山东省青岛市三十九中市北分校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

这是一份山东省青岛市三十九中市北分校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

山东省青岛市三十九中市北分校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则sinA的值是(    )

A． B． C． D．
2．在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下（　　）
A．小明的影子比小强的影子长 B．小明的影子和小强的影子一样长
C．小明的影子比小强的影子短 D．无法判断谁的影子长
3．抛物线y=x2﹣2x+1的顶点坐标是（    ）
A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（﹣2，1） D．（2，﹣1）
4．下列命题中，真命题是（    ）
A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是平行四边形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
5．将抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为　　
A． B． C． D．
6．某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形，如图，则小鱼上的点(a，b)对应大鱼上的点(　   　)

A．(－2a，－2b) B．(－a，－2b) C．(－2b，－2a) D．(－2a，－b)
7．如图，已知一次函数y=ax+b和反比例函数y=的图象相交于A（﹣2，y1）、B（1，y2）两点，则不等式ax+b＜的解集为（　　）

A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣2 C．0＜x＜1 D．﹣2＜x＜0或x＞1
8．如图，抛物线（）的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，则下列结论中正确的有（    ）个．

①；②当时，y随x增大而增大；③当或时，；④．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

二、填空题
9．如果，则的值为______．
10．一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的5个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法：先将口袋中的球摇匀，再从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中．不断重复上述过程．小亮共摸了100次，其中有10次摸到白球．因此小亮估计口袋中的红球大约有____
11．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB和AC上的点，DE∥BC，AD＝2BD，S△ABC＝36，则四边形BCED的面积为_____．

12．某区为了大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全区学校的设施和设备进行全面改造和更新，2022年区政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计2024年投资亿元人民币，设每年投资的增长率x，根据题意，可列方程为______．
13．反比例函数的图象如图所示，点A是该函数图象上一点，垂直于x轴，垂足是点B，如果的面积为1，那么k的值为______．

14．如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，若AB=6，BC=4,则FD=__________.


三、解答题
15．如图，有一块三角形的铁皮
求作：以∠C为一个内角的菱形CEFG，使顶点F在AB边上
要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．

16．（1）解方程：；
（2）若关于x的方程没有实数根，求c的取值范围．
17．小明和小刚做游戏：一个不透明的布袋里装有4个大小、质地均相同的乒乓球，球上分别标有数字1、2、3、4，随机从布袋中摸出一个乒乓球，记下数字后放回布袋里，再随机从布袋中摸出一个乒乓球，若这两个乒乓球上的数字之和为偶数则小明赢；若两个乒乓球上的数字之和为奇数则小刚赢，这是一个对游戏双方公平的游戏吗？请列表格或画树状图说明理由．
18．如图是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，求警示牌的高CD (结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73)．

19．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE＝ED，DF＝DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为4，求BG的长．

20．近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是CO．在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中CO的浓度达到4 mg/L，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值46 mg/L，发生爆炸；爆炸后，空气中的CO浓度成反比例下降．如图，根据题中相关信息回答下列问题：

（1）求爆炸前与爆炸后空气中CO浓度y与时间x的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围；
（2）矿工只有在空气中的CO浓度降到4 mg/L及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井?
21．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？
22．某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品，利用30天的时间销售一种成本为12元/件的商品，经过统计得到此商品单价在第x天（x为正整数）销售的相关信息，如表所示：
销售量n（件）

销售单价m（元/件）

(1)请计算第几天该商品单价为26元/件？
(2)求网店销售该商品30天里所获利润y（元）关于x（天）的函数关系式；
(3)这30天中第几天获得的利润最大？最大利润是多少？
23．阅读材料
通过前面的学习我们已经知道了两点之间的距离，点到直线的距离和两条平行线间的距离，那么我们如何在平面直角坐标系中求这些距离呢？
如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分为，，由勾股定理得，所以A、B两点间的距离为．这样就可以求出平面直角坐标系中任意两点间的距离.我们用下面的公式可以求出平面直角坐标系中任意一点到某条直线的距离：
已知点和直线，则点P到直线的距离d可用公式．

计算：例如：求点到直线的距离．
解：因为直线可变形为，其中，．
所以点到直线的距离了为．
根据以上材料，解决下列问题：
(1)已知，，求线段AB的长度；
(2)点到直线的距离，并说明点P与直线的位置关系；
(3)点到直线的距离；
(4)已知直线与平行，求这两条直线的距离．
24．如图1，正方形中，cm，点从点出发沿向点匀速运动，速度是2cm/s，同时，点从点出发沿方向，向点匀速运动，速度是4cm/s，连接、、，设运动时间为（s）（）．

(1)是否存在某一时刻，使得？若存在，求出值；若不存在，说明理由．
(2)设的面积为（），求与之间的函数关系式；
(3)如图2，连接，与线段相交于点，是否存在某一时刻，使？若存在，求出值；若不存在，说明理由．

参考答案
1．C
【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，
sinA=，
故选C．
2．D
【分析】根据中心投影和平行投影的特点即可进行作答．
【详解】在同一时刻的阳光下，此时属于平行投影，小明的影子比小强的影子长，

∴小明的身高比小强高，
在同一路灯下,此时属于中心投影，影子的长度不仅与二人的身高相关，还有他们所处的位置相关，
两人由于离路灯的远近不同，影子的长度也就不同，
∴无法判断谁的影子长，
故选：D．
【点睛】本题考查了中心投影和平行投影的知识．熟知离路灯的距离不同，影子的长度就不同是解本题的关键．
3．A
【分析】把原二次函数通过配方法，化为顶点式，即可得到答案．
【详解】由原二次函数，得y=（x﹣1）2，
∴该抛物线的顶点坐标是：（1，0）．
故选A．
【点睛】本题主要考查二次函数图象的顶点坐标，掌握配方法，把二次函数化为顶点式，是解题的关键．
4．B
【分析】根据矩形的判定、菱形的判定、平行四边形和正方形的判定判断即可．
【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故A为假命题，不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B为真命题，符合题意；
C、对角线互相平分是四边形是平行四边形，故C为假命题，不符合题意；
D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故D为假命题，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形和正方形的判定，解题的关键是熟练掌握各个判定定理．
5．D
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：将向左平移1个单位所得直线解析式为：；
再向下平移3个单位为：．
故选：D．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，解题的关键是熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
6．A
【分析】位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，位似变换是以原点为位似中心，相似比为1：2．
【详解】解：根据题意图形易得，两个图形的位似比是1：2，
∴对应点是（﹣2a，﹣2b）．
故选A．
【点睛】本题考查了位似变换及坐标与图形性质，熟练掌握位似图形的位似比是解题的关键．
7．D
【分析】分析：根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集．
【详解】观察函数图象，发现：当-2＜x＜0或x＞1时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，
∴不等式ax+b＜的解集是-2＜x＜0或x＞1．
故选D．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是根据两函数图象的上下位置关系解不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据两函数图象的上下位置关系结合交点坐标得出不等式的解集是关键．
8．A
【分析】根据根的判别式即可判断①；根据二次函数的对称轴和增减性，即可判断②；根据二次函数的对称性，即可判断③；令，求出时的函数值，即可判断④．
【详解】解：①由图可知，抛物线与x轴有两个交点，
∴方程有两个不相等的实数根，即，
故①正确，符合题意；
②∵对称轴为直线，开口向下，
∴当时，y随x增大而增大；
故②正确，符合题意；
③∵对称轴为直线，
∴当时和当时，函数值相等，
由图可知：抛物线经过，
当或时，；
故③正确，符合题意；
④令，则，
由图可知，当时，，
∴，
故④正确，符合题意；
综上：正确的结论有4个，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握相关内容，能够根据图象分析函数的对称性和增减性，得出参数的取值范围和式子的符号．
9．
【分析】根据题意，设，代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴设，
代入得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了比例的基本性质，解题的关键是掌握“设k值法”，将两个字母统一为一个字母．
10．45个
【详解】试题分析：100次中有10次摸到白球，根据等可能事件的概率计算公式，1次就摸到白球的概率为，设口袋中红球有个，则，解得，故可估计口袋中的红球大约有45个.
考点：等可能试验中事件的概率计算.
11．20
【分析】先求出 ，再求出△ADE和△ABC相似，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△ADE的面积，再求解即可．
【详解】解：∵AD＝2BD，
∴
∴，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
∵S△ABC＝36，
∴△ADE的面积＝36× ＝16．
∴四边形BCED的面积＝36﹣16＝20
故答案为：20．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟悉相似三角形的性质:相似三角形的面积比是相似比的平方.
12．
【分析】先设每年投资的增长率为x．根据2022年区政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计2024年投资7.2亿元人民币，即可列方程．
【详解】解：设每年投资的增长率为，
根据题意，得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为，其中为共增长了几年，为第一年的原始数据，是增长率．
13．
【分析】过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得的面积为矩形面积的一半，即，据此即可作答．
【详解】设，
由可知，
∴，
∵点A在第二象限，
∴，，
则，
∵点A是函数图象上的一点，
∴，
则
故答案为：．
【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质，反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为．
14．4
【分析】根据点E是AD的中点以及翻折的性质可以求出AE=DE=EG，然后利用“HL”证明△EDF和△EGF全等，根据全等三角形对应边相等可证得DF=GF；设FD=x，表示出FC、BF，然后在Rt△BCF中，利用勾股定理列式进行计算即可．
【详解】∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE，
∴AE=EG，AB=BG，
∴ED=EG，
∵在矩形ABCD中，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠EGF=90°，
在Rt△EDF和Rt△EGF中，
，
∴Rt△EDF≌Rt△EGF（HL），
∴DF=FG，
设DF=x，则BF=6+x，CF=6-x，
在Rt△BCF中，（4）2+（6-x）2=（6+x）2，
解得x=4．
故答案为4．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，拓展一元一次方程，翻折的性质，熟记性质，找出三角形全等的条件ED=EG是解题的关键．
15．作图见解析.
【分析】先作∠ACB的平分线，交AB于点D，再以点D为顶点作∠CDP=∠DCB、∠CDQ=∠DCA，分别交AC、BC于点E、F，据此即可得．
【详解】如图所示，菱形CEFD即为所求．

【点睛】考查作图-应用与设计作图，解题的关键是熟练掌握菱形的判定及角平分线、作一个角等于已知角的尺规作图．
16．（1），；（2）
【分析】（1）采用因式分解法即可求解；
（2）根据根的判别式得到，然后解不等式即可求解．
【详解】（1）

即：，，
∴，；
（2）∵关于x的方程没有实数根，
∴，
解得：，
即c的取值范围为．
【点睛】本题考查解一元二次方程−因式分解法，解题的关键是明确解一元二次方程的方法．同时考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
17．这是一个对游戏双方公平的游戏，理由见详解
【分析】根据题意画出列表，分别求出小明赢和小刚赢的概率，比较这两个概率值，即可求解．
【详解】这是一个对游戏双方公平的游戏，理由如下：
采用列表法列举，列表如下：

总共的结果数有16种，结果数为偶数的有8种，结果数为奇数的有8种，
则小明赢的概率为：，小刚赢的概率为：，
∵小明、小刚赢的概率均为，
∴这是一个对游戏双方公平的游戏．
【点睛】本题考查用概率判断游戏公平性，列表法与树状图等知识，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
18．2.9．
【分析】首先根据等腰直角三角形的性质可得，再根据勾股定理可得，代入数可得答案．
【详解】解：由题意可得：米，，
，
米，米，
米，
，
，
，
，
，
则（米．
【点睛】本题主要考查了勾股定理得应用，熟悉相关性质是阶梯的关键．
19．（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据正方形的性质及相似三角形的判定定理证明即可；
（2）由正方形及平行线的性质可得，再由对顶角相等，可得，利用相似三角形的对应边成比例即可得．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形ABCD为正方形，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
又∵，正方形的边长为4，
∴，，
∴．
【点睛】题目主要考查正方形的性质及相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题关键．
20．（1）＞7；（2）73．5小时
【分析】（1）根据图象可以得到函数关系式，y=k1x+b（k1≠0），再由图象所经过点的坐标（0，4），（7，46）求出k1与b的值，然后得出函数式y=6x+4，从而求出自变量x的取值范围．再由图象知（k2≠0）过点（7，46），求出k2的值，再由函数式求出自变量x的取值范围．
（2）由关系式知，y=4时，x=80．5，矿工至少在爆炸后80．5-7=73．5（小时）才能下井．
【详解】（1）因为爆炸前浓度呈直线型增加，所以可设y与x的函数关系式为
由图象知过点（0，4）与（7，46）
∴．解得，
∴，此时自变量的取值范围是0≤≤7．
（不取=0不扣分，=7可放在第二段函数中）
因为爆炸后浓度成反比例下降，所以可设y与x的函数关系式为．
由图象知过点（7，46），∴． ∴
∴，此时自变量的取值范围是＞7．
（2）当=4时，由得， =80.5,80.5-7=73.5（小时）．
∴矿工至少在爆炸后73.5小时能才下井．
【点睛】本题考查函数的图像与性质.根据图象求出函数的解析式是解题的关键.
21．（1）该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%；（2）该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，至少需要增加2名业务员．
【分析】（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据“今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同”建立方程，解方程即可；
（2）首先求出今年6月份的快递投递任务，再求出21名快递投递业务员能完成的快递投递任务，比较得出该公司不能完成今年6月份的快递投递任务，进而求出至少需要增加业务员的人数．
【详解】解：（1）设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，
由题意，得10(1＋x)2＝12.1，
，
(不合题意，舍去)．
答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%；
（2）∵0.6×21＝12.6(万件)，12.1×(1＋0.1)＝13.31(万件)，
12.6万件＜13.31万件，
∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务．
设需要增加y名业务员，
根据题意，得0.6(y＋21)≥13.31，
解得y≥≈1.183，
∵y为整数，
∴y≥2．
答：至少需要增加2名业务员．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，不等式的应用，解题的关键是根据题意列出相应的方程及不等式，然后求解．
22．(1)第12天该商品单价为26元/件
(2)，
(3)第几天获得的利润最大，最大利润是元

【分析】（1）令，解方程即可求解；
（2）先用销售单价乘以销售量得到销售额，再根据销售额减去成本即是利润，如此列式即可作答；
（3）将（2）中的关系式化为顶点式即可作答．
【详解】（1）根据题意可令，
解得：，
即：第12天该商品单价为26元/件；
（2）销售额：，
成本为：，
则利润为：，
整理得：，；
（3）在（2）中已求得，，
化为顶点式为：，
∵，
∴二次函数有最大值，
即当时，二次函数有最大值，最大值为：，
答：第天获得的利润最大，最大利润是元．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
23．(1)
(2)，点P在直线下方
(3)
(4)

【分析】（1）利用公式直接计算即可；
（2）利用公式直接计算即可；令，求出一次函数的值，再与P点纵坐标比较即可作答；
（3）利用公式直接计算即可；
（4）现在直线上取一点，再利用公式直接计算即可．
【详解】（1）∵，，
∴，
即线段AB的长度为；
（2）∵直线可变形为，其中，．
∵，
∴，
令，，
∵，
∴点P在直线下方；
（3）∵直线可变形为，其中，．
∵，
∴；
（4）令，，
∴点在直线上，
∵直线可变形为，其中，．
∴点到直线的距离为：，
∴直线与的距离为．
【点睛】本题主要考查了直角坐标系中两点之间的距离公式以及根据题目给出的方法求解点到直线的距离的知识，灵活运用题中给出的计算公式，细心计算，是解答本题的关键．
24．(1)存在，
(2)
(3)存在，

【分析】（1）连接，根据正方形的性质，得出，再根据题意，得出，，进而得出，，再根据等边对等角，得出，再根据平行线的性质，得出，，进而得出，再根据等角对等边，得出，然后列出方程，解出即可得出答案；
（2）根据，进行求解即可；
（3）过点作于，根据三角形的面积公式，结合题意，得出，再结合三角形的面积公式，进而得出，过点作于，于，根据正方形的性质，结合角平分线的性质，得出，再结合三角形的面积公式，进而得出，然后代入数据，计算即可．
【详解】（1）解：存在，理由如下：
如图1，连接，

∵四边形是正方形，
∴，
由运动知，，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：



；
（3）解：存在，理由如下：
如图2，过点作于，

∴，，
∵，
∴，
∴，
过点作于，于，
∵点是正方形的对角线上的一点，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴（符合题意），
∴存在某一时刻，使，此时．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、二次函数的应用、三角形的面积、角平分线的性质，解本题的关键是用方程的思想解决问题．