2022-2023学年浙江省高二数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（人教A版）期中测试题04 （解析版）

这是一份2022-2023学年浙江省高二数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（人教A版）期中测试题04 （解析版），共31页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年高二数学上学期期中测试卷04
一、单选题
1．已知向量，，若，则实数的值为（    ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】C
【分析】利用列方程，即可求解.
【解析】因为向量，，且，
所以，解得：.
故选：C
2．抛物线的焦点坐标为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据抛物线的标准方程以及焦点坐标求解即可
【解析】由题意，抛物线的焦点坐标为
故选：C
3．圆关于直线对称，则的最小值是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先得到圆心在直线上，即，再利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.
【解析】圆关于直线对称，
则圆心在直线上，即，
又因为，
所以，
当且仅当时等号成立．
故选：C
4．若函数的图象与直线有公共点，则实数的取值范围为（    ）
A． B．． C． D．
【答案】A
【分析】作出函数的图象，利用直线与圆的位置关系求解.
【解析】函数的图象如图所示：

由图象知：当直线过点A（-1，0）时，m=1；
当直线与半圆相切时：，解得或（舍去）；
因为函数的图象与直线有公共点，
所以实数的取值范围是，
故选：A
5．已知是双曲线的上、下焦点，点M是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段为直径的圆经过点M，则下列说法不正确的是（    ）
A．双曲线C的渐近线方程为 B．点M的横坐标为
C．的面积为 D．以为直径的圆的方程为
【答案】D
【分析】根据双曲线的标准方程求出渐近线方程，以为直径的圆的方程，点坐标，的面积然后判断各选项．
【解析】由双曲线方程知，焦点在轴，渐近线方程为，A正确；
，以为直径的圆的方程是，D错；
由得或，由对称性知点横坐标是，B正确；
，C正确．
故选：D．
6．在平面直角坐标系中，过点作圆的两条切线，切点分别为、，且，则实数的值是（    ）
A．3 B．或4 C．4 D．3或4
【答案】D
【分析】实质上是一个斜率与另一个斜率的倒数和，进而得到四点共线，即可求解.
【解析】解：圆配方得
设中点为，，圆心 ，
根据对称性，则，

因为
所以，即 ，
因为共线，所以，
即，化简得，
解得或.
故选：D
7．点M是棱长为3的正方体中棱AB的中点，，动点P在正方形（包括边界）内运动，且面DMN，则PC的长度范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法表示点坐标满足的关系式，进而求得长度的取值范围.
【解析】建立如图所示空间直角坐标系，
依题意，
设平面的法向量为，
则，故可设，
设，，
,，
由于平面，所以，
则，，
，.
函数的开口向上，对称轴为，
所以在上递减，在上递增.
，，
，
所以长度的取值范围是.
故选：B

8．已知抛物线）的焦点为F，过F且倾斜角为的直线l与抛物线相交于A，B两点，，过A，B两点分别作抛物线的切线，交于点Q.则下列四个命题中正确的个数是（    ）个.
①；
②若M（1，1），P是抛物线上一动点，则的最小值为；
③（O为坐标原点）的面积为.；
④，则.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】利用求得，然后结合导数、抛物线的定义、三角形的面积、两角差的正切公式对命题进行分析，从而确定正确答案.
【解析】抛物线的焦点为，
直线的方程为，设，
由消去并化简得，.
，
由得，
所以抛物线方程，，
不妨设在第一象限，在第二象限，则，
，设，
，设，
所以，所以，①正确.
到抛物线准线的距离为，结合抛物线的定义可知，的最小值是，②正确.
到直线的距离为，所以，③错误.
，






，④正确.
所以正确的有个.
故选：C
【点睛】求解直线和抛物线相交所得交点有关的问题，关键是联立直线的方程和抛物线的方程，写出根与系数关系，结合根与系数关系，设而不求来对问题进行求解.

二、多选题
9．下列说法中，正确的有（    ）
A．过点并且倾斜角为90°的直线方程为
B．直线的纵截距是
C．直线的倾斜角为60°
D．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为
【答案】AB
【分析】对于A，由倾斜角与斜率之间关系，可得答案；
对于B，由斜截式方程的定义，可得答案；
对于C，由一般式方程转化成斜截式方程，结合倾斜角与斜率的关系，可得答案；
对于D，由直线方程，求得所过的顶点，由此作图，可得答案.
【解析】对于A，由倾斜角为，则直线斜率不存在，即垂直于轴，故方程为，则A正确；
对于B，由斜截式方程，易知直线纵截距为，故B正确；
对于C，由一般式方程，可得斜截式方程，设该直线的倾斜角为，则，故，故C错误；
对于D，由一般式方程，则斜截式方程，易知直线过顶点，可作下图：

则直线的斜率，直线的斜率，
故，则D错误.
故选：AB.
10．已知，是圆O：上两点，则下列结论正确的是（    ）
A．若，则
B．若点到直线的距离为，则
C．若，则的最小值为
D．若，则的最大值为
【答案】AD
【分析】由题意，可判断得为正三角形，即可得，判断A；根据几何法求解弦长即可判断B，将的值转化为单位圆上的到直线的距离之和，取中点，从而转化为点到直线的距离的倍求解，数形结合可判断得在以点为圆心，半径为的圆上，从而求解出点到直线的距离的最值，即可得到直线的距离之和的最值，从而得的最值.
【解析】因为，是圆O：上两点，
当时，为正三角形，所以，A正确；
点到直线的距离为时，，B错误；
的值可转化为单位圆上的到直线
的距离之和，又，
所以为等腰三角形，设是的中点，
则，且，
则在以点为圆心，半径为的圆上，
两点到直线的距离之和为
点到直线的距离的倍，
点到直线的距离为，
所以点到直线的距离的最大值为，
最小值为，则两点到直线的距离之和
最大值为，最小值为.
所以的最大值为，
最小值为，C错误，D正确；
故选：AD

【点睛】方法点睛：对于圆上任意一点到直线距离的最值计算，需要先计算圆心到直线的距离，从而可求解距离的最大值为，最小值为.
11．已知为坐标原点，，是抛物线上的一点，为其焦点，若与双曲线的右焦点重合，则下列说法正确的有（    ）
A．若，则点的横坐标为 B．该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为
C．若外接圆与抛物线的准线相切，则该圆面积为 D．周长的最小值为
【答案】ACD
【分析】由双曲线方程可确定焦点坐标，进而得到抛物线方程；利用抛物线焦半径公式可求得A正确；将准线方程与双曲线方程联立可得交点纵坐标，由此可得线段长度，知B错误；根据外心的横坐标为且圆与准线相切可得圆的半径，由此可知C正确；结合抛物线定义可知，由此可求得周长的最小值，知D正确.
【解析】由双曲线方程知：，抛物线，
对于A，设，则，解得：，A正确；
对于B，抛物线准线方程为：，由得：，
准线被双曲线截得的线段长度为，B错误；
对于C，外接圆圆心在线段的中垂线上，则其横坐标为，
又该圆与抛物线准线相切，该圆的半径，
该圆的面积，C正确；
对于D，设和在准线上的投影分别为，

由抛物线定义知：，
则（当且仅当三点共线时取等号，此时重合），
又，，
周长的最小值为，D正确.
故选：ACD.
12．如图，在棱长为的正方体中，点是平面内一个动点，且满足，则下列正确的是（    ）
（参考数据：，）

A．
B．点的轨迹是一个圆
C．直线与平面所成角为53°
D．设直线与直线所成角为，则
【答案】ABD
【分析】本题很复杂，先要求出直线与平面的交点，判断其位置，利用点P到D与的距离之和为常数，计算出点P的运动轨迹，再进行分析.
【解析】
如上图，建立直角坐标系，各点坐标如下：
，
，， ，
则有： ， ， 平面 ；
∵平面 ， ，故A正确；
设与平面的交点为O，并设，由于O在上，设，
得 ， ，
由空间向量基本定理可知： ，
得方程： 解得： ，
故 ， ，
， ，将平面 的直观图分离出来如下：

依题意： ， ， ，
∴ ，解得 ，故P点的轨迹是以O为圆心，半径为4的圆，
故B正确；
与平面的夹角就是，，故C错误；
由于 , 与 的夹角就是与 的夹角，
由于 ，取的中点M，则，，
∴， ， ，即点O是 的重心，
是等边三角形，其边长为  ，
∴以O为原点，为x轴，过O点垂直于的直线为y轴，建立坐标系如下图：

各点坐标为： ，
，
，设 与 的夹角为 ，
则 ， ，
，即 ；
故D正确.
故选：ABD.

三、填空题
13．如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成和角，过点作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线上时，则直线AB的方程是________.

【答案】
【分析】由题意求出直线的方程，设得到AB的中点的坐标，由A，P，B三点共线求出，得到直线的斜率，再利用直线的点斜式方程可得答案.
【解析】由题意可得，
，
所以直线，
设，
所以AB的中点C.
由点C在直线上，且A，P，B三点共线得

解得，所以,
又，所以＝，
所以 ，
即直线AB的方程为.
14．已知点P在双曲线上，若P，Q两点关于原点O对称，直线与圆相切于点M且，其中，分别为双曲线C的左、右焦点，则的面积为______．
【答案】12
【分析】利用双曲线的对称性有的面积等于的面积，根据圆的切线、向量线性关系、中位线性质得，令，，由双曲线定义列方程求，即可求面积.
【解析】如图，连接，
因为P，Q两点关于原点O对称，
所以的面积等于的面积．
直线与圆相切于点M，则．
因为，
所以M为的中点，又O为的中点，
所以，则．
由双曲线得：，．
，，则．
因为，所以，
所以，
所以，故的面积等于，即的面积为12．
故答案为：12.

15．在棱长为1的正方体中，已知点P是正方形内部（不含边界）的一个动点，若直线与平面所成角的正弦值和异面直线与所成角的余弦值相等，则线段长度的最小值是___________．
【答案】
【分析】以为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，设直线与平面所成角为和异面直线与所成角为，利用向量的夹角公式，结合二次函数的最值求法即可求解．
【解析】解：如图，以为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，

设，由，，，
，，，
设直线与平面所成角为和异面直线与所成角为，
可得，
，，
由，可得，
则，
当时，线段长度的最小值为．
故答案为：．
16．如图，经过坐标原点O且互相垂直的两条直线AC和BD与圆相交于A，C，B，D四点，M为弦AB的中点，有下列结论：
①弦AC长度的最小值为；
②线段BO长度的最大值为；
③点M的轨迹是一个圆；
④四边形ABCD面积的取值范围为．

其中所有正确结论的序号为______．
【答案】①③④
【分析】根据方程写出已知圆的圆心和半径，由圆的性质判断①；由BO长度表示圆上点到原点的距离，即可判断②；若分别是的中点，圆心到直线的距离且，易证为矩形且其中心、对角线长度恒定，即可确定M的轨迹判断③；根据得到四边形ABCD面积关于的表达式，结合二次函数性质求范围，判断④.
【解析】由题设，则圆心，半径，
由圆的性质知：当圆心与直线距离最大为时AC长度的最小，
此时，①正确；
BO长度最大，则圆心与共线且在它们中间，此时，②错误；
若分别是的中点，则且，且，
又，易知：为矩形，而，
若圆心到直线的距离且，
所以，则，故，
所以在以为直径，交点为圆心的圆上，③正确；

由上分析：，，而，
所以，
令，则，
当，即时，；
当或5，即或时，；
所以，④正确；
故答案为：①③④
【点睛】关键点点睛：③证明分别是的中点所成四边形为矩形且对角线长度及中心恒定，判断轨迹形状；④利用得到关于的表达式，结合函数思想求范围.

四、解答题
17．如图，已知长方体＝＝1，直线BD与平面所成的角为30°，AE垂直BD于E，F为的中点．

(1)求异面直线AE与BF所成的角的余弦；
(2)求点A到平面BDF的距离．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用空间向量求异面直线夹角，根据，运算求解；（2）利用空间向量求点到面的距离，根据，运算求解．
（1）
在长方体中，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系如图．
由已知AB＝＝1，
可得A（0，0，0）、B（2，0，0）、F（1，0，1）．
又AD⊥平面从而BD与平面所成的角即为∠DBA＝30°，
又AB＝2，AE⊥BD，AE＝1，AD＝
从而易得
∵＝＝（－1，0，1）．
设异面直线AE与BF所成的角为，
则．
即异面直线AE、BF所成的角的余弦为

（2）
设＝（x，y，z）是平面BDF的一个法向量．
＝，＝（－1，0，1），＝（2，0，0）．
由 ∴ ，即
取＝
所以点A到平面BDF的距离
18．已知的顶点，边上的高所在直线为：，边上的中线所在直线为：，为的中点.
(1)求点的坐标；
(2)求过点且在轴和轴上的截距相等的直线的方程.
【答案】(1)
(2)或

【分析】（1）由题意可得，由直线的方程可得它的斜率，可得直线的斜率，可得直线的方程，因为是和的中线的交点，联立两条直线求出点的坐标，进而求出，的中点的坐标；
（2）分直线过原点和不过原点两种情况讨论，设直线的方程，将的坐标代入求出参数的值，进而求出直线的方程.
（1）
解：因为，而直线：的斜率为，
所以直线的斜率为，即直线的方程为：，
即，
所以点在直线与边上的中线的交点，
，解得，，
所以顶点的坐标，
而为线段的中点，所以，
即的坐标；
（2）
解：当直线经过原点时，设直线的方程为，
将的坐标代入可得，解得，
这时直线的方程为；
当直线不过原点时，设直线的方程为，
将代入可得，
解得，
这时直线的方程为，
综上所述：直线的方程为或.
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2-4x=0及点A（-1，0），B（1，2）．

(1)若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，且MN=AB，求直线l的方程；
(2)圆C上是否存在点P，使得PA2+PB2=12?若存在，求点P的个数；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)x-y=0或x-y-4=0
(2)存在，点P的个数为2

【分析】（1）根据l∥AB，可得直线l的斜率为1，设直线l的方程为x-y+m=0，根据圆的弦长公式，结合题意，即可求得m值，即可得答案.
（2）设P（x，y），则，根据题意，化简可得x2+（y-1）2=4，根据圆心距可得两圆的位置关系，即可得答案.
（1）
圆C的标准方程为，所以圆心C（2，0），半径为2．
因为l∥AB，且A（-1，0），B（1，2），
所以直线l的斜率为．
设直线l的方程为x-y+m=0，
则圆心C到直线l的距离为．
因为，
而，所以，
解得m=0或m=-4，
所以直线l的方程为x-y=0或x-y-4=0．

（2）
假设圆C上存在点P，设P（x，y），则，
所以PA2+PB2=，
整理得x2+y2-2y-3=0，即x2+（y-1）2=4．
因为，
所以圆（x-2）2+y2=4与圆x2+（y-1）2=4相交，
所以点P的个数为2．
20．已知椭圆的对称中心为原点，焦点在轴上，左、右焦点分别为，，且，点在该椭圆上．
(1)求椭圆的方程；
(2)过的直线与椭圆相交于，两点，若的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆的方程．
【答案】(1)；
(2).

【分析】（1）依题意可得，从而得到，的坐标，再根据椭圆的定义求出，最后求出，即可得到椭圆方程；
（2）分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，当斜率存在时设直线的方程为，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式表示出，再利用点到直线的距离公式得到圆的半径，最后根据的面积得到方程，即可求出，从而求出圆的方程.
（1）
解：由题意知，所以，，
所以，由椭圆定义知：，
则，，
故椭圆的方程为．
（2）
解：①当直线轴时，令，可得，解得，
可取，，此时的面积，与题设矛盾，舍去．
②当直线与轴不垂直时，
设直线的方程为，代入椭圆方程得，
成立，
设，，则，，
可得．
又圆的半径，
∴的面积为，
化简得，解得，
∴，
∴圆的方程为．
21．如图①所示，长方形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥．

(1)求四棱锥的体积的最大值；
(2)若棱的中点为，求的长；
(3)设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)

【分析】（1）作出辅助线，得到当平面⊥平面时，P点到平面ABCM的距离最大，四棱锥的体积取得最大值，求出，从而得到体积最大值；（2）作出辅助线，证明出四边形CNQM为平行四边形，从而得到；（3）作出辅助线，得到∠PGD为的平面角，即，建立空间直角坐标系，用含的关系式表达出平面PAM和平面PBC的法向量，利用空间向量夹角余弦公式得到，结合的取值范围求出余弦值的最小值
（1）
取AM的中点G，连接PG，
因为PA=PM，则PG⊥AM，
当平面⊥平面时，P点到平面ABCM的距离最大，
四棱锥的体积取得最大值，
此时PG⊥平面，且，
底面为梯形，面积为，
则四棱锥的体积最大值为

（2）
取AP中点Q，连接NQ，MQ，
则因为N为PB中点，所以NQ为△PAB的中位线，
所以NQ∥AB且，
因为M为CD的中点，四边形ABCD为矩形，
所以CM∥AB且，
所以CM∥NQ且CM=NQ，
故四边形CNQM为平行四边形，
所以.

（3）
连接DG，
因为DA=DM，所以DG⊥AM，
所以∠PGD为的平面角，即，
过点D作DZ⊥平面ABCD，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DZ所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
过P作PH⊥DG于点H，由题意得PH⊥平面ABCM，
设，
因为，所以，

所以，
所以，
所以，
设平面PAM的法向量为，
则，
令，则，
设平面PBC的法向量为，
因为，
则
令，可得：，
设两平面夹角为，
则

令，，所以，
所以，所以当时，有最小值，
所以平面和平面夹角余弦值的最小值为
【点睛】求解二面角的大小或最值，利用空间向量求解，可以将几何问题转化为代数问题，简洁明了，事半功倍.
22．如图，设抛物线的焦点为F，圆与y轴的正半轴的交点为A，为等边三角形.

(1)求抛物线C的方程；
(2)设抛物线C上的点处的切线与圆E交于M，N两点，问在圆E上是否存在点Q，使得直线，均为抛物线C的切线，若存在，求Q点坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在圆上一点，满足，均为抛物线C的切线，理由见解析
【分析】（1）由等边三角形及抛物线的几何性质，得，即可求出抛物线方程；
（2）先求出点坐标及切线，记，
设，，过点M，N作抛物线C的两条切线（异于直线）交于点Q，
并设切线，，
设过点M的直线与抛物线C相切，则切线有两条，对应，
通过联立该直线与抛物线的方程，消得到方程，即可利用韦达定理得到，同理可得，
则可联立，，消y得，，
将、代入，可得，
，的值可由联立与圆方程，通过韦达定理求得，故求出定点Q，最后把Q代入圆方程验证即可
(1)
由题，易知点，又为等边三角形，所以，所以，所以抛物线.
(2)

设，，过点M，N作抛物线C的两条切线（异于直线）交于点Q，并设切线，，
当，代入抛物线可得，即，
设过抛物线C上点的切线方程为，与抛物线联立消去得：，由解得，
故该切线方程为，即，记，
设过点M的直线与抛物线C相切，代入抛物线方程，得，
，即，
由韦达定理得，，
所以，故，同理可得，，
所以切线，，
联立两式消去y可得，，①
代入可得，代入得，②
联立与圆E可得，，
所以，.
分别代入①、②可得，，
，即切线，的交点Q在圆E上，
所以存在圆上一点，满足，均为抛物线C的切线.
【点睛】直线与曲线相切，通常联立方程，利用即可求解；
当切线有两条时，的方程会有两个解，此时可利用韦达定理进一步分析求解。