2022-2023学年浙江省高二数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（人教A版）期中测试题03 （解析版）

2022-2023学年高二数学上学期期中测试卷03

一、单选题

1．过点A（1，2）的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ）

A．x-y+1=0 B．x+y-3＝0 C．y＝2x或x+y-3＝0 D．y＝2x或x-y+1＝0

【答案】D

【分析】考虑直线是否过坐标原点，设出直线方程，分别求解出直线方程.

【解析】当直线过原点时，其斜率为，故直线方程为y＝2x；

当直线不过原点时，设直线方程为，代入点（1，2）可得，解得a＝－1，故直线方程为x-y+1＝0.

综上，可知所求直线方程为y＝2x或x-y+1＝0，

故选：D.

【点睛】本题主要考查直线方程的截距式以及分类讨论思想的应用，考查逻辑推理和数学运算.在利用直线方程的截距式解题时，一定要注意讨论直线的截距是否为零.

2．已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为2，则（    ）

A．1

B．2

C．4

D．6

【答案】C

【分析】根据抛物线的标准方程，得到准线方程与焦点坐标，根据抛物线的定义，可列方程，得到答案.

【解析】由，可得其焦点，准线方程为，

因为点到该抛物线焦点的距离为2，所以点到抛物线准线的距离为，

则，解得，

故选：C.

3．如图，三棱锥中，，分别是，的中点，设，，，用，，表示，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】结合向量线性运算即可求得

【解析】，分别是，的中点，.

故选：D.

4．中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界上首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由椭圆的性质判断A；由结合不等式的性质判断BCD.

【解析】，，即，因为，所以，即，故A错误；

∵，∴，，

，，∴，故B错误；

由B可知，，，则，故C错误；

由B可知，，则，故D正确；

故选：D

5．已知圆，若存在过点的直线与圆C相交于不同两点A，B，且，则实数a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据圆的割线定理，结合圆的性质进行求解即可.

【解析】圆的圆心坐标为：，半径，

由圆的割线定理可知：，显然有，或，

因为，所以，

于是有，

因为，

所以，而，或，

所以，

故选：D

6．广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”整个图形是一个圆形区域．其中黑色阴影区域在y轴左侧部分的边界为一个半圆．已知符号函数，则当时，下列不等式能表示图中阴影部分的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据题意，结合符号函数，讨论时排除A，讨论时排除BD，进而得答案.

【解析】解：对于A选项，当时，，即表示圆内部及边界，显然不满足，故错误；

对于C选项，当时，，即表示圆外部及边界，满足；

当时，，即表示圆的内部及边界，满足，故正确；

对于B选项，当时，，即表示圆内部及边界，显然不满足，故错误；

对于D选项，当时，，即表示圆外部及边界，显然不满足，故错误；

故选：C

7．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为A，B，点M为椭圆C上不与A，B重合的任意一点，直线AM与直线交于点D，过点B，D分别作BP⊥直线，DQ⊥直线，垂足分别为P，Q，则使成立的点M（    ）

A．有一个 B．有两个 C．有无数个 D．不存在

【答案】D

【分析】由题意，直线的斜率存在且不为0，设,则，的中点为，设，联立消去，求出用k表示，分和两种情况，分别证明即可，从而即可求解.

【解析】解：由题意，直线的斜率存在且不为0，设，则,的中点，

联立，消去整理得，

设，由韦达定理得，解得，

故有， 又，

当时，，，此时轴，

所以四边形为矩形，所以，

所以；

当时，因为，，

所以直线，即，

所以点到直线的距离， 而，即，

所以以为直径的圆与直线相切，

因为四边形为直角梯形，的中点为，

所以.

综上，.

所以不存在使成立的点M，

故选：D.

8．如图，已知矩形的对角线交于点，将沿翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】建立空间直角坐标系，表示出翻折后的位置，利用向量垂直，数量积为零，找出关系式，进而求得，再利用极限位置求得a的最小值，即可求得答案。

【解析】如图示,设处为沿翻折后的位置，

以D为坐标原点，DA,DC分别为x,y轴，过点D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，

则 ，设 ，

由于 ,故 ，

而 ，

由于 ,故，则，

即 ；

又由在翻折过程中存在某个位置，便得，不妨假设,

则，即 ，

即 ，

当将翻折到如图位置时，位于平面ABCD内，

不妨假设此时 ，设垂足为G,

作 AD的延长线，垂足为F,此时在x轴负半轴上方向上，DF的长最大，a取最小值，

由于，故 ,

所以 ,而,

故，又 ,

故 为正三角形，则,

而 ,故 ,则 ，

故， ，则 ，

故的取值范围是 ，

故选：A

【点睛】本题考查了空间的垂直关系，综合性较强，解答时要充分发挥空间想象力，明确空间的点线面的位置关系，解答时涉及到空间坐标系的建立以及空间向量的应用，还要注意极限位置的利用，有较大难度.

二、多选题

9．下列结论正确的是（    ）

A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件

B．已知，O为坐标原点，点是圆外一点，直线的方程是，则与圆相交

C．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为

D．直线的倾斜角的取值范围是

【答案】BD

【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率、直线的方程，直线与圆的位置关系，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．

【解析】解：对于A，由直线与直线互相垂直，

，化为，解得或，

“”是“直线与直线互相垂直”的充分但不必要条件，故A错误；

对于B，因为点是圆外一点，所以，所以圆心到直线的距离，可得与圆相交，故B正确；

对于C，已知直线和以，为端点的线段相交，则、两个点在直线的两侧或直线上，

则有，解可得或，故C错误；

对于D，设直线的倾斜角，则,，

故的取值范围是，故D正确.

故选：BD.

10．下列方程的图形为抛物线的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】利用方程表示的几何意义并结合抛物线定义判断A，B，C，利用方程直接判断D作答.

【解析】对于A，方程化为表示点到定点的距离与到定直线的距离相等，

且定点不在定直线上，原方程表示的图形是抛物线，A是；

对于B，方程表示点到定点的距离与到定直线的距离相等，

而定点在定直线上，原方程表示的图形不是抛物线，B不是；

对于C，方程表示点到定点的距离与到定直线的距离相等，

且定点不在定直线上，原方程表示的图形是抛物线，C是；

对于D，方程化为，方程表示的图形是抛物线，D是.

故选：ACD

11．已知在直三棱柱中，底面是一个等腰直角三角形，且分别为的中点.则（    ）

A．与平面夹角余弦值为

B．与所成角为

C．平面

D．平面平面

【答案】BCD

【分析】对于A、B：建系，利用空间向量处理相关角度问题；对于C：根据线面平行的判定定理证明；对于D：利用线面垂直的判定定理先证平面，可得，再证平面，进而说明结果.

【解析】对于A、B：如图1，建立空间之间坐标系，设，则有：

∴

设平面的法向量为

则有，令，则

∴

则

∴与平面夹角的正弦值为，则余弦值为，A错误；

∵

∴与所成角的余弦值为，则夹角为，B正确；

如图2：

对于C：连接，设，连接

分别为的中点，则且

∴为平行四边形，则O为的中点

又∵F为的中点，则

平面，平面

∴平面，C正确；

对于D：平面即为平面

由题意可得：

，平面

∴平面

平面，则

又∵为正方形，则

，平面

平面

平面

∴平面平面，即平面平面，D正确；

故选：BCD.

12．已知的左，右焦点分别为，，长轴长为4，点在椭圆C外，点Q在椭圆C上，则下列说法中正确的有（    ）

A．椭圆C的离心率的取值范围是

B．已知，当椭圆C的离心率为时，的最大值为3

C．存在点Q使得

D．的最小值为1

【答案】ACD

【分析】易得，再根据点在椭圆C外，可得，从而可求得的范围，再根据离心率公式即可判断A；根据离心率求出椭圆方程，设点，根据两点的距离公式结合椭圆的有界性即可判断B；当点Q位于椭圆的上下顶点时取得最大值，结合余弦定理判断是否大于等于即可判断C；根据结合基本不等式即可判断D.

【解析】解：根据题意可知，

则椭圆方程为，

因为点在椭圆C外，

所以，所以，

所以，

则离心率，故A正确；

对于B，当椭圆C的离心率为时，，

所以，

所以椭圆方程为，

设点，

则，

当时，，故B错误；

对于C，当点Q位于椭圆的上下顶点时取得最大值，

此时，

，

即当点Q位于椭圆的上下顶点时为钝角，

所以存在点Q使得为直角，

所以存在点Q使得，故C正确；

对于D，，

则

，

当且仅当，即时，取等号，

所以的最小值为1，故D正确.

故选：ACD.

三、填空题

13．若焦点在x轴上的椭圆的焦距为4，则___________．

【答案】4

【分析】根据椭圆中基本量的关系得到关于m的方程，解方程得到m的值.

【解析】因为椭圆的焦点在x轴上且焦距为4，

所以，

解得.

故答案为：4.

14．已知实数x，y满足直线l的方程，则的最小值为______．

【答案】

【分析】将问题转化求点到直线l：上点的距离最小值，即可得结果.

【解析】由题意，表示点到直线l：上点的距离，

所以其最小值为.

故答案为：

15．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过F2且斜率为的直线与双曲线C的左支交于点A．若，则双曲线C的渐近线方程为 __．

【答案】

【分析】由已知可得，由过F2的直线斜率为，可得，进而由余弦定理可得c＝3a，可求双曲线C的渐近线方程．

【解析】由，得，

所以，故

由双曲线的定义知，，

因为直线的斜率为，所以，

即，结合，

因为，

可得，

由余弦定理得：，解得：c＝3a，

因为，所以，即，

可得，

∴双曲线C的渐近线方程为．

故答案为：．

16．空间向量，，，，，，且，，若点P满足，且，，，，则动点P的轨迹所形成的空间区域的体积为__________.

【答案】

【解析】先分析若，，，时，点在图中的点，

由，，，可得，，，可以得出点在三棱锥内，计算三棱锥的体积即可求解.

【解析】因为，，，，

当，，时，点在图中的点，

因为，当，时，

同理，，

，，，

由知点在内，

而，，，，

所以点在三棱锥内，

且，，，

过作平面的垂线，垂足为，

由三余弦定理可得：，即，

所以，所以，

，

所以三棱锥的体积为，

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是由可得是以为邻边所成的平行六面体的体对角线，关键点是分析出，，，得出点在三棱锥内.

四、解答题

17．已知向量，，.

(1)当时，若向量与垂直，求实数x和k的值；

(2)当时，求证：向量与向量，共面.

【答案】(1)；；

(2)证明见解析.

【分析】（1）根据可求得，再根据垂直的数量积为0求解即可.

（2）设，根据条件可得，根据共面向量定理即得.

（1）

因为,

所以，

解得，

因为，向量与垂直，

所以，

∴，

∴；

所以实数和的值分别为和；

（2）

当时，，

设（），

则，

，解得，

即，

所以向量与向量，共面.

18．已知点，圆：．

(1)判断点与圆的位置关系，并加以证明；

(2)当时，经过点的直线与圆相切，求直线的方程；

(3)若经过点的直线与圆交于、两点，且点为的中点，求点横坐标的取值范围．

【答案】(1)点在圆外．

(2)或

(3)

【分析】（1）把点的坐标代入圆的方程的左边计算结果大于4知点在圆外；

（2）分类讨论斜率是否存在时，利用圆心到直线的距离等于其半径求出切线方程；

（3）由经过点的直线与圆交于、两点，且点为的中点，得到，代入可求的范围．

（1）

把点的坐标代入圆的方程的左边计算，

，

所以点在圆外．

（2）

当时，点的坐标为，

由圆．知圆心为，，

①当直线的斜率不存在，方程为，圆以到直线的距离为2，

所以是圆的切线；

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，

由题意有，解得，

所以直线的方程为，即，

综上所述，过点与圆相切的直线方程为或

（3）

若存在经过点的直线与圆交于、两点，且点为的中点，

由圆的半径为2，所以，

则有，，当为直径时，有最大值6，

所以有，

解得，

所以横坐标的取值范围为．

19．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知圆的圆心坐标为，其中且，轴､轴被圆截得的弦分别为，.

(1)求证：的面积为定值，并求出这个定值；

(2)设直线与圆交于，两点，若，求圆的标准方程.

【答案】(1)证明见解析，定值为4

(2)

【分析】(1)由题意可知圆C必定是经过原点的，算出点A和B的坐标即可；

(2)考虑圆C过原点的几何关系，判断所得解的合理性，即可算出圆的方程.

(1)

依题意作图如下：

由题可知为中点，

因为点的坐标为，

由题意可知圆C必定经过原点，即圆的方程为：，

 所以，

所以，

所以的面积为定值，该定值为4；

(2)

因为， 是等腰三角形，圆C是其外接圆，

所以线段的中垂线经过点与点，

直线的方程，所以，所以或1，

当时，点的坐标为，圆的半径，

所以圆心到直线的距离为：

，

即直线与圆相离，故 不符合题意，舍去；

当时，点的坐标为，圆的半径，

所以圆心到直线的距离为，

所以直线与圆相交，故符合题意，

此时圆的标准方程为；

综上， 的面积为4，圆的标准方程为.

20．已知 ， 如图， 曲线 由曲线 和曲线 组成，其中点 为曲线 所在圆雉曲线的焦点， 点 ， 为曲线 所在圆雉曲线的焦点

(1)若 ， 求曲线 的方程;

(2)如图， 作斜率为正数的直线 平行于曲线 的渐近线， 交曲线 于点 ， 求弦 的中点 的轨迹方程；

【答案】(1)和

(2)，

【分析】（1）依题意可得，即可求出、，从而求出曲线方程；

（2）设直线，，，，联立直线与椭圆方程，消元，根据及结合图象得到，再利用韦达定理得到，即可得解；

（1）

解：因为，，所以，解得，

所以曲线的方程为和；

（2）

解：曲线的渐近线为，设直线

则

又由数形结合知，所以

设点，，，

则

所以，，

所以，即点的轨迹为，；

21．正方形ABCD中，，点O为正方形内一个动点，且，设

(1)当时，求的值；

(2)若P为平面ABCD外一点，满足，记，求的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）构建平面直角坐标系得到，坐标，进而写出、坐标，应用向量模长的坐标表示求目标式的值.

（2）以A为原点构建空间直角坐标系，确定的坐标，利用向量夹角的坐标表示得到，结合换元法及三角函数、二次函数性质求范围.

(1)

构建如下图示的平面直角坐标系，则，，

当，则，故，，

所以，，

则.

(2)

由题设，构建如下图示的空间直角坐标系，

所以且，

则，

所以，

令，则，可得，

若，则，此时在上递增，

所以.

【点睛】关键点点睛：构建坐标系，利用坐标表示相关向量，由向量模长、夹角的坐标表示求值、得到，结合相关函数的性质求范围.

22．已知椭圆过点，、分别为椭圆C的左、右焦点，且.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过P点的直线与椭圆C有且只有一个公共点，直线平行于OP（O为原点），且与椭圆C交于A、B两点，与直线交于点M（M介于A、B两点之间）.

（i）当面积最大时，求的方程；

（ii）求证：.

【答案】（1）；（2）（i）；（ii）证明见解析.

【分析】（1）根据条件求出，即可写出椭圆方程；

（2）（i）设直线的方程为，联立椭圆方程，表示出，可求出最大时的值，即可得出的方程；

（ii）要证明结论，只需证明，即证直线为的平分线，转化成证明：.

【解析】（1）设，，则，，

， ，

又在椭圆上，故，

又，解得，，

故所求椭圆的方程为.

（2）（i）由于，设的方程为，，，

由，消去整理得，

由韦达定理可得：，

则

，

又点到的距离，

所以.

当且仅当，即时，等号成立.

又介于、两点之间，故.

故直线的方程为：.

（ii）要证结论成立，只须证明，

由角平分线性质即证：直线为的平分线，

转化成证明：.

由于

因此结论成立.

【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查弦长公式，考查点到直线的距离公式，考查椭圆中三角形面积利用基本不等式求最值问题，考查了学生的逻辑推理能力与运算能力，属于难题.