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河北省邯郸市磁县2022-2023学年八年级上学期期末数学试卷(含答案)
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这是一份河北省邯郸市磁县2022-2023学年八年级上学期期末数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河北省邯郸市磁县八年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共16个小题，1-10小题，每小题3分；11-16小题，每小题3分，共42分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．三角形一边上的中线把原三角形分成两个（ ）
A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形
C．直角三角形 D．周长相等的三角形
2．如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充的条件是（ ）
A．AC＝AD或BC＝BD B．AC＝AD且BC＝BD
C．∠BAC＝∠BAD D．以上都不对
3．等腰三角形的一个底角是80°，则顶角的度数是（ ）
A．20° B．50° C．20°或50° D．50°或80°
4．如图，四种瓷砖图案中，不能铺满地面的是（ ）
A． B．
C． D．
5．在平面直角坐标系中，点（2，3）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（2，﹣3） B．（3，2） C．（﹣2，3） D．（﹣2，﹣3）
6．若（2x﹣1）0有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＝﹣2 B．x≠0 C．x≠ D．x＝
7．下列计算正确的是（ ）
A．2a6﹣a2＝2a4（a≠0） B．a3•a2＝a5
C．（a2）3＝a5 D．（a+b）2＝a2+b2
8．下列各式从左到右的变形中，是因式分解且完全正确的是（ ）
A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 B．x2﹣2x﹣3＝x（x﹣2）﹣3
C．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2 D．x3﹣x＝x（x2﹣1）
9．已知，则分式的值为（ ）
A．8 B． C． D．4
10．自带水杯已成为人们良好的健康卫生习惯．某公司为员工购买甲、乙两种型号的水杯，用720元购买甲种水杯的数量和用540元购买乙种水杯的数量相同，已知甲种水杯的单价比乙种水杯的单价多15元．设甲种水杯的单价为x元，则列出方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．2×（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1的计算结果是（ ）
A．332+1 B．332﹣1 C．331 D．332
12．把多项式x2﹣3x+2分解因式，下列结果正确的是（ ）
A．（x﹣1）（x+2） B．（x﹣1）（x﹣2） C．（x+1）（x+2） D．（x+1）（x﹣2）
13．元旦期间，庐江某商城生意火爆．元月1日，某商品的售价是m元/千克，元月2日，该商品的售价调整为n元/千克（m≠n），顾客甲1日和2日分别购买2千克的该商品；顾客乙1日与2日分别购买20元的该商品．在这两次购物中，顾客甲、乙购买该商品的平均单价谁划算（ ）
A．甲划算 B．乙划算 C．一样划算 D．无法比较
14．设M＝（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（n≥2的自然数），如果是整数，n的值有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
15．斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段A﹣B﹣C横穿双向行驶车道，其中AB＝BC＝12米，在绿灯亮时，小敏共用22秒通过AC路段，其中通过BC路段的速度是通过AB路段速度的1.2倍，则小敏通过AB路段时的速度是（ ）
A．0.5米/秒 B．1米/秒 C．1.5米/秒 D．2米/秒
16．如图，大正方形与小正方形的面积之差为S，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．2S B．S C． D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分.把答案写在题中横线上）
17．如图，在平面直角坐标系中，点A（3，m）在第一象限，若点A关于x轴的对称点B在直线y＝﹣x+1上，则m的值为 ．
18．一个长方形的长与宽分别为a，b，若周长为12，面积为5，则ab3+2a2b2+a3b的值为 ．
19．北海到南宁的铁路长210千米，动车运行后的平均速度是原来火车的1.8倍，这样由北海到南宁的行驶时间缩短了1.5小时，设原来火车的平均速度为x千米/时，则可列方程为 ．
20．阅读下面的材料，并解答问题：
分式的最大值是多少？
解：，
因为x≥0，所以x+2的最小值是2，所以的最大值是2，所以的最大值是4，即的最大值是4．
根据上述方法，试求分式的最大值是 ．
三、解答题（本大题有5个小题，其中21题6分；22题8分，23题12分，24题8分；25题12分；共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置．（保留作图痕迹）
22．若x，y是等腰三角形的两条边，且满足4x2+17y2﹣16xy﹣4y+4＝0，求△ABC的周长．
23．（一）分解因式：
（1）x2（x+4）﹣4x（x+1）；
（2）（x2+1）2﹣4x2；
（3）x2﹣7x+12．
（二）解分式方程：．
24．一粥一饭当思来之不易，半丝半缕恒念物力维艰．开展“光盘行动”，拒绝“舌尖上的浪费”，已经成为一种时尚．某学校食堂为了鼓励同学们做到光盘不浪费，针对每餐后光盘的学生奖励苹果或砂糖橘一份．近日，学校食堂花了1500元和1800元分别采购了砂糖橘和苹果，采购的砂糖橘比苹果多50千克，砂糖橘每千克的价格比苹果每千克的价格低40%．求苹果每千克的价格．
25．我们已经学过（x﹣a）（x﹣b）＝x2﹣（a+b）x+ab，如果关于x的分式方程满足x+＝a+b（a，b分别为非零整数），且方程的两个跟分别为x1＝a，x2＝b．
我们称这样的方程为“十字方程”．
例如：x+＝3可化为x+＝1+2＝3，∴x1＝1，x2＝2．
再如：x+＝﹣5可化为x+＝﹣2﹣3＝﹣5，∴x1＝﹣2，x2＝﹣3．
应用上面的结论解答下列问题：
（1）“十字方程”x+＝﹣6，则x1＝ ，x2＝ ；
（2）“十字方程”x﹣＝﹣1的两个解分别为x1＝a，x2＝b，求的值；
（3）关于x的“十字方程”x+＝2n+4的两个解分别为x1，x2（x1＜x2），求的值．
参考答案
一、选择题（本大题共16个小题，1-10小题，每小题3分；11-16小题，每小题3分，共42分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．三角形一边上的中线把原三角形分成两个（ ）
A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形
C．直角三角形 D．周长相等的三角形
【分析】根据三角形的面积公式以及三角形的中线定义，知三角形的一边上的中线把三角形分成了等底同高的两个三角形，所以它们的面积相等．
解：三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形．
故选：B．
【点评】考查了三角形的中线的概念．构造面积相等的两个三角形时，注意考虑三角形的中线．
2．如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充的条件是（ ）
A．AC＝AD或BC＝BD B．AC＝AD且BC＝BD
C．∠BAC＝∠BAD D．以上都不对
【分析】根据HL，还缺少一条直角边相等，由此判断即可．
解：因为公共边AB为两个直角三角形的斜边，
所以要用HL证明Rt△ABC和Rt△ABD全等，
只需AC＝AD或者BC＝BD．
故选：B．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．
3．等腰三角形的一个底角是80°，则顶角的度数是（ ）
A．20° B．50° C．20°或50° D．50°或80°
【分析】由已知底角为80°，根据等腰三角形的两底角相等的性质及三角形内角和定理，即可求出它的一个顶角的值．
解：∵等腰三角形的底角为80°，
∴它的顶角为180°﹣80°﹣80°＝20°．
故选：A．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理．通过三角形内角和，列出方程求解是正确解答本题的关键．
4．如图，四种瓷砖图案中，不能铺满地面的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】能够铺满地面的图形是看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角．
解：∵能够铺满地面的图形是内角能凑成360°，
∵正三角形一个内角60°，正方形一个内角90°，正五边形一个内角108°，正六边形一个内角120°，只有正五边形无法凑成360°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了平面镶嵌知识，体现了学数学用数学的思想．由平面镶嵌的知识可知只用一种正多边形能够铺满地面的是正三角形或正四边形或正六边形．
5．在平面直角坐标系中，点（2，3）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（2，﹣3） B．（3，2） C．（﹣2，3） D．（﹣2，﹣3）
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．
解：点（2，3）关于x轴对称的点的坐标是（2，﹣3），
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
6．若（2x﹣1）0有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＝﹣2 B．x≠0 C．x≠ D．x＝
【分析】直接利用零指数幂：a0＝1（a≠0），进而得出答案．
解：（2x﹣1）0有意义，则2x﹣1≠0，
解得：x≠．
故选：C．
【点评】此题主要考查了零指数幂，正确掌握零指数幂的定义是解题关键．
7．下列计算正确的是（ ）
A．2a6﹣a2＝2a4（a≠0） B．a3•a2＝a5
C．（a2）3＝a5 D．（a+b）2＝a2+b2
【分析】根据整式的混合运算方法得出结论即可．
解：A选项，2a6﹣a2（a≠0）没有同类项无法化简，故A选项不符合题意；
B选项，a3•a2＝a5，故B选项符合题意；
C选项，（a2）3＝a6，故C选项不符合题意；
D选项，（a+b）2＝a2+b2+2ab，故D选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查整式的运算，熟练掌握整式的运算方法是解题的关键．
8．下列各式从左到右的变形中，是因式分解且完全正确的是（ ）
A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 B．x2﹣2x﹣3＝x（x﹣2）﹣3
C．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2 D．x3﹣x＝x（x2﹣1）
【分析】根据因式分解的意义求解即可．
解：A．是整式的乘法，故A不符合题意；
B．没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B不符合题意；
C．是因式分解且完全正确，故C符合题意；
D．x3﹣x＝x（x2﹣1）＝x（x+1）（x﹣1），故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．
9．已知，则分式的值为（ ）
A．8 B． C． D．4
【分析】把已知整理成x﹣y＝﹣3xy，再整体代入求解即可．
解：∵，即，
∴y﹣x＝3xy，即x﹣y＝﹣3xy，
＝
＝
＝
＝．
故选：B．
【点评】本题考查了分式的化简求值，掌握整体思想并且将x﹣y＝﹣3xy整体代入是关键．
10．自带水杯已成为人们良好的健康卫生习惯．某公司为员工购买甲、乙两种型号的水杯，用720元购买甲种水杯的数量和用540元购买乙种水杯的数量相同，已知甲种水杯的单价比乙种水杯的单价多15元．设甲种水杯的单价为x元，则列出方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设甲种水杯的单价为x元，则乙种水杯的单价为（x﹣15）元，利用数量＝总价÷单价，结合用720元购买甲种水杯的数量和用540元购买乙种水杯的数量相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
解：设甲种水杯的单价为x元，则乙种水杯的单价为（x﹣15）元，
依题意得：＝．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
11．2×（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1的计算结果是（ ）
A．332+1 B．332﹣1 C．331 D．332
【分析】把因数2写成3﹣1后，利用平方差公式依次计算即可得出结果．
解：2×（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1
＝（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1
＝（32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1
＝（34﹣1）（34+1）（38+1）（316+1）+1
＝（38﹣1）（38+1）（316+1）+1
＝（316﹣1）（316+1）+1
＝332﹣1+1
＝332，
故选：D．
【点评】本题考查了平方差公式，把因数2写成3﹣1是利用平方差公式的关键．
12．把多项式x2﹣3x+2分解因式，下列结果正确的是（ ）
A．（x﹣1）（x+2） B．（x﹣1）（x﹣2） C．（x+1）（x+2） D．（x+1）（x﹣2）
【分析】应用十字相乘法，正确分解常数项以及二次项系数，把多项式x2﹣3x+2分解因式即可．
解：x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2）
故选：B．
【点评】此题主要考查了十字相乘法在因式分解中的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是正确分解常数项以及二次项系数．
13．元旦期间，庐江某商城生意火爆．元月1日，某商品的售价是m元/千克，元月2日，该商品的售价调整为n元/千克（m≠n），顾客甲1日和2日分别购买2千克的该商品；顾客乙1日与2日分别购买20元的该商品．在这两次购物中，顾客甲、乙购买该商品的平均单价谁划算（ ）
A．甲划算 B．乙划算 C．一样划算 D．无法比较
【分析】根据加权平均数的公式分别表示出顾客甲、乙购买该商品的平均单价，再利用作差法比较大小即可．
解：∵顾客甲购买该商品的平均单价为＝（元/千克），
顾客甲购买该商品的平均单价为＝（元/千克），
∴﹣＝＝＞0，
∴乙划算．
故选：B．
【点评】此题考查了加权平均数，分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．设M＝（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（n≥2的自然数），如果是整数，n的值有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据平方差公式化简M，再求出，根据是整数，n≥2的自然数，得到n+1可以为3，4，6，12，从而得到n的值．
解：∵M＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）
＝××××××…（1﹣）（1+）
＝（1+）
＝，
∴
＝
＝
＝12﹣，
∵是整数，n≥2的自然数，
∴n+1可以为3，4，6，12，
∴n的值可以为2，3，5，11共4个，
故选：C．
【点评】本题考查了平方差公式，分式的加减法，分式的值，掌握a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）是解题的关键．
15．斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段A﹣B﹣C横穿双向行驶车道，其中AB＝BC＝12米，在绿灯亮时，小敏共用22秒通过AC路段，其中通过BC路段的速度是通过AB路段速度的1.2倍，则小敏通过AB路段时的速度是（ ）
A．0.5米/秒 B．1米/秒 C．1.5米/秒 D．2米/秒
【分析】设小敏通过AB路段时的速度是x米/秒，则小敏通过BC路段时的速度是1.2x米/秒，利用时间＝路程÷速度，结合小敏共用22秒通过AC路段，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
解：设小敏通过AB路段时的速度是x米/秒，则小敏通过BC路段时的速度是1.2x米/秒，
依题意得：+＝22，
解得：x＝1，
经检验，x＝1是原方程的解，且符合题意，
∴小敏通过AB路段时的速度是1米/秒．
故选：B．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
16．如图，大正方形与小正方形的面积之差为S，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．2S B．S C． D．
【分析】设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则AE＝a﹣b，由题意可得a2﹣b2＝S，将S阴影部分转化为S△ACE+S△ADE，即（a2﹣b2），代入计算即可．
解：如图，设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则AE＝a﹣b，
由于大正方形与小正方形的面积之差是S，即a2﹣b2＝S，
S阴影部分＝S△ACE+S△ADE
＝（a﹣b）•a+（a﹣b）•b
＝（a+b）（a﹣b）
＝（a2﹣b2）
＝S．
故选：C．
【点评】本题考查了列代数式，平方差公式，掌握正方形、三角形的面积公式是正确解答的前提．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分.把答案写在题中横线上）
17．如图，在平面直角坐标系中，点A（3，m）在第一象限，若点A关于x轴的对称点B在直线y＝﹣x+1上，则m的值为 2 ．
【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点可得B（3，﹣m），然后再把B点坐标代入y＝﹣x+1可得m的值．
解：∵点A（3，m），
∴点A关于x轴的对称点B（3，﹣m），
∵B在直线y＝﹣x+1上，
∴﹣m＝﹣3+1＝﹣2，
∴m＝2，
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标，以及一次函数图象上点的坐标特点，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能使解析式左右相等．
18．一个长方形的长与宽分别为a，b，若周长为12，面积为5，则ab3+2a2b2+a3b的值为 180 ．
【分析】直接提取公因式，再利用完全平方公式分解因式，进而把已知数据代入得出答案．
解：∵一个长方形的长与宽分别为a，b，周长为12，面积为5，
∴ab＝5，a+b＝6，
则ab3+2a2b2+a3b＝ab（b2+2ab+a2）
＝ab（a+b）2
＝5×62
＝180．
故答案为：180．
【点评】此题主要考查了提取公因式、完全平方公式分解因式，正确将原式变形是解题关键．
19．北海到南宁的铁路长210千米，动车运行后的平均速度是原来火车的1.8倍，这样由北海到南宁的行驶时间缩短了1.5小时，设原来火车的平均速度为x千米/时，则可列方程为 ．
【分析】设原来火车的平均速度为x千米/时，则动车运行后的平均速度为1.8x，根据题意可得：由北海到南宁的行驶时间动车比原来的火车少用1.5小时，列方程即可．
解：设原来火车的平均速度为x千米/时，则动车运行后的平均速度为1.8x，
由题意得，﹣1.5＝．
故答案为：﹣1.5＝．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
20．阅读下面的材料，并解答问题：
分式的最大值是多少？
解：，
因为x≥0，所以x+2的最小值是2，所以的最大值是2，所以的最大值是4，即的最大值是4．
根据上述方法，试求分式的最大值是 5 ．
【分析】按照例题的解题思路，进行计算即可解答．
解：＝＝＝2+，
∵x2≥0，
∴x2+2的最小值为2，
∴的最大值为3，
∴2+的最大值为5，
∴分式的最大值是5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了分式的加减法，理解例题的解题思路是解题的关键．
三、解答题（本大题有5个小题，其中21题6分；22题8分，23题12分，24题8分；25题12分；共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置．（保留作图痕迹）
【分析】根据题意，P点既在线段AB的垂直平分线上，又在两条公路所夹角的平分线上．故两线交点即为发射塔P的位置．
解：作出线段AB的垂直平分线，与∠COD的平分线交于P点，则P点为所求．
【点评】此题考查了线段的垂直平分线和角的平分线的作图，是基本作图题，需熟练掌握．
22．若x，y是等腰三角形的两条边，且满足4x2+17y2﹣16xy﹣4y+4＝0，求△ABC的周长．
【分析】先将等式的左边分组因式分解，然后根据偶次方的非负性求出x、y，然后再根据等腰三角形的定义即可解答．
解：∵4x2+17y2﹣16xy﹣4y+4＝0，
∴4x2﹣16xy+16y2+y2﹣4y+4＝0，
则（2x﹣4y）2+（y﹣2）2＝0，
∴2x﹣4y＝0，y﹣2＝0，
解得：x＝4，y＝2．
当2为腰，4为底时，△ABC不存在；
当4为腰，2为底时，△ABC的周长＝2×4+2＝10．
【点评】本题主要考查了因式分解的应用、偶次方的非负性以及等腰三角形的定义等知识点，通过因式分解求出x、y的值是解答本题的关键．
23．（一）分解因式：
（1）x2（x+4）﹣4x（x+1）；
（2）（x2+1）2﹣4x2；
（3）x2﹣7x+12．
（二）解分式方程：．
【分析】（一）（1）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答；
（2）先利用平方差公式，再利用完全平方差公式继续分解即可解答；
（3）利用因式分解﹣十字相乘法，进行分解即可解答；
（二）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
解：（一）（1）x2（x+4）﹣4x（x+1）
＝x[x（x+4）﹣4（x+1）]
＝x（x2+4x﹣4x﹣4）
＝x（x2﹣4）
＝x（x+2）（x﹣2）；
（2）（x2+1）2﹣4x2
＝（x2+1）2﹣（2x）2
＝（x2+1+2x）（x2+1﹣2x）
＝（x+1）2（x﹣1）2；
（3）x2﹣7x+12
＝x2+（﹣3﹣4）x+（﹣3）×（﹣4）
＝（x﹣3）（x﹣4）；
（二）．
方程两边都乘（x+1）（x﹣1）得：
（x+1）（x+1）﹣4＝（x+1）（x﹣1），
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，（x+1）（x﹣1）＝0，
∴x＝1是原方程的增根，
∴原分式方程无解．
【点评】本题考查了解分式方程，提公因式法与公式法的综合运用，因式分解﹣十字相乘法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
24．一粥一饭当思来之不易，半丝半缕恒念物力维艰．开展“光盘行动”，拒绝“舌尖上的浪费”，已经成为一种时尚．某学校食堂为了鼓励同学们做到光盘不浪费，针对每餐后光盘的学生奖励苹果或砂糖橘一份．近日，学校食堂花了1500元和1800元分别采购了砂糖橘和苹果，采购的砂糖橘比苹果多50千克，砂糖橘每千克的价格比苹果每千克的价格低40%．求苹果每千克的价格．
【分析】设苹果每千克的价格为x元，则砂糖橘每千克的价格为（1﹣40%）x元，利用数量＝总价÷单价，结合采购的砂糖橘比苹果多50千克，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
解：设苹果每千克的价格为x元，则砂糖橘每千克的价格为（1﹣40%）x元，
依题意得：﹣＝50，
解得：x＝14，
经检验，x＝14是原方程的解，且符合题意．
答：苹果每千克的价格为14元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
25．我们已经学过（x﹣a）（x﹣b）＝x2﹣（a+b）x+ab，如果关于x的分式方程满足x+＝a+b（a，b分别为非零整数），且方程的两个跟分别为x1＝a，x2＝b．
我们称这样的方程为“十字方程”．
例如：x+＝3可化为x+＝1+2＝3，∴x1＝1，x2＝2．
再如：x+＝﹣5可化为x+＝﹣2﹣3＝﹣5，∴x1＝﹣2，x2＝﹣3．
应用上面的结论解答下列问题：
（1）“十字方程”x+＝﹣6，则x1＝ ﹣2或﹣4 ，x2＝ ﹣4或﹣2 ；
（2）“十字方程”x﹣＝﹣1的两个解分别为x1＝a，x2＝b，求的值；
（3）关于x的“十字方程”x+＝2n+4的两个解分别为x1，x2（x1＜x2），求的值．
【分析】（1）由“十字方程”的定义结合已知可得，﹣2×（﹣4）＝8，﹣2﹣4＝﹣6，即可求出x1，x2；
（2）由“十字方程”的定义结合已知可得，﹣2×1＝﹣2，﹣2+1＝﹣1，求出a，b，再代入，计算即可求解；
（3）将式子化为x﹣3++＝2n+1，由n（n+1）＝n2+n，n+n+1＝2n+1，求出x1，x2，再代入，计算即可求解．
解：（1）由已知可得，﹣2×（﹣4）＝8，﹣2﹣4＝﹣6，
∴x1＝﹣2或﹣4，x2＝﹣4或﹣2，
故答案为：﹣2或﹣4，﹣4或﹣2；
（2）由已知可得，﹣2×1＝﹣2，﹣2+1＝﹣1，
∴x1＝﹣2或1，x2＝1或﹣2，
∴a+b＝﹣2+1＝﹣1，ab＝﹣2×1＝﹣2，
∴＝＝＝；
（3）由x+＝2n+4，
∴x﹣3++＝2n+1，
∴（x1﹣3）（x2﹣3）＝n2+n，x1﹣3+x2﹣3＝2n+1，
而n（n+1）＝n2+n，n+n+1＝2n+1，且x1＜x2，
∴x1﹣3＝n，x2﹣3＝n+1，
∴x1＝n+3，x2＝n+4，
∴＝＝1．
【点评】本题考查根与系数的关系，分式方程；理解“十字方程”的定义以及题中的方法，能够将所求分式方程转化为二元一次方程组求解是解题的关键．
2022-2023学年河北省邯郸市磁县八年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共16个小题，1-10小题，每小题3分；11-16小题，每小题3分，共42分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．三角形一边上的中线把原三角形分成两个（ ）
A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形
C．直角三角形 D．周长相等的三角形
2．如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充的条件是（ ）
A．AC＝AD或BC＝BD B．AC＝AD且BC＝BD
C．∠BAC＝∠BAD D．以上都不对
3．等腰三角形的一个底角是80°，则顶角的度数是（ ）
A．20° B．50° C．20°或50° D．50°或80°
4．如图，四种瓷砖图案中，不能铺满地面的是（ ）
A． B．
C． D．
5．在平面直角坐标系中，点（2，3）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（2，﹣3） B．（3，2） C．（﹣2，3） D．（﹣2，﹣3）
6．若（2x﹣1）0有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＝﹣2 B．x≠0 C．x≠ D．x＝
7．下列计算正确的是（ ）
A．2a6﹣a2＝2a4（a≠0） B．a3•a2＝a5
C．（a2）3＝a5 D．（a+b）2＝a2+b2
8．下列各式从左到右的变形中，是因式分解且完全正确的是（ ）
A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 B．x2﹣2x﹣3＝x（x﹣2）﹣3
C．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2 D．x3﹣x＝x（x2﹣1）
9．已知，则分式的值为（ ）
A．8 B． C． D．4
10．自带水杯已成为人们良好的健康卫生习惯．某公司为员工购买甲、乙两种型号的水杯，用720元购买甲种水杯的数量和用540元购买乙种水杯的数量相同，已知甲种水杯的单价比乙种水杯的单价多15元．设甲种水杯的单价为x元，则列出方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．2×（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1的计算结果是（ ）
A．332+1 B．332﹣1 C．331 D．332
12．把多项式x2﹣3x+2分解因式，下列结果正确的是（ ）
A．（x﹣1）（x+2） B．（x﹣1）（x﹣2） C．（x+1）（x+2） D．（x+1）（x﹣2）
13．元旦期间，庐江某商城生意火爆．元月1日，某商品的售价是m元/千克，元月2日，该商品的售价调整为n元/千克（m≠n），顾客甲1日和2日分别购买2千克的该商品；顾客乙1日与2日分别购买20元的该商品．在这两次购物中，顾客甲、乙购买该商品的平均单价谁划算（ ）
A．甲划算 B．乙划算 C．一样划算 D．无法比较
14．设M＝（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（n≥2的自然数），如果是整数，n的值有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
15．斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段A﹣B﹣C横穿双向行驶车道，其中AB＝BC＝12米，在绿灯亮时，小敏共用22秒通过AC路段，其中通过BC路段的速度是通过AB路段速度的1.2倍，则小敏通过AB路段时的速度是（ ）
A．0.5米/秒 B．1米/秒 C．1.5米/秒 D．2米/秒
16．如图，大正方形与小正方形的面积之差为S，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．2S B．S C． D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分.把答案写在题中横线上）
17．如图，在平面直角坐标系中，点A（3，m）在第一象限，若点A关于x轴的对称点B在直线y＝﹣x+1上，则m的值为 ．
18．一个长方形的长与宽分别为a，b，若周长为12，面积为5，则ab3+2a2b2+a3b的值为 ．
19．北海到南宁的铁路长210千米，动车运行后的平均速度是原来火车的1.8倍，这样由北海到南宁的行驶时间缩短了1.5小时，设原来火车的平均速度为x千米/时，则可列方程为 ．
20．阅读下面的材料，并解答问题：
分式的最大值是多少？
解：，
因为x≥0，所以x+2的最小值是2，所以的最大值是2，所以的最大值是4，即的最大值是4．
根据上述方法，试求分式的最大值是 ．
三、解答题（本大题有5个小题，其中21题6分；22题8分，23题12分，24题8分；25题12分；共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置．（保留作图痕迹）
22．若x，y是等腰三角形的两条边，且满足4x2+17y2﹣16xy﹣4y+4＝0，求△ABC的周长．
23．（一）分解因式：
（1）x2（x+4）﹣4x（x+1）；
（2）（x2+1）2﹣4x2；
（3）x2﹣7x+12．
（二）解分式方程：．
24．一粥一饭当思来之不易，半丝半缕恒念物力维艰．开展“光盘行动”，拒绝“舌尖上的浪费”，已经成为一种时尚．某学校食堂为了鼓励同学们做到光盘不浪费，针对每餐后光盘的学生奖励苹果或砂糖橘一份．近日，学校食堂花了1500元和1800元分别采购了砂糖橘和苹果，采购的砂糖橘比苹果多50千克，砂糖橘每千克的价格比苹果每千克的价格低40%．求苹果每千克的价格．
25．我们已经学过（x﹣a）（x﹣b）＝x2﹣（a+b）x+ab，如果关于x的分式方程满足x+＝a+b（a，b分别为非零整数），且方程的两个跟分别为x1＝a，x2＝b．
我们称这样的方程为“十字方程”．
例如：x+＝3可化为x+＝1+2＝3，∴x1＝1，x2＝2．
再如：x+＝﹣5可化为x+＝﹣2﹣3＝﹣5，∴x1＝﹣2，x2＝﹣3．
应用上面的结论解答下列问题：
（1）“十字方程”x+＝﹣6，则x1＝ ，x2＝ ；
（2）“十字方程”x﹣＝﹣1的两个解分别为x1＝a，x2＝b，求的值；
（3）关于x的“十字方程”x+＝2n+4的两个解分别为x1，x2（x1＜x2），求的值．
参考答案
一、选择题（本大题共16个小题，1-10小题，每小题3分；11-16小题，每小题3分，共42分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．三角形一边上的中线把原三角形分成两个（ ）
A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形
C．直角三角形 D．周长相等的三角形
【分析】根据三角形的面积公式以及三角形的中线定义，知三角形的一边上的中线把三角形分成了等底同高的两个三角形，所以它们的面积相等．
解：三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形．
故选：B．
【点评】考查了三角形的中线的概念．构造面积相等的两个三角形时，注意考虑三角形的中线．
2．如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充的条件是（ ）
A．AC＝AD或BC＝BD B．AC＝AD且BC＝BD
C．∠BAC＝∠BAD D．以上都不对
【分析】根据HL，还缺少一条直角边相等，由此判断即可．
解：因为公共边AB为两个直角三角形的斜边，
所以要用HL证明Rt△ABC和Rt△ABD全等，
只需AC＝AD或者BC＝BD．
故选：B．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．
3．等腰三角形的一个底角是80°，则顶角的度数是（ ）
A．20° B．50° C．20°或50° D．50°或80°
【分析】由已知底角为80°，根据等腰三角形的两底角相等的性质及三角形内角和定理，即可求出它的一个顶角的值．
解：∵等腰三角形的底角为80°，
∴它的顶角为180°﹣80°﹣80°＝20°．
故选：A．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理．通过三角形内角和，列出方程求解是正确解答本题的关键．
4．如图，四种瓷砖图案中，不能铺满地面的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】能够铺满地面的图形是看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角．
解：∵能够铺满地面的图形是内角能凑成360°，
∵正三角形一个内角60°，正方形一个内角90°，正五边形一个内角108°，正六边形一个内角120°，只有正五边形无法凑成360°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了平面镶嵌知识，体现了学数学用数学的思想．由平面镶嵌的知识可知只用一种正多边形能够铺满地面的是正三角形或正四边形或正六边形．
5．在平面直角坐标系中，点（2，3）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（2，﹣3） B．（3，2） C．（﹣2，3） D．（﹣2，﹣3）
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．
解：点（2，3）关于x轴对称的点的坐标是（2，﹣3），
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
6．若（2x﹣1）0有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＝﹣2 B．x≠0 C．x≠ D．x＝
【分析】直接利用零指数幂：a0＝1（a≠0），进而得出答案．
解：（2x﹣1）0有意义，则2x﹣1≠0，
解得：x≠．
故选：C．
【点评】此题主要考查了零指数幂，正确掌握零指数幂的定义是解题关键．
7．下列计算正确的是（ ）
A．2a6﹣a2＝2a4（a≠0） B．a3•a2＝a5
C．（a2）3＝a5 D．（a+b）2＝a2+b2
【分析】根据整式的混合运算方法得出结论即可．
解：A选项，2a6﹣a2（a≠0）没有同类项无法化简，故A选项不符合题意；
B选项，a3•a2＝a5，故B选项符合题意；
C选项，（a2）3＝a6，故C选项不符合题意；
D选项，（a+b）2＝a2+b2+2ab，故D选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查整式的运算，熟练掌握整式的运算方法是解题的关键．
8．下列各式从左到右的变形中，是因式分解且完全正确的是（ ）
A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 B．x2﹣2x﹣3＝x（x﹣2）﹣3
C．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2 D．x3﹣x＝x（x2﹣1）
【分析】根据因式分解的意义求解即可．
解：A．是整式的乘法，故A不符合题意；
B．没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B不符合题意；
C．是因式分解且完全正确，故C符合题意；
D．x3﹣x＝x（x2﹣1）＝x（x+1）（x﹣1），故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．
9．已知，则分式的值为（ ）
A．8 B． C． D．4
【分析】把已知整理成x﹣y＝﹣3xy，再整体代入求解即可．
解：∵，即，
∴y﹣x＝3xy，即x﹣y＝﹣3xy，
＝
＝
＝
＝．
故选：B．
【点评】本题考查了分式的化简求值，掌握整体思想并且将x﹣y＝﹣3xy整体代入是关键．
10．自带水杯已成为人们良好的健康卫生习惯．某公司为员工购买甲、乙两种型号的水杯，用720元购买甲种水杯的数量和用540元购买乙种水杯的数量相同，已知甲种水杯的单价比乙种水杯的单价多15元．设甲种水杯的单价为x元，则列出方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设甲种水杯的单价为x元，则乙种水杯的单价为（x﹣15）元，利用数量＝总价÷单价，结合用720元购买甲种水杯的数量和用540元购买乙种水杯的数量相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
解：设甲种水杯的单价为x元，则乙种水杯的单价为（x﹣15）元，
依题意得：＝．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
11．2×（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1的计算结果是（ ）
A．332+1 B．332﹣1 C．331 D．332
【分析】把因数2写成3﹣1后，利用平方差公式依次计算即可得出结果．
解：2×（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1
＝（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1
＝（32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1
＝（34﹣1）（34+1）（38+1）（316+1）+1
＝（38﹣1）（38+1）（316+1）+1
＝（316﹣1）（316+1）+1
＝332﹣1+1
＝332，
故选：D．
【点评】本题考查了平方差公式，把因数2写成3﹣1是利用平方差公式的关键．
12．把多项式x2﹣3x+2分解因式，下列结果正确的是（ ）
A．（x﹣1）（x+2） B．（x﹣1）（x﹣2） C．（x+1）（x+2） D．（x+1）（x﹣2）
【分析】应用十字相乘法，正确分解常数项以及二次项系数，把多项式x2﹣3x+2分解因式即可．
解：x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2）
故选：B．
【点评】此题主要考查了十字相乘法在因式分解中的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是正确分解常数项以及二次项系数．
13．元旦期间，庐江某商城生意火爆．元月1日，某商品的售价是m元/千克，元月2日，该商品的售价调整为n元/千克（m≠n），顾客甲1日和2日分别购买2千克的该商品；顾客乙1日与2日分别购买20元的该商品．在这两次购物中，顾客甲、乙购买该商品的平均单价谁划算（ ）
A．甲划算 B．乙划算 C．一样划算 D．无法比较
【分析】根据加权平均数的公式分别表示出顾客甲、乙购买该商品的平均单价，再利用作差法比较大小即可．
解：∵顾客甲购买该商品的平均单价为＝（元/千克），
顾客甲购买该商品的平均单价为＝（元/千克），
∴﹣＝＝＞0，
∴乙划算．
故选：B．
【点评】此题考查了加权平均数，分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．设M＝（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（n≥2的自然数），如果是整数，n的值有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据平方差公式化简M，再求出，根据是整数，n≥2的自然数，得到n+1可以为3，4，6，12，从而得到n的值．
解：∵M＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）
＝××××××…（1﹣）（1+）
＝（1+）
＝，
∴
＝
＝
＝12﹣，
∵是整数，n≥2的自然数，
∴n+1可以为3，4，6，12，
∴n的值可以为2，3，5，11共4个，
故选：C．
【点评】本题考查了平方差公式，分式的加减法，分式的值，掌握a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）是解题的关键．
15．斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段A﹣B﹣C横穿双向行驶车道，其中AB＝BC＝12米，在绿灯亮时，小敏共用22秒通过AC路段，其中通过BC路段的速度是通过AB路段速度的1.2倍，则小敏通过AB路段时的速度是（ ）
A．0.5米/秒 B．1米/秒 C．1.5米/秒 D．2米/秒
【分析】设小敏通过AB路段时的速度是x米/秒，则小敏通过BC路段时的速度是1.2x米/秒，利用时间＝路程÷速度，结合小敏共用22秒通过AC路段，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
解：设小敏通过AB路段时的速度是x米/秒，则小敏通过BC路段时的速度是1.2x米/秒，
依题意得：+＝22，
解得：x＝1，
经检验，x＝1是原方程的解，且符合题意，
∴小敏通过AB路段时的速度是1米/秒．
故选：B．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
16．如图，大正方形与小正方形的面积之差为S，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．2S B．S C． D．
【分析】设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则AE＝a﹣b，由题意可得a2﹣b2＝S，将S阴影部分转化为S△ACE+S△ADE，即（a2﹣b2），代入计算即可．
解：如图，设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则AE＝a﹣b，
由于大正方形与小正方形的面积之差是S，即a2﹣b2＝S，
S阴影部分＝S△ACE+S△ADE
＝（a﹣b）•a+（a﹣b）•b
＝（a+b）（a﹣b）
＝（a2﹣b2）
＝S．
故选：C．
【点评】本题考查了列代数式，平方差公式，掌握正方形、三角形的面积公式是正确解答的前提．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分.把答案写在题中横线上）
17．如图，在平面直角坐标系中，点A（3，m）在第一象限，若点A关于x轴的对称点B在直线y＝﹣x+1上，则m的值为 2 ．
【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点可得B（3，﹣m），然后再把B点坐标代入y＝﹣x+1可得m的值．
解：∵点A（3，m），
∴点A关于x轴的对称点B（3，﹣m），
∵B在直线y＝﹣x+1上，
∴﹣m＝﹣3+1＝﹣2，
∴m＝2，
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标，以及一次函数图象上点的坐标特点，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能使解析式左右相等．
18．一个长方形的长与宽分别为a，b，若周长为12，面积为5，则ab3+2a2b2+a3b的值为 180 ．
【分析】直接提取公因式，再利用完全平方公式分解因式，进而把已知数据代入得出答案．
解：∵一个长方形的长与宽分别为a，b，周长为12，面积为5，
∴ab＝5，a+b＝6，
则ab3+2a2b2+a3b＝ab（b2+2ab+a2）
＝ab（a+b）2
＝5×62
＝180．
故答案为：180．
【点评】此题主要考查了提取公因式、完全平方公式分解因式，正确将原式变形是解题关键．
19．北海到南宁的铁路长210千米，动车运行后的平均速度是原来火车的1.8倍，这样由北海到南宁的行驶时间缩短了1.5小时，设原来火车的平均速度为x千米/时，则可列方程为 ．
【分析】设原来火车的平均速度为x千米/时，则动车运行后的平均速度为1.8x，根据题意可得：由北海到南宁的行驶时间动车比原来的火车少用1.5小时，列方程即可．
解：设原来火车的平均速度为x千米/时，则动车运行后的平均速度为1.8x，
由题意得，﹣1.5＝．
故答案为：﹣1.5＝．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
20．阅读下面的材料，并解答问题：
分式的最大值是多少？
解：，
因为x≥0，所以x+2的最小值是2，所以的最大值是2，所以的最大值是4，即的最大值是4．
根据上述方法，试求分式的最大值是 5 ．
【分析】按照例题的解题思路，进行计算即可解答．
解：＝＝＝2+，
∵x2≥0，
∴x2+2的最小值为2，
∴的最大值为3，
∴2+的最大值为5，
∴分式的最大值是5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了分式的加减法，理解例题的解题思路是解题的关键．
三、解答题（本大题有5个小题，其中21题6分；22题8分，23题12分，24题8分；25题12分；共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置．（保留作图痕迹）
【分析】根据题意，P点既在线段AB的垂直平分线上，又在两条公路所夹角的平分线上．故两线交点即为发射塔P的位置．
解：作出线段AB的垂直平分线，与∠COD的平分线交于P点，则P点为所求．
【点评】此题考查了线段的垂直平分线和角的平分线的作图，是基本作图题，需熟练掌握．
22．若x，y是等腰三角形的两条边，且满足4x2+17y2﹣16xy﹣4y+4＝0，求△ABC的周长．
【分析】先将等式的左边分组因式分解，然后根据偶次方的非负性求出x、y，然后再根据等腰三角形的定义即可解答．
解：∵4x2+17y2﹣16xy﹣4y+4＝0，
∴4x2﹣16xy+16y2+y2﹣4y+4＝0，
则（2x﹣4y）2+（y﹣2）2＝0，
∴2x﹣4y＝0，y﹣2＝0，
解得：x＝4，y＝2．
当2为腰，4为底时，△ABC不存在；
当4为腰，2为底时，△ABC的周长＝2×4+2＝10．
【点评】本题主要考查了因式分解的应用、偶次方的非负性以及等腰三角形的定义等知识点，通过因式分解求出x、y的值是解答本题的关键．
23．（一）分解因式：
（1）x2（x+4）﹣4x（x+1）；
（2）（x2+1）2﹣4x2；
（3）x2﹣7x+12．
（二）解分式方程：．
【分析】（一）（1）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答；
（2）先利用平方差公式，再利用完全平方差公式继续分解即可解答；
（3）利用因式分解﹣十字相乘法，进行分解即可解答；
（二）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
解：（一）（1）x2（x+4）﹣4x（x+1）
＝x[x（x+4）﹣4（x+1）]
＝x（x2+4x﹣4x﹣4）
＝x（x2﹣4）
＝x（x+2）（x﹣2）；
（2）（x2+1）2﹣4x2
＝（x2+1）2﹣（2x）2
＝（x2+1+2x）（x2+1﹣2x）
＝（x+1）2（x﹣1）2；
（3）x2﹣7x+12
＝x2+（﹣3﹣4）x+（﹣3）×（﹣4）
＝（x﹣3）（x﹣4）；
（二）．
方程两边都乘（x+1）（x﹣1）得：
（x+1）（x+1）﹣4＝（x+1）（x﹣1），
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，（x+1）（x﹣1）＝0，
∴x＝1是原方程的增根，
∴原分式方程无解．
【点评】本题考查了解分式方程，提公因式法与公式法的综合运用，因式分解﹣十字相乘法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
24．一粥一饭当思来之不易，半丝半缕恒念物力维艰．开展“光盘行动”，拒绝“舌尖上的浪费”，已经成为一种时尚．某学校食堂为了鼓励同学们做到光盘不浪费，针对每餐后光盘的学生奖励苹果或砂糖橘一份．近日，学校食堂花了1500元和1800元分别采购了砂糖橘和苹果，采购的砂糖橘比苹果多50千克，砂糖橘每千克的价格比苹果每千克的价格低40%．求苹果每千克的价格．
【分析】设苹果每千克的价格为x元，则砂糖橘每千克的价格为（1﹣40%）x元，利用数量＝总价÷单价，结合采购的砂糖橘比苹果多50千克，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
解：设苹果每千克的价格为x元，则砂糖橘每千克的价格为（1﹣40%）x元，
依题意得：﹣＝50，
解得：x＝14，
经检验，x＝14是原方程的解，且符合题意．
答：苹果每千克的价格为14元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
25．我们已经学过（x﹣a）（x﹣b）＝x2﹣（a+b）x+ab，如果关于x的分式方程满足x+＝a+b（a，b分别为非零整数），且方程的两个跟分别为x1＝a，x2＝b．
我们称这样的方程为“十字方程”．
例如：x+＝3可化为x+＝1+2＝3，∴x1＝1，x2＝2．
再如：x+＝﹣5可化为x+＝﹣2﹣3＝﹣5，∴x1＝﹣2，x2＝﹣3．
应用上面的结论解答下列问题：
（1）“十字方程”x+＝﹣6，则x1＝ ﹣2或﹣4 ，x2＝ ﹣4或﹣2 ；
（2）“十字方程”x﹣＝﹣1的两个解分别为x1＝a，x2＝b，求的值；
（3）关于x的“十字方程”x+＝2n+4的两个解分别为x1，x2（x1＜x2），求的值．
【分析】（1）由“十字方程”的定义结合已知可得，﹣2×（﹣4）＝8，﹣2﹣4＝﹣6，即可求出x1，x2；
（2）由“十字方程”的定义结合已知可得，﹣2×1＝﹣2，﹣2+1＝﹣1，求出a，b，再代入，计算即可求解；
（3）将式子化为x﹣3++＝2n+1，由n（n+1）＝n2+n，n+n+1＝2n+1，求出x1，x2，再代入，计算即可求解．
解：（1）由已知可得，﹣2×（﹣4）＝8，﹣2﹣4＝﹣6，
∴x1＝﹣2或﹣4，x2＝﹣4或﹣2，
故答案为：﹣2或﹣4，﹣4或﹣2；
（2）由已知可得，﹣2×1＝﹣2，﹣2+1＝﹣1，
∴x1＝﹣2或1，x2＝1或﹣2，
∴a+b＝﹣2+1＝﹣1，ab＝﹣2×1＝﹣2，
∴＝＝＝；
（3）由x+＝2n+4，
∴x﹣3++＝2n+1，
∴（x1﹣3）（x2﹣3）＝n2+n，x1﹣3+x2﹣3＝2n+1，
而n（n+1）＝n2+n，n+n+1＝2n+1，且x1＜x2，
∴x1﹣3＝n，x2﹣3＝n+1，
∴x1＝n+3，x2＝n+4，
∴＝＝1．
【点评】本题考查根与系数的关系，分式方程；理解“十字方程”的定义以及题中的方法，能够将所求分式方程转化为二元一次方程组求解是解题的关键．
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