2023届高考数学二轮复习强化训练23导数作业含答案

这是一份2023届高考数学二轮复习强化训练23导数作业含答案，共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程为x－y＋1＝0，则a＋b＝( )
A．2B．0
C．－1D．－2
2．函数f(x)＝lnx＋2x＋eq \f(1,x)的单调递减区间是( )
A．(－1，eq \f(1,2)) B．(0，eq \f(1,2))
C．(－eq \f(1,2)，1) D．(0，1)
3．若x＝1是函数f(x)＝alnx＋x的极值点，则a的值是( )
A．－1B．0
C．1D．e
4．[2022·河北保定一模]已知某商品的进价为4元，通过多日的市场调查，该商品的市场销量y(件)与商品售价x(元)的关系为y＝e－x，则当此商品的利润最大时，该商品的售价x(元)为( )
A．5B．6
C．7D．8
5．[2022·山东日照二模]曲线y＝lnx－eq \f(2,x)在x＝1处的切线的倾斜角为α，则cs2α的值为( )
A．eq \f(4,5)B．－eq \f(4,5)
C．eq \f(3,5)D．－eq \f(3,5)
6．[2022·全国乙卷]函数f(x)＝csx＋(x＋1)sinx＋1在区间[0，2π]的最小值、最大值分别为( )
A．－eq \f(π,2)，eq \f(π,2)B．－eq \f(3π,2)，eq \f(π,2)
C．－eq \f(π,2)，eq \f(π,2)＋2D．－eq \f(3π,2)，eq \f(π,2)＋2
7．若函数y＝x＋alnx在区间[1，＋∞)内单调递增，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－2) B．(－∞，－1)
C．[－2，＋∞) D．[－1，＋∞)
8．[2022·江苏扬中模拟]当x∈R时，不等式eq \f(x－1,ex)≤ax－1恒成立，则实数a的取值范围为( )
A.a＝eq \r(3)B．a＝2
C．a≥2D．eeq \r(2)－1≤a≤eeq \r(2)
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或多选得0分)
9．[2022·福建漳州二模]已知函数f(x)＝ex，则下列结论正确的是( )
A．曲线y＝f(x)的切线斜率可以是1
B．曲线y＝f(x)的切线斜率可以是－1
C．过点(0，1)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有1条
D．过点(0，0)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有2条
10．[2022·湖北襄阳模拟]设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是( )
A．∀x∈R，f(x)≤f(x0)
B．－x0是f(－x)的极大值点
C．－x0是－f(x)的极小值点
D．－x0是－f(－x)的极小值点
11．[2022·湖北十堰三模]已知函数f(x)＝ex－ln (x＋a)，a∈R.( )
A．当a＝0时，f(x)没有零点
B．当a＝0时，f(x)是增函数
C．当a＝2时，直线y＝eq \f(1,2)x＋1－ln2与曲线y＝f(x)相切
D．当a＝2时，f(x)只有一个极值点x0，且x0∈(－1，0)
12．[2022·新高考Ⅰ卷]已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f′(x).若f(eq \f(3,2)－2x)，g(2＋x)均为偶函数，则( )
A．f(0)＝0B．g(－eq \f(1,2))＝0
C．f(－1)＝f(4) D．g(－1)＝g(2)
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．[2022·山东临沂一模]函数f(x)＝xln (－x)，则曲线y＝f(x)在x＝－e处的切线方程为________．
14．[2022·福建福州模拟]已知函数f(x)＝aeq \r(x)＋lnx在x＝1处取得极值，则实数a＝________．
15．已知可导函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，满足xf′(x)－2f(x)<0，且f(2)＝4，则不等式f(x)>x2的解集是________．
16．[2022·河北邯郸二模]已知点P为曲线y＝eq \f(lnx,e)上的动点，O为坐标原点．当|OP|最小时，直线OP恰好与曲线y＝alnx相切，则实数a＝________．
强化训练23 导数
1．解析：由y＝x2＋ax＋b得y′＝2x＋a，
又曲线y＝x2＋ax＋b在点（0，b）处的切线方程为x－y＋1＝0，
故当x＝0时，y′＝a＝1，
又点（0，b）在x－y＋1＝0上，则b＝1，故a＋b＝2.
答案：A
2．解析：由题意可得f′（x）＝eq \f(1,x)＋2－eq \f(1,x2)＝eq \f(2x2＋x－1,x2)＝eq \f(（2x－1）（x＋1）,x2)，且函数f（x）的定义域为（0，＋∞）.
由f′（x）<0，得0答案：B
3．解析：f（x）的定义域为（0，＋∞），
f′（x）＝eq \f(a,x)＋1，
因为x＝1是函数f（x）＝alnx＋x的极值点，
所以f′（1）＝0，即a＋1＝0，所以a＝－1，
当a＝－1时，f′（x）＝1－eq \f(1,x)＝eq \f(x－1,x)，
令f′（x）>0，得x>1，令f′（x）<0，得0所以f（x）在x＝1处取得极小值，符合题意．
综上所述：a＝－1.
答案：A
4．解析：根据题意可得利润函数f（x）＝（x－4）e－x，
f′（x）＝e－x－（x－4）e－x＝（5－x）e－x，
当x>5时，f′（x）<0，f（x）单调递减，
当00，f（x）单调递增，
所以当x＝5时，函数f（x）取最大值．
答案：A
5．解析：根据已知条件，f′（x）＝eq \f(1,x)＋eq \f(2,x2)，因为曲线y＝lnx－eq \f(2,x)在x＝1处的切线的倾斜角为α，
所以tanα＝f′（1）＝1＋2＝3，
所以0<α则解得sinα＝eq \f(3,\r(10))，csα＝eq \f(1,\r(10))，
故cs2α＝cs2α－sin2α＝（eq \f(1,\r(10))）2－（eq \f(3,\r(10))）2＝－eq \f(4,5).
答案：B
6．解析：因为f（x）＝csx＋（x＋1）sinx＋1，所以f′（x）＝－sinx＋sinx＋（x＋1）csx＝（x＋1）·csx．因为x∈[0，2π]，所以x＋1>0.当f′（x）>0时，解得x∈[0，eq \f(π,2)）∪（eq \f(3π,2)，2π]；当f′（x）<0时，解得x∈（eq \f(π,2)，eq \f(3π,2)）.所以f（x）在[0，eq \f(π,2)）上单调递增，在[eq \f(π,2)，eq \f(3π,2)]上单调递减，在（eq \f(3π,2)，2π]上单调递增．又f（0）＝2，f（eq \f(π,2)）＝eq \f(π,2)＋2，f（eq \f(3π,2)）＝－eq \f(3π,2)，f（2π）＝2，所以f（x）的最大值为eq \f(π,2)＋2，最小值为－eq \f(3π,2).故选D.
答案：D
7．解析：由y＝x＋alnx⇒y′＝1＋eq \f(a,x)，
因为函数y＝x＋alnx在区间[1，＋∞）内单调递增，
所以有y′≥0在[1，＋∞）上恒成立，即1＋eq \f(a,x)≥0在[1，＋∞）上恒成立，
因为x∈[1，＋∞），所以由1＋eq \f(a,x)≥0⇒x＋a≥0⇒a≥－x，
因为x∈[1，＋∞），所以－x∈（－∞，－1]，于是有a≥－1.
答案：D
8．解析：令f（x）＝eq \f(x－1,ex)，∵x>1时f（x）>0，∴a≤0不合条件．
令h（x）＝eq \f(x－1,ex)－ax＋1，故h（x）≤0恒成立，又h（0）＝0，
∴h（x）要在x＝0处取最大值，故x＝0为h（x）在R上的极大值点，
故h′（0）＝0，又h′（x）＝eq \f(2－x－aex,ex)，故2－0－ae0＝0，
∴a＝2.
答案：B
9．解析：因为函数f（x）＝ex，所以f′（x）＝ex，
A．令f′（x）＝ex＝1，得x＝0，所以曲线y＝f（x）的切线斜率可以是1，故正确；
B．令f′（x）＝ex＝－1无解，所以曲线y＝f（x）的切线斜率不可以是－1，故错误；
C．因为（0，1）在曲线上，所以点（0，1）是切点，则f′（0）＝1，
所以切线方程为y－1＝x，即y＝x＋1，所以过点（0，1）且与曲线y＝f（x）相切的直线有且只有1条，故正确；
D．设切点（x0，ex0），则切线方程为y－ex0＝ex0（x－x0），因为点（0，0）在切线上，所以ex0＝x0ex0，解得x0＝1，所以过点（1，e）且与曲线y＝f（x）相切的直线有且只有1条，故错误．
答案：AC
10．解析：对于A，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，并不是最大值点，不能得出f（x0）在整个定义域上最大，A不正确；
对于B，因函数f（－x）与函数f（x）的图象关于y轴对称，则－x0是f（－x）的极大值点，B正确；
对于C，因函数－f（x）与函数f（x）的图象关于x轴对称，则x0是－f（x）的极小值点，与－x0无关，C不正确；
对于D，因函数－f（－x）与函数f（x）的图象关于原点对称，则－x0是－f（－x）的极小值点，D正确．
答案：BD
11．解析：当a＝0时，f（x）＝ex－lnx，则f′（x）＝ex－eq \f(1,x)，f′（x）在（0，＋∞）上为增函数，且f′（eq \f(1,2)）<0，f′（1）>0，所以f′（x）在（0，＋∞）上存在唯一的零点m，则em＝eq \f(1,m)，所以m＝lneq \f(1,m)＝－lnm，则f（x）在（0，m）上单调递减，在（m，＋∞）上单调递增，所以f（x）min＝f（m）＝em－lnm＝em＋m>0，从而f（x）没有零点，故A正确，B错误．
当a＝2时，f（x）＝ex－ln（x＋2），则f′（x）＝ex－eq \f(1,x＋2)，因为f′（0）＝eq \f(1,2)，f（0）＝1－ln2，所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝eq \f(1,2)x＋1－ln2，所以C正确．
因为f′（x）＝ex－eq \f(1,x＋2)在（－2，＋∞）上为增函数，且f′（－1）<0，f′（0）>0，所以f（x）只有一个极值点x0，且x0∈（－1，0），所以D正确.
答案：ACD
12．解析：因为f（eq \f(3,2)－2x），g（2＋x）均为偶函数，所以f（eq \f(3,2)－2x）＝f（eq \f(3,2)＋2x），g（2＋x）＝g（2－x）.令t＝eq \f(3,2)－2x，则x＝eq \f(3,4)－eq \f(t,2)，所以f（t）＝f（3－t），即f（x）＝f（3－x）.对两边求导，得f′（x）＝－f′（3－x），即g（x）＋g（3－x）＝0，所以g（x）的图象关于点（eq \f(3,2)，0）对称，即g（eq \f(3,2)）＝0.又因为g（2＋x）＝g（2－x），所以g（x）的图象关于直线x＝2对称，所以g（x）的周期为4×（2－eq \f(3,2)）＝2，所以g（eq \f(3,2)）＝g（－eq \f(1,2)）＝0，所以B正确．因为f′（2＋x）＝f′（2－x），所以f（2＋x）＝－f（2－x）＋C，其中C为常数，所以f（2＋x）＋f（2－x）＝C，所以f（x）的图象关于点（2，eq \f(C,2)）对称．又因为f（x）＝f（3－x），所以f（x）的图象关于直线x＝eq \f(3,2)对称，所以f（x）的周期为4×（2－eq \f(3,2)）＝2，所以f（－1）＝f（1），f（4）＝f（2）.又因为f（x）＝f（3－x），所以f（1）＝f（2），所以f（－1）＝f（4），所以C正确．g（x）的图象不关于直线x＝eq \f(1,2)对称，所以D错误．因为f（0）＝f（2）＝eq \f(C,2)，所以当C＝0时，f（0）＝0，当C≠0时，f（0）≠0，所以A错误．故选BC.
答案：BC
13．解析：由题意，f′（x）＝ln（－x）＋xeq \f(－1,－x)＝ln（－x）＋1，
故k＝f′（－e）＝lne＋1＝2，f（－e）＝－e，
则曲线y＝f（x）在x＝－e处的切线方程为：y＋e＝2（x＋e）⇔2x－y＋e＝0.
答案：2x－y＋e＝0
14．解析：∵f（x）＝aeq \r(x)＋lnx，x>0，
∴f′（x）＝eq \f(a,2\r(x))＋eq \f(1,x)，则f′（1）＝eq \f(a,2)＋1＝0，a＝－2，
当a＝－2时，f′（x）＝eq \f(－1,\r(x))＋eq \f(1,x)＝eq \f(1－\r(x),x)，
00, x>1时，f′（x）<0，
所以x＝1时，f（x）取得极值，
所以实数a＝－2.
答案：－2
15．解析：设g（x）＝eq \f(f（x）,x2)，则g′（x）＝eq \f(xf′（x）－2f（x）,x3)，
因为x>0，xf′（x）－2f（x）<0，所以g′（x）<0，可得g（x）在（0，＋∞）上单调递减，
不等式f（x）>x2，即eq \f(f（x）,x2)>1＝eq \f(f（2）,4)，即eq \f(f（x）,x2)>eq \f(f（2）,22)，所以g（x）>g（2），
因为g（x）在（0，＋∞）上单调递减，所以x<2，又因为x>0，
所以不等式的解集为（0，2）.
答案：（0，2）
16．解析：设P（x，eq \f(1,e)lnx），
所以|OP|＝eq \r(x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)))\s\up12(2)·（lnx）2)，
设g（x）＝x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)))eq \s\up12(2)·（lnx）2，g′（x）＝2x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)))eq \s\up12(2)·2·（lnx）·eq \f(1,x)＝eq \f(2x2＋\f(2,e2)lnx,x)，
当x>eq \f(1,e)时，lnx>－1⇒eq \f(2,e2)lnx>－eq \f(2,e2)，2x2>eq \f(2,e2)，所以g′（x）>0，g（x）单调递增，
当0所以g′（x）<0，g（x）单调递减，
当x＝eq \f(1,e)时，函数g（x）有最小值，即|OP|有最小值，所以P（eq \f(1,e)，－eq \f(1,e)），
此时直线OP的方程为y＝－x，设直线y＝－x与曲线y＝alnx相切于点（x0，alnx0），
由y＝alnx⇒y′＝eq \f(a,x)⇒eq \f(a,x0)＝－1⇒x0＝－a，显然（x0，alnx0）在直线y＝－x上，
则alnx0＝－x0，因此有aln（－a）＝a⇒a＝－e.
答案：－e