河南省开封市第十三中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试题

这是一份河南省开封市第十三中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试题，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
河南省开封市第十三中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．下列是四届冬奥会会徽的部分图案，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　　）.

A．1984前南斯拉夫 B．1988加拿大 C．2006意大利 D．2022中国
2．一元二次方程的根的情况是（    ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
3．下列事件中，是必然事件的是（    ）
A．掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上 B．车辆随机到达一个路口，遇到红灯
C．任意买一张电影票，座位号是2的倍数 D．将油滴在水中，油会浮在水面上
4．抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，已知是的直径，是弦，若则等于（  ）

A． B． C． D．
6．已知抛物线的对称轴为直线，则关于x的方程的根是（    ）
A．0，4 B．1，5 C．1，－5 D．－1，5
7．如图，水平放置的圆柱形排水管的截面为，有水部分弓形的高为2，弦．则截面的半径为（   ）

A． B．4 C． D．8
8．如图，已知抛物线的对称轴为直线x＝1，且过点给出下列结论：①；②；③；④．其中，正确的结论有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为（0，4），△OAB为等腰直角三角形，且∠OAB＝90°，点P是线段AB的中点，将△OAB绕点O以每秒45°的速度顺时针旋转，则第2019秒时点P的坐标为（    ）

A．（3） B．（2，﹣1） C．（） D．（﹣1，﹣2）
10．正方形ABCD的边长为4，点E、F分别是BC，CD上的一动点，且BE＝CF，连结AE，BF，两线交于点P，连接CP，则CP的最小值是（    ）

A． B． C． D．
二、填空题
11．一种药品经过两次降价，药价从每盒60元下调至48元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意列出的方程是______________．
12．如图，草坪上的自动喷水装置能旋转220°，若它的喷射半径是20m，则它能喷灌的草坪的面积为___m2．

13．从长度分别为1cm，3cm，5cm，6cm的四条线段中随机取出三条，则能够成三角形的概率为 ______．
14．如图，在中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使得，则的度数为______．

15．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B、C的坐标分别为、、．若抛物线的图象与正方形有公共点，则a的取值范围是_________．

三、解答题
16．解下列方程：
(1)；
(2)；
17．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3＝0．
（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）设x1、x2是方程的两根，且（x1+x2）2﹣（x1+x2）﹣12＝0，求m的值．
18．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的的顶点均在格点上．

(1)画出将关于原点O的中心对称图形；
(2)将绕点E逆时针旋转得到，画出；
(3)若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为___________．
19．2020年春季在新冠疫情的背景下，全国各大中小学纷纷开设空中课堂，学生要面对电脑等电子产品上网课，某校为了解本校学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生，调直结果分为“非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：根据图中信息，解答下列问题：

（1）在扇形统计图中，“比较重视”所占的圆心角的度数为 ，并补全条形统计图；
（2）该校共有学生3200人，请你估计该校对视力保护“非常重视”的学生人数；
（3）对视力“非常重视”的4人有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽取两人向全校作视力保护经验交流，请利用树状图或列表法，求出恰好抽到同性别学生的概率．
20．在国庆期间，大润发商场新上市了一款童装，进价每件60元，现以每件100元销售，每天可售出20件．在试销售阶段发现，若每件童装降价1元，那么每天就可多售2件，设每件童装单价降价了x元．
（1）若销售单价降低5元，则该款童装每天的销售量为 件，每天利润是 元；
（2）请写出每天销售该款童装的利润y（元）与每件童装降价x（元）之间的函数关系式；
（3）当每件童装销售单价定为多少元时，商场每天可获得最大利润？最大利润是多少元？
21．如图，的边为直径的交于D，，作垂足为E，连接，

(1)求证：是的切线．
(2)若，．求线段的长．
22．小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．

(1)求抛物线的表达式．
(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．
23．如图1，在中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点．

(1)观察猜想：图1中，线段与的数量关系是_________，位置关系是_________；
(2)探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；
(3)拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，直接写出面积的最大值．

参考答案及解析
1．A
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可.
【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键．
2．B
【分析】利用一元二次方程根的判别式即可得到答案．
【详解】解：，
，
方程有两个不相等的实数根，
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是熟练掌握根与判别式的关系：，有两个不相等的实数根；，有两个相等的实数根；没有实数根．
3．D
【分析】必然事件是指一定会发生的事件，根据此定义可判断出下列事件中的必然事件．
【详解】解：A．掷一枚质地均匀的硬币，可能正面向上，也可能反面朝上，此事件是随机事件,不符合题意；
B．车辆随机到达一个路口，遇到红灯，由于事先无法预测将遇到哪种颜色的灯，所以此事件是随机事件,不符合题意；
C．任意买一张电影票，座位号是2的倍数，也有可能是奇数，此事件是随机事件,不符合题意；
D．将油滴在水中油会浮在水面上，此事件是必然事件,符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查随机事件和必然事件的定义，关键是要牢记必然事件的定义．
4．A
【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再用平移规律“左加右减，上加下减”即可得答案．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为，向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线的顶点坐标为，
所得到的抛物线是：，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的图像的平移，解题的关键是掌握熟练掌握平移规律“左加右减，上加下减”．
5．A
【分析】先由圆周角定理得到∠DAB=∠BCD=36°，然后根据是的直径确定∠ADB=90°，最后根据直角三角形两锐角互余即可解答．
【详解】解：∵是弦，若
∴∠DAB=∠BCD=36°
∵是的直径
∴∠ADB=90°
∴∠ABD=90°-∠DAB=54°．
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理和直角三角形的性质，灵活利用圆周角定理是解答本题的关键．
6．D
【分析】根据抛物线的对称轴为直线可求出m的值，然后解方程即可．
【详解】抛物线的对称轴为直线，
，
解得，
关于x的方程为，
，
解得，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质及解一元二次方程，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
7．B
【分析】过点O作，根据垂径定理可求出，再根据勾股定理累出方程求解即可．
【详解】解：过点O作，垂足为点C，交于点D，

∵，，
∴，
设半径为r，
∵，
∴，
在中，由勾股定理可得：
，即，
解得：．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是根据题意正确作出辅助线构建直角三角形．
8．C
【分析】根据开口方向及抛物线与ｙ轴交点的位置即可判断①；根据抛物线与ｘ轴交点的个数即可判断②；根据对称轴为直线，即可判断③；根据抛物线的对称性，可知抛物线经过点，即可判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向下，则，
∵抛物线交于y轴的正半轴，则，
∴，故①正确；
∵抛物线与轴有两个交点，
∴方程有两个不相等的根，
∴，故②正确；
∵抛物线的对称轴为直线，则，即，
∴，故③错误；
∵抛物线经过点，且对称轴为直线，
∴抛物线经过点，则，
即有：，
∵，，
∴，即，
∴，故④正确；
∴正确的有①②④，共3个，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．
9．C
【分析】将△OAB绕点O以每秒45°的速度沿顺时针方向旋转，360°÷45°＝8，8秒循环一次，因为2019÷8＝252余数为3，推出第2019秒时，点P旋转到如图P′处，作A′E⊥OB′于E，P′F⊥A′E于点F，利用等腰直角三角形的性质即可解决问题．
【详解】
∵将△OAB绕点O以每秒45°的速度顺时针旋转，360°÷45°＝8，
∴8秒循环一次，
∵2019÷8＝252余数为3，
∴第2019秒时，点P旋转到如图P′处，
∵点A坐标为（0，4），△OAB为等腰直角三角形，
∴OA＝AB＝4，
∵点P是线段AB的中点，
∴AP＝2，
作A′E⊥OB′于E，P′F⊥A′E于点F，
可得△P′A′F，△OEA′都是等腰直角三角形，
∴OE＝A′E＝×4＝，P′F＝A′F＝×2＝，
∴P′（，）．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的变换，规律型问题等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
10．A
【分析】证明△ABE≌△BCF，即可得到∠APB=90°，再取AB中点H，HP=BC=2，点P在以点H为圆心，以HP为半径的半圆上运动，因此当H、P、C在同一条直线上时，CP取最小值，依据HP与CH的长，即可得出CP的最小值．
【详解】解：如图，取AB中点H，连接HP，HC，

在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE=∠CBF，
∴∠BAE+∠ABP=∠CBF+ABP=90°，
∴∠APB=90°，
∴HP=BC=2，点P在以点H为圆心，以HP为半径的半圆上运动，
∴当H、P、C在同一条直线上时，CP取最小值，
Rt△BCH中，HC==2，
∴CP的最小值=HC-HP=2-2，
故选A．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，解决本题的关键是取AB中点H，由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得出当H、P、C在同一条直线上时，CP取最小值．
11．
【分析】第一次降价后的价格为：，第二次降价后的价格为：，根据题意，即可列出一元二次方程．
【详解】解：依题意得：第一次降价后的价格为：，第二次降价后的价格为：，
即：，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12．
【分析】根据题意可得它能喷灌的草坪是扇形，半径为20m，圆心角为220°，再根据扇形面积公式，即可求解．
【详解】解：∵草坪上的自动喷水装置能旋转220°，它的喷射半径是20m，
∴它能喷灌的草坪是扇形，半径为20m，圆心角为220°，
∴它能喷灌的草坪的面积为： =m2．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．
13．
【分析】列举出所有可能出现的结果情况，进而求出能构成三角形的概率．
【详解】解：从长度为1cm、3cm、5cm、6cm四条线段中随机取出三条，
共有以下4种结果（不分先后）：
1cm、3cm、5cm，
1cm、3cm、6cm，
3cm、5cm、6cm，
1cm、5cm、6cm，
其中，能构成三角形的只有1种，
∴P（构成三角形）＝．
故答案是：．
【点睛】本题考查随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况，是正确解答的关键．
14．##36度
【分析】由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可求，即可求解．
【详解】解：

将绕点旋转到的位置
，


故答案为：
【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
15．
【分析】抛物线开口向上，因此a大于0，a越大抛物线开口越小，a越小抛物线开口越大，因此抛物线经过B点时，a取最大值，经过D点时，a取最小值，由此可解．
【详解】解：∵正方形的顶点A、B、C的坐标分别为、、，
∴点D的坐标为．
∵ 抛物线开口向上，
∴，
∴当抛物线经过B点时，a取最大值，经过D点时，a取最小值．
将代入得，
解得，
将代入得，
解得，
∴若抛物线的图象与正方形有公共点，则a的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质，抛物线图象与系数的关系，找到a取最大值和最小值时与正方形的交点是解题的关键．
16．(1)
(2)

【分析】（1）利用十字相乘法分解因式，可得结论；
（2）提公因式因式分解，可得结论．
【详解】（1）解：，
，
或，
，；
（2）解：，
，
，
或，
，．
【点睛】本题考查解一元二次方程因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法解方程，属于中考常考题型．
17．（1）m＞-2  （2）m=1
【分析】（1）若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△=b2-4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．
（2）给出方程的两根，根据所给方程形式，可利用一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=2（m+1），代入
且（x1+x2）2-（x1+x2）-12=0，即可解答．
【详解】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝[﹣2（m+1）]2﹣4×1×（m2﹣3）＝16+8m＞0，
解得：m＞﹣2；
（2）根据根与系数的关系可得：
x1+x2＝2（m+1），
∵（x1+x2）2﹣（x1+x2）﹣12＝0，
∴[2（m+1）]2﹣2（m+1）﹣12＝0，
解得：m1＝1或m2＝﹣（舍去）
∵m＞﹣2；
∴m＝1．
【点睛】本题考查根与系数的关系，解一元二次方程-因式分解法，根的判别式.
18．(1)见解析
(2)见解析
(3)

【分析】（1）根据成中心对称图形的性质画图即可；
（2）根据旋转中心、旋转角、旋转方向画图即可；
（3）线段的中垂线的交点即为旋转中心；
【详解】（1）解：作图如下：

（2）解：作图如下：

（3）解：根据旋转的性质：旋转中心到两对应点的距离相等；
故旋转中心在线段的中垂线上；
由图像可知，该点的坐标为
【点睛】本题考查了图形的旋转，平面直角坐标系中点的坐标变换；熟练掌握旋转的性质是解题关键．
19．（1）162°；作图见解析；（2）160人；（3）．
【分析】（1）先由“不重视”的学生人数和所占百分比求出调查总人数，再由360°乘以比较重视”的学生所占比例得所占的圆心角的度数；求出“重视”的人数，补全条形统计图即可；
（2）由该校共有学生人数乘以“非常重视”的学生所占比例即可；
（3）画树状图，共有12个等可能的结果，恰好抽到同性别学生的结果有4个，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）调查的学生人数为16÷20%＝80（人），
∴“比较重视”所占的圆心角的度数为360°×＝162°，
故答案为：162°，
“重视”的人数为80−4−36−16＝24（人），补全条形统计图如图：

（2）由题意得：3200×＝160（人），
即估计该校对视力保护“非常重视”的学生人数为160人；
（3）解：画树状图如图∶

共有12个等可能的结果，恰好抽到同性别学生的结果有4个．
∴恰好抽到同性别学生的概率为．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．也考查了扇形统计图和条形统计图以及样本估计总体．
20．（1）30，1050；（2）y＝﹣2x2+60x+800；（3）当每件童装销售单价定为85元时，商场每天可获得最大利润，最大利润是1250元
【分析】（1）根据每件童装降价1元，那么每天就可多售2件，当销售单价降低5元时，销售量增加10件，则销售量为20+10＝30件；利润为（100﹣60﹣5）×30＝1050件；
（2）根据利润＝单件利润×销售量列函数关系式；
（3）根据（2）的函数解析式，由二次函数的性质求函数最值．
【详解】解：（1）∵以每件100元销售，每天可售出20件，若每件童装降价1元，那么每天就可多售2件，
∴销售单价降低5元，则该款童装每天的销售量为20+5×2＝30（件），
每天的利润为：（100﹣5﹣60）×30＝1050（元），
故答案为：30，1050；
（2）由题意，得y＝（100﹣60﹣x）（20+2x）＝（40﹣x）（20+2x）＝﹣2x2+60x+800，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣2x2+60x+800；
（3）由（2）知：y＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x﹣15）2+1250，
∵﹣2＜0，
∴当x＝15时，y有最大值，最大值为1250，
此时100﹣15＝85（元），
∴当每件童装销售单价定为85元时，商场每天可获得最大利润，最大利润是1250元．
【点睛】本题考查二次函数的应用，关键是根据等量关系列出函数解析式．
21．(1)见详解
(2)

【分析】（1）连接OD，由三角形中位线可知OD∥AC，然后问题可求证；
（2）连接AD，则可得△ABC是等边三角形，然后可得DC=4，则可知AB=8，OD=4，进而根据勾股定理可进行求解．
【详解】（1）证明：连接OD，如图所示：

∵AB是的直径，
∴，
∵，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵，
∴，
∴OD⊥DE，
∵OD是的半径，
∴是的切线；
（2）解：连接AD，如图所示：

∵AB是的直径，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴△ABC是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在Rt△ODE中，由勾股定理得：．
【点睛】本题主要考查切线的判定、勾股定理、等边三角形的性质与判定及圆周角定理，熟练掌握切线的判定、勾股定理、等边三角形的性质与判定及圆周角定理是解题的关键．
22．(1)
(2)2或6m

【分析】（1）根据顶点，设抛物线的表达式为，将点，代入即可求解；
（2）将代入（1）的解析式，求得的值，进而求与点的距离即可求解．
【详解】（1）解：根据题意可知抛物线的顶点为，
设抛物线的解析式为，
将点代入，得，
解得，
抛物线的解析式为，
（2）由，令，
得，
解得，
爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，
当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为(m)，或(m)．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，掌握顶点式求二次函数解析式是解题的关键．
23．(1)，
(2)是等腰直角三角形，理由见解析
(3)

【分析】（1）根据三角形的中位线定理，以及平行线的性质即可得解；
（2）先证明，得到，再根据三角形中位线定理和平行线的性质即可得证；
（3）当最长，即最长时，的面积最大，根据，当点在的延长线上时，的面积最大，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵点，是，的中点，
∴，，
∵点，是，的中点，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，；
（2）是等腰直角三角形．
理由如下：由旋转知，，
∵，，
∴，
∴，，
利用三角形的中位线得，，，
∴，
∴是等腰三角形，
同（1）的方法得，，
∴，
同（1）的方法得，，
∴，
∵，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形．
（3）∵是等腰直角三角形，
∴当最大时，面积最大；
∵
∴ 最大时，面积最大；
∵，
∴当点在的延长线上时，最大，
，
此时：，
∴面积的最大值．
【点睛】本题考查三角形的中位线定理，以及旋转的综合应用．熟练掌握三角形的中位线定理和旋转的性质是解题的关键．