湖南省长沙市湘江新区五校联考2022-2023学年八年级上学期期末数学试卷

这是一份湖南省长沙市湘江新区五校联考2022-2023学年八年级上学期期末数学试卷，共22页。

2022-2023学年湖南省长沙市湘江新区五校联考八年级（上）期末数学试卷
一.选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图标中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．（﹣a）3÷（﹣a）＝a2 B．（a2）2＝a5
C．a2⋅a3＝a6 D．a3+a2＝a5
3．（3分）北京2022年冬奥会上的“雪花”图案向世界展现了一起向未来的美好愿景．单个“雪花”的质量约为0.0000024千克．将0.00000024用科学记数法表示正确的是（　　）
A．﹣2.4×108 B．2.4×10﹣7 C．﹣2.4×107 D．2.4×10﹣8
4．（3分）化简÷的结果是（　　）
A．m B． C．m﹣1 D．
5．（3分）在△ABE与△DBC中，BC＝BE，AB＝DB，要使这两个三角形全等，还需具备的条件是（　　）

A．∠E＝∠C B．∠ABD＝∠CBE C．∠ABE＝∠DBE D．∠A＝∠D
6．（3分）若分式有意义，则x的取值范围为（　　）
A．x＝﹣2 B．x≠﹣2 C．x＝0 D．x≠0
7．（3分）如图，衣架框内部可以近似看成一个等腰三角形，记为等腰三角形ABC，若AB＝AC＝26cm，D是BC的中点，∠ABC＝30°，则AD的长为（　　）

A．11cm B．12cm C．13cm D．14cm
8．（3分）若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值是（　　）
A．2 B．﹣2 C．±4 D．±8
9．（3分）如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB、AC、BC的距离OF＝OE＝OD，若∠BAC＝70°，则∠BOC＝（　　）

A．110° B．115° C．120° D．125°
10．（3分）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤2，且关于y的分式方程＝3的解是非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　）
A．21 B．24 C．27 D．36
二.填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）化简：＝　 　．
12．（3分）在平面直角坐标系中，P（1，﹣2）关于y轴对称点的坐标是 　 　．
13．（3分）如图，△ABC是等边三角形，D点是BC的中点，延长AB到E，使BE＝BD，若∠BED＝30°，则∠ADE＝　 　度．

14．（3分）已知x+y＝3，xy＝﹣4，则x2y+xy2的值是 　 　．
15．（3分）三个全等三角形摆成如图所示的形式，则∠α+∠β+∠γ的度数为 　 　．

16．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D，E，F分别是边BC，AC，AB上的点，且BF＝CD，BD＝CE．若∠A＝104°，则∠EDF的度数为 　 　°．

三.解答题（本大题共9个小题，第17.18.19题每题6分，第20.21题每题8分，第22.23题每题9分，第24.25题每题10分，共72分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或验算步骤.）
17．（6分）计算：．
18．（6分）先化简，再求值：，其中x＝5．
19．（6分）解分式方程：＝﹣1．
20．（8分）因式分解：
（1）ay2+6ay+9a；
（2）x4﹣1．
21．（8分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）若点A、B、C关于x轴的对称点分别为A1、B1、C1，则A1（ 　 　，　 　），B1（ 　 　，　 　），C1（ 　 　，　 　），并在图中画出△A1B1C1．
（2）求△ABC的面积；
（3）在x轴上求一点P，使△PAB周长最小，请画出△PAB，并通过画图求出P点的坐标．

22．（9分）在今年新冠肺炎防疫工作中，某公司购买了A、B两种不同型号的口罩，已知A型口罩的单价比B型口罩的单价多1.5元，且用8000元购买A型口罩的数量与用5000元购买B型口罩的数量相同．
（1）A、B两种型号口罩的单价各是多少元？
（2）根据疫情发展情况，该公司还需要增加购买一些口罩，增加购买B型口罩数量是A型口罩数量的2倍，若总费用不超过3600元，则增加购买A型口罩的数量最多是多少个？
23．（9分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，E，F为BC边上的两点，且F在E的右侧．已知BE＝CF．
（1）求证：AE＝AF；
（2）若点D在AF的延长线上，AD＝AC，∠BAE＝30°，∠BAD＝75°，求证：AB∥DC．

24．（10分）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2，适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：因为a+b＝3，
所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又因为ab＝1，所以a2+b2＝7．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；
（2）若（4﹣x）（x﹣5）＝﹣8，求（4﹣x）2+（x﹣5）2的值；
（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和S1+S2＝18，求图中阴影部分面积．

25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，点A（a，0）在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，设AB＝b，且b2﹣4a2＝0．
（1）直接写出∠BAO的度数；
（2）如图2，点D为AB的中点，点P为y轴负半轴上一点，以AP为边作等边三角形APQ，连接DQ并延长交x轴于点M，若AB＝6，求点M的坐标；
（3）如图3，点C与点A关于y轴对称，点E为OC的中点，连接BE，过点B作∠CBF＝∠AEB，且BF＝BE，连接AF交BC于点P，求的值．


2022-2023学年湖南省长沙市湘江新区五校联考八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图标中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的定义解答即可．
【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是轴对称图形，熟知如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形是解题的关键．
2．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．（﹣a）3÷（﹣a）＝a2 B．（a2）2＝a5
C．a2⋅a3＝a6 D．a3+a2＝a5
【分析】按同底数幂、幂的乘方、合并同类项法则计算每一个选择支，得到结论．
【解答】解：（﹣a）3÷（﹣a）＝（﹣a）3﹣1＝（﹣a）2＝a2，故选项A正确；
∵（a2）3＝a2×3＝a6≠a5，a2⋅a3＝a2+3＝a5≠a6，
由于a3与a2不是同类项，不能合并，
∴选项B、C、D均不正确．
故选：A．
【点评】本题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方及整式的加减．记住法则并准确运用法则是关键．
3．（3分）北京2022年冬奥会上的“雪花”图案向世界展现了一起向未来的美好愿景．单个“雪花”的质量约为0.0000024千克．将0.00000024用科学记数法表示正确的是（　　）
A．﹣2.4×108 B．2.4×10﹣7 C．﹣2.4×107 D．2.4×10﹣8
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：0.00000024＝2.4×10﹣7．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
4．（3分）化简÷的结果是（　　）
A．m B． C．m﹣1 D．
【分析】根据分式的乘除运算法则进行化简即可求出答案．
【解答】解：原式＝•
＝m，
故选：A．
【点评】本题考查分式的乘除运算法则，解题的关键是熟练运用分式的乘除运算法则，本题属于基础题型．
5．（3分）在△ABE与△DBC中，BC＝BE，AB＝DB，要使这两个三角形全等，还需具备的条件是（　　）

A．∠E＝∠C B．∠ABD＝∠CBE C．∠ABE＝∠DBE D．∠A＝∠D
【分析】根据所给条件可知，应加已知边的夹角才可证明这两个三角形全等．
【解答】解：A、加上∠E＝∠C，不能证明这两个三角形全等，故此选项不符合题意；
B、加上∠ABD＝∠CBE可得∠ABD+∠DBE＝∠CBE+∠DBE，即∠ABE＝∠DBC，根据SAS能证明这两个三角形全等，故此选项符合题意；
C、加上∠ABE＝∠DBE，不能证明这两个三角形全等，故此选项不符合题意；
D、加上∠A＝∠D，不能证明这两个三角形全等，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
6．（3分）若分式有意义，则x的取值范围为（　　）
A．x＝﹣2 B．x≠﹣2 C．x＝0 D．x≠0
【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案．
【解答】解：x+2≠0，
∴x≠﹣2
故选：B．
【点评】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型．
7．（3分）如图，衣架框内部可以近似看成一个等腰三角形，记为等腰三角形ABC，若AB＝AC＝26cm，D是BC的中点，∠ABC＝30°，则AD的长为（　　）

A．11cm B．12cm C．13cm D．14cm
【分析】先利用等腰三角形的三线合一性质可得AD⊥BC，从而可得∠ADB＝90°，然后在Rt△ABD中，利用含30度角的直角三角形的性质，进行计算即可解答．
【解答】解：∵AB＝AC＝26cm，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABC＝30°，
∴AD＝AB＝13（cm），
故选：C．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．
8．（3分）若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值是（　　）
A．2 B．﹣2 C．±4 D．±8
【分析】根据完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2，对m进行求值即可．
【解答】解：当m＝4时，x2+4x+4＝（x+2）2，
当m＝﹣4时，x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，
∴m＝±4，
故选：C．
【点评】本题考查因式分解，熟练掌握完全平方公式的基本形式是解题的关键．
9．（3分）如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB、AC、BC的距离OF＝OE＝OD，若∠BAC＝70°，则∠BOC＝（　　）

A．110° B．115° C．120° D．125°
【分析】先利用三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB＝110°，然后利用角平分线性质定理的逆定理可得BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，从而利用角平分线的定义可得∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，最后利用三角形内角和定理进行计算即可解答．
【解答】解：∵∠BAC＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝110°，
由题意得：
OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，
∵OF＝OE＝OD，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣55°
＝125°，
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线性质定理的逆定理是解题的关键．
10．（3分）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤2，且关于y的分式方程＝3的解是非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　）
A．21 B．24 C．27 D．36
【分析】根据不等式组的解集确定a的取值范围，再根据分式方程的解为非负整数，进而确定a的所以可能的值，再求和即可．
【解答】解：不等式组，
解不等式①得，x≤2，
解不等式②得，x，
由于不等式组的解集为x≤2，
所以≥2，
解得a≥9，
关于y的分式方程＝3的解为y＝，
由于分式方程的解是非负整数，
∴整数a可能的值为0或3或6或9或12或15，
而y＝1是分式方程的增根，
∴y≠1，即≠1，
∴a≠12，
∴符合条件所有的整数a的和为：15+9＝24，
故选：B．
【点评】本题考查解一元一次不等式组，解分式方程，理解一元一次不等式组的解集以及分式方程的解是解决问题的关键．
二.填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）化简：＝　　．
【分析】先找出分式的分子和分母的公因式，再根据分式的基本性质约分即可．
【解答】解：＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了约分，能熟记分式的基本性质是解此题的关键．
12．（3分）在平面直角坐标系中，P（1，﹣2）关于y轴对称点的坐标是 　（﹣1，﹣2）　．
【分析】根据关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数，可得答案．
【解答】解：因为点P（1，﹣2）关于y轴对称，
所以纵坐标相等相等，横坐标互为相反数，
所以点P（1，﹣2）关于y轴对称的点的坐标是（﹣1，﹣2），
故答案为（﹣1，﹣2）．
【点评】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，利用关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数是解题关键．
13．（3分）如图，△ABC是等边三角形，D点是BC的中点，延长AB到E，使BE＝BD，若∠BED＝30°，则∠ADE＝　120　度．

【分析】根据等边三角形的性质可证明∠ADB＝90°，根据等边对等角得出∠BDE＝∠BED＝30°，即可得出∠ADE．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵BE＝BD，
∴∠BDE＝∠DEB＝30°，
∴∠ADE＝∠ADB+∠BDE＝90°+30°＝120°
故答案为：120．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质及等边三角形的性质；此题把等边三角形的性质和等腰三角形的判定结合求解．考查了学生综合运用数学知识的能力，得到∠BDE＝30°是正确解答本题的关键．
14．（3分）已知x+y＝3，xy＝﹣4，则x2y+xy2的值是 　﹣12　．
【分析】将代数式因式分解，然后代入x+y＝3，xy＝﹣1，即可求值．
【解答】解：∵x2y+xy2＝xy（x+y），
将x+y＝3，xy＝﹣4代入，
原式＝﹣4×3＝﹣12．
故答案为：﹣12．
【点评】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
15．（3分）三个全等三角形摆成如图所示的形式，则∠α+∠β+∠γ的度数为 　180°　．

【分析】直接利用平角的定义结合三角形内角和定理以及全等三角形的性质得出∠2+∠4+∠6＝180°，∠1+∠3+∠5＝180°，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：

由图形可得：∠1+∠2+∠α+∠3+∠4+∠β+∠5+∠6+∠γ＝540°，
∵三个三角形全等，
∴∠1+∠3+∠5＝180°，
又∵∠2+∠4+∠6＝180°，
∴∠α+∠β+∠γ+180°+180°＝540°，
∴∠α+∠β+∠γ的度数是180°．
故答案为：180°．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理，正确掌握全等三角形的性质是解题关键．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D，E，F分别是边BC，AC，AB上的点，且BF＝CD，BD＝CE．若∠A＝104°，则∠EDF的度数为 　38　°．

【分析】根据已知条件可推出△BDF≌△CED，从而可知∠EDC＝∠FDB，再根据平角的定义及三角形内角和推出∠EDF＝∠B，即可得解．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BDF和△CED中，
，
∴△BDF≌△CED（SAS），
∴∠EDC＝∠DFB，
∴∠EDF＝180°﹣∠EDC﹣∠FDB＝180°﹣∠DFB﹣∠FDB＝∠B＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A，
∵∠A＝104°，
∴∠EDF＝38°，
故答案为：38．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质及三角形内角和定理，根据全等三角形的性质及平角的定义推出∠EDF＝∠B是解题的关键．
三.解答题（本大题共9个小题，第17.18.19题每题6分，第20.21题每题8分，第22.23题每题9分，第24.25题每题10分，共72分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或验算步骤.）
17．（6分）计算：．
【分析】直接利用有理数的乘方运算法则、绝对值的性质、负整数指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
【解答】解：原式＝8﹣1﹣4+1
＝4．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
18．（6分）先化简，再求值：，其中x＝5．
【分析】先计算分式的除法，再算加法，然后把x的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
【解答】解：
＝•+
＝+
＝
＝
＝x，
当x＝5时，原式＝5．
【点评】本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19．（6分）解分式方程：＝﹣1．
【分析】确定最简公分母（x﹣1），然后方程两边同乘最简公分母将分式方程转化为整式方程求解即可．
【解答】解：方程两边同乘（x﹣1），
得1＝﹣2﹣（x﹣1），
解得x＝﹣2．
经检验x＝﹣2是原方程的解．
【点评】本题考查了解分式方程，掌握转化思想解分式方程是关键．
20．（8分）因式分解：
（1）ay2+6ay+9a；
（2）x4﹣1．
【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
（2）原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝a（y2+6y+9）
＝a（y+3）2；
（2）原式＝（x2+1）（x2﹣1）
＝（x2+1）（x+1）（x﹣1）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
21．（8分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）若点A、B、C关于x轴的对称点分别为A1、B1、C1，则A1（ 　1　，　﹣1　），B1（ 　4　，　﹣2　），C1（ 　3　，　﹣4　），并在图中画出△A1B1C1．
（2）求△ABC的面积；
（3）在x轴上求一点P，使△PAB周长最小，请画出△PAB，并通过画图求出P点的坐标．

【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；
（3）连接BA1交X轴于点P，连接AP即可．
【解答】解：（1）如图，A1B1C1．即为所求，A1（1，﹣1），B1（4，﹣2），C1（3，﹣4）．
故答案为：1，﹣1，4，﹣2，3，﹣4；
（2）△ABC的面积＝3×3﹣×2×3﹣×1×2﹣×1×3＝3.5；
（3）如图，点P即为所求，P（2，0）．

【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
22．（9分）在今年新冠肺炎防疫工作中，某公司购买了A、B两种不同型号的口罩，已知A型口罩的单价比B型口罩的单价多1.5元，且用8000元购买A型口罩的数量与用5000元购买B型口罩的数量相同．
（1）A、B两种型号口罩的单价各是多少元？
（2）根据疫情发展情况，该公司还需要增加购买一些口罩，增加购买B型口罩数量是A型口罩数量的2倍，若总费用不超过3600元，则增加购买A型口罩的数量最多是多少个？
【分析】（1）设A型口罩的单价为x元，则B型口罩的单价为（x﹣1.5）元，根据“用8000元购买A型口罩的数量与用5000元购买B型口罩的数量相同”列出方程并解答；
（2）设增加购买A型口罩的数量是m个，根据“增加购买B型口罩数量是A型口罩数量的2倍，若总费用不超过3600元”列出不等式．
【解答】解：（1）设A型口罩的单价为x元，则B型口罩的单价为（x﹣1.5）元，
根据题意，得：＝．
解方程，得：x＝4．
经检验：x＝4是原方程的根，且符合题意．
所以x﹣1.5＝2.5．
答：A型口罩的单价为4元，则B型口罩的单价为2.5元；

（2）设增加购买A型口罩的数量是m个，
根据题意，得：2.5×2m+4m≤3600．
解不等式，得：m≤400．
因为m为正整数，所以正整数m的最大值为400．
答：增加购买A型口罩的数量最多是400个．
【点评】本题主要考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的数量关系是解决问题的关键．
23．（9分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，E，F为BC边上的两点，且F在E的右侧．已知BE＝CF．
（1）求证：AE＝AF；
（2）若点D在AF的延长线上，AD＝AC，∠BAE＝30°，∠BAD＝75°，求证：AB∥DC．

【分析】（1）根据等腰三角形的判定证得AB＝AC，再证明△ABF≌△ACE即可证得结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠DAC＝∠BAE＝30°，再根据等腰三角形的性质求得∠ADC＝∠ACD＝75°，进而得到∠BAD＝∠ADC即可证的结论．
【解答】（1）证明：∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，
即BF＝CE，
在△ABF和△ACE中，
，
∴△ABF≌△ACE（SAS），
∴AE＝AF；
（2）证明：∵△ABF≌△ACE，
∴∠BAF＝∠CAE，
∴∠DAC＝∠BAE＝30°，
∵AD＝AC，
∴，
又∵∠BAD＝75°，
∴∠BAD＝∠ADC，
∴AB∥DC．
【点评】本题考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，利用全等三角形证明线段相等或角相等是解答的关键．
24．（10分）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2，适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：因为a+b＝3，
所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又因为ab＝1，所以a2+b2＝7．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；
（2）若（4﹣x）（x﹣5）＝﹣8，求（4﹣x）2+（x﹣5）2的值；
（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和S1+S2＝18，求图中阴影部分面积．

【分析】（1）根据（x+y）2＝x2+2xy+y2，代入计算即可；
（2）设m＝4﹣x，n＝x﹣5，可得m+n＝﹣1，mn＝（4﹣x）（x﹣5）＝﹣8，利用（4﹣x）2+（x﹣5）2＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn代入计算即可；
（3）设AE＝a，FG＝b，则AB＝6＝a+b，由题意可知S1+S2＝a2+b2＝18，根据（a+b）2＝a2+2ab+b2，求出ab的值即可．
【解答】解：（1）∵x+y＝8，
∴（x+y）2＝64，
即x2+2xy+y2＝64，
又∵x2+y2＝40，
∴2xy＝64﹣40，
∴xy＝12，
答：xy的值为12；
（2）设m＝4﹣x，n＝x﹣5，则m+n＝﹣1，mn＝（4﹣x）（x﹣5）＝﹣8，
∴（4﹣x）2+（x﹣5）2
＝m2+n2
＝（m+n）2﹣2mn
＝（﹣1）2﹣2×（﹣8）
＝1+16
＝17；
（3）设AE＝a，FG＝b，则AB＝6＝a+b，由题意可知S1+S2＝a2+b2＝18，
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴36＝18+2ab，
∴ab＝9，
∴阴影部分的面积为ab＝，
答：阴影部分的面积为．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．
25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，点A（a，0）在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，设AB＝b，且b2﹣4a2＝0．
（1）直接写出∠BAO的度数；
（2）如图2，点D为AB的中点，点P为y轴负半轴上一点，以AP为边作等边三角形APQ，连接DQ并延长交x轴于点M，若AB＝6，求点M的坐标；
（3）如图3，点C与点A关于y轴对称，点E为OC的中点，连接BE，过点B作∠CBF＝∠AEB，且BF＝BE，连接AF交BC于点P，求的值．

【分析】（1）证AB＝2OA，在x轴的正半轴上取点C，使OC＝OA，连接BC，再证△ABC是等边三角形，则可得出结论；
（2）连接BM，证明△AQD≌△APO（SAS），得∠ADQ＝∠AOP＝90°，再证△ABM为等边三角形，得出OM＝AB＝3，即可得出答案；
（3）过点F作FM∥x轴交CB的延长线于点M，证△BEC≌△FBM（AAS），得EC＝BM，BC＝MF，再证△PAC≌△PFM（AAS），得CP＝MP，进而得出答案．
【解答】解：（1）∵点A（a，0）在x轴负半轴上，
∴AO＝﹣a，a＜0，
∵b2﹣4a2＝0，∴b+2a＝0或b﹣2a＝0，
∵AB＝b，
∴b+2a＝0，
∴b＝﹣2a，
∴AB＝2OA，
在x轴的正半轴上取点C，使OC＝OA，连接BC，如图1所示：
∵点B在y轴正半轴上，
∴OB⊥AC，
∴AB＝BC，
又∵AC＝2OA，
∴AC＝AB，
∴AC＝BC＝AB，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAO＝60°；
（2）连接BM，如图2所示：
∵△APQ是等边三角形，
∴∠PAQ＝60°，AQ＝AP，
∵∠BAO＝60°，
∴∠PAQ﹣∠OAQ＝∠BAO﹣∠OAQ，
∴∠OAP＝∠DAQ，
∵D为AB的中点，
∴AD＝AB，
∵∠ABO＝30°，
∴AO＝AB，
∴AD＝AO，
在△AQD和△APO中，
，
∴△AQD≌△APO（SAS），
∴∠ADQ＝∠AOP＝90°，
即DQ⊥AB，
∴AM＝BM，
∴△ABM为等边三角形，
∴OM＝AB＝3，
∴M（3，0）；
（3）过点F作FM∥x轴交CB的延长线于点M，如图3所示：
则∠BCA＝∠FMB，
∵∠CBF＝∠AEB，
∴∠BEC＝∠MBF，
在△BEC和△FBM中，
，
∴△BEC≌△FBM（AAS），
∴EC＝BM，BC＝MF，
由（1）可知，△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，
∴AC＝MF，
∵点C与点A关于y轴对称，
∴OC＝OA＝﹣a，
∴AC＝BC＝﹣2a，
又∵E是OC的中点，
∴OE＝EC＝﹣a＝BM，
∵MF∥AC，
∴∠ACP＝∠FMP，
在△PAC和△PFM中，
，
∴△PAC≌△PFM（AAS），
∴CP＝MP，
又∵MC＝BC+BM＝﹣2a﹣a＝﹣a，
∴BP＝MC﹣BM＝×（﹣a）﹣（﹣a）＝﹣a，CP＝MC＝﹣a，
∴＝＝．



【点评】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．