2022-2023学年上学期长沙初中数学八年级期末模拟试卷

这是一份2022-2023学年上学期长沙初中数学八年级期末模拟试卷，共28页。

2022-2023学年上学期长沙初中数学八年级期末模拟试卷
一．选择题（共12小题）
1．（2019秋•天心区期末）以下是几种垃圾分类的图标，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2019秋•天心区期末）下列代数式中，分式有（　　）个．
3x，x3，a-1a，-35+y，2xx-y，m-n2，x2+3，x+yπ
A．5 B．4 C．3 D．2
3．（2019秋•雨花区期末）已知点P（3a﹣9，a﹣1）在第二象限，且它的坐标都是整数，则a＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．0
4．（2014秋•成都期末）某校七（1）班全体同学喜欢的球类运动如图所示的统计图表示，下面说法正确的是（　　）

A．从图中可以直接看出喜欢各种球类的具体人数
B．从图中可以直接看出全班的总人数
C．从图中可以直接看出全班同学一学期来喜欢各种球类的变化情况
D．从图中可以直接看出全班同学现在最喜欢各种球类人数的百分比
5．（2019秋•雨花区期末）在△ABC中，6∠A＝3∠B＝2∠C，则△ABC是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
6．（2019秋•雨花区期末）化简（a﹣1）（a+1）（a2+1）﹣（a4﹣1）的结果为（　　）
A．0 B．2 C．﹣2 D．2a4
7．（2017•桂林）若分式x2-4x+2的值为0，则x的值为（　　）
A．﹣2 B．0 C．2 D．±2
8．（2019•杜尔伯特县一模）已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（　　）
A．50° B．80° C．50°或80° D．40°或65°
9．（2020春•章丘区期末）如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（　　）

A．在AC、BC两边高线的交点处
B．在AC、BC两边中线的交点处
C．在∠A、∠B两内角平分线的交点处
D．在AC、BC两边垂直平分线的交点处
10．（2019秋•浏阳市期末）已知x-1x=4，则x2+1x2的值为（　　）
A．6 B．16 C．14 D．18
11．（2019•驻马店一模）若关于x的分式方程x+m4-x2+xx-2=1无解，则m的值是（　　）
A．m＝2或m＝6 B．m＝2 C．m＝6 D．m＝2或m＝﹣6
12．（2019秋•天心区期末）设a，b是实数，定义关于“*”的一种运算如下a*b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．则下列结论：
①a*b＝0，则a＝0或b＝0；
②不存在实数a，b，满足a*b＝a2+4b2；
③a*（b+c）＝a*b+a*c；
④a*b＝8，则（10ab3）÷（5b2）＝4
其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
二．填空题（共5小题）
13．（2015•黄石）分解因式：3x2﹣27＝　 　．
14．（2019秋•雨花区期末）8与最简二次根式3a+1是同类二次根式，则a＝　 　．
15．（2019秋•雨花区期末）若a2﹣b2＝4，则（a﹣b）2（a+b）2＝　 　．
16．（2019秋•雨花区期末）若3x-1=127，则x＝　 　．
17．（2018•十堰）对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b＝a2﹣ab，例如，5※3＝52﹣5×3＝10．若（x+1）※（x﹣2）＝6，则x的值为　 　．
三．解答题（共9小题）
18．（2019秋•望城区期末）因式分解：
（1）8x2y﹣8xy+2y；
（2）18m2﹣32n2．
19．（2015•南京）解方程：2x-3=3x．
20．（2019秋•浏阳市期末）如图，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．求证：∠A＝∠EGC＝∠D．

21．（2019秋•天心区期末）化简求值
（1）求（2x﹣y）（2x+y）﹣（2y+x）（2y﹣x）的值，其中x＝2，y＝1
（2）求2x+6x2-4x+4÷x2+3xx-2-1x-2的值，其中x=2+1．
22．（2020春•新宾县期末）如图，车高4m（AC＝4m），货车卸货时后面支架AB弯折落在地面A1处，经过测量A1C＝2m，求弯折点B与地面的距离．

23．（2020秋•邗江区期末）如图，△ABC是等边三角形，E，F分别是边AB，AC上的点，且AE＝CF，且CE，BF交于点P，且EG⊥BF，垂足为G．
（1）求证：∠ACE＝∠CBF；
（2）若PG＝1，求EP的长度．

24．（2019秋•雨花区期末）“垃圾分一分，环境美十分”某中学为更好地进行垃圾分类，特购进A，B两种品牌的垃圾桶，购买A品牌垃圾桶花费了4000元，购买B品牌垃圾桶花费了3000元，且购买A品牌垃圾桶数量是购买B品牌垃圾桶数量的2倍，已知购买一个B品牌垃圾桶比购买一个A品牌垃圾桶多花50元．
（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的垃圾桶各需多少元？
（2）该中学决定再次购进A，B两种品牌垃圾桶共20个，恰逢百货商场对两种品牌垃圾桶的售价进行调整，A品牌垃圾桶按第一次购买时售价的九折出售，B品牌垃圾桶售价比第一次购买时售价提高了10%，如果这所中学此次购买A，B两种品牌垃圾桶的总费用不超过2550元，那么该学校此次最多可购买多少个B品牌垃圾桶？
25．（2019秋•雨花区期末）已知三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点．
（1）如图1，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，求证：△DEF为等腰直角三角形．
（2）如图2，若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．

26．（2019秋•雨花区期末）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”．
（1）28是“神秘数”吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数吗？为什么？
（3）根据上面的提示，判断2020是否为“神秘数”？如果是，请写出两个连续偶数平方差的形式；如果不是，说明理由．
（4）两个连续奇数的平方差（取正数）是“神秘数”吗？为什么？

2022-2023学年上学期长沙初中数学八年级期末典型试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．（2019秋•天心区期末）以下是几种垃圾分类的图标，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】根据轴对称图形的概念判断．
【解答】解：A、不是轴对称图形；
B、是轴对称图形；
C、不是轴对称图形；
D、不是轴对称图形；
故选：B．
【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（2019秋•天心区期末）下列代数式中，分式有（　　）个．
3x，x3，a-1a，-35+y，2xx-y，m-n2，x2+3，x+yπ
A．5 B．4 C．3 D．2
【考点】分式的定义．
【专题】分式；数据分析观念．
【分析】根据分式的定义逐个判断即可．
【解答】解：分式有：3x，a-1a，-35+y，2xx-y，共4个，
故选：B．
【点评】本题考查了分式的定义，能熟记分式的定义的内容是解此题的关键，注意：分式的分母中含有字母．
3．（2019秋•雨花区期末）已知点P（3a﹣9，a﹣1）在第二象限，且它的坐标都是整数，则a＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．0
【考点】一元一次不等式组的整数解；点的坐标．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】根据第二象限横坐标为负、纵坐标为正列出关于a的不等式组，解之求出a的范围，再由坐标都是整数得出a的值．
【解答】解：∵点P（3a﹣9，a﹣1）在第二象限，
∴3a-9＜0a-1＞0，
解得1＜a＜3，
又∵它的坐标都是整数，
∴a＝2，
故选：B．
【点评】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是掌握平面直角坐标系中各象限内点的坐标符号及解不等式组的能力．
4．（2014秋•成都期末）某校七（1）班全体同学喜欢的球类运动如图所示的统计图表示，下面说法正确的是（　　）

A．从图中可以直接看出喜欢各种球类的具体人数
B．从图中可以直接看出全班的总人数
C．从图中可以直接看出全班同学一学期来喜欢各种球类的变化情况
D．从图中可以直接看出全班同学现在最喜欢各种球类人数的百分比
【考点】扇形统计图．
【分析】因为扇形统计图只能直接反映部分占总体的百分比大小，所以A、C错误，再利用各部分所占是百分比即可对B、D作出判断．
【解答】解：因为总体的具体数量短缺，所以A、C错误，
又因为在扇形统计图中，所占的百分比越大它对应的具体数量就越多，所以B错误，
故只有D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了扇形统计图的知识，解题的关键是能够读懂扇形统计图并从中整理出进一步解题的有关信息，难度不大．
5．（2019秋•雨花区期末）在△ABC中，6∠A＝3∠B＝2∠C，则△ABC是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
【考点】三角形内角和定理．
【专题】三角形．
【分析】设∠C＝x，则∠B=23x，∠A=13x，再根据三角形内角和定理列方程求出x的值即可．
【解答】解：∵在△ABC中，6∠A＝3∠B＝2∠C，
∴设∠C＝x，则∠B=23x，∠A=13x，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
即x+23x+13x＝180°，
解得x＝90°，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°．
∴△ABC是直角三角形，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
6．（2019秋•雨花区期末）化简（a﹣1）（a+1）（a2+1）﹣（a4﹣1）的结果为（　　）
A．0 B．2 C．﹣2 D．2a4
【考点】平方差公式．
【专题】计算题．
【分析】先把前面两项利用平方差公式计算得原式＝（a2﹣1）（a2+1）﹣a4+1，然后再利用平方差公式展开，最后合并即可．
【解答】解：原式＝（a2﹣1）（a2+1）﹣a4+1
＝a4﹣1﹣a4+1
＝0．
【点评】本题考查了平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，即（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
7．（2017•桂林）若分式x2-4x+2的值为0，则x的值为（　　）
A．﹣2 B．0 C．2 D．±2
【考点】分式的值为零的条件．
【分析】根据分式的值为零的条件即可求出x的值．
【解答】解：由题意可知：x2-4=0x+2≠0
解得：x＝2
故选：C．
【点评】本题考查分式的值为零，解题的关键是正确理解分式的值为零的条件，本属于基础题型．
8．（2019•杜尔伯特县一模）已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（　　）
A．50° B．80° C．50°或80° D．40°或65°
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】几何直观．
【分析】先知有两种情况（顶角是50°和底角是50°时），由等边对等角求出底角的度数，用三角形的内角和定理即可求出顶角的度数．
【解答】解：如图所示，△ABC中，AB＝AC．
有两种情况：
①顶角∠A＝50°；
②当底角是50°时，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝50°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴这个等腰三角形的顶角为50°和80°．
故选：C．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理的理解和掌握，能对有的问题正确地进行分类讨论是解答此题的关键．
9．（2020春•章丘区期末）如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（　　）

A．在AC、BC两边高线的交点处
B．在AC、BC两边中线的交点处
C．在∠A、∠B两内角平分线的交点处
D．在AC、BC两边垂直平分线的交点处
【考点】角平分线的性质．
【专题】应用题．
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．
【解答】解：根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B两内角平分线的交点处．
故选：C．
【点评】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
10．（2019秋•浏阳市期末）已知x-1x=4，则x2+1x2的值为（　　）
A．6 B．16 C．14 D．18
【考点】完全平方公式．
【分析】根据完全平方公式可得x2﹣2×x×1x+1x2=16，然后变形可得答案．
【解答】解：∵x-1x=4，
∴x2﹣2×x×1x+1x2=16，
x2+1x2=18，
故选：D．
【点评】此题主要考查了完全平方公式，关键是掌握完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
11．（2019•驻马店一模）若关于x的分式方程x+m4-x2+xx-2=1无解，则m的值是（　　）
A．m＝2或m＝6 B．m＝2 C．m＝6 D．m＝2或m＝﹣6
【考点】分式方程的增根．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，得到最简公分母为0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
【解答】解：去分母得：﹣x﹣m+x（x+2）＝（x+2）（x﹣2），
由分式方程无解，得到x＝2或x＝﹣2，
把x＝2代入整式方程得：m＝6；
把x＝﹣2代入整式方程得：m＝2．
故选：A．
【点评】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
12．（2019秋•天心区期末）设a，b是实数，定义关于“*”的一种运算如下a*b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．则下列结论：
①a*b＝0，则a＝0或b＝0；
②不存在实数a，b，满足a*b＝a2+4b2；
③a*（b+c）＝a*b+a*c；
④a*b＝8，则（10ab3）÷（5b2）＝4
其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
【考点】实数的运算；完全平方公式；整式的除法．
【专题】新定义；实数；运算能力．
【分析】根据新定义的运算，一一判断即可得出结论．
【解答】解：①∵a*b＝0，
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝0，
a2+2ab+a2﹣a2﹣b2+2ab＝0，
4ab＝0，
∴a＝0或b＝0，故①正确；
②∵a*b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，又a*b＝a2+4b2，
∴a2+4b2＝4ab，
∴a2﹣4ab+4b2＝（a﹣2b）2＝0，
∴a＝2b时，满足条件，
∴存在实数a，b，满足a*b＝a2+4b2；故②错误，
③∵a*（b+c）＝（a+b+c）2﹣（a﹣b﹣c）2＝4ab+4ac，
又∵a*b+a*c＝4ab+4ac
∴a*（b+c）＝a*b+a*c；故③正确．
④∵a*b＝8，
∴4ab＝8，
∴ab＝2，
∴（10ab3）÷（5b2）＝2ab＝4；故④正确．
故选：B．
【点评】本题考查实数的运算、完全平方公式、整式的乘除运算等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
二．填空题（共5小题）
13．（2015•黄石）分解因式：3x2﹣27＝　3（x+3）（x﹣3）　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】因式分解．
【分析】观察原式3x2﹣27，找到公因式3，提出公因式后发现x2﹣9符合平方差公式，利用平方差公式继续分解．
【解答】解：3x2﹣27，
＝3（x2﹣9），
＝3（x+3）（x﹣3）．
故答案为：3（x+3）（x﹣3）．
【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次分解因式．
14．（2019秋•雨花区期末）8与最简二次根式3a+1是同类二次根式，则a＝　1　．
【考点】最简二次根式；同类二次根式．
【专题】二次根式；推理能力．
【分析】先将8化成最简二次根式，然后根据同类二次根式得到被开方数相同可得出关于a的方程，解出即可．
【解答】解：∵8=22，
∴a+1＝2，
∴a＝1；
故答案为：1．
【点评】本题考查了同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．
15．（2019秋•雨花区期末）若a2﹣b2＝4，则（a﹣b）2（a+b）2＝　16　．
【考点】完全平方公式；平方差公式．
【专题】计算题；整式．
【分析】由已知等式知（a+b）（a﹣b）＝4，整体代入原式＝[（a+b）（a﹣b）]2计算可得．
【解答】解：∵a2﹣b2＝4，
∴（a+b）（a﹣b）＝4，
则原式＝[（a+b）（a﹣b）]2＝16，
故答案为：16．
【点评】本题主要考查平方差公式，解题的关键是掌握方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
16．（2019秋•雨花区期末）若3x-1=127，则x＝　﹣2　．
【考点】负整数指数幂．
【专题】分式；运算能力．
【分析】根据负整数指数幂的意义即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：3x﹣1＝3﹣3，
∴x﹣1＝﹣3，
∴x＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查负整数指数幂，解题的关键是正确理解负整数指数幂的意义，本题属于基础题型．
17．（2018•十堰）对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b＝a2﹣ab，例如，5※3＝52﹣5×3＝10．若（x+1）※（x﹣2）＝6，则x的值为　1　．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】计算题．
【分析】根据题意列出方程，解方程即可．
【解答】解：由题意得，（x+1）2﹣（x+1）（x﹣2）＝6，
整理得，3x+3＝6，
解得，x＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，根据题意正确得到方程是解题的关键．
三．解答题（共9小题）
18．（2019秋•望城区期末）因式分解：
（1）8x2y﹣8xy+2y；
（2）18m2﹣32n2．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】因式分解；运算能力．
【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
（2）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝2y（4x2﹣4x+1）
＝2y（2x﹣1）2；
（2）原式＝2（9m2﹣16n2）
＝2（3m+4n）（3m﹣4n）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
19．（2015•南京）解方程：2x-3=3x．
【考点】解分式方程．
【专题】计算题．
【分析】观察可得最简公分母是x（x﹣3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【解答】解：方程两边同乘以x（x﹣3），得2x＝3（x﹣3）．
解这个方程，得x＝9．
检验：将x＝9代入x（x﹣3）知，x（x﹣3）≠0．
所以x＝9是原方程的根．
【点评】本题考查分式方程的解法，需要注意的是在解分式方程时需对得到的解进行检验．
20．（2019秋•浏阳市期末）如图，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．求证：∠A＝∠EGC＝∠D．

【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题；图形的全等；推理能力．
【分析】证明BC＝EF，然后根据SSS即可证明△ABC≌△DEF，然后根据全等三角形的对应角相等及平行线的性质即可证得．
【解答】证明：如图，∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
AB=DEAC=DFBC=EF，
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
∴∠A＝∠D，∠B＝∠DEF．
∴AB∥DE，
∴∠A＝∠EGC，
∴∠A＝∠EGC＝∠D．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定与性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件．
21．（2019秋•天心区期末）化简求值
（1）求（2x﹣y）（2x+y）﹣（2y+x）（2y﹣x）的值，其中x＝2，y＝1
（2）求2x+6x2-4x+4÷x2+3xx-2-1x-2的值，其中x=2+1．
【考点】整式的混合运算—化简求值；分式的化简求值．
【专题】分式；运算能力．
【分析】（1）原式利用平方差公式，以及多项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值；
（2）原式利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）原式＝4x2﹣y2﹣4y2+x2＝5x2﹣5y2，
当x＝2，y＝1时，原式＝20﹣5＝15；
（2）原式=2(x+3)(x-2)2•x-2x(x+3)-1x-2=2x(x-2)-xx(x-2)=2-xx(x-2)=-1x，
当x=2+1时，原式=-12+1=-（2-1）＝1-2．
【点评】此题考查了分式的化简求值，以及整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．（2020春•新宾县期末）如图，车高4m（AC＝4m），货车卸货时后面支架AB弯折落在地面A1处，经过测量A1C＝2m，求弯折点B与地面的距离．

【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【分析】设BC＝xm，则AB＝A1B＝（4﹣x）m，在Rt△A1BC中利用勾股定理列出方程22+x2＝（4﹣x）2即可求解．
【解答】解：由题意得，AB＝A1B，∠BCA＝90°，
设BC＝xm，则AB＝A1B＝（4﹣x）m，
在Rt△A1BC中，A1C2+BC2＝A1B2，
即：22+x2＝（4﹣x）2，
解得：x=32，
答：弯折点B与地面的距离为32米．
【点评】此题考查了勾股定理在实际生活中的应用，正确应用勾股定理是解题关键．
23．（2020秋•邗江区期末）如图，△ABC是等边三角形，E，F分别是边AB，AC上的点，且AE＝CF，且CE，BF交于点P，且EG⊥BF，垂足为G．
（1）求证：∠ACE＝∠CBF；
（2）若PG＝1，求EP的长度．

【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【专题】计算题；证明题；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【分析】（1）证明△ACE≌△CBF（SAS），即可得到∠ACE＝∠CBF；
（2）利用由（1）知∠ACE＝∠CBF，求出∠BPE＝60°，又EG⊥BF，即∠PGE＝90°，得到∠GEP＝30°，根据在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，可求出EP 的长．
【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠A＝∠BCF＝60°，AB＝AC，
在△ACE与△BCF中，
AC=BC∠A=∠BCFAE=CF，
∴△ACE≌△CBF（SAS），
∴∠ACE＝∠CBF；

（2）解：∵由（1）知∠ACE＝∠CBF，
又∠ACE+∠PCB＝∠ACB＝60°，
∴∠PBC+∠PCB＝60°，
∴∠BPE＝60°，
∵EG⊥BF，即∠PGE＝90°，
∴∠GEP＝30°，
∴在Rt△PGE中，PE＝2PG，
∵PG＝1，
∴PE＝2．
【点评】本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理、直角三角形的性质，解决本题的关键是证明△ACE≌△CBF．
24．（2019秋•雨花区期末）“垃圾分一分，环境美十分”某中学为更好地进行垃圾分类，特购进A，B两种品牌的垃圾桶，购买A品牌垃圾桶花费了4000元，购买B品牌垃圾桶花费了3000元，且购买A品牌垃圾桶数量是购买B品牌垃圾桶数量的2倍，已知购买一个B品牌垃圾桶比购买一个A品牌垃圾桶多花50元．
（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的垃圾桶各需多少元？
（2）该中学决定再次购进A，B两种品牌垃圾桶共20个，恰逢百货商场对两种品牌垃圾桶的售价进行调整，A品牌垃圾桶按第一次购买时售价的九折出售，B品牌垃圾桶售价比第一次购买时售价提高了10%，如果这所中学此次购买A，B两种品牌垃圾桶的总费用不超过2550元，那么该学校此次最多可购买多少个B品牌垃圾桶？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【分析】（1）设购买一个A品牌垃圾桶需x元，则购买一个B品牌垃圾桶需（x+50）元，根据数量＝总价÷单价结合购买A品牌垃圾桶数量是购买B品牌垃圾桶数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设该学校此次购买m个B品牌垃圾桶，则购买（20﹣m）个A品牌垃圾桶，根据总价＝单价×数量结合总费用不超过2550元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设购买一个A品牌垃圾桶需x元，则购买一个B品牌垃圾桶需（x+50）元，
依题意，得：4000x=2×3000x+50，
解得：x＝100，
经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意，
∴x+50＝150．
答：购买一个A品牌垃圾桶需100元，购买一个B品牌垃圾桶需150元．
（2）设该学校此次购买m个B品牌垃圾桶，则购买（20﹣m）个A品牌垃圾桶，
依题意，得：100×0.9（20﹣m）+150×（1+10%）m≤2550，
解得：m≤10．
答：该学校此次最多可购买10个B品牌垃圾桶．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
25．（2019秋•雨花区期末）已知三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点．
（1）如图1，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，求证：△DEF为等腰直角三角形．
（2）如图2，若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】（1）连接AD，易证AD＝BD，∠ADB＝90°，∠B＝∠DAF，由SAS证得△BDE≌△ADF，得出DE＝DF，∠BDE＝∠ADF，即可得出结论；
（2）连接AD，同（1）由SAS证得△BDE≌△ADF，得出DE＝DF，∠BDE＝∠ADF，即可得出结果．
【解答】（1）证明：连接AD，如图1所示：
∵AB＝AC，∠A＝90°，D为BC中点，
∴∠B＝45°，AD=12BC＝BD，AD平分∠BAC，∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝∠DAF＝45°，
∴∠B＝∠DAF，
在△BDE和△ADF中，
BD=AD∠B=∠DAFBE=AF，
∴△BDE≌△ADF（SAS），
∴DE＝DF，∠BDE＝∠ADF，
∵∠BDE+∠ADE＝90°，
∴∠ADF+∠ADE＝90°，
即：∠EDF＝90°，
∴△EDF为等腰直角三角形；
（2）解：△DEF仍为等腰直角三角形，理由如下：
连接AD，如图2所示：
∵AB＝AC，∠A＝90°，D为BC中点，
∴∠ABD＝45°，AD=12BC＝BD，AD平分∠BAC，∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝∠CAD＝45°，
∴∠EBD＝∠FAD，
在△BDE和△ADF中，
BD=AD∠EBD=∠FADBE=AF，
∴△BDE≌△ADF（SAS），
∴DF＝DE，∠BDE＝∠ADF，
∵∠ADF+∠FDB＝90°，
∴∠BDE+∠FDB＝90°，
即∠EDF＝90°，
∴△EDF为等腰直角三角形．


【点评】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定等知识；正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
26．（2019秋•雨花区期末）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”．
（1）28是“神秘数”吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数吗？为什么？
（3）根据上面的提示，判断2020是否为“神秘数”？如果是，请写出两个连续偶数平方差的形式；如果不是，说明理由．
（4）两个连续奇数的平方差（取正数）是“神秘数”吗？为什么？
【考点】因式分解的应用．
【专题】整式；推理能力．
【分析】（1）根据“神秘数”的定义，只需看能否把28写成两个连续偶数的平方差即可判断；
（2）根据题意，列出算式，运用平方差公式进行计算，进而判断即可；
（3）根据（2）中的结论，2020是否为4的倍数即可得到答案，然后再把20220写成两个连续偶数平方差的形式；
（4）设两个连续的奇数为：2k+1，2k﹣1，运用平方差公式进行计算，进而判断即可．
【解答】解：（1）∵28＝82﹣62，
∴28是“神秘数”；
（2）两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数．理由如下：
（2k+2）2﹣（2k）2＝（2k+2+2k）（2k+2﹣2k）＝2（4k+2）＝4（2k+1），
∴两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数，
∵2k+1是奇数，
∴它是4的倍数，不是8的倍数；
（3）∵2020＝505×4，
∴2020是“神秘数”，2020＝5062﹣5042，
（4）设两个连续的奇数为：2k+1，2k﹣1，则
（2k+1）2﹣（2k﹣1）2＝8k，
此数不是4的奇数倍，
所以两个连续的奇数的平方差不是神秘数．
【点评】此题考查了因式分解的实际运用，掌握平方差公式，理解新定义的意义是解题关键