广东省广州市第七中学2022--2023学年九年级上学期数学期末试卷

这是一份广东省广州市第七中学2022--2023学年九年级上学期数学期末试卷，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

广东省广州市第七中学2022--2023学年九年级上学期数学期末试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．方程x2-x=0的根为（    ）
A．x1=x2=0 B．x1=1，x2=0
C．x1=1，x2=-1 D．x1=-1，x2=0
2．已知⊙O的半径为6cm，OP＝8cm，则点P和⊙O的位置关系是（  ）
A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．无法判断
3．点P(2,-3)关于原点对称的点P'的坐标是（   ）
A．(-2,3) B．(-2,-3) C．(-3,2) D．(3,-2)
4．将二次函数y=-5x2的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的图象的解析式为（    ）
A．y=-5x+22+3 B．y=-5x-22+3
C．y=-5x+22-3 D．y=-5x-22-3
5．在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球为白球的概率是23，则黄球的个数为（    ）
A．16 B．12 C．8 D．4
6．对于二次函数y=x2+4x+7，下列说法正确的是（    ）
A．当x<0，y随x的增大而减小 B．当x=-2时，y有最小值3
C．图象的顶点坐标为2,3 D．图象与x轴有两个交点
7．已知点（-2，a），（2，b），（3，c）在函数y=6x的图象上，则下列关于a，b，c的大小关系判断中，正确的是（    ）
A．a 8．两个相似三角形的最短边分别是5cm和3cm，它们的周长之差为12cm，那么小三角形的周长为（    ）
A．14cm B．16cm C．18cm D．30cm
9．如图，A、B、C、D是⊙O上的四点，BD为⊙O的直径，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADB的大小为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．75°
10．抛物线y=ax2+bx+c的大致图象如图所示，则下列说法中错误的是（   ）

A．abc<0
B．3a+c<0
C．当x=t时，y>0，若x=t-4，则y>0
D．ax2-1+bx-1≤0
11．如图，在⊙O中，AB=AC，BC=8．AC=45，I是△ABC的内心，则线段OI的值为（    ）

A．1 B．5-10 C．25-3 D．5-25
12．如图边长为4的正方形ABCD中，E为边AD上一点，且AE=1， F为边AB上一动点，将线段EF绕点F顺时针旋转90°得到线段 FG，连接DG，则DG的最小值为（ ）

A．522 B．4 C．22 D．322
二、填空题
13．已知反比例函数y＝k-2x的图象位于第一、第三象限，则k的取值范围是______．
14．若方程x2＋2x－11＝0的两根分别为m、n，则mn（m＋n）＝______．
15．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=kx的图象交于M2,m，N-1,n两点．使反比例函数的函数值大于一次函数的函数值的x的取值范围是______．

16．为控制物价上涨，有关部门进行多项举措，某种药品经过两次降价，每盒由原来的28.8元降至20元，求平均每次的降价率是多少？设平均每次的降价率为x，可列方程为______．
17．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB=2米，BD=1米，BE=0.2米，那么井深AC为______米．

18．如图，矩形OABC的面积为100，它的对角线OB与双曲线y=kx相交于点D，且OD:BD=3:2，则k=______．

19．如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，将△ABC绕点A逆时针方向旋转60°到△AB'C'的位置，连接C'B，则C'B的长为______．

20．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是边BC上一点，且BE=3，以点A为圆心，3为半径的圆分别交AB、AD于点F、G，DF与AE交于点H．并与⊙A交于点K，连接HG、CH．给出下列四个结论：①H是FK的中点；②△AHG∽△DHC；③S△HGD:S△HEC=9:16；④DK=1.4，其中正确的结论有______（填写所有正确结论的序号）．


三、解答题
21．图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点和O点都在正方形的顶点上．

(1)以点O为位似中心，在方格图中将△ABC放大为原来的2倍，得到△A1B1C1；
(2)将△A1B1C1绕点B1顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B1C2；
(3)在（2）的旋转过程中，点A1的运动路径长为_____，边C1B1扫过的区域面积为_____．
22．在甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字-1，-2，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，确定点M坐标为x,y．
(1)求从甲袋抽取小球的数字为奇数的概率是多少？
(2)用列表法或画树状图求点Mx,y在函数y=-x+1的图象上的概率．
23．如图，在△ABC中，∠ACB=90°．
（1）尺规作图：作⊙O，使圆心O在BC上，且⊙O与AC，AB都相切（不写作法与证明，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作的图中，若⊙O与AB相切于点D，与BC的另一个交点为E，BE=2，BD=4，求AC的长．

24．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用26m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设BC＝x m．
（1）若矩形花园ABCD的面积为165m2，求 x的值；
（2）若在P处有一棵树，树中心P与墙CD，AD的距离分别是13m和6m，要将这棵树围在花园内（考虑到树以后的生长，篱笆围矩形ABCD时，需将以P为圆心，1为半径的圆形区域围在内），求矩形花园ABCD面积S的最大值．

25．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的顶点P在抛物线F：y＝ax2上，直线x＝t与抛物线E，F分别交于点A，B．

(1)求a的值；
(2)将A，B的纵坐标分别记为yA，yB，设s＝yA﹣yB，若s的最大值为4，则m的值是多少？
(3)Q是x轴的正半轴上一点，且PQ的中点M恰好在抛物线F上．试探究：此时无论m为何负值，在y轴的负半轴上是否存在定点G，使∠PQG总为直角？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
26．已知⊙O为ΔACD的外接圆，AD=CD．
(1)如图1，延长AD至点B，使BD=AD，连接CB．

①求证：ΔABC为直角三角形；
②若⊙O的半径为4，AD=5，求BC的值；
(2)如图2，若∠ADC=90°，E为⊙O上的一点，且点D，E位于AC两侧，作ΔADE关于AD对称的图形ΔADQ，连接QC，试猜想QA，QC，QD三者之间的数量关系并给予证明．


参考答案
1．B
【分析】利用因式分解法求解即可．
【详解】解：x2-x=0，
∴xx-1=0，
∴x1=1，x2=0，
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是掌握因式分解法．
2．C
【分析】根据点与圆的位置关系即可求解．
【详解】∵⊙O的半径为6cm，OP＝8cm，
∴点P到圆心的距离OP＝8cm，大于半径6cm，
∴点P在圆外，
故选：C．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d=r；③点P在圆内⇔d＜r．
3．A
【分析】两点关于原点对称，则横坐标与纵坐标分别互为相反数，根据此特点即可完成．
【详解】点P(2,-3)关于原点对称的点P'的坐标是(-2,3)．
故选：A
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中两点关于原点对称的特点，掌握此特点是关键．
4．D
【分析】根据二次函数图象的平移规律即可得．
【详解】解：二次函数y=-5x2的图象先向右平移2个单位得到的函数图象的解析式为y=-5(x-2)2，再向下平移3个单位得到的函数图象的解析式为y=-5(x-2)2-3，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题关键．
5．D
【分析】根据概率公式 列出方程，求出球的总数，进而即可得到答案．
【详解】设黄球的个数为x个，则球的总数为x＋8个.
由随机摸出一个球为白球的概率是23，得8x+8=23，解得x=4.
故选D.
【点睛】本题主要考查概率的定义，根据概率公式，列出方程，是解题的关键．
6．B
【分析】将式子化为顶点式y=(x+2)2+3，可知a=1>0，得出函数图象的开口方向以及对称轴，进而判断A，根据顶点坐标，当x=-2时，y有最小值，据此对B、C进行判断，根据抛物线的开口方向以及顶点的坐标即可得到图象与x轴是否有交点，据此判断D．
【详解】解：将原式化为y=x2+4x+7=(x+2)2+3，
当x<-2时，y随x的增大而减小，当x>-2时，y随x的增大而增大，故A错误；
当x=-2时，y取得最小值，最小值为3，故B正确；
顶点坐标为(-2,3)，故C错误；
顶点坐标为(-2,3)且抛物线开口向上，与x轴没有交点，故D错误．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数与x轴的交点，正确判断二次函数的图像特点是解题关键．
7．D
【分析】把点A（﹣2，a），B（2，b），C（3，c）代入函数y=6x上求出a、b、c的值，再进行比较即可．
【详解】解：把点A（﹣2，a）代入函数y=6x可得，a＝-3；
把点B（2，b）代入函数y=6x可得，b＝3；
把点C（3，c）代入函数y=6x可得，c=2．
∵3＞2＞-3，即b＞c＞a．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式
8．C
【详解】由题可得，两个相似三角形的周长比等于相似比，也就是两个最短边的比为5:3，设两三角形周长分别为5xcm，3xcm，则5x-3x=12，解得x=6，所以3x=18，即小三角形周长为18cm．故选C．
9．A
【详解】解：∵四边形ABCO是平行四边形，且OA=OC，
∴四边形ABCO是菱形，
∴AB=OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∵BD是⊙O的直径，
∴点B、D、O在同一直线上，
∴∠ADB=12∠AOB=30°
故选A．
10．C
【分析】利用抛物线开口向上得到a<0，利用抛物线的对称轴方程得b=-2a>0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c>0，则可对A进行判断；利用抛物线的对称性得到x=-1时，y<0，可判断B，求出t-4的范围可判断C，由题意可得当x=1时，y有最大值为a+b+c,可判断D．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵抛物线的对称轴为直线x= -b2a =1，
∴b=-2a>0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴c>0，
∴abc<0，故选项A不合题意；
∵x=3时，y<0，对称轴为x=1，
∴x=-1时，y<0，
∴a-b+c<0，
∴a+2a+c<0，
∴3a+c<0，故选项B不合题意；
∵当x=t时，y>0，
∴t-1<2，
∴-1 ∴-5 ∴当x=t-4时，y<0，故选项C符合题意；
∵当x=1时，y有最大值为a+b+c，
∴ax2+bx+c-a+b+c≤0，
∴ax2-1+bx-1≤0，故选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．
11．D
【分析】如图，连接AO，延长AO交BC于H，连接OB．在Rt△BOH中，根据勾股定理求出OH，再根据面积相等，求出IH即可解决问题．
【详解】解：如图，连接AO，延长AO交BC于H，连接OB，作出△ABC的内接圆，确定圆心I，连接IB，

∵AB=AC，
∴AB=AC，AH⊥BC，
∴BH=CH=12BC=4，
∵AC=45，
∴AH=AC2-CH2=452-42=8，
设OA=OB=x，
在Rt△BOH中，
∵OB2=OH2+BH2，
∴x2=8-x2+42，
∴x=5，
∴OH=AH-AO=8-5=3，
∴S△ABC= 12⋅BC⋅AH=12(AB+AC+BC)⋅IH，
∴IH=8×88+85=25-2，
∴OI=OH-IH=3-25-2=5-25，
故选D．
【点睛】本题主要考查的是三角形的内心和外心、勾股定理等知识，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．
12．A
【分析】过G点作GH⊥AB交AB于点H，过G点作GI⊥AD交AD于点I，根据EF绕点F顺时针旋转90°得到线段FG，可得∠EFG=90∘，EF=GF，利用AAS易证△FHG≅△EAF，再根据四边形AHGI是矩形，可得AI=GH，IG=AH,设AF=x，则AI=GH=AF=x，IG=AH=x+1，DI=AD-AI=4-x，根据勾股定理可得DG2=(4-x)2+(x+1)2=2(x-32)2+252，即当x=32时，DG有最小值．
【详解】解：如图示：过G点作GH⊥AB交AB于点H，过G点作GI⊥AD交AD于点I，

∵线段EF绕点F顺时针旋转90°得到线段FG，
∴∠EFG=90∘，EF=GF
∴∠EFA+∠HFG=90∘，
又∵∠EFA+∠FEA=90∘
∴∠HFG=∠AEF
∵GH⊥AB，四边形ABCD是正方形，
∴∠FHG=∠EAF=90∘，
∴△FHG≅△EAF(AAS)
∴FH=EA，GH=FA，
∵GH⊥AB，GI⊥AD
∴四边形AHGI是矩形，
∴AI=GH，IG=AH,
设AF=x，则AI=GH=AF=x，IG=AH=x+1， DI=AD-AI=4-x，
在Rt△DIG中，DG2=DI2+IG2=(4-x)2+(x+1)2=2(x-32)2+252，
即当x=32时，DG2有最小值252，
∴当x=32时，DG最小值是522，
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，最值等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
13．k>2
【分析】根据反比例函数的图象可列出不等式进行求解．
【详解】解：∵反比例函数y＝k-2x的图象位于第一、第三象限，
∴k-2>0，
∴k>2；
故答案为k>2．
【点睛】本题主要考查反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数的图象是解题的关键．
14．22
【分析】

【详解】∵方程x2＋2x－11＝0的两根分别为m、n，
∴m+n=-2,mn=-11,
∴mn(m＋n)＝（-11）×(-2)=22.
故答案是：22
15．x<-1或0 【分析】根据两函数图象的上下位置关系结合交点横坐标，即可得出反比例函数值大于一次函数的值的x的取值范围．
【详解】解：根据函数图象的上下位置关系可得：
当x<-1或0 故答案为：x<-1或0 【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握利用数形结合思想进行求解是解题关键．
16．28.8(1-x)2=20
【分析】根据一元二次方程增长率问题列方程即可．
【详解】解：设平均每次的降价率为x，
根据题意得：28.8(1-x)2=20，
故答案为：28.8(1-x)2=20．
【点睛】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意是解题关键．
17．9
【分析】由题意易得△ACE∽△BDE，则有ACBD=AEBE，然后问题可求解．
【详解】解：根据题意得AC∥BD，
∴△ACE∽△BDE，
∴ACBD=AEBE，
∵AB=2米，BD=1米，BE=0.2米，
∴AC1=2-0.20.2，
解得AC=9米，
故答案为9．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
18．36
【分析】过点D作DE⊥OA，根据矩形的性质及相似三角形的判定和性质得出S△ODES△OBA=(ODOB)2=925，再由反比例函数的几何意义求解即可．
【详解】解：过点D作DE⊥OA，

∵矩形OABC，
∴DE∥BA，
∴△ODE∼△OBA，
∵OD:BD=3:2，
∴ODOB=35，
∴S△ODES△OBA=(ODOB)2=925，
∵S△OBA=12×100=50，
则S△ODE=18，
由于k2=18，
所以k=36，
故答案为：36．
【点睛】题目主要考查矩形的性质及相似三角形的判定和性质，反比例函数的几何意义，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
19．2+6##6+2
【分析】连接BB'，设BC'与AB'交点为D，根据勾股定理得出AB=22，再由旋转的性质及等边三角形的判定和性质得出BC'垂直平分AB'，△ABB'为等边三角形，利用勾股定理及含30度角的直角三角形性质即可得出结果
【详解】解：连接BB'，设BC'与AB'交点为D，如图，

∵∠C=90°，AC=BC=2，
∴AB=2AC=22，
∵△ABC绕点A逆时针反向旋转60°到△AB'C'的位置，
∴∠AC'B'= ∠ACB=90°，AC'=AC=B'C'=BC，AB=AB'=22，∠BAB'=60°，
∴BC'垂直平分AB'，△ABB'为等边三角形，
∴C'D=12AB'=2，∠ABB'=60°，
∴∠ABD=∠B'BD=12∠ABB'=30°，
∴BD=(22)2-(2)2=6，
∴C'B=C'D+BD=2+6．
故答案为2+6．
【点睛】本题考查了旋转图形的性质，线段垂直平分线判定和性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三角形边的性质，作辅助线构造出等边三角形是解题的关键．
20．①②④
【分析】由正方形的性质可证明△DAF≌△ABE，则可推出∠AHF=90°，利用垂径定理即可证明结论①；根据勾股定理及三角形等面积法得出FH=95，HD=165，再由相似三角形的判定证明②即可；过点H作MN//AB交BC于N，交AD于M，根据矩形的判定和性质及相似三角形的判定和性质得出GD=EC，MH=4825，NH=5225，然后求面积比即可判断③；根据勾股定理及①结论即可判断④．
【详解】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=4，∠DAF=∠ABE=90°．
又∵AF=BE=3，
∴△DAF≌△ABE．
∴∠AFD=∠BEA．
∵∠BEA+∠BAE=90°，
∴∠AFD+∠BAE=90°，
∴∠AHF=90°，
∴AH⊥FK，
∴FH=KH，
即H是FK的中点；故结论①正确；
②由①得AH⊥FK，则12AD⋅AF=12DF⋅AH．
∵DF=AF2+AD2=5，
∴AH=125．
∴FH=AF2-AH2=95，HD=FD-FH=165，
∵AH⊥FK，
∴∠EAD+∠ADH=90°，
∵∠HDC+∠ADH=90°，
∴∠EAD=∠HDC，
∵AGDC=34，AHDH=34，
∴AGDC=AHDH，
∴△AHG∽△DHC，故②正确；
③过点H作MN//AB交BC于N，交AD于M，

∵四边形ABCD是正方形，MN//AB，
∴∠DAB=∠ABC=∠AMN=90°．
∴四边形ABNM是矩形．
∴MN=AB=4，AM=BN．
由①得AF=BE，
∴AG=BE，
∴GD=EC．
∵AD∥BC，
∴∠MAH=∠AEB．
∵∠ABE=∠AMN=90°，
∴△MAH∽△BEA．
∴AHAE=MHAB．
即1255=MH4．
解得MH=4825．
则NH=4-MH=5225．
∴S△GHDS△EHC=GD⋅MHEC⋅NH=48255225=1213；故结论③错误；
④由①得，H是FK的中点，
∴DK=DF-2FH．
由勾股定理得FH=AF2-AH2=32-(125)2=95．
∴DK=5-2×95=75=1.4；故结论④正确．
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了正方形的综合问题，掌握特殊四边形、相似三角形的判定与性质及等腰三角形的性质是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)见解析
(3)5π；9π

【分析】（1）根据位似中心和位似比分别画出A1,B1,C1三个点，顺次连接即可；
（2）根据旋转中心和旋转角度，分别找到A2,C2，顺次连接即可；
（3）分别在图中找到点A1的运动路径和C1B1扫过的区域面积，利用弧长公式和扇形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：如图

（2）如图

（3）如图，点A1的运动路径为A1A2 , C1B1扫过的区域面积为扇形C1B1C2，

由勾股定理得A1B1=42+22=25 ，由图可知B1C1=6
∴A1A2=nπr180=90·π·25180=5π
C1B1扫过的区域面积为S=S扇形C1B1C2=90·π·62360=9π
故答案为5π；9π．
【点睛】本题主要考查位似图形，旋转图形及弧长和扇形的面积，掌握弧长和扇形的面积公式是解题的关键．
22．(1)13
(2)29

【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）通过列表展示所有9种等可能的结果数，找出满足点(x,y)落在函数y=-x+1的图象上的结果数，然后根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：从甲袋中抽取小球，共有3种等可能的结果，分别为0，1，2，
∴抽到奇数的可能只有一种，
∴P=13；
（2）解：列表如下：
x
                                                                             y
0
1
2
-1
(0,-1)
(1,-1)
(2,-1)
-2
(0,-2)
(1,-2)
(2,-2)
0
(0,0)
(1,0)
(2,0)

共有9种等可能的结果数，满足点(x,y)落在函数y=-x+1的图象上的结果有2个，即(2,-1)，(1,0)，
所以点M(x,y)在函数y=-x+1的图象上的概率P=29．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率及概率公式的运用，理解题意，熟练掌握运用列表法或树状图法是解题关键．
23．（1）作图见解析；（2）AC=6．
【分析】（1）作∠CAB的平分线交BC于点O，以点O为圆心，OC为半径作⊙O，使⊙O与AC，AB都相切即可；
（2）如图，连接OD，根据切线的性质可得OD⊥AB，设OD=OE=R，在Rt△BOD中，利用勾股定理可得出R的值，可得BC的长，根据切线长定理可得AC=AD，在Rt△ABC中，利用勾股定理列方程求出AC的长即可得答案．
【详解】（1）如图，作∠CAB的平分线交BC于点O，以点O为圆心，OC为半径作⊙O，则⊙O与AC，AB都相切，

（2）如图，连接OD，
∵⊙O与AC，AB都相切，切点为C、D，
∴OD⊥AB，AC=AD，
设OD=OE=R，
∵BE=2，BD=4，
∴在Rt△BOD中，OD2+BD2=OB2，即R2+42=（R+2）2，
解得：R=3，
∴BC=BE+2R=8，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即AC2+82=（AC+4）2，
解得：AC=6，
【点睛】本题考查了作图——复杂作图，切线的判定与性质及切线长定理，圆的切线垂直于经过切点半径；从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；熟练掌握相关性质及定理是解题关键．
24．（1）x的值为11m或15m；（2）花园面积S的最大值为168平方米．
【分析】（1）直接利用矩形面积公式结合一元二次方程的解法即可求得答案；
（2）首先得到S与x的关系式，进而利用二次函数的增减性即可求得答案.
【详解】（1）∵AB＝xm，则BC＝（26﹣x）m，
∴x（26﹣x）＝165，
解得：x1＝11，x2＝15，
答：x的值为11m或15m；
（2）由题意可得出：
S＝x（26﹣x）＝﹣x2+26x＝﹣（x﹣13）2+169，
由题意得：14≤x≤19，
∵-1＜0，14≤x≤19，
∴S随着x的增大而减小，
∴x＝14时，S取到最大值为：S＝﹣（14﹣13）2+169＝168，
答：花园面积S的最大值为168平方米．
【点睛】本题考查了二次函数的应用以及一元二次方程的解法，正确结合二次函数的增减性求得最值是解题的关键.
25．(1)a＝2
(2)m＝﹣3
(3)存在，G（0，﹣32+42）

【分析】（1）由抛物线的顶点式可直接得出顶点P的坐标，再代入抛物线F可得出结论；
（2）根据题意可分别表达A，B的纵坐标，再根据二次函数的性质可求出m的值；
（3）过点Q作x轴的垂线KN，分别过点P，G作x轴的平行线，与KN分别交于K，N，则△PKQ∽△QNG，设出点M的坐标，可表达点Q和点G的坐标，从而可得出结论．
【详解】（1）解：由题意可知，抛物线E:y=-(x-m)2+2m2(m<0)的顶点P的坐标为(m,2m2)，
∵点P在抛物线F:y=ax2上，
∴am2=2m2，
∴a=2．
（2）解：∵直线x=t与抛物线E，F分别交于点A，B，
∴yA=-(t-m)2+2m2=-t2+2mt+m2，yB=2t2，
∴s=yA-yB
=-t2+2mt+m2-2t2
=-3t2+2mt+m2
=-3(t-13m)2+43m2，
∵-3<0，
∴当t=13m时，s的最大值为43m2，
∵s的最大值为4，
∴ 43m2=4，解得m=±3，
∵m<0，
∴m=-3．
（3）解：存在，理由如下：
设点M的坐标为n，则M(n,2n2)，
∴Q(2n-m,4n2-m2)，
∵点Q在x轴正半轴上，
∴2n-m>0且4n2-m2=0，
∴n=-22m，
∴M(-22m，m2)，Q(-2m-m，0)．
如图，过点Q作x轴的垂线KN，分别过点P，G作x轴的平行线，与KN分别交于K，N，

∴∠K=∠N=90°，∠QPK+∠PQK=90°，
∵∠PQG=90°，
∴∠PQK+∠GQN=90°，
∴∠QPK=∠GQN，
∴ΔPKQ∽ΔQNG，
∴PK:QN=KQ:GN，即PK⋅GN=KQ⋅QN．
∵PK=-2m-m-m=-2m-2m，KQ=2m2，GN=-2m-m，
∴(-2m-2m)(-2m-m)=2m2⋅QN
解得QM=32+42．
∴G(0,-32+42)．
【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，相似三角形的性质与判定，中点坐标公式等知识，解题的关键是构造相似三角形得出方程进行求解．
26．(1)①见解析；②254；
(2)QC2=2QD2+QA2，理由见解析

【分析】（1）①利用如果三角形中一条边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形可得出结论；
②连接OA，OD，利用垂径定理得到OD⊥AC且AH=CH，设DH=x，则OH=4-x，利用勾股定理列出方程求得DH的值，再利用三角形的中位线定理得到BC=2DH；
（2）猜想QA，QC，QD三者之间的数量关系为：QC2=2QD2+QA2．延长QA交⊙O于点F，连接DF，FC，由已知可得∠DAC=∠DCA=45°；利用同弧所对的圆周角相等，得到∠DFA=∠E=∠DCA=45°，∠DFC=∠DAC=45°，由于△ADQ△与ADE关于AD对称，于是∠DQA=∠E=45°，则得△DQF为等腰直角三角形，△QFC为直角三角形；利用勾股定理可得：QC2=QF2+CF2，QF2=2DQ2；利用△QDA≌△FDC得到QA=FC，等量代换可得结论．
【详解】（1）①∵AD=CD，BD=AD，
∴DB=DC．
∴∠B=∠DCB，
∴∠BAC=∠DCA，
∵∠B+∠BAC+∠DCB+∠DCA =180°，
∴∠DCB+∠DCA=90°．
∴ΔABC为直角三角形；
②连接OA，OD，如图，

∵AD=CD，
∴ AD=CD，
∴OD⊥AC且AH=CH．
∵⊙O的半径为4，
∴OA=OD=4．
设DH=x，则OH=4-x，
∵AH2=OA2-OH2，
AH2=AD2-DH2，
∴52-x2=42-4-x2．
解得：x=258．
∴DH=258．
由①知：BC⊥AC，
∵OD⊥AC，
∴OD//BC．
∵AH=CH，
∴BC=2DH=254．
（2）QA，QC，QD三者之间的数量关系为：QC2=2QD2+QA2．理由：
延长QA交⊙O于点F，连接DF，FC，如图，

∵∠ADC=90°，AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA=45°．
∴∠DFA=∠E=∠DCA=45°，∠DFC=∠DAC=45°．
∴∠QFC=∠AFD+∠DFC=90°．
∴QC2=QF2+CF2．
∵ΔADQ与ΔADE关于AD对称，
∴∠DQA=∠E=45°，
∴∠DQA=∠DFA=45°，
∴DQ=DF．  
∴∠QDF=180°-∠DQA-∠QFD=90°．
∴DQ2+DF2=QF2．
即QF2=2DQ2．
∵∠QDF=∠ADC=90°，
∴∠QDA=∠CDF．
在ΔQDA和ΔFDC中，
∠QAD=∠DCF∠DQA=∠DFC=45°DA=DC，
∴ΔQDA≅ΔFDCAAS．
∴QA=FC．
∴QC2=2QD2+QA2．
【点睛】本题是一道圆的综合题，主要考查了圆的有关性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理及其推论，等腰直角三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，直角三角形的判定与性质，轴对称的性质，方程的解法．根据图形的特点恰当的添加辅助线是解题的关键．