人教版九年级下册27.2.1 相似三角形的判定第1课时教案

  相似三角形

第 1 课时

《相似三角形的判定》是相似三角形的主要内容之一.相似三角形是全等三角形的拓广和发展，在这之前，学生已经学习了全等三角形的相关知识，这为学生继续研究相似三角形奠定了基础.相似三角形的判定是进一步对相似三角形的本质和定义的全面研究，也是以后研究圆中比例线段和三角函数的重要工具.

本节教材介绍了五种判定方法，这些方法都是先通过学生探究，再进行证明得到，这四种方法的地位作用以及证明方法也有区别和联系.对于第一个判定方法，也就是“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”，根据学生的知识水平，教材先在探究的基础上介绍了平行线分线段成比例的基本事实，然后将这个基本事实应用到三角形上得到了一个推论，最后利用这个推论并通过三角形中平移线段证明了两个三角形相似.接下来的“三边”、“两边及其夹角”、“两角”三种判定方法都是利用第一种判定方法证明的.最后，介绍了利用勾股定理证明两个直角三角形相似的方法.

1. 了解相似三角形的概念；掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用判定方法解决问题.
2. 经历两个三角形相似的探索过程，体验用类比、实验操作、分析归纳得出数学结论的过程.
3. 通过画图、度量等操作，培养学生获得数学猜想的经验，激发学生探索知识的兴趣，体验数学活动的探索性和创造性.

【教学重点】

 相似三角形的概念及相似三角形的判定定理.

【教学难点】

相似三角形的判定的应用.

多媒体课件、教具等.

一、提出问题，思考引入

问题1  ⑴相似多边形的主要特征是什么？ 

⑵相似三角形有什么性质？

⑶两个三角形全等有哪些判定方法？

问题2  我们知道，两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，则称这两个多边形叫做相似多边形.根据这个定义，你能说出什么样的三角形叫做相似三角形吗？

三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形.

如图，△ABC和△A′B′C′，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，，我们就说△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′.

二、合作交流，探究新知

问题3   如图，任意画两条直线l1、l2,再画三条与l1、l2相交的平行线l3、l4 、l5.分别度量l3、l4 、l5在l1上截得的两条线段AB、BC和在l2上截得的两条线段DE、EF的长度， 与相等吗？任意平移l４，再度量AB、BC、DE、EF的长度，与还相等吗？ 你还能发现哪些成比例线段？

学生动手画图，并进行测量三条平行线在两条直线上所截得的对应线段的长度，然后计算它们的比值.在学生动手实践的基础上，教师利用媒体技术，通过任意拖动直线进行演示.事实上可以得到如下一些结论：，，，，，等.

一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.

问题4   如果将这个基本事实应用到三角形中，会出现下面两种情况：

把直线l2向左平移，两直线相交时有两种特殊的交点，图（1）是把l4看成平行于△ABC的边BC的直线.图（2）是把l3 看成平行于△ABC的边BC的直线，那我们能得出什么样的结论呢？

归纳：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.

问题5   如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别交AB，AC于点D，E，△ADE与△ABC有什么关系？

追问1：△ADE与△ABC满足“对应角相等”吗？为什么？

追问2：△ADE与△ABC满足对应边成比例吗？由“DE∥BC”的条件可得到哪些线段的比相等？

追问3：根据以前学习的知识如何把DE移到BC上去？

（作辅助线EF∥AB）

归纳：三角形相似的预备定理  平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.

问题6   类比三角形全等的“SSS”判定方法，思考如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？

追问1：任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍.度量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两个三角形相似吗？与同学交流一下，看看是否有同样的结论.

追问2：你能利用上面的定理证明你发现的结论吗？

如图，在△ABC和△A'B'C'中，已知.求证△ABC∽△A'B'C'.

证明：在线段（或它的延长线）上截取，过点D作平行于，交于点E.根据“平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得△A'DE∽△A'B'C'.

∴.又∵，，∴，.∴.∴△ABC∽△A'B'C'.

三角形相似的判定定理1  三边成比例的两个三角形相似.

追问3：由三角形全等的“SAS”判定方法，试想如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例且夹角相等，那么能否判定这两个三角形相似呢？

证明思路与证明前面的定理思路类似.先用同样的方法作一个与△A'B'C'相似的三角形，再用相似三角形对应边成比例和已知条件证明所作三角形与△ABC全等.归纳：

三角形相似的判定定理2  两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.

思考：对于△ABC与△A'B'C'，如果，∠B＝∠B'，这两个三角形相似吗？试着画画看.

问题7   如图，观察两副三角尺，其中同样角度（与，或与）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的.如果两个三角形有两组角对应相等，它们一定相似吗？

追问1：作△ABC与△A'B'C'，使得，，这时它们的第三角满足吗？分别度量这两个三角形的边长，计算﹑﹑，你有什么发现？

结论：学生通过度量，不难发现，.

追问2：分别改变这两个三角形边的大小，而不改变它们的角的大小，再试一试，是否有同样的结论？

应用“几何画板”等计算机软件作动态探究进行演示验证，引导学生观察在动态变化中存在的不变因素.

归纳：两角分别相等的两个三角形相似. 

符号语言：若，，则△ABC∽△A'B'C'.

问题8   我们知道，两个直角三角形全等可用“HL”来判定，那么，满足斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似吗？你能否证明，请结合教材完成证明.

如图所示，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=90°，∠C'=90°，.求证Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.

分析：由于三边成比例的两个三角形相似，而已知条件中有两边对应成比例，所以只需证明另一对直角边也成比例即可.

证明:设，则AB=kA'B'，AC=kA'C'.

由勾股定理，得，.

∴.

∴.∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C.

三、运用新知

例1：如图，直线l1∥l2，AF∶FB=2∶3，BC∶CD=2∶1，求AE∶EC的值.

解:∵l1∥l2，∴△AGF∽△BDF，△AGE∽△CDE.∴==，∴AG=BD.

又∵=，BC+CD=BD，∴CD=BD.∴==2.即AE∶EC=2.

例2：根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由：

（1）AB＝4cm，BC＝6cm，AC＝8cm，

A'B'＝12cm，B'C'＝18cm，A'C'＝24cm；

（2）∠A＝120°，AB＝7cm，AC＝14cm，

∠A'＝120°，A'B'＝3cm，A'C'＝6cm.

解：（1）∵，，，

∴.∴△ABC∽△A'B'C'.

（2）∵，，∴.又∠A＝∠A'，∴△ABC∽△A'B'C'.

例3：如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8.E是AC上一点，AE=5，ED⊥AB，垂足为D.求AD的长.

解:∵ED⊥AB，∴∠EDA=90°.　又∠C=90°，∠A=∠A，∴△AED∽△ABC，∴.∴.

四、巩固新知

练习1  如图所示，∠ADE=∠ACD=∠ABC，图中相似三角形共有(　　)

A.1对　　B.2对　　C.3对　　D.4对

解析：∵∠ADE=∠ACD=∠ABC，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.

∵DE∥BC，∴∠EDC=∠DCB.∵∠ACD=∠ABC，∴△EDC∽△DCB.

同理∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD.

∵△ADE∽△ABC，△ABC∽△ACD，∴△ADE∽△ACD.

∴共有4对.故选D.

练习2  如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=EC，DB=1cm，AE=4cm，BC=5cm，求DE的长.

解析：由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，再由相似三角形的性质，有，又由AD=EC可求出AD的长，再根据求出DE的长.

练习3   如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，图中共有哪几对相似三角形？并选择其中一对进行证明.

解析：由CD⊥AB，得∠ADC=∠CDB=90°，所以图中共有三个直角三角形，根据直角三角形的两锐角互余，可得∠A+∠B=90°，∠A+∠ACD=90°，∠B+∠BCD=90°，由同角的余角相等，得∠B=∠ACD，∠A=∠BCD，根据两角分别相等的两个三角形相似易得△ACD∽△ABC，△CDB∽△ACB，△ACD∽△CBD.

五、归纳小结

说说你在本节课的收获：

1. 相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫相似三角形. 

相似三角形的对应边的比叫做相似比. 

2. 相似三角形的判定方法： 

（1）              平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似；

（2）              两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；

（3）              有两个角对应相等的两个三角形相似；

（4）              三条边对应成比例的两个三角形相似；

（5）              一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似. 

略.