2023-2024学年高二数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（人教A版2019选择性必修第一册，浙江专用）01（Word版附解析）

这是一份2023-2024学年高二数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（人教A版2019选择性必修第一册，浙江专用）01（Word版附解析），共3页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．抛物线的焦点到准线的距离为
A．4B．2C．1D．
【答案】C
【分析】根据抛物线方程中的几何意义进行求解即可．
【解析】抛物线的焦点到准线的距离为：．
故选：C.
【点睛】本题考查对抛物线方程及对的几何意义的理解，属于基础题．
2．圆的方程为，则该圆的圆心和半径分别为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】将圆的一般方程化简为标准方程，根据标准方程性质即可得出答案.
【解析】将圆的一般方程化为标准方程，由圆的标准方程可知圆的圆心为，半径为.
故选:C
3．已知空间的一组基底，若与共线，则的值为（ ）．
A．2B．C．1D．0
【答案】D
【分析】根据空间向量基本定理，由向量共线的条件，列方程求.
【解析】因为与共线，空间的一组基底，
所以，
所以，解得，
所以.
故选：D.
4．若直线与直线互相垂直，则的最小值为（ ）
A．B．3C．5D．
【答案】C
【分析】由两直线垂直得关系后转化为函数求解，
【解析】因为直线与直线互相垂直，
所以，化简得，
所以，当且仅当时取“=”，所以的最小值为5，
故选：C
5．在三棱锥中，平面平面是的中点.，则二面角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先证明平面，建立空间直角坐标系，利用向量法求解.
【解析】平面平面，且 为交线，，平面，
平面，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

因为，在Rt中，，
所以，.
设平面的一个法向量为，
则，即，令，则.
设平面的一个法向量为，
则，即，令，则.
设二面角的平面角为，
则.
故选：C
6．已知椭圆的离心率为分别为的左、右顶点，为的上顶点．若，则椭圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据离心率及，建立关于的等式即可得解.
【解析】显然离心率，解得，即，
分别为C的左右顶点，B为上顶点，则，，
于是，而，
即，又，因此联立解得，
所以椭圆的方程为.
故选：B
7．已知抛物线，焦点为F，点M是抛物线C上的动点，过点F作直线的垂线，垂足为P，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】A
【分析】由条件确定点的轨迹，结合抛物线的定义，圆的性质求的最小值.
【解析】∵ 抛物线的方程为，
∴ ，抛物线的准线方程为，
∵ 方程可化为，
∴过定点，
设，设的中点为，则，因为，为垂足，
∴，所以，
即点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，
过点作准线的垂线，垂足为，则,
∴ ,，又，当且仅当三点共线且在之间时等号成立，
∴ ，
过点作准线的垂线，垂足为，则,当且仅当三点共线时等号成立，
∴ ，当且仅当四点共线且在之间时等号成立，
所以的最小值为，
故选：A.
8．在平面直角坐标系中，已知点.若圆上存在唯一点，使得直线在轴上的截距之积为5，则实数的值为（ ）
A．B．C．和D．和
【答案】C
【分析】设出点的坐标，根据直线在轴上的截距之积列方程，根据唯一性求得的值.
【解析】圆的圆心在直线上，半径为，所以在圆外，
设，其中且，
直线的方程为，纵截距为，
直线的方程为，纵截距为，
依题意有，整理得，
所以在圆上，圆心为，半径为.
则圆与圆有且只有一个公共点，
则两圆外切或内切，或圆与圆相交，且其中一个交点的横坐标为，
当两圆外切或内切时：
圆的圆心为，半径为，
则或，
前者无解，后者解得.
当圆与圆相交，且其中一个交点的横坐标为时，
，将代入，
得.

综上所述，的值为或.
故选：C
【点睛】关键点睛：求直线方程时，可以根据已知条件，利用合适的求法来求，如本题中，已知两点，则可以考虑两点式，也可以考虑点斜式来求解.圆有关的问题，可考虑方程的思想，如本题中“截距之积”，这就是一个方程，也即是一个等量关系式，是解题的突破口.
二、多选题
9．下列说法中，正确的是（ ）
A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是8
B．过两点的直线方程为
C．过点且与直线相互平行的直线方程是
D．经过点且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为
【答案】AC
【分析】由题意逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【解析】对A，直线x﹣y﹣4＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是×4×4＝8，故A正确；
对B，当x2＝x1或y2＝y1时，式子＝无意义，故B不正确；
对C，与直线平行，所求直线设为，将点代入得，所以所求直线为，即，故C正确；
对D，经过点（1，2）且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣3＝0或y＝2x，故D错误，
故选：AC．
10．已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【答案】ABD
【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.
【解析】圆心到直线l的距离，
若点在圆C上，则，所以，
则直线l与圆C相切，故A正确；
若点在圆C内，则，所以，
则直线l与圆C相离，故B正确；
若点在圆C外，则，所以，
则直线l与圆C相交，故C错误；
若点在直线l上，则即，
所以，直线l与圆C相切，故D正确.
故选：ABD.
11．如图，在正方体中，点在线段上运动，则（ ）
A．直线平面
B．三棱锥的体积为定值
C．异面直线与所成角的取值范围是
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
【答案】ABD
【分析】以为坐标原点，以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，求得相关点，由线面垂直、平行和三棱锥的体积公式和线面角的求法，可得结论．
【解析】在正方体中，平面，，
则以为坐标原点，以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示：
设正方体的棱长为1，则，，，，，，
对于A，，，，
因为，，
即，，
又，且平面，平面，
所以直线平面，故A正确；
对于B，在正方体中，，
又平面，平面， 可得平面，
点在线段上运动，所以点到平面的距离即为到平面的距离，也即为点到平面的距离，且为定值，而的面积为定值，
则三棱锥的体积为定值，故B正确；
对于C，，∴异面直线与所成角为直线与直线的夹角．易知为等边三角形，当为的中点时，；
当与点或重合时，直线与直线的夹角为；故异面直线与 所成角的取值范围是，故C错误；
对于D，设，，由A选项正确，可知是平面的一个法向量，
直线与平面所成角的正弦值为：，
当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故D正确．
故选：ABD．
12．我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆，，，，为顶点，，为焦点，为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（ ）
A．2=2
B．
C．轴，且
D．四边形的内切圆过焦点，
【答案】BD
【分析】对每个命题如果是正确的求出各个命题所在的椭圆的离心率即可．
【解析】,由条件得到，即或（舍，解得：，所以不正确；
,若，则由射影定理可得：，
即，所以，即，，
解得；所以正确；
，若轴，如图可得，又，则斜率相等，所以，即，或，显然不符合，
所以，所以不正确；
，因为四边形为菱形，若命题正确则内切圆的圆心为原点，由圆的对称性可知，
圆心到直线的距离等于，
因为直线的方程为：，即，所以原点到直线的距离，
由题意知：，又，整理得：，，，
解得，
所以，所以正确，
故选：．
三、填空题
13．若焦点在x轴上的椭圆的焦距为4，则 ．
【答案】4
【分析】根据椭圆中基本量的关系得到关于m的方程，解方程得到m的值.
【解析】因为椭圆的焦点在x轴上且焦距为4，
所以，
解得.
故答案为：4.
14．已知点为圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为
【答案】
【分析】结合圆心到直线的距离以及半径求得正确答案.
【解析】圆心，半径，
圆心到直线的距离等于，
故圆上的动点到直线的距离的最小值为．
故答案为：
15．已知双曲线的左、右焦点分别为，，若双曲线的渐近线上存在点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是 .
【答案】
【分析】由题意可得点在以为圆心，为半径的圆上，再结合点又在渐近线上，故渐近线和圆要有公共点，利用圆心到直线的距离小于等于半径，即可求得离心率的取值范围.
【解析】设，则，化简得，所以点在以为圆心，为半径的圆上，又因为点在双曲线的渐近线上，所以渐近线与圆有公共点，所以，解得，即，所以双曲线离心率的取值范围是.
【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查直线和圆、直线和双曲线的位置关系，考查双曲线的离心率的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.
16．已知单位空间向量满足．若空间向量满足，且对于任意实数的最小值是2，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】以，方向为轴，垂直于，方向为轴建立空间直角坐标系，根据条件求得坐标，由二次函数求最值即可求得最小值.
【解析】以，方向为轴，垂直于，方向为轴建立空间直角坐标系，则 ，
由可设，由是单位空间向量可得，
由可设，
，
当，的最小值是2，所以 ，取，
，
，
当时，最小值为.
故答案为：.
四、解答题
17．已知点.
(1)求过点A且与平行的直线方程；
(2)求过点A且与垂直的直线方程；
(3)若中点为，求过点A与的直线方程.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）求出的斜率，利用点斜式求直线即可；
（2）求出与垂直的直线的斜率，利用点斜式求解即可；
（3）利用中点公式求解中点坐标，再确定两点斜率利用点斜式求解即可.
【解析】（1）解：∵，
∴过点A且与平行的直线方程为，即；
（2）解：过点A且与垂直的直线的斜率为，
所以所求直线方程为，即；
（3）解：中点，
∴过点A与的直线方程，即.
18．已知圆：与圆：.
(1)若圆与圆外切，求实数m的值;
(2)在(1)的条件下，若直线l过点(2，1)，且与圆的相交弦长为，求直线l的方程.
【答案】(1)m=5
(2)或
【分析】（1）根据两圆外切，两圆心之间的距离等于两圆半径之和可得；
（2）先根据弦长求出圆心到直线的距离，然后分斜率存在和不存在两种情况讨论，利用点到直线的距离公式可得.
【解析】（1）圆：，则，半径r1=1，
由圆：，得，
则 ，半径.∵圆与圆外切，
∴，∴，解得m=5.
（2）由(1)得m=5，圆的方程为，
则，r2=2.由题意可得圆心到直线l的距离，
当直线l斜率不存在时，直线方程为x=2，符合题意;
当直线l斜率为k时，则直线方程为，
化为一般形式为，则圆心(3，0)到直线l的距离，
解得k=0，得直线方程为y=1.
综上，直线l的方程为或.
19．已知几何体ABCDEF中，平面ABCD⊥平面CDEF，四边形ABCD是边长为4的菱形.∠BCD=60°，四边形CDEF是直角梯形，EFCD，ED⊥CD，且EF=ED=2.
(1)求证：AC⊥BE：
(2)求平面ADE与平面BCF所成角的余弦值.
【答案】(1)证明过程见解析
(2)
【分析】（1）作出辅助线，由线线垂直得到线面垂直，进而证明出AC⊥BD；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角的余弦.
【解析】（1）连接BD，
因为四边形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD，
因为平面ABCD⊥平面CDEF，交线为CD，ED⊥CD，ED平面CDEF，
所以ED⊥平面ABCD，
因为AC平面ABCD，
所以ED⊥AC，
因为BDED=D，
所以AC⊥平面BDE，
因为BE平面BDE，
所以AC⊥BD
（2）取BC的中点G，连接DG，BD，
因为∠BCD=60°，四边形ABCD是边长为4的菱形，
所以DG⊥BC，因为AD∥BC，所以DG⊥AD，
以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DG所在直线为y轴，DE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则，
设平面BCF的法向量为，
则，解得：，令，
则，
平面ADE的法向量为，
设平面ADE与平面BCF所成角为，显然为锐角，
则
20．如图，已知抛物线与圆交于四点，直线与直线相交于点．

(1)求的取值范围；
(2)求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）抛物线方程联立圆的方程消元，利用根与系数的关系和判别式可解；
（2）利用韦达定理可得，由直线和斜率相等可解.
【解析】（1）圆的方程可化为．
将抛物线的方程代入圆的方程有整理得，
由题意可知有两个正根，
所以解得，
故的取值范围为；
（2）设点的坐标分别为，
由对称性可知，点在轴上，设点的坐标为，
由（1）可知，得，
所以，
因为直线的斜率为，直线的斜率为，
所以，即，
所以，可得，
又由，有，
故点的坐标为．
21．四棱柱中，底面为正方形，面，点M，N，Q分别为棱的中点．
(1)求证：平面∥平面；
(2)若，棱上存在点P，使得二面角的余弦值为，求的值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）先证明分别与面平行，再由面面平行的判定定理证明；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【解析】（1）∵分别为棱中点，
，，
四边形MQBD为平行四边形，
，
又平面，平面，
平面，
∵N为棱AD的中点，，
又，，
∵平面，平面，
平面.
又，平面，
平面∥平面.
（2）由题意知两两垂直，以为原点，方向分别为轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
设（），，
则，
故，，
设，则由可得， ，
则
设平面的一个法向量为，则，
取，则，
设平面MNQ的一个法向量为，则，
取，则，
由题知，
解得或（与矛盾，舍去），
故，即.
22．在平面直角坐标系中，椭圆与双曲线有公共顶点，且的短轴长为2，的一条渐近线为.
(1)求，的方程：
(2)设是椭圆上任意一点，判断直线与椭圆的公共点个数并证明；
(3)过双曲线上任意一点作椭圆的两条切线，切点为、，求证：直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形面积为定值，并求出该定值.
【答案】(1)，
(2)只有一个公共点，证明见解析
(3)证明见解析，2
【分析】（1）由题知双曲线焦点在轴上，椭圆焦点在轴上，再设出方程，待定系数求解即可；
（2）联立方程，结合解方程判断即可；
（3）设，，进而结合（2）中的结论得直线的方程为，再与双曲线的渐近线联立，求解，计算点到直线的距离，进而计算面积即可.
【解析】（1）解：由题，双曲线的顶点为，所以双曲线焦点在轴上，
设双曲线方程为，
因为的一条渐近线为
所以，，解得，
所以双曲线方程为
又因为椭圆的短轴长为2，
所以椭圆焦点在轴上，
设椭圆方程为，
所以，，.即椭圆方程为.
（2）解：根据题意，联立方程得
又因为，所以，，
所以，变形为，解得.
所以，方程组只有一解
所以，直线与椭圆只有一个公共点.
（3）解：设，
由（2）知，直线与椭圆只有一个公共点.
所以，直线是过点的椭圆的切线方程.
所以，直线方程为，点在直线上，故
直线方程为，点在直线上，故
所以，直线的方程为，即.
由得
由得
所以
又点到直线的距离
又
所以，所围三角形面积为定值.
【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键在于结合（1）中的结论，得到过点，的切线方程，进而得直线的方程，再与双曲线的渐近线联立放求解得，，再计算面积即可.
知识点补充题．．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为．设曲线C上任意一点满足（且）．
(1)求曲线C的方程，并指出此曲线的形状；
(2)对的两个不同取值，记对应的曲线为．
（i）若曲线关于某直线对称，求的积；
（ii）若，判断两曲线的位置关系，并说明理由．
【答案】(1),表示圆.
(2)（i）;（ii）内含
【分析】(1)利用求轨迹方程的办法求出轨迹方程即可；(2)(i)利用两圆半径相等求解；(2)根据两圆圆心距和半径差的大小关系即可确定位置关系.
【解析】（1）由两点间的距离公式可得
平方整理得
又因为且，所配方整理得
因为且，所以此曲线表示圆.
（2）（i）曲线关于某直线对称,所以两圆的半径相等，
即，平方整理得
即，因为，且且，
所以.
（ii）两圆圆心间的距离
两圆的半径差
而
所以，所以两圆内含.