2023届高考数学二轮复习1-3排列、组合、二项式定理学案含答案

第三讲　排列、组合、二项式定理

微专题1　排列、组合

常考常用结论

1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理

如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘．

2．两个公式：＝＝＝.

保分题

1.某电视台的一个综艺栏目对含甲、乙在内的六个不同节目排演出顺序，第一个节目只能排甲或乙，最后一个节目不能排甲，则不同的排法共有(　　)

A．192种 B．216种

C．240种 D．288种

2．[2022·广东汕头三模]2022年北京冬季奥运会期间，从3名男志愿者和2名女志愿者中选4名去支援“冰壶”“花样滑冰”“短道速滑”三项比赛志愿者工作，其中冰壶项目需要一男一女两名，花样滑冰和短道速滑各需要一名，男女不限．则不同的支援方法的种数是(　　)

A．36  B．24

C．18  D．42

3．[2022·新高考Ⅱ卷]甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有(　　)

A．12种  B．24种

C．36种  D．48种

提分题

例1 (1)[2022·湖南长郡中学一模]教育的目标是立德树人，是为新时代具有中国特色的社会主义培养全面发展的接班人，某初中学校为了响应上级的号召，促进学生的全面发展决定每天减少一节学科类课程，增加一节活动课，为此学校特开设了传统武术、舞蹈、书法、小提琴四门选修课程，要求每位同学每学年至多选2门，初一到初三3学年将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有(　　)

A．60种  B．78种

C．54种  D．84种

(2)[2022·河北邯郸一模]第24届冬季奥运会于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和河北省张家口市举行，现要安排三名男志愿者和两名女志愿者去国家高山滑雪馆、国家速滑馆、首钢滑雪大跳台三个场馆参加活动，每名志愿者只能去一个场馆，且每个场馆最少安排一名志愿者，若两名女志愿者分派到同一个场馆，则不同的分配方法有(　　)

A．24种  B．36种

C．56种  D．68种

听课笔记：

【技法领悟】

求解排列、组合问题最常用的三种方法

1．特殊元素、位置优先安排法：对问题中的特殊元素或位置优先考虑排列，然后排列其他一般元素或位置．

2．捆绑法：相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列．

3．插空法：不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列后的空中．

巩固训练1

1.[2022·河北张家口一模]为提高新农村的教育水平，某地选派4名优秀的教师到甲、乙、丙三地进行为期一年的支教活动，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有(　　)

A．18种  B．12种

C．72种  D．36种

2．[2022·广东茂名二模]某大学计算机学院的丁教授在2021年人工智能方向招收了6名研究生．丁教授拟从人工智能领域的语音识别、人脸识别、数据分析、机器学习、服务器开发共5个方向展开研究，每个方向均有研究生学习，每位研究生只参与一个方向的学习．其中小明同学因录取分数最高主动选择学习人脸识别，其余5名研究生均表示服从丁教授统一安排．则这6名研究生不同的分配方向共有(　　)

A．480种 B．360种

C．240种 D．120种

微专题2　二项式定理

常考常用结论

1．二项式定理：(a＋b)n＝bn，n∈N*.

2．通项公式：Tk＋1＝an－kbk，(k＝0，1，2，…，n)．

3．二项式展开式的系数的性质：

(1)＝2n.

(2)＋…＝2n－1.

保分题

1.[2022·福建福州三模](2x－y)6的展开式中，x2y4项的系数是(　　)

A．30  B．－30

C．60  D．－60

2．[2022·湖南怀化一模]二项式(x＋)12的展开式中的常数项是(　　)

A．第7项 B．第8项

C．第9项 D．第10项

3．[2022·北京卷]若(2x－1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＝(　　)

A．40  B．41

C．－40  D．－41

提分题

例2 (1)[2022·山东临沂二模]已知(ax2＋1)(x－)5的展开式中各项系数的和为－3，则该展开式中x的系数为(　　)

A．－120 B．－40

C．40  D．120

(2)[2022·江苏海安二模]已知(1－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a2＋a4＋…＋a10＝(　　)

A．256  B．255

C．512  D．511

听课笔记：

【技法领悟】

1．二项式定理中最关键的是通项公式，求展开式中特定的项或者特定项的系数均是利用通项公式和方程解决的．

2．二项展开式的系数之和通常是通过对二项式及其展开式中的变量赋值得出的，注意根据展开式的形式给变量赋值．

巩固训练2

1.[2022·广东广州三模]若(3x－)n的展开式中各项系数和为64，则展开式中的常数项为(　　)

A．15 B．30

C．135 D．270

2．[2022·湖南永州三模]若x8＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a7(x＋1)7＋a8(x＋1)8，则a3＝(　　)

A．56 B．28

C．－28 D．－56

第三讲　排列、组合、二项式定理

微专题1　排列、组合

保分题

1．解析：①第一个节目为甲，则共有＝120种排法；

②第一个节目为乙，则共有＝96种排法．

故共有120＋96＝216种排法．

答案：B

2．解析：第一步从3名男志愿者和2名女志愿者各选一名志愿者去支援冰壶项目，选法共有＝6种；

第二步从剩余的3人中选一人去支援花样滑冰，选法共有＝3种；

第三步从剩余的2人中选一人去支援短道速滑，选法共有

依据分步乘法计数原理可知，不同的支援方法的种数是6×3×2＝36，故选A.

答案：A

3．解析：先利用捆绑法排乙、丙、丁、戊四人，再用插空法选甲的位置，共有＝24(种)不同的排列方式．故选B.

答案：B

提分题

[例1]　解析：(1)由题意，三年修完四门选修课程，每学年至多选2门，

则每位同学每年所修课程数为1，1，2或0，2，2，

先将4门学科按1，1，2分成三组，有种方式，

再分到三个学年，有种不同方式，

由分步计数原理得，不同选修方式共有

同理将4门课程按0，2，2分成三组，再排列，有＝18种，

所以共有36＋18＝54种，故选C.

(2)若两名女志愿者分配到同一个场馆，且该场馆没有男志愿者，则有18种方法；若两名女志愿者分配到同一个场馆，且该场馆有一名男志愿者，则有＝18种方法，所以一共有36种分配方法．

答案：(1)C　(2)B

[巩固训练1]

1．解析：4名教师分为3组，有种方法，然后再分别派到甲、乙、丙三地，共有方案，所以共有36种选派方案．故选D.

答案：D

2．解析：①人脸识别方向不安排其它研究生，则有＝240种．

②人脸识别方向安排1名其它研究生，则有＝120种．

综上，共有360种分配．

答案：B

微专题2　二项式定理

保分题

1．解析：由题意Tk＋1＝(2x)6－k(－y)k，当k＝4时，x2y4项的系数是15×4＝60.

答案：C

2．解析：二项式(x＋)12的展开式通项为Tk＋1＝·x12－k·()k＝·2k·，

令12－k＝0，解得k＝8.

因此，二项式(x＋)12的展开式中的常数项是第9项．

故选C.

答案：C

3．解析：方法一　当x＝1时，1＝a4＋a3＋a2＋a1＋a0　①；当x＝－1时，81＝a4－a3＋a2－a1＋a0　②.(①＋②)÷2，得a4＋a2＋a0＝＝41.故选B.

方法二　由二项式定理可得(2x－1)4＝(2x)4·(－1)0＋(2x)3(－1)1＋(2x)2(－1)2＋(2x)·(－1)3＋(2x)0(－1)4＝16x4－32x3＋24x2－8x＋1，所以a4＝16，a2＝24，a0＝1，所以a0＋a2＋a4＝41.故选B.

答案：B

提分题

[例2]　解析：(1)在二项式(ax2＋1)(x－)5中，令x＝1，可得(a＋1)·(－1)5＝－3，解得a＝2，

(x－)5的展开式通项为Tk＋1＝·x5－k·(－)k＝·(－2)k·x5－2k，

因为(2x2＋1)(x－)5＝2x2(x－)5＋(x－)5，

在2x2Tr＋1＝·(－2)r·x5－2r＝·(－2)r·x7－2r，令7－2r＝1，可得r＝3，

在Tk＋1＝·(－2)k·x5－2k中，令5－2k＝1，可得k＝2，

因此，展开式中x的系数为·(－2)3＋·(－2)2＝－120.

故选A.

(2)令x＝1，0＝a0＋a1＋a2＋…＋a10①，

令x＝－1，1024＝a0－a1＋a2－…＋a10②，

①＋②得：1024＝2a2＋2a4＋…＋2a10＋2a0，

∴a2＋a4＋…＋a10＋a0＝512，

令x＝0，1＝a0，

∴a2＋a4＋…＋a10＝511.故选D.

答案：(1)A　(2)D

[巩固训练2]

1．解析：令x＝1可得(3－1)n＝2n＝64，解得n＝6，则(3x－)6，由展开式通项Tk＋1＝(3x)6－k(－)k＝·36－k(－1)k，

令6－k＝0，则k＝4，则T5＝×32×(－1)4＝135，即常数项为135.

故选C.

答案：C

2．解析：因为x8＝[(x＋1)－1]8，所以[(x＋1)－1]8＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a7(x＋1)7＋a8(x＋1)8，

所以a3(x＋1)3＝(x＋1)3·(－1)5＝－56(x＋1)3，

即a3＝－56，故选D.

答案：D