2022-2023学年湖南省长沙市明德教育集团八年级（上）期末数学试卷及参考答案

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一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是正确答案.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图形是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）以下列长度的三条线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．1，10，10B．2，5，8C．1，8，6D．2，9，7
【分析】根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边进行分析即可．
【解答】解：A．∵1+10＞10，∴能组成三角形，故此选项符合题意；
B．∵2+5＜8，∴不能组成三角形，故此选项不合题意；
C．∵1+6＜8，∴不能组成三角形，故此选项不合题意；
D．∵2+7＝9，∴不能组成三角形，故此选项不合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系定理，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
3．（3分）祖冲之发现的圆周率的分数近似值≈3.1415929，称为密率，比π的值只大0.0000003，0.0000003这个数用科学记数法可表示为（ ）
A．0.3×10﹣6B．0.3×10﹣7C．3×10﹣6D．3×10﹣7
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：0.0000003这个数用科学记数法可表示为3×10﹣7，
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（x+1）2＝x2+1B．（﹣2nm2）3＝﹣6n3m6
C．x•x3＝x4D．a6÷a3＝a2
【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【解答】解：A、（x+1）2＝x2+2x+1，故不合题意；
B、（﹣2nm2）3＝﹣8n3m6，故不合题意；
C、x•x3＝x4，故符合题意；
D、a6÷a3＝a3，故不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．
5．（3分）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．±2B．﹣2C．0D．2
【分析】根据分式值为零条件可得x2﹣4＝0，且x﹣2≠0，再解即可．
【解答】解：根据分式值为零条件：x2﹣4＝0，且x﹣2≠0，
解得：x＝﹣2，
故选：B．
【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
6．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝2，则BC＝（ ）
A．1B．2C．D．
【分析】根据含30度角的直角三角形的性质直接求解即可．
【解答】解：根据含30度角的直角三角形的性质可知：BC＝AB＝1．
故选：A．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，比较容易解答，要求熟记30°角所对的直角边是斜边的一半．
7．（3分）如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（ ）
A．CB＝CDB．∠BAC＝∠DACC．∠B＝∠D＝90°D．∠BCA＝∠DCA
【分析】要判定△ABC≌△ADC，已知AB＝AD，AC是公共边，具备了两组边对应相等，故添加CB＝CD、∠BAC＝∠DAC、∠B＝∠D＝90°后可分别根据SSS、SAS、HL能判定△ABC≌△ADC，而添加∠BCA＝∠DCA后则不能．
【解答】解：A、添加CB＝CD，根据SSS，能判定△ABC≌△ADC，故A选项不符合题意；
B、添加∠BAC＝∠DAC，根据SAS，能判定△ABC≌△ADC，故B选项不符合题意；
C、添加∠B＝∠D＝90°，根据HL，能判定△ABC≌△ADC，故C选项不符合题意；
D、添加∠BCA＝∠DCA时，不能判定△ABC≌△ADC，故D选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
8．（3分）如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O，与AB、AC相交于点M、N，且MN∥BC．若AB＝8，AC＝6，BC＝10，那么△AMN的周长是（ ）
A．7B．12C．14D．24
【分析】根据BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，且MN∥BC，可得出MO＝MB，NO＝NC，所以三角形AMN的周长是AB+AC．
【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠MBO＝∠OBC，∠OCN＝∠OCB，
∵MN∥BC，
∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，
∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO，
∴MO＝MB，NO＝NC，
∵AB＝8，AC＝6，
∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AB+AC＝6+8＝14．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质，关键是根据等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质得出三角形AMN的周长是AB+AC．
9．（3分）已知（x+y）2＝49，（x﹣y）2＝25，则xy＝（ ）
A．﹣6B．6C．12D．24
【分析】先把所求式子变形为完全平方式，再把题中已知条件代入即可解答．
【解答】解：因为（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy＝49﹣25＝24，
所以xy＝6，
故选：B．
【点评】本题考查了完全平方公式，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
10．（3分）如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，连接AE．则下列结论：①点E到直线AD的距离等于CE的长；②AE平分∠BAD；③S△AED＝AE•DE；④S梯形ABCD＝AD•BE．正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据平行线的性质和据全等三角形全等的判定判断即可．
【解答】解：∵∠B＝∠C＝90°，
∴∠B+∠C＝180°，
∴AB∥CD；
如图，作EF⊥AD于F，
∴∠DFE＝90°，
∴∠DFE＝∠C，
∵DE平分∠ADC，点E到AD的距离等于CE，①正确；
∴∠FDE＝∠CDE，
又∵DE＝DE，
∴△DEF≌△DCE（AAS）；
∴CE＝EF，DC＝DF，∠CED＝∠FED，
又∵∠B＝∠C＝∠DFE＝90°，AE＝AE，
∴△AFE≌△ABE（SAS）；
∴AF＝AB，∠FAE＝∠BAE，∠AEF＝∠AEB，
∴AE平分∠DAB，②正确；
∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
∴∠ADE+∠EAD＝90°，
∴∠AED＝90°，
∴S△AED＝AE•DE，③错误；
∵△DEF≌△DCE，△AFE≌△ABE，
∴S梯形ABCD＝2S△ADE＝2×AD•FE＝AD•BE，④正确；
故选：C．
【点评】本题考查了梯形，平行线的判定及性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定等知识点，关键是根据平行线的性质和据全等三角形全等的判定判断．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）分解因式：a2﹣a＝ a（a﹣1） ．
【分析】这个多项式含有公因式a，分解因式时应先提取公因式．
【解答】解：a2﹣a＝a（a﹣1）．
【点评】本题考查了提公因式法分解因式，比较简单，注意不要漏项．
12．（3分）化简：﹣＝ 1 ．
【分析】原式利用同底数幂的减法法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝
＝1．
故答案为：1．
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
13．（3分）一个正多边形的每个内角为135°，则这个正多边形的边数为 八 ．
【分析】利用外角和360°除以一个外角的度数就是正多边形的边数．
【解答】解：180°﹣135°＝45°，
360÷45＝8．
故答案为：八．
【点评】本题考查了多边形的外角和定理，理解定理是关键．
14．（3分）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF，AC＝6，则DF＝ 6 ．
【分析】根据题中条件由SAS可得△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质可得AC＝DF＝6．
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴AC＝DF＝6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，应熟练掌握．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
15．（3分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交BC于点D，连接AD．若AD＝AC，∠B＝28°，则∠C的度数为 56° ．
【分析】利用基本作图得到MN垂直平分AB，则DA＝DB，再根据等腰三角形的性质和三角形外角性质求出∠CDA的度数，然后利用AD＝AC得到∠C的度数．
【解答】解：由作法得MN垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B＝28°，
∴∠CDA＝∠DAB+∠B＝56°，
∵AD＝AC，
∴∠C＝∠CDA＝56°．
故答案为：56°．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
16．（3分）如图，在等边△ABC中，BD⊥AC于D，AD＝3cm．点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP＝AQ＝1cm，点M为线段BD上一动点，连接PM、QM，则PM+QM的最小值为 5 cm．
【分析】作点P关于BD的对称点P′，连接P′Q交BD于M，连接PE，此时PM+QM的值最小．最小值PM+QM＝P′M+QM＝P′Q，
【解答】解：如图，等边三角形△ABC中，BD⊥AC，
∴AD＝DC＝3cm，∠ABD＝∠CBD，
在BC上截取BP′＝BP＝1，连接P′Q交BD于M，连接PM，此时PM+QM的值最小．最小值PM+QM＝P′M+QM＝P′Q，
∵BP′＝BP＝1，∠ABD＝∠CBD，BM＝BM，
∴△PBM≌△P′BM（SAS），
∴PM＝P′M，
∵BP＝AQ＝1cm，
∵∠C＝60°，
∴△CPQ′是等边三角形，
∴P′Q＝CQ＝5cm，
∵AQ＝1cm，AD＝DC＝3cm，
∴CQ＝5cm，
∴P′Q＝5cm，
∴PM+QM的最小值为5cm．
故答案为：5．
【点评】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题0分，第20、21题每小题0分，第22、23题每小题0分，第24、25题每小题0分，共72分）
17．计算：．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、绝对值的性质、有理数的乘方运算法则分别化简，进而得出答案．
【解答】解：原式＝﹣1+4+2019+1
＝2023．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
18．先化简，再求值：（2a+3）2﹣（2a+1）（2a﹣1），其中a＝﹣3．
【分析】先根据多项式乘以多项式和乘法公式算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．
【解答】解：（2a+3）2﹣（2a+1）（2a﹣1）
＝4a2+12a+9﹣4a2+1
＝12a+10，
当a＝﹣3时，原式＝﹣36+10＝﹣26．
【点评】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
19．解方程：3﹣．
【分析】根据解分式方程的解法步骤进行计算即可．
【解答】解：两边都乘以x﹣2得，
3（x﹣2）﹣（2+x）＝﹣2，
即3x﹣6﹣2﹣x+2＝0，
解得x＝3，
经检验，x＝3是原方程的解，
所以原方程的解为x＝3．
【点评】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的方法步骤是正确求解的前提．
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，2），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1．
（2）写出点A1，B1，C1的坐标（直接写答案）
A1 （1，﹣2）
B1 （3，﹣1）
C1 （﹣2，1）
（3）求△ABC的面积．
【分析】（1）分别作出各点关于x轴的对称点，再顺次连接即可；
（2）根据各点在坐标系中的位置写出各点坐标即可；
（3）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）由图可知，A1 （1，﹣2），B1 （3，﹣1），C1 （﹣2，1）．
故答案为：（1，﹣2），（3，﹣1），（﹣2，1）；
（3）S△ABC＝5×3﹣×3×3﹣×2×1﹣×5×2
＝15﹣4.5﹣1﹣5
＝4.5．
【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知关于x轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．
21．（1）已知m＝，求代数式（2m+5n）2﹣（2m﹣5n）2的值；
（2）已知ab＝﹣1，a﹣b＝3，求a2+b2的值．
【分析】（1）利用平方差公式化简后将m，n的值代入运算即可；
（2）利用完全平方公式将原式变形后，利用整体代入的方法解答即可．
【解答】解：（1）（2m+5n）2﹣（2m﹣5n）2
＝[（2m+5n）+（2m﹣5n）][（2m+5n）﹣（2m﹣5n）]
＝4m•10n
＝40mn，
当时，
原式＝40×
＝2；
（2）a2+b2
＝（a﹣b）2+2ab，
∵ab＝﹣1，a﹣b＝3，
∴原式＝32﹣2
＝9﹣2
＝7．
【点评】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式的应用，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
22．如图，AB＝AC，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE与CD相交于点O．
（1）求证：AD＝AE；
（2）试猜想：OA与BC的位置关系，并加以证明．
【分析】（1）根据AAS推出△ACD≌△ABE，根据全等三角形的性质得出即可；
（2）证Rt△ADO≌Rt△AEO，推出∠DAO＝∠EAO，根据等腰三角形的性质推出即可．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADC＝∠AEB＝90°，
△ACD和△ABE中，
∵
∴△ACD≌△ABE（AAS），
∴AD＝AE．
（2）猜想：OA垂直平分BC．
证明：连接OA、BC，
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADC＝∠AEB＝90°．
在Rt△ADO和Rt△AEO中，
∵
∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL）．
∴∠DAO＝∠EAO，
又∵AB＝AC，
∴OA垂直平分BC．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生的推理能力．
23．某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成，甲工程队单独施工完成的天数是乙工程队单独施工完天数的2倍．
（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？
（2）甲工程队独做a天后，再由甲、乙两工程队合作 （20﹣） 天（用含a的代数式表示）可完成此项工程；
（3）如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？
【分析】（1）关系式为：甲20天的工作量+乙20天的工作量＝1；
（2）算出剩下的工作量除以甲乙的工作效率之和即可；
（3）关系式为：甲需要的工程费+乙需要的工程费≤64，注意利用（2）得到的代数式求解．
【解答】解：（1）设乙单独完成此项工程需要x天，则甲单独完成需要2x天，
+＝1，
解得：x＝30，
经检验x＝30是原方程的解．
∴x+30＝60，
答：甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要60天，30天；
（2）（1﹣）÷（+）＝（20﹣）天；
故答案为：（20﹣）；
（3）设甲单独做了y天，
y+（20﹣）×（1+2.5）≤64，
解得：y≥36
答：甲工程队至少要单独施工36天．
【点评】本题主要考查分式方程的应用：工程问题，找到合适的等量关系是解决问题的关键．注意应用前面得到的结论求解．
24．定义：若两个等腰三角形的顶角之和等于180°，则称这两个等腰三角形互为“友好三角形”，这两个角的顶点互为“友好点”．
（1）已知△ABC与△DEF互为“友好三角形”，点B和点E互为“友好点”，且△ABC中有一个内角为50°，则∠DEF＝ 130或100 °．
（2）已知，在平面直角坐标系中，点A（0，），B（，0），点P为∠AOB角平分线OM上一动点，点C为x轴上一动点，连接AB，AP，AC．
①如图1，∠APC＝90°，求证：△APC与△AOB互为“友好三角形”；
②在①的条件下，若点P的坐标为（1，1），求点C的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，将OA绕着点O顺时针方向旋转30°（即∠A'Oy＝30°）得到A'O，连接A'P、A'B、PC、A'C，OM为∠A'OB的角平分线，过点P（P点不在点O处）作PE⊥x轴于点E，当点E在线段OB之间（不包含端点），点C在点E左侧且A'P＝PC时，证明：△A'PC与△A'OB互为“友好三角形”，并说明OA'，OC，EC之间的数量关系．
【分析】（1）根据“友好三角形”的定义即可得到结论；
（2）①过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点N、点F，根据角平分线的性质得到PF＝PN，根据全等三角形的性质得到PA＝PC，求得∠APC+∠AOB＝180°，于是得到△APC与△AOB互为“友好三角形”；
②根据全等三角形的性质得到CN＝AF＝+2﹣1，根据线段的和差即可得到结论；
（3）①当点C在x轴的正半轴上时，过点P作PF⊥A'O于点F，则∠A'FP＝90°，根据角平分线的性质得到PF＝PE，根据全等三角形的性质得到∠A'PF＝∠CPE，根据“友好三角形”的定义得到△A'PC与△A'OB互为“友好三角形”根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；②如图，当点C在x轴的负半轴上时，同理得到OA′＝OF+FA′＝OE+CE＝CE﹣OC+CE＝2CE﹣OC．
【解答】解：（1）当∠B＝50°为△ABC的顶角，则∠E＝180﹣∠B＝130°，
当∠A＝∠C＝50°时，则∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝80°，
∴∠E＝180°﹣∠B＝100°，
故答案为：130或100；
（2）①过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点N、点F，
∵OM为∠AOB的角平分线，
∴PF＝PN，
∵∠AOB＝90°，
∴∠FPN＝90°，
∴∠FPC+∠CPN＝90°，
∵∠APC＝90°，
∴∠FPC+∠APF＝90°，
∴∠APF＝∠CPN，
在△APF和△CPN中，
，
∴△APF≌△CPN（ASA），
∴PA＝PC，
∵∠APC＝∠AOB＝90°，
∴∠APC+∠AOB＝180°，
∴△APC与△AOB互为“友好三角形”；
②∵点P的坐标为（1，1），
∴OF＝ON＝1，
∵△APF≌△CPN，
∴CN＝AF＝+2﹣1，
∴OC＝CN﹣ON＝AO﹣2OF＝，
∴C；
（3）①当点C在x轴的正半轴上时，过点P作PF⊥A'O于点F，则∠A'FP＝90°，
∵PE⊥OB，
∴∠PEC＝90°，
∵OM为∠A'OB的角平分线，
∴PF＝PE，
在Rt△A'FP和Rt△CEP中，
，
∴Rt△A'FP≌Rt△CEP（HL），
∴∠A'PF＝∠CPE，
在四边形PFOE中，∠FOE＝60°，∠PFO＝∠PEO＝90°，
∴∠FPE＝120°，
∴∠FPC+∠CPE＝120°，
∴∠A'PF+∠FPC＝120°，
即∠A'PC＝120°，
∴∠A'PC+∠A'OB＝180°，
又△A'PC和△A'OB为等腰三角形，
∴△A'PC与△A'OB互为“友好三角形”
在Rt△OFP和Rt△OEP中，
，
∴Rt△OFP≌Rt△OEP（HL），
∴OF＝OE，
∵ΔA'FP≌△CEP，
∴A'F＝CE，
∴OA′＝OF+FA′＝OE+CE＝OC+CE+CE＝OC+2CE；
②如图，当点C在x轴的负半轴上时，
同理可得，OA′＝OF+FA′＝OE+CE＝CE﹣OC+CE＝2CE﹣OC．
综上所述，OA'，OC，EC之间的数量关系为OC+2CE或2CE﹣OC．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
25．由完全平方公式（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2可知，a2+b2＝（a﹣b）2+2ab，而（a﹣b）2≥0，所以，对所有的实数a，b都有：a2+b2≥2ab，且只有当a＝b时，才有等号成立：a2+b2＝2ab．
应用上面的结论解答下列问题：
（1）计算＝ ，由此可知x2+ ≥ 2（填不等号）；
（2）已知m，n为不相等的两正数，试比较：（1+m%）（1+n%）与的大小；
（3）试求分式的最大值．
【分析】（1）模仿例题解决问题即可．
（2）转化为例题的模型解决问题即可．
（3）分两种情况：当x＝0时；当x≠0时；进行讨论即可求解．
【解答】解：（1）＝，
∴x2+≥2，
故答案为：，≥；
（2）（1+m%）（1+n%）＝1+m%+n%+m%•n%，
＝1+2•%+（%）2，
∵，
又m≠n，
∴（1+m%）（1+n%）＜；
（3）当x＝0时，＝0，
当x≠0时，，
∵，
∴，
∴．
【点评】本题考查了分式的混合运算，非负数的性质：偶次方，完全平方公式，关键是理解例题的模型．
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