2022-2023学年浙江省高二数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（人教A版）期中测试题02 （解析版）

2022-2023学年高二数学上学期期中测试卷02

一、单选题

1．已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由渐近线判断与的关系，进而得到与的关系，从而得到离心率.

【解析】由双曲线方程得知：双曲线的焦点在轴上，由渐近线方程知：

即：，即：，又，∴，

，∴.

故选：B.

2．关于空间向量，以下说法不正确的是（        ）

A．若两个不同平面α，β的法向量分别是，且，则

B．若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则直线l//α

C．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面

D．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线

【答案】B

【分析】由面面垂直的向量表示可判断A；由线面平行的向量表示可判断B；根据向量共线定理，可判断C；由空间向量基底的表示可判断D.

【解析】对于A，，所以，A正确；

对于B， ，所以，B错误

对于C，对空间中任意一点O，有，满足，则P，A，B，C四点共面，可知C正确；

对于D，两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线，所以D正确.

故选：B.

3．若直线与圆所截得的弦长为，则实数为（    ）．

A．或 B．1或3 C．3或6 D．0或4

【答案】D

【分析】根据直线与圆的位置关系，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，利用垂径定理即可求解.

【解析】解：圆的圆心坐标为，半径为2，

圆心到直线的距离为，

又直线被圆所截的弦长为，

故，即，解得或.

故选：D.

4．已知直线斜率为，且，那么倾斜角的取值范围是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由，得到，结合正切函数的性质，即可求解．

【解析】由题意，直线的倾斜角为，则，

因为，即，

结合正切函数的性质，可得．

故选：B．

5．若圆与圆恰有2条公切线，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由两圆相交可得参数范围．

【解析】因为圆与圆恰有2条公切线，所以

解得

故选：B．

6．已知的三个顶点都在抛物线上，且F为抛物线的焦点，若，则（    ）

A．12 B．10 C．9 D．6

【答案】C

【分析】设A，B，C的纵坐标分别是，由，得三点纵坐标之和，再结合抛物线的定义即可求出的值.

【解析】由，得.设A，B，C的纵坐标分别是，由，有，即.

由抛物线的定义可得:.

故选：C

7．已知椭圆，P是椭圆C上的点，是椭圆C的左右焦点，若恒成立，则椭圆C的离心率e的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设出点坐标后将用坐标表示，结合在椭圆上，将点坐标代入椭圆方程，二者联立后化简即可得出离心率的取值范围.

【解析】设，

在椭圆上，，

，两边都乘以化简后得：，，

，又因为椭圆离心率，.

故选：A.

【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：

①求出a，c，代入公式；

②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．

8．在正四面体（所有棱长均相等的三棱锥）中，点在棱上，满足，点为线段上的动点.设直线与平面所成的角为，则（    ）

A．存在某个位置，使得 B．存在某个位置，使得

C．存在某个位置，使得平面平面 D．存在某个位置，使得

【答案】C

【分析】设正四面体的底面中心为点，连接，则平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，设正四面体的棱长为，然后利用空间向量法逐一分析求解可得结果.

【解析】如下图所示，设正四面体的底面中心为点，连接，则平面，

以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，

设正四面体的棱长为，

则、、、、，

设，其中，

对于A选项，若存在某个位置使得，，，

，解得，不合乎题意，A选项错误；

对于B选项，若存在某个位置使得，，，

，该方程无解，B选项错误；

对于C选项，设平面的一个法向量为，

，，

由，取，得，

设平面的一个法向量为，

，，

由，取，则，

若存在某个位置，使得平面平面，则，解得，合乎题意，C选项正确；

对于D选项，设平面的一个法向量为，

，，

由，令，则，

若存在某个位置，使得，即，

整理得，，该方程无解，D选项错误.

故选：C.

【点评】本题考查利用空间向量法求解空间角以及利用空间向量法处理动点问题，计算量大，属于难题.

二、多选题

9．下列说法中，正确的是（    ）

A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是8

B．过两点的直线方程为

C．过点且与直线相互平行的直线方程是

D．经过点且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为

【答案】AC

【分析】由题意逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．

【解析】对A，直线x﹣y﹣4＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是×4×4＝8，故A正确；

对B，当x2＝x1或y2＝y1时，式子＝无意义，故B不正确；

对C，与直线平行，所求直线设为，将点代入得，所以所求直线为，即，故C正确；

对D，经过点（1，2）且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣3＝0或y＝2x，故D错误，

故选：AC．

10．如图，和所在平面垂直，且，，则（   ）

A．直线AD与直线BC所成角的大小为90°

B．直线AB与直线CD所成角的余弦值为

C．直线AD与平面BCD所成角的大小为45°

D．直线AD与平面BCD所成角的大小为60°

【答案】ABC

【分析】建立适当的空间直角坐标系，再求线线角和线面角即可.

【解析】以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则，，，

所以，，，.

因为，所以，

即直线AD与直线BC所成角的大小为90°，A正确..

因为，

所以直线AB与直线CD所成角的余弦值为，B正确..

设AD与平面BCD所成的角为，因为是平面BCD的一个法向量，

所以，所以，

即直线AD与平面BCD所成角的大小为45°，C正确，D错.

故选：ABC.

11．若椭圆的焦点为，（），长轴长为，则椭圆上的点满足（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】根据椭圆的两个定义可判断AC；根据分母不能为0可判断B；直接化简可判断D.

【解析】由椭圆定义可知，A正确；由椭圆第二定义可知C正确；B中显然，即椭圆上的长轴端点不满足B中方程，故B错误；由两边平方可得，整理得，即，故D正确.

故选：ACD

12．已知双曲线的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，点P是双曲线C右支上异于顶点的一点，则（    ）

A．若双曲线C为等轴双曲线，则直线的斜率与直线的斜率之积为1

B．若双曲线C为等轴双曲线，且，则

C．若P为焦点关于双曲线C的渐近线的对称点，则C的离心率为

D．延长交双曲线右支于点Q，设与的内切圆半径分别为、，则

【答案】ABD

【分析】由点在双曲线上及斜率公式即可判断A选项；设出，表示出，由A选项中斜率之积即可判断B选项；利用点关于直线对称求出点坐标，代入双曲线即可求出离心率，即可判断C选项；先判断出内切圆圆心的横坐标为，再借助勾股定理即可判断D选项.

【解析】由题意知，，设，对于A，若双曲线C为等轴双曲线，则，

则，又，则，A正确；

对于B，设，则，由A选项知，即，

又，，故，解得，即，B正确；

对于C，易得双曲线的渐近线方程为，若P为焦点关于双曲线C的渐近线的对称点，则有，

解得，代入可得，即，

解得，则C的离心率为，C错误；

对于D，设的内切圆与分别切于三点，由切线长定理知，

则，又，可得，

则和重合，即的内切圆圆心的横坐标为，同理可得的内切圆圆心横坐标也为，

则轴，且，作于，则即为切点，作于，则，

，，在中，

可得，即，整理得，D正确.

故选：ABD.

三、填空题

13．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线l与C的左、右支分别交于A，B两点．若，且的面积为面积的4倍，则C的离心率为______．

【答案】

【分析】由条件可得，设，然后由双曲线定义可得，，然后在中由勾股定理可求得，然后在中由勾股定理可得答案.

【解析】因为的面积为面积的4倍，所以，

设，则，

由双曲线定义可得，，

所以，，

在中，由勾股定理可得，即，解得，

所以，，

所以在中，由勾股定理可得，即，

所以可得

故答案为：

14．已知光线从点射出，到轴上的点后，被轴反射到轴上的点，再被轴反射，这时反射光线恰好经过点，则所在直线的方程为_________.

【答案】

【分析】由题意可知直线一定过关于x轴的对称点，且一定过关于y轴的对称点，从而可求出直线的方程，即可得到点坐标，进而得到直线的方程.

【解析】如图，由题设点B在原点O的右侧，直线一定过关于x轴的对称点，且一定过关于y轴的对称点，

所以的方程为，即，

令，则，所以为，

所以的方程为，即，

故答案为：

15．设空间向量是一组单位正交基底，若空间向量满足对任意的的最小值是2，则的最小值是_________．

【答案】

【分析】以方向为轴，垂直于方向为轴建立空间直角坐标系，根据条件求得坐标，由的表达式即可求得最小值.

【解析】以方向为轴建立空间直角坐标系，则，，

设 则，

当时的最小值是，

取 则

又因为是任意值，所以的最小值是.

取 则

又因为是任意值，所以的最小值是.

故答案为：.

16．已知F为抛物线C：的焦点，过点F的直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，抛物线在点A，B处的切线分别为和，若和交于点P，则的最小值为______．

【答案】4

【分析】设直线：，利用韦达定理求得，设，利用判别式求得直线的方程，进而得到的坐标，从而可得，再利用基本不等式即得.

【解析】由题可知，设直线：，

直线:与联立消，得，

设，，则，，

∴，

设，

由，可得，

∴，又，

∴，

∴，即，

同理可得，

所以可得，即，

∴，

∴，当且仅当，即取等号.

故答案为：4.

四、解答题

17．已知几何体ABCDEF中，平面ABCD⊥平面CDEF，四边形ABCD是边长为4的菱形.∠BCD=60°，四边形CDEF是直角梯形，EFCD，ED⊥CD，且EF=ED=2.

(1)求证：AC⊥BE：

(2)求平面ADE与平面BCF所成角的余弦值.

【答案】(1)证明过程见解析

(2)

【分析】（1）作出辅助线，由线线垂直得到线面垂直，进而证明出AC⊥BD；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角的余弦.

（1）

连接BD，

因为四边形ABCD是菱形，

所以AC⊥BD，

因为平面ABCD⊥平面CDEF，交线为CD，ED⊥CD，ED平面CDEF，

所以ED⊥平面ABCD，

因为AC平面ABCD，

所以ED⊥AC，

因为BDED=D，

所以AC⊥平面BDE，

因为BE平面BDE，

所以AC⊥BD

（2）

取BC的中点G，连接DG，BD，

因为∠BCD=60°，四边形ABCD是边长为4的菱形，

所以DG⊥BC，因为AD∥BC，所以DG⊥AD，

以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DG所在直线为y轴，DE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，

则，

设平面BCF的法向量为，

则，解得：，令，

则，

平面ADE的法向量为，

设平面ADE与平面BCF所成角为，显然为锐角，

则

18．已知点，圆C：，l：.

(1)若直线过点M，且被圆C截得的弦长为，求该直线的方程；

(2)设P为已知直线l上的动点，过点P向圆C作一条切线，切点为Q，求的最小值.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）求出圆的圆心到直线的距离，再利用垂径定理计算列方程计算；

（2）由题意可知当最小时，连线与已知直线垂直，求出，再利用计算即可.

(1)

由题意可知圆的圆心到直线的距离为

①当直线斜率不存在时，圆的圆心到直线距离为1，满足题意；

②当直线斜率存在时，设过的直线方程为：，即

由点到直线距离公式列方程得： 解得

综上，过的直线方程为或.

(2)

由题意可知当最小时，连线与已知直线垂直，

由勾股定理知：，

所以的最小值为.

19．若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”．如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：，A1，A2分别为椭圆C1的左，右顶点．椭圆C2以线段A1A2为短轴且与椭圆C1为“相似椭圆”．

(1)求椭圆的方程；

(2)设P为椭圆C2上异于A1，A2的任意一点，过P作PQ⊥x轴，垂足为Q，线段PQ交椭圆C1于点H．求证：

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由，设椭圆的方程为，且，根据两个椭圆“相似椭圆”，求得，即可求解；

（2）不妨设，代入，求得，把代入椭圆，求得，结合，即可求解.

(1)

解：由椭圆的离心率为，

设椭圆的方程为，且，

因为两个椭圆“相似椭圆”，可得，解得，

所以椭圆的方程为.

(2)

证明：不妨设，其中，则，可得，

把代入椭圆，可得，所以，

所以，

所以

所以.

20．如图，四边形ABCD为梯形，，，，点在线段上，且．现将沿翻折到的位置，使得．

(1)证明：；

(2)点是线段上的一点（不包含端点），是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，则求出；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)证明见解析

(2)存在，

【分析】（1）利用线面垂直的判定定理及性质定理即可证得；

（2）利用线面垂直的判定定理证得平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的方法即可求解.

(1)

证明：因为四边形ABCD为梯形．，，，

所以，，，，，，

即，，

在中，过P作，垂足为F，连接BF．

在中，，，所以．

在中，，，，

由余弦定理得，

所以，所以，所以，即．

又，平面BFP，所以平面．

又 平面，所以．

(2)

在△FCE中，，，，，．

又，，平面，平面．

又平面，．

又，，平面，平面．

以B为原点，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，

所以，，，．

设，

则．

设平面的一个法向量为，

则，即，令，则．

设平面的一个法向量为，

则，即

令，则．

因为二面角的余弦值为，

所以，解得或（舍），

所以存在点M，使得二面角的余弦值为，此时．

21．已知M，N为椭圆和双曲线的公共顶点，，分别为和的离心率．

(1)若．

（ⅰ）求的渐近线方程；

（ⅱ）过点的直线l交的右支于A，B两点，直线MA，MB与直线相交于，两点，记A，B，，的坐标分别为，，，，求证：；

(2)从上的动点引的两条切线，经过两个切点的直线与的两条渐近线围成三角形的面积为S，试判断S是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析

(2)是定值，

【分析】（1）（ⅰ）根据椭圆和双曲线的离心率公式求得，即可求出双曲线的渐近线方程；

（ⅱ）直线AB的方程为，与双曲线方程联立，利用韦达定理求得，从而可求出，再根据直线的方程可求出，从而可求得，整理即可得证；

（2）设两个切点，，直线的方程为，与椭圆方程联立，根据求出，同理可求得直线的斜率，求出直线的方程，然后可求出直线与两条渐近线的交点坐标，计算整理即可得出结论.

（1）

解：由题意得，，

所以，

又，解得，

（ⅰ）故双曲线的渐近线方程为，

（ⅱ）设直线AB的方程为，

则消元得，，，

且，所以，故，

又直线的方程为，

所以，同理，

所以

，

故；

（2）

解：设两个切点，，由题意知，斜率存在，

直线的方程为，

联立由得，所以，

同理直线方程为，

由，过P点可得可得直线的方程为，

不妨设，直线与双曲线两渐近线交于两点，，

则围成三角形的面积，

因P在双曲线上，，

则为定值.

【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的综合问题，考查了椭圆和双曲线的性质，考查了椭圆和双曲线中的定值问题，及椭圆中三角形的面积问题，计算量很大，对数据分析处理能力要求很高，属于难题.