∴△BCD的面积＝×CD×BF＝×（）×＝．
故答案为：．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行线分线段成比例，三角形中位线定理，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．
18．
【分析】
过点E作EG⊥AB，垂足为G，证明△CBE≌△GBE，求得CE，EG，AE的长，过点F作FO⊥AC，垂足为O，利用平行线分线段成比例定理求解即可．
解：∵
∴AB==10，
过点E作EG⊥AB，垂足为G，

∵是的角平分线，
∴∠CBE=∠GBE，
∵∠C=∠BGE=90°，BE=BE，
∴△CBE≌△GBE，
∴BC=BG=6，EC=EG，
设CE=x，则EG=x，AE=8-x,AG=AB-BG=4,
在直角三角形AEG中，根据勾股定理，得，
即，
解得x=3，
∴CE=3，AE=5，
过点F作FO⊥AC，垂足为O，，
∴FO∥BC，
∴，
∴即FO=2OE，
∵AD是中线，BC=6，
∴CD=3，
∵FO∥DC，
∴，
∴，
解得OE=，
在直角三角形OEF中，，
∴EF==．
故答案为：．
【点拨】本题考查了勾股定理，三角形全等，平行线分线段成比例定理，中线，角的平分线，构造辅助线实施全等证明，平行线分线段成比例证明是解题的关键．
19．(1)作图见分析(2)作图见分析(3)作图见分析(4)作图见分析
【分析】
（1）根据等腰三角形的定义画出图形即可；
（2）取格点F，连接EF即可；
（3）取格点N，连接EN，取格点K，L，连接KL交NE于点G，利用平行线分线段成比例定理即可确定，点G即为所求；
（4）取格点M，连接CM，延长AG交CM于点P；点P即为所求．
解：(1)如图，点E即为所求；

(2)如图，线段EF即为所求；

(3)取格点N，连接EN，
此时，
取格点K，L，连接KL交NE于点G，
此时， ，

如图，点G即为所求

(4)取格点M，连接CM，延长AG交CM于点P
由题意得，AB是EG的垂直平分线







， ，

如图，点P即为所求；

【点拨】本题考查作图一轴对称变换，余角补角的定义，垂直平分线的性质，平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
20．(1)见分析(2)(3)2
【分析】
（1）由等边三角形的性质可得到，，利用SAS可以判定；
（2）根据，设，，则，，，
过点作交于点，利用平行线分线段成比例定理即可求解；
（3）先由证得，延长，交圆于点，连接，，则，在中，求得，最后证得，利用相似三角形的对应边成比例即可求解．
解：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴；
(2)∵，
∴设，，则，，，

过点作交于点，
则，
∴，解得，
∴，
∵，
∴，
∴，
(3)∵,
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴ ，
延长，交圆于点，连接，，则，
∵是圆的直径，
∴，
∴，
∴中，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．

【点拨】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理以及相似三角形的判定和性质，直径所对的圆周角是直径等，根据题意作出适当的辅助线是解题的关键 ．
21．(1)证明过程见详解；(2)①证明过程见详解，②ABCD的面积
【分析】
（1）先证明ME是三角形ABN的中位线，推出DEFB，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明即可．
（2）①先通过平行四边形的性质和等量代换证出点F是CD的中点，故FH是DMC的中位线，再证明AMGMNH，所以MH=AG，等量代换得MC=MH+HC=2МН=2AG．
②如下图，过点P作PR//BF，交AB的延长线于点R，过点C作CQBF，交AB的延长线于点Q，延长AP交CQ于点L，连接EF，从已知条件，判断图形中一定有一个直角三角形，由平行线的性质，逐步推出，b=；再带入上式可得是直角三角形，所以∠ANB=90°，故∠AME=90°，，
ABCD的面积就是4．
(1)解：∵AM=MN，
∴点M是AN的中点，
又∵点E是AB的中点，
∴EM是的中位线，
∴MEBN，
即DEFB，
在ABCD中，ABCD，
即DFEB，
∴四边形EBFD是平行四边形．
(2)①证明：四边形EBFD是平行四边形，
∴FHDM，EB=DF，
∵E是AB的中点，
∴EB=AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
故EB=CD，
∴DF=CD，
即F是CD的中点，
故FH是DMC的中位线，
∴MH=HC，
∵AG//MC，
∴∠GAM=∠HMN，
∵DE//BF，
∴∠GMA=∠HNM，
在AMG和MNH中，
，
∴AMGMNH(ASA)，
∴MH=AG，
∵MH=HC，
∴MC=MH+HC=2МН=2AG．
②解：过点P作PRBF，交AB的延长线于点R，过点C作CQBF，交AB的延长线于点Q，延长AP交CQ于点L，连接EF，如下图所示
∵DCAB，CQBF，
∴四边形FBQC是平行四边形，四边形BQLN是梯形，
∵BF=a，
∴BF=CQ=DE=a，
∵P是BC的中点，
∴PR既是BQC的中位线，又是梯形BQLN的中位线，
∴R是BQ的中点，P是NL的中点，且PR=CQ=a，
∵四边形EBFD是平行四边形，E是AB的中点，
∴M是AN的中点，
∴AM=MN，
同理：MN=NL，
设BR=m，NP=n，
则NL=2n，
∴AE=EB=2m，AM=MN=2n，
∴AB=4m，AP=5n，
∴AP=b，
∴b=5n，
故n=b，
根据平行线分线段成比例定理，得
，
∴，
∴BN=，
即，
又，
∴AN=，
∴AP=b，
∴AN=，
即b=，
由，
化简，得AB2=BN2+AN2，
∴∠ANB=90°，
故∠AME=90°，
∴，
=a×2n，
=a×2，
=ab，
∵AE=EB=DF=FC，AB//DC，
∴=，
∴S平行四边形ABCD=4，
=4×ab，
=．

【点拨】此题考查了平行四边形的性质、中位线定理、平行线的性质以及勾股定理，解题的关键是熟练运用以上知识正确作出辅助线，通过数形结合解决此题．
22．(1)见分析(2)13
【分析】
（1）根据得到，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E，根据∠1＝∠2，∴得到∠ACE＝∠E，AE＝AC，得到；
（2）根据AD平分∠BAC，AB=11，AC=15得到，得到，根据E是BC的中点，得到，根据EF∥AD，得到，
CF=13．
(1)证明：证明的剩余部分，
∴，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E，
∵∠1＝∠2，∴∠ACE＝∠E，∴AE＝AC，
∴，
即．
(2)解：∵AD平分∠BAC，AB=11，AC=15,
∴，
∴，
∴，
∴，
∵E是BC的中点，
∴，
∵EF∥AD，
∴，
∴CF=13．
【点拨】本题考查了角平分线性质的证明和应用，解决问题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，线段的和差倍分关系．
23．(1)①1；②见分析(2)
【分析】
（1）①将点A的坐标代入可得出答案；
②过点B作BD∥OP交x轴交于点D，延长AM交BD于点N，证明△OAM≌△OBD（ASA），得出OM＝OD；证明，则可得出结论；
（2）取点E，连接BE，过点A作AH⊥BE于H，过点M作PM⊥BE于P，，求出AH的长，则可得出答案．
解：(1)①∵在的图象上，
∴，
∴；
②过点作交轴交于点，延长交于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
由题意，可知，，
∴，
∴；
∵，
∴，即；

(2)如图，取点，连接，
过点作于，过点作于，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
，
∴，
（当且仅当，，三点共线时取等号，此时，点、重合），
∵，
∴，
∴的最小值．

【点拨】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，平行线分线段成比例定理，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
24．(1)(2)见分析(3)(4)或或或3
【分析】
（1）根据题意列出代数式即可；
（2）根据等边对等角，平行线的性质，等角对等边证明等腰三角形即可；
（3）根据全等三角形的性质可得，列出一元一次方程解方程求解即可；
（4）分四种情形，①当点C在DQ的垂直平分线上时，连接CD，过点D作DT⊥BC于T，过点作于点，连接，②当点A在DQ的垂直平分线上时，③当点C在PD的垂直平分线上时，④当点B在PD的垂直平分线上时，分别求解即可
解：(1)

(2)





是等腰三角形
(3)

即
解得
(4)①当在的垂直平分线上时，
连接，过点作于点，过点作于点，连接，如图，



中，
为的中点，为的中点


，

，




即
解得


当点在的垂直平分线上时，如图，

此时，此时
③当在的垂直平分线上时，如图，



此时
④当点在的垂直平分线上时，，此时

综上所述，满足条件的的值为或或或3
【点拨】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，分类讨论是解题的关键．