河南省南阳市第十三中学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

这是一份河南省南阳市第十三中学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
河南省南阳市第十三中学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题 一、单选题1．计算 的结果是（    ）A．9 B．-3 C．3或-3 D．32．下列计算正确的是（    ）A． B． C． D．3．方程的根为（　　）A． B． C．， D．，4．均匀的正方体骰子的六个面上的点数分别为1、2、3、4、5，6，抛掷正方体骰子一次，朝上的面上的点数不大于2的概率为（　　）A． B． C． D．5．在中，，如果，那么的值等于（   ）A． B． C． D．6．将抛物线向上平移5个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到的抛物线关于x轴对称的函数表达式是（　　）A． B．C． D．7．如图是拦水坝的横断面，斜坡的水平宽度米，坡度为，则斜坡的垂直高度为（　　）A．4米 B．6米 C．12米 D．24米8．如图，在中，为上一点，下列四个条件中：①；②；③﹔④能满足与相似的条件是（     ）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④9．如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴，点在轴的负半轴，经过四点，若，则点的坐标为（    ）A． B． C． D．10．等边边长为4，D为上一动点（不与B、C重合），，交于P，设，，则y关于x的函数图像大致是（　　）A． B．C． D． 二、填空题11．若二次根式有意义，则x的取值范围是_____．12．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是__________．13．若二次函数的图象经过、、三点，则关于、、大小关系为______．14．如图，在矩形中，，以的长为半径的交于点E，则图中阴影部分的面积为___________．15．如图，在中，，，点D为的中点，点P在上，且，将绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接、，当时，的长为___________． 三、解答题16．(1)计算：(2)用配方法解方程：．17．在一个不透明的袋子中，装有三个完全相同的小球，三个小球上分别写有数字5、、8．先从袋子中随机摸出一个小球，记下数字后放回袋子，摇匀后再随机摸出一个小球，记下数字请你用画树状图或列表的方法，求下列事件的概率：(1)两次取出小球上的数字相同；(2)两次取出小球上的数字之和大于9．18．如图，在中，过点A作，垂足为E，连接，F为线段上的点，且．(1)求证：：(2)若，，，求的长．19．如图，一艘货船从港口B出发，沿正北方向航行．在港口B处，测得灯塔A在B处的北偏西37°方向上，航行至C处，测得A处在C处的北偏西53°方向上，且A、C之间的距离是60海里．(1)在货船航行的过程中，求货船与灯塔A之间的最短距离；(2)求B、C之间的距离．（参考数据：，，）20．如图，在中，﹐以为直径的交边于点D，过点B作，与过点C的切线交于点E，连接．(1)求证：﹔(2)若，求的长．21．小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面，水柱在距喷水头P水平距离4m处达到最高，最高点距地面；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距地面的高度．(1)求抛物线的表达式，(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离2m．身高的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．22．如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的矩形花圃，设花圈的一边的长为，面积为，(1)求y与x之间的函数关系式；(2)如果围成的矩形的边的长度不小于．①求自变量x的取值范围；②求面积y的取值范围．23．如图1，在中，∠B=90°，，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接将绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为． 问题发现：当时，_____；当时，_____．拓展探究：试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．问题解决：当旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长．
参考答案及解析1．D【分析】根据二次根式的性质进行化简，即可求得．【详解】解：，故选：D．【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握和运用二次根式的性质是解决本题的关键．2．B【分析】根据合并同类项、二次根式的乘法和除法运算法则逐项分析即可．【详解】解：A.和不是同类二次根式，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；B. ，故该选项正确，符合题意；C. 和不是同类二次根式，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；D. ，故该选项不正确，不符合题意．故选：B．【点睛】本题主要考查了合并同类项、二次根式的乘法和除法运算法则，掌握合并同类项、二次根式的乘法和除法运算法则是解题的关键．3．C【分析】利用因式分解法求解一元二次方程即可得到答案．【详解】解：，，或，解得：，，、故选C．【点睛】本题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．4．B【分析】由朝上的面上的点数有6种等可能结果，其中点数不大于2有两种结果，根据概率公式计算即可得到答案．【详解】解：抛掷正方体骰子一次，朝上的面上的点数有6种等可能结果，其中点数不大于2有1、2两种结果，朝上的面上的点数不大于2的概率为，故选B．【点睛】本题考查了概率公式，熟练掌握随机事件A的概率事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果．5．A【分析】根据得出，代入即可．【详解】解：如下图，∵，又∵，∴．故选：A．【点睛】本题主要考查了互余两角三角函数的关系，解题关键是掌握互余两角三角函数的关系，即已知，能推出，，，．6．C【分析】直接根据函数图像平移的法则即可得出结论．【详解】解：将抛物线向上平移5个单位，再向左平移2个单位，得到抛物线解析式为：，故选：C．【点睛】本题考查的是二次函数的图像与几何变换，熟知“左加右减，上加下减”的法则是解答此题的关键．7．B【分析】根据坡比等于坡面的垂直高度与水平长度之比即可得到答案．【详解】解：斜坡的坡度为，在中，，米，米，故选B．【点睛】本题考查了直角三角形的应用，熟练掌握坡比等于坡面的垂直高度与水平长度之比是解题关键．8．C【分析】根据相似三角形的判定方法对每个条件进行分析，从而获得答案．【详解】解：①∵，∴，又∵，∴；②∵，∴，是的最短边，是的最长边，和不是对应边，不能判定与相似；③∵，，∴；④，，∴．综上所述，能满足与相似的条件是①③④．故选：C．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定方法，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．9．A【分析】先利用圆内接四边形的性质得到，再根据圆周角定理得到为的直径，则点为的中点，接着利用含30度角的直角三角形三边的关系得到，即可确定点坐标．【详解】解：∵四边形为圆的内接四边形，，∴，∴，∵，∴为的直径，∴点为的中点，在中，∵，∴，∴，∴点坐标为．故选：A．【点睛】本题主要考查了坐标与图形、圆内接四边形的性质、圆周角定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理是解题关键．10．D【分析】根据等边三角形的性质，得到，利用三角形外角性质，得到，证明，得到，再，，根据等边边长为4，得到，从而得到，再利用二次函数图像即可判断答案．【详解】解：是等边三角形，，，，，，，等边边长为4，，设，，则，，，故函数图像为抛物线，开口向下，故选D．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形外角的性质，二次函数的图像，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．11．x≥1【分析】根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围．【详解】解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0，∴x≥1，故答案为：x≥1．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握被开方数大于等于0．12．【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根列不等式即可得到答案.【详解】∵方程有两个不相等的实数根，∴∆>0，∴1+4m>0，∴，故答案为：.【点睛】此题考查了一元二次方程的根的应用，熟记一元二次方程的根的三种情况是解题的关键.13．【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线，根据时，y随x的增大而减小，即可得出答案．【详解】解：∵，，图象的开口向上，对称轴是直线，关于直线的对称点是，，又∵当时，y随x增大而减小，，故答案为．【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．14．【分析】连接．则阴影部分的面积等于矩形的面积减去直角的面积和扇形的面积．根据题意，可证明是等腰直角三角形，则．【详解】解：连接．根据题意，知，则根据勾股定理，得，∴是等腰直角三角形，∴，则，则阴影部分的面积．故答案为：．【点睛】此题考查了等腰直角三角形的面积、扇形的面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题关键．15．5或【分析】连接，利用勾股定理得到，，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，由旋转的性质可知，分两种情况讨论：①点在线段上；②点在的延长线上，利用勾股定理即可求得的长．【详解】解：如图，连接，在中，，，，点D为的中点，，，由旋转的性质可知，，①点在线段上，，，在中，；②点在的延长线上，在中，，，，综上可知，当时，的长为5或，故答案为：5或．【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的性质，运用分类讨论的思想解决问题是解题关键．16．(1)；(2)，． 【分析】（1）将三角函数代入即可计算求值；（2）利用配方法的步骤即可解方程．【详解】（1）解：，，，；（2）解：，方程两边同时除以2，得：，移项，得：，配方，得：，即，方程两边开方，得：，解得：，．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，配方法解方程，熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握解方程的方法是解题关键．17．(1)(2) 【分析】（1）根据列表的方法可进行求解；（2）根据列表的方法可进行求解．【详解】（1）解：由题意可得： 5858 ∴一共有9种情况，则满足两次取出小球上的数字相同的有3种，∴两次取出小球上的数字相同的概率为；（2）解：由（1）可得： 5851041347813716 ∴一共有9种情况，则满足两次取出小球上的数字之和大于9的有4种，∴满足两次取出小球上的数字之和大于9的概率为．【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握列表进行求解概率是解题的关键．18．(1)证明见解析；(2)． 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得到，，进而得到，再利用，，得到，证明，即可证明结论；．（2）根据平行四边形的性质，得到，，，由因为，得到，再利用勾股定理得到，最后根据相似三角形的性质即可得到答案．【详解】（1）证明：，，，，，，，，，；（2）解：，，，，，，，，在中，，，．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．19．(1)货船与灯塔A之间的最短距离为48海里；(2)B、C之间的距离为28海里． 【分析】（1）过点A作延长线，根据垂线段最短即可知是船离灯塔最近的距离，再利用三角函数值即可求得答案；（2）利用三角函数值分别求出和的长，即可得到B、C之间的距离．【详解】（1）解：过点A作，根据垂线段最短可知，货船与灯塔A之间的最短距离为，在中，，A、C之间的距离是60海里，，，即货船与灯塔A之间的最短距离为48海里；（2）解：在中，，，，，，，，，，B、C之间的距离为28海里．【点睛】本题考查了垂线段最短，三角函数，准确理清题中各线段的关系，灵活运用三角函数值是解题关键．20．(1)见解析(2)． 【分析】（1）根据圆周角定理求出，，根据切线的性质得出，求出，根据角平分线性质得出即可；（2）求出，，根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出即可．【详解】（1）证明：∵是的直径，∴，∴，，∵切于C，∴，∵，∴，，∵， ∴，∴，∵，，∴；（2）解：∵，，∴，∵，∴，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：．【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，角平分线性质，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．21．(1)(2)1m或5m 【分析】（1）根据顶点，设抛物线的表达式为，将点，代入即可求解；（2）将代入（1）的解析式，求得的值，进而求与点的距离即可求解．【详解】（1）解：根据题意可知抛物线的顶点为，设抛物线的解析式为，将点代入，得，解得，抛物线的解析式为，（2）由，令，得，解得，爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离2m，当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为(m)，或(m)．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，掌握顶点式求二次函数解析式是解题的关键．22．(1)；(2)①自变量的取值范围为；②面积的取值范围为． 【分析】（1）设花圈的一边的长为，则的长为，根据题意即可列出函数解析式；（2）①由（1）得的长为，根据的长度不小于，不大于，即可求出自变量x的取值范围；②将函数关系式化为顶点式，得到最大值，再分别计算和时的值，即可求出面积y的取值范围．【详解】（1）解：设花圈的一边的长为，面积为，根据题意得：，篱笆的长为，墙的最大可用长度为，，，，即y与x之间的函数关系式为；（2）解：①的长度不小于，，，由，，自变量的取值范围为；②，时，有最大值，，当时，，当时，，面积的取值范围为．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，矩形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．23．（1）①；②；（2）的大小没有变化；（3）BD的长为：．【分析】（1）①当α=0°时，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根据点D、E分别是边BC、AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出的值是多少．②α=180°时，可得AB∥DE，然后根据，求出的值是多少即可．（2）首先判断出∠ECA=∠DCB，再根据，判断出△ECA∽△DCB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．（3）分两种情况分析，A、D、E三点所在直线与BC不相交和与BC相交，然后利用勾股定理分别求解即可求得答案．【详解】解：（1）①当α=0°时，∵Rt△ABC中，∠B=90°，∴AC=，∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴AE=AC=5，BD=BC=4，∴．②如图1，当α=180°时，可得AB∥DE，∵，∴．故答案为：①；②.（2）如图2，当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，∵∠ECD=∠ACB，∴∠ECA=∠DCB，又∵，∴△ECA∽△DCB，∴．（3）①如图3，连接BD，∵AC=10，CD=4，CD⊥AD，∴AD=， ∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴DE=AB=3，∴AE=AD+DE=，由（2），可得：，∴BD=；②如图4，连接BD，∵AC=10，CD=4，CD⊥AD， ∴AD=，∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴DE=AB=3，∴AE=AD-DE=，由（2），可得：，∴BD=AE=．综上所述，BD的长为：．【点睛】此题属于旋转的综合题．考查了、旋转的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．