初中数学人教版九年级下册第二十八章 锐角三角函数28.1 锐角三角函数教案设计

锐角三角函数

                        一、教学目标

理解锐角的正弦的概念及表示．

二、教学重点及难点

重点：理解锐角的正弦的定义。

难点：锐角的正弦概念的探究过程．

三、教学用具

电脑、多媒体、课件

四、相关资源

比萨斜塔图片

五、教学过程

（一）情景导入

意大利比萨斜塔在1350年落成时就已倾斜，其塔顶中心点偏离垂直中心线2.1 m．1972年比萨地区发生地震，这座高54.5 m的斜塔在大幅度摇摆后仍巍然屹立，但塔顶中心点偏离垂直中心线增至5.2 m，而且还以每年增加1 cm的速度继续倾斜，随时都有倒塌的危险．为此，意大利当局从1990年起对斜塔维修纠偏，2001年竣工，此时塔顶中心点偏离垂直中心线的距离比纠偏前减少了43.8 cm．

如果要求你根据上述信息，用“塔身中心线与垂直中心线所成的角θ（如图）”来描述比萨斜塔的倾斜程度，你能完成吗？

从数学角度看，上述问题就是：已知直角三角形的某些边长，求其锐角的度数．对于直角三角形，我们已经知道三边之间的关系和两个锐角之间的关系，但我们不知道边角之间的关系，因此，这一问题的解答需要学习新的知识．

设计意图：通过展示比萨斜塔的图片，激发学生的学习兴趣，学生能够以良好的学习状态进入课堂，也为抽象出直角三角形作铺垫．

（二）探究新知

【数学探究】正弦的定义,此交互动画主要探究正弦函数的定义,定量的演示正弦函数的基本定义.

1．问题  为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35 m，那么需要准备多长的水管？

分析：这个问题可以归结为，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35 m，求AB．

根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，即，

可得AB=2BC=70( m)．也就是说，需要准备70 m长的水管．

2．在上面的问题中，如果使出水口的高度为50 m，那么需要准备多长的水管？

同样根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，即，

可得AB'=2B'C'=2×50=100 (m)，需要准备70 m长的水管．

结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么无论这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于．

3．如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°，计算∠A的对边与斜边的比，由此你能得出什么结论？

在Rt△ABC中，∠C=90°，因为∠A=45°，所以Rt△ABC是等腰直角三角形．

由勾股定理得

，

．

因此．

即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，无论这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于．

综上可知，在Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A=30°时，∠A的对边与斜边的比都等于，是一个固定值；当∠A=45°时，∠A的对边与斜边的比都等于，也是一个固定值．

4．一般地，当∠A是任意一个确定的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定的值呢？

任意画Rt△ABC和Rt△A'B'C'，使得∠C=∠C'=90°，∠A=∠A'，那么与有什么关系？你能解释一下吗？

在图中，由于∠C=∠C'=90°，∠A=∠A'，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'．因此，即．

这就是说，在Rt△ABC中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值．并且在直角三角形中，一个锐角的度数越大，它的对边与斜边的比值也越大．

5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sin A，即．

例如，当∠A=30°时，我们有；

当∠A=45°时，我们有．

设计意图：通过讨论直角三角形中锐角的对边与斜边的比的不变性，得出锐角的正弦的概念，进而类比锐角的正弦的概念得出锐角的余弦的概念和锐角的正切的概念．

（三）例题解析

例1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sin A和sin B的值．

分析：求sin A就是要确定∠A的对边与斜边的比；求sinB就是要确定∠B的对边与斜边的比．

解：如图（1），在Rt△ABC中，由勾股定理得

．

因此，

．

如图（2），在Rt△ABC中，由勾股定理得

．

因此，

．

设计意图：通过此例，让学生巩固锐角的正弦的概念，规范学生的解题格式．

例2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求sin A的值．

解：由勾股定理得

．

因此，

设计意图：通过此例，进一步加强对锐角三角函数的概念的理解和掌握，并熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算．

（四）课堂练习

1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=13，则sin A=     ．

2．如图，在△ABC中，∠C=90°，BC︰AC=1︰2，则sin A=    ．

3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，b=20，c=20，则∠B的度数为      ．

4．如图，△ABC中，AB=AC=6，BC=4，求sin B的值．

提示：因为三角函数值是在直角三角形中求得，所以构造直角三角形就比较重要，对于等腰三角形首先作底边的垂线．

设计意图：考查运用锐角三角函数的概念解决问题的能力．

答案：

1．

2．，

3．45°

4．解：过点A作AD⊥BC于点D，

∵AB=AC，

∴BD=2．

在Rt△ADB中，由勾股定理，知AD=．

∴sinB=．

设计意图：为学生提供演练机会，加强对锐角三角函数概念的理解及掌握．

六、课堂小结

1．正弦的概念.

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．

；

2．概念中应该注意的几个问题：

（1）sin A是在直角三角形中定义的，∠A是锐角（注意数形结合，构造直角三角形）；

（2）sin A是一个完整的符号，如sin A表示∠A的正弦，习惯省去“∠”号；

设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，理解锐角的正弦的概念，并能熟练地运用进行有关计算．

七、板书设计

28.1锐角三角函数（1）

正弦的定义及表示

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．

；