广东省广州白云广雅实验学校2022-2023学年九年级上学期数学期末综合诊断试题

 广东省广州白云广雅实验学校2022-2023学年九年级上学期数学期末综合诊断试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．如图是一个几何体的侧面展开图，这个几何体可以是（    ）

A．圆锥 B．圆柱 C．棱锥 D．棱柱

2．下列数学符号属于中心对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

3．一元二次方程的根的情况是（    ）

A．没有实数根 B．只有一个实数根

C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根

4．下列事件中是必然事件的是（　　）

A．打开电视机，正在播放《开学第一课》

B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯

C．任意画一个三角形，其内角和是

D．买一张彩票，一定不会中奖

5．已知反比例函数 ，下列结论中不正确的是（　　）

A．图象必经过点

B．图象位于第二、四象限

C．图象关于原点对称

D．在每一个象限内，y随x的增大而减小

6．如图，四边形是的内接四边形，点E是延长线上一点，若，则的度数是（　　）

A． B． C． D．

7．若函数的图象上有两点,，则（　　）

A． B． C． D．，的大小不确定

8．为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标作为点A．再在河的这一边选定点B和C，使，然后再选定点E，使，用视线确定BC与AE交于点D．此时，测得，，，则两岸间的距离AB是（    ）

A．120m B．110m C．100m D．90m

9．如图，在中，，，．以点C为圆心，以长为半径作圆，则的中点D与圆C的位置关系是（　　）

A．圆上 B．圆外 C．圆内 D．不确定

10．关于x的一元二次方程的一根比另一根大2，则m的值为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题

11．坐标平面内的点P(m，﹣2)与点Q(3，n)关于原点对称，则m＋n＝__．

12．卡塔尔足球世界杯小组赛，每两队之间进行一场比赛，小组赛共进行了6场比赛，则该小组有___________支球队．

13．如图，已知正六边形的边心距 为，则它的边长为___________

14．一个不透明的箱子中有2个红球和若干个黄球，除颜色外无其它差别，若任意摸出一个球，摸出红球的概率为．则这个箱子中黄球的个数为___________个

15．将二次函数的图象向左平移1个单位长度，向上平移2个单位长度，平移后的二次函数解析式为___________

16．如图，在中，，斜边是半圆O的直径，点D是半圆上的一个动点，连接与交于点E，若是等腰三角形，则弧的长为____________．

三、解答题

17．解方程：．

18．如图，的顶点都在正方形网格格点上，将绕点A逆时针方向旋转得到，点B对应点如图所示．

(1)旋转角是___________度；

(2)请画出．

19．如图，，是的切线，A，B为切点，是⊙O的直径，，求的度数．

20．甲口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有数值，2，5，乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有数值，2，3．现从甲口袋中随机取一球，记它上面的数值为x，再从乙口袋中随机取一球，记它上面的数值为y．设点A的坐标为．

(1)请用树状图或列表法表示点A的坐标的各种可能情况．

(2)求点A落在反比例函数图象上的的概率．

21．如图，在等腰直角中，，是由绕点按顺时针方向旋转得到的，连接、．

(1)求证：；

(2)当旋转角为40°时，求的度数．

22．如图，某校准备为投资1万元围一个矩形的运动场地，其中一边靠墙，另外三边选用不同材料建造且三边的总长为60m，墙长35m，平行于墙的边的费用为200元/m，垂直于墙的边的费用150元/m，设垂直于墙的边长为xm．

(1)若运动场地面积为 ，求x的值；

(2)当运动场地的面积最大时是否会超过了预算？

23．如图．反比例函数的图象经过点和点B，点B在点A的下方，平分，交x轴于点C．

(1)求反比例函数的表达式．

(2)尺规作图：作出线段的垂直平分线，分别与、交于点D、E．（要求：不写作法，保留作图痕迹）

(3)在（2）的条件下，连接．求证：．

24．如图，是等腰三角形底边的中点，过点 作．

(1)求证：是的直径；

(2)延长交于点，连接，求证：；

(3)若，，求长．

25．平面直角坐标系中，抛物线与x轴有两个交点．

(1)求抛物线的对称轴（用含有m的式子表示）：

(2)过点作直线轴，抛物线的顶点A在直线l与x 轴之间（不包含点A在直线l上），求m的范围：

(3)在（2）的条件下，设抛物线的对称轴与直线l相交于点B．结合图象，求的面积最大时m的值．

参考答案

1．A

【分析】由图可知展开侧面为扇形，则该几何体为圆锥．

【详解】该几何体的侧面展开图是扇形，所以这个几何体可能是圆锥,

故选：A．

【点睛】此题主要考查几何体的展开图，熟记几何体的侧面展开图是解题的关键．

2．B

【分析】根据中心对称图形的定义“把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与原图形重合”进行解答即可得．

【详解】解：选项A，C，D中的图形不能找到这样一个点，使图形旋转后能够与自身重合，

所以不是中心对称图形，故A，C，D不符合题意；

选项B中的图形能找到这样一个点，使图形旋转后能够与自身重合，

所以是中心对称图形，故符合题意，

故选B．

【点睛】本题考查的就是中心对称图形的定义，属于简单题型．解题的关键就是熟记中心对称图形的定义．

3．D

【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．

【详解】解：

∴一元二次方程有两个相等的实数根

故选：D

【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．

4．C

【分析】根据事件发生的可能性逐项判断，即可得到答案．

【详解】解：A、打开电视机，正在播放《开学第一课》，是随机事件，不符合题意；

B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意；

C、任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，符合题意；

D、买一张彩票，中奖是随机事件，不是不可能事件，不符合题意；

故选C．

【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，以及三角形内角和定理．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．熟练掌握上述概念是解题的关键．

5．D

【分析】根据反比例函数的图象和性质逐项判断即可得出答案．

【详解】解：对于反比例函数 ，

当时，，因此图象必经过点，故A选项结论正确，不合题意；

，因此图象位于第二、四象限，故B选项结论正确，不合题意；

反比例函数的图象关于原点对称，故C选项结论正确，不合题意；

在每一个象限内，y随x的增大而增大，故D选项结论不正确，符合题意；

故选D．

【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、所在象限、对称性、增减性等，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象和性质．

6．D

【分析】直接根据圆内接四边形的性质求解即可．

【详解】解：，

，

故选：D．

【点睛】本题主要考查圆内接四边形的性质的应用，解决此题的关键是圆内接四边形的对角互补，并且一个外角等于它的内对角．

7．A

【分析】确定函数图象的对称轴，得到函数的增减性，比较两点横坐标与对称轴的大小，即可得到答案．

【详解】解：函数的解析式为，

图象的对称轴为直线，，

在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大，

图象上有两点,，，

．

故选A．

【点睛】此题考查了二次函数的性质：当时，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大；当时，在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，熟记函数的性质是解题的关键．

8．C

【分析】根据题意可得，进而根据相似三角形的性质，列出比例式代入求解即可．

【详解】解： ，，

，，，

m

故选：C．

【点睛】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．

9．C

【分析】先求解，，结合D为的中点，可得，从而可得答案．

【详解】解：∵，，．

∴，，

∵D为的中点，

∴，

∵，

∴以点C为圆心，以长为半径作圆，点D在内，

故选C．

【点睛】本题考查的是含的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，点与圆的位置关系的判定，熟练的掌握“点与圆的位置关系的判定方法”是解本题的关键．

10．A

【分析】利用因式分解法求出，，再根据根的关系即可求解．

【详解】解，

∴，

∴或，

解得，，

∴，

解得，

故选A．

【点睛】此题主要考查解一元二次方程的解法，掌握“利用因式分解的方法解一元二次方程”是解本题的关键．

11．

【分析】利用关于原点对称点的性质得出m，n的值进而得出答案.

【详解】解：∵点P(m，-2)与点Q(3，n)关于原点对称，

∴m＝﹣3，n＝2，

∴m＋n＝﹣3＋2＝﹣1.

故答案为：﹣1.

【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．

12．4

【分析】设该小组有x支球队，根据每两队之间进行一场比赛，可知共比赛了场，由此列一元二次方程，即可求解．

【详解】解：设该小组有x支球队，

由题意知：，

整理，得，

解得（舍去），，

即该小组有4支球队．

故答案为：4．

【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，根据等量关系列出一元二次方程．

13．

【分析】首先由题意画出图形，易证得是等边三角形，又由正六边形的边心距利用三角函数的知识即可求得的长，即可得的长，继而求得它的周长．

【详解】解：如图，连接，，

∵六边形是正六边形，

∴，

∵，

∴是等边三角形，

∴，，

∵，，

∴，

∴，

故答案为：．

【点睛】此题考查了圆的内接正多边形的性质，锐角三角函数的应用．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．

14．8

【分析】设黄球的个数为x个，根据概率计算公式列出方程，解出x即可．

【详解】解：设黄球的个数为x个，

由题意知：，

整理，得：，

解得：，

检验：当时，，

因此是所列分式方程的解，

即黄球的个数为8个，

故答案为：8．

【点睛】本题考查概率公式，根据题意列出分式方程并检验是解题的关键．

15．

【分析】根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答．

【详解】解：的图象向左平移1个单位长度，向上平移2个单位长度，

新抛物线对应的函数解析式为，

即，

故答案为：．

【点睛】此题考查二次函数图象的平移，解题的关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减．

16．或

【分析】分两种情形：①，②，分别求出，利用弧长公式求解即可．

【详解】解：如图1中，当时，

∵，，

∴，

∵点O为AB的中点，∠ACB=90°，

∴OC=OA=OB，

∴点C在所在的圆上，

∵弧弧，

∴，

∴的长．

如图2中，当时，点E与O重合，

∵EB=EC，

∴∠EBC=∠ECB=40°，

∵∠DEB是△BCE的外角，

∴，

∴的长．

故答案为：或．

【点睛】本题考查弧长公式，等腰三角形性质，圆周角定理，三角形外角性质，掌握弧长公式，等腰三角形性质，圆周角定理，三角形外角性质是解题关键．

17．，

【分析】移项将方程转化为一般形式，然后利用因式分解法求解即可.

【详解】解：

∴或，

解得：，.

【点睛】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程，先将方程转化为一般形式，然后将左面因式分解是解决此题的关键.

18．(1)

(2)画图见解析

【分析】（1）利用勾股定理求解，再利用勾股定理的逆定理可得，从而可得旋转角；

（2）确定绕A逆时针旋转 后的对应点，再顺次连接，，即可．

【详解】（1）解：由勾股定理可得：，

而，

∴，

∴，

∴旋转角为：．

（2）如图，即为所求的三角形，

【点睛】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，画旋转图形，掌握“旋转的性质并应用于作图”是解本题的关键．

19．

【分析】首先根据切线的性质和切线长定理得到，，然后根据直角三角形的性质得到，最后根据三角形内角和定理得到．

【详解】解：∵，是的切线，A，B为切点，

∴，，

∴，

∴．

【点睛】此题考查了切线的性质和切线长定理，三角形内角和定理，等腰三角形性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．

20．(1)列表见解析

(2)

【分析】（1）首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果；

（2）由（1）可求得，在函数上，再利用概率公式即可求得答案．

【详解】（1）解：列表如下：

∴总共有9种等可能的结果；

（2）∵，在函数上，

∴点A落在的概率为．

【点睛】本题题考查了列表法或树状图法求概率和反比例函数图像上点的特征．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．

21．(1)见解析

(2)25°

【分析】（1）根据旋转性质和等腰直角三角形的性质，证明△ACB≌△AFE，即可得出结论；

（2）根据旋转角的定义得出∠CAB＝40°，再根据AB=AC，得到∠ACB＝70°，根据△ACF是等腰直角三角形，得出∠ACF＝45°，通过∠BCF＝∠ACB﹣∠ACF，即可得出答案．

【详解】（1）证明：∵△ABE是由△ACF绕点A按顺时针方向旋转得到的，

∴△ABE≌△ACF，

∴AE＝AF，AB＝AC；∠BAE＝∠CAF，

∴∠BAC＝∠EAF，

∵△ACF是等腰直角三角形，

∴AE＝AF＝AB＝AC，

∴△ACB≌△AFE（SAS），

∴EF＝BC；

（2）解：∵旋转角为40°，

∴∠CAB＝40°，

∵AB＝AC，

∴∠ACB＝70°，

∵△ACF是等腰直角三角形，

∴∠ACF＝45°，

∴∠BCF＝∠ACB﹣∠ACF＝25°．

【点睛】本题考查了旋转性质和等腰三角形的性质以及全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键．

22．(1)20

(2)当运动场地的面积最大时超过了预算

【分析】（1）根据矩形的面积公式列方程求解可得；

（2）根据矩形的面积公式列出总面积关于x的函数解析式，配方成顶点式后利用二次函数的性质求解可得．

【详解】（1）解：根据题意，得：，

∴

解得：或，

∵当时，，

∴；

（2）解：设运动场地的面积是S，

则，

∵，

∴当时，S随x的增大而增大，

∵，

∴，

∴当时，S取得最大值，

∴，

∴总费用，

∴当运动场地的面积最大时超过了预算．

【点睛】本题考查了二次函数的应用、长方形的周长公式的运用、长方形的面积公式的运用、一元二次方程的解法的运用，解答时根据长方形的面积公式建立方程和函数解析式是关键．

23．(1)

(2)见解析

(3)见解析

【分析】（1）直接把点A的坐标代入，求出k值即可；

（2）分别以A，C为圆心，大于长为半径在两侧作弧，得到两个交点，过两个交点的直线即为线段的垂直平分线；

（3）根据线段垂直平分线的性质可证，进而可得，等量代换可得，即可证明．

【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点，

，

，

反比例函数的表达式为；

（2）解：如图，直线m即为线段的垂直平分线；

（3）解： 平分，

，

点D在线段的垂直平分线上，

，

，

，

．

【点睛】本题考查作图——基本作图，反比例函数的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于常考题型．

24．(1)见详解

(2)见详解

(3)

【分析】（1）连接；根据等腰三角形三线合一的性质和圆周角定理的推论即可证明；

（2）根据等腰三角形的两底角相等以及同弧所对的圆周角相等可证；从而得出结论；

（3）先证明，根据相似三角形的性质求出的长，进而得出结果；

【详解】（1）证明：如图，连接；

在等腰中，为底边的中点，

，即：

∴是的直径

（2）证明：在等腰中，

均为 所对的圆周角

（3）解：

【点睛】本题考查了圆周角定理以及推论、等腰三角形三线合一的性质、相似三角形的性质；综合运用这些性质是解决问题的关键．

25．(1)抛物线的对称轴为直线

(2)

(3)面积最大时，．

【分析】（1）先把抛物线化为顶点式，从而可得答案；

（2）应用配方法得到顶点A坐标，讨论点A与直线l以及x轴之间位置关系，确定m取值范围．

（3）在（2）的基础上表示的面积，根据二次函数性质求面积最大值与m的值即可．

【详解】（1）解：∵抛物线

，

∴抛物线的对称轴为直线．

（2）∵

∴抛物线顶点坐标为，

∵二次函数图象的顶点A在直线l与x轴之间（不包含点A在直线l上）

∴当直线l在x轴上方时

此时不等式组无解

当直线l在x轴下方时

解得，

（3）由（1）得：点A在点B上方，则，

∵，

∴的面积，

∵，

∴当时，．

【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，以及分类讨论、数形结合的数学思想，理解题意，构建不等式组与关于面积的二次函数关系式是解本题的关键．