2022-2023学年山东省济南市莱钢高级中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年山东省济南市莱钢高级中学高二上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．经过点两点的直线的倾斜角是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用倾斜角和斜率的关系求倾斜角即可.

【详解】，设倾斜角为，则，又，所以.

故选：D.

2．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（    ）

A． B． C．或 D．与斜交

【答案】C

【分析】利用直线的方向向量和平面的法向量垂直来判断直线和平面的位置关系.

【详解】∵，，

∴即，

∴∥或.

故选：C.

3．直线恒过一定点，则该定点的坐标（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】合并同类项后确定定点坐标.

【详解】由得，所以，

解得，所以定点坐标为.

故选：B

【点睛】本小题主要考查直线过定点，属于基础题.

4．已知空间直角坐标系中的点，，，则点P到直线AB的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由向量在向量上的投影及勾股定理即可求.

【详解】，0，，，1，，，

，，，

在上的投影为，

则点到直线的距离为.

故选：D．

5．椭圆的焦点坐标是（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先根据椭圆方程求出，再由其焦点在上可求得结果.

【详解】在椭圆中，，

则，得，

而椭圆的焦点在轴上，

因此焦点坐标为.

故选：C

6．已知在平面直角坐标系中，圆：与圆：交于，两点，若，则实数的值为

A．1 B．2 C．-1 D．-2

【答案】D

【分析】由可得，O在AB的中垂线上，结合圆的性质可知O在两个圆心的连线上，从而可求.

【详解】因为，所以O在AB的中垂线上，即O在两个圆心的连线上，，，三点共线，所以，得，故选D.

【点睛】本题主要考查圆的性质应用，几何性质的转化是求解的捷径.

7．如图所示，二面角的棱上有、两点，直线、分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，已知，，，，则该二面角的大小为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据向量垂直的条件得，，再由向量的数量积运算可得，根据图示可求得二面角的大小.

【详解】由条件知，，，

∴

，

∴，又，所以，∴由图示得二面角的大小为，

故选：C.

8．圆 上的点 关于直线 的对称点仍在圆 上， 且该圆的半径为 ， 则圆 的方程为（    ）

A． B．

C． 或  D． 或

【答案】D

【分析】先判断圆心在直线上，设圆心的坐标为，由半径，列出方程，求出的值，即可得到答案．

【详解】解：因为圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，

所以圆心在直线上，

设圆心的坐标为，

因为该圆的半径为，

则，

解得或，

所以圆心为或，

则圆的方程为或．

故选：D．

二、多选题

9．已知直线和直线垂直，则（    ）

A． B．1 C．2 D．

【答案】BC

【解析】先求出直线的斜率，直线的斜率，再建立方程求解即可.

【详解】直线：和直线：垂直，

直线的斜率为，直线的斜率为，

则，即，解得或，经检验成立

故选：BC

【点睛】本题考查利用两条直线垂直求参数，是基础题

10．给出下列命题，其中正确命题有（    ）

A．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底

B．已知向量，则存在向量可以与，构成空间的一个基底

C．，，，是空间四点若不能构成空间的一个基底那么，，，共面

D．已知向量组是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底

【答案】ACD

【解析】根据空间基底的概念，结合向量的共面定量，逐项判定，即可求解得到答案.

【详解】选项中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以正确；

选项中，因为，根据空间基底的概念，可得不正确；

选项中，由不能构成空间的一个基底，可得共面，

又由过相同点B，可得四点共面，所以正确；

选项中：由是空间的一个基底，则基向量与向量一定不共面，所以可以构成空间另一个基底，所以正确．

故选：ACD.

【点睛】本题主要考查了空间基底的概念及其判定，其中解答中熟记空间基底的概念，合理利用共面向量定量进行判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

11．直线 与圆 的大致图像可能正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】根据每个选项的直线的斜截式方程可以判断出的正负性，再判断圆心的位置即可.

【详解】A：直线不经过第四象限，所以，所以圆的圆心在第一象限，因此本选项可能正确；

B：直线不经过第一象限，所以，所以圆的圆心在第三象限，因此本选项不可能正确；

C：直线不经过第一象限，所以，所以圆的圆心在第三象限，又因为该圆经过原点，所以有，在圆的方程中，令，

得或，因为，

所以，因此本选项可能正确；

D：直线不经过第二象限，所以，所以圆的圆心在第四象限，又因为该圆经过原点，所以有，在圆的方程中，令，

得或，因为，

所以，因此本选项不可能正确，

故选：AC

12．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为等边三角形，平面平面，点M在线段上，交于点E，则下列结论正确的是（    ）

A．若平面，则M为的中点

B．若M为的中点，则三棱锥的体积为

C．平面与平面的夹角为

D．若，则直线与平面所成角的正弦值为

【答案】AB

【分析】A选项：利用线面平行的性质定理证明即可；

B选项：利用割补的思路得到，然后求体积即可；

C选项：利用几何法找出二面角的平面角，然后求三角函数值即可得到角；

D选项：根据得到，在中利用余弦定理即可求出，再利用等体积的思路求出点到平面的距离，即可得到直线与平面所成角的正弦值.

【详解】

A选项：因为∥平面，平面，平面平面，所以∥，因为为正方形，所以为中点，又∥，所以为中点，故A正确；

B选项：取中点，连接，因为为等边三角形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，，因为为中点，所以点到平面的距离为，所以，故B正确；

C选项：取中点，连接，，因为为等边三角形，所以，因为底面为正方形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以，又，所以平面，因为平面，所以，又，平面平面，所以为二面角的平面角，，故二面角不是，C错；

D选项：由题意知，，因为，所以，，解得，在三角形中，，，所以，设点到平面的距离为，利用等体积的思路得到，所以，解得，所以直线与平面所成角的正弦值为，故D错.

故选：AB.

三、填空题

13．若直线和直线平行，则___________．

【答案】3

【分析】根据两条直线平行的充要条件即可求解.

【详解】解：因为直线和直线平行，

所以，解得，

故答案为：3.

14．已知圆与圆没有公共点，则正数a的取值范围为________

【答案】

【分析】求出圆心距，利用两圆外离或内含得出不等关系，从而得的范围．

【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，

两圆没有公共点，则两圆外离或内含，

∴或，又，所以或．

故答案为：．

【点睛】本题考查两圆的位置关系，判断方法是几何法：由两圆圆心距离与两圆半径之间的关系判断．

15．过点 的光线 经 轴反射后与圆 相切， 则

【答案】

【分析】先找到关于y轴对称的点，写出直线的方程，利用直线和圆相切时，圆心到直线的距离等于半径列出方程，可解得答案.

【详解】由题意知关于y轴对称的点为 ,

故直线 的方程为 ，即 ，

由题意可知直线与圆 相切，

所以 ，解得 ，

故答案为：.

16．设椭圆的两个焦点分别为，，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆离心率等于__________．

【答案】

【详解】设到位于轴上方，坐标为，

∵为等腰直角三角形，

∴，即，

即，

∵，

∴，，

∴．

四、解答题

17．已知 的三个顶点 ， 边 的中线所在直线方程为 ，

(1)求实数 ；

(2)试判断点 与以线段 为直径的圆的位置关系， 并说明理由．

【答案】(1)

(2)点C在以AB为直径的圆外，理由见解析

【分析】（1）求出AC的中点坐标代入中线方程即可得解；

（2）求出及AB的中点坐标，得到圆的方程，利用点与圆的位置关系判断即可.

【详解】（1）由题意可得，AC的中点坐标为D（2）．

所以．

所以；

（2）由已知可得AB的中点坐标为（6，5）

得．

所以以AB为直径的圆的方程为，

因为，．

所以点C在以AB为直径的圆外．

18．如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，，且.

（1）设，，，试用、、表示；

（2）已知为四棱柱的中心（体对角线中点），求的长.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）利用向量加法的平行四边形法则可得出关于、、的表达式，进而可得出关于、、的表达式；

（2）利用空间向量数量积的运算求得的值，可得出的长，进而可得出的长.

【详解】（1）由，，，

由向量加法的平行四边形法则可得，

因此，；

（2）为四棱柱的中心，即为线段的中点.

由已知条件得，，，，.

由（1）得，

则

.

所以的长为，所以的长为.

【点睛】本题考查利用空间向量基底表示向量，同时也考查了利用空间向量数量积计算线段长，考查计算能力，属于中等题.

19．如图，在正四棱柱中，已知，，E、F分别为、上的点，且．

(1)求证：平面ACF；

(2)求点E到平面ACF的距离．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，写出要用的点的坐标，要证明线与面垂直，只要证明这条直线与平面上的两条直线垂直．

（2）为平面的一个法向量，向量在上的射影长即为到平面的距离，根据点到面的距离公式得到结果．

【详解】（1）解：如图，以为原点，、、所在直线分别为、、轴

建立空间直角坐标系，则，0，，，0，，，2，，

，2，，，0，，，0，，，2，，

，2，，，2，，，，，，0，．

，，

，，且，平面，

平面

（2）解：由（1）知，为平面的一个法向量，，，

向量在上的射影长即为到平面的距离设为，于是，

故点到平面的距离；

20．已知圆的圆心在直线上， 且过点．

(1)求圆的方程；

(2)已知圆上存在点，使得的面积为，求点的坐标．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）根据条件，求得AB的垂直平分线方程，与联立，可求得圆心C，根据两点间距离公式，可求得半径r，代入方程，即可得答案.

（2）先求得直线AB的方程及AB两点间距离，由题意可得M到直线AB的距离为，设M所在直线方程为，根据两平行线间距离公式，可得c值，与圆联立，即可得M坐标.

【详解】（1）由题意知AB所在直线的斜率为，

则AB的垂直平分线的斜率为1，

又A（1，3），B（2，2）的中点为，

所以线段AB的垂直平分线为，即，

联立，得圆心C（2，3）

半径，

所以圆C方程为；．

（2）由题意得AB所在直线方程为，即．

可得|，

因为三角形MAB的面积为，

所以点M到直线AB的距离为．

设点M所在直线方程为，

所以，

所以或－5，．

当时，联立，无解；

当时，联立，

得或

所以或

21．已知圆和点．

(1)过点M向圆O引切线，求切线的方程；

(2)求以点M为圆心，且被直线截得的弦长为8的圆M的方程；

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）当直线斜率不存在时，方程为，满足题意；当直线有斜率时，设直线方程为，由点到直线的距离公式可得值，可得方程；

（2）设以点M为圆心的圆的半径为r，由题意可得圆心M到直线的距离d满足，由点到直线的距离公式可得d值，可得答案.

【详解】（1）若过点M的直线斜率不存在，直线方程为：，为圆O的切线；

当切线l的斜率存在时，设直线方程为：，即，

∴圆心O到切线的距离为：，解得：

∴直线方程为：．

综上，切线的方程为：或

（2）点到直线的距离为：，

又∵圆被直线截得的弦长为8，由垂径定理得：，

∴

∴圆M的方程为：

22．已知椭圆E的中心在坐标原点O，两个焦点分别为A（﹣1，0），B（1，0），一个顶点为H（2，0）．

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）对于x轴上的点P（t，0），椭圆E上存在点M，使得MP⊥MH，求实数t的取值范围．

【答案】（1）；（2）（﹣2，﹣1）．

【详解】试题分析：（1）由两个焦点分别为A（﹣1，0），B（1，0），上顶点为D（2，0），得到椭圆的半长轴a，半焦距c，再求得半短轴b，

最后由椭圆的焦点在X轴上求得方程．

（2）利用向量垂直即可求得M点的横坐标x0，从而解决问题．

解：（1）由题意得，c=1，a=2，则b=

故所求的椭圆标准方程为；

（2）设M（x0，y0）（x0≠±2），则 ①

又由P（t，0），H（2，0）．则，

由MP⊥MH可得，即（t﹣x0，﹣y0）•（2﹣x0，﹣y0）=

由①②消去y0，整理得 ②

∵x0≠2，∴

∵﹣2＜x0＜2，∴﹣2＜t＜﹣1

故实数t的取值范围为（﹣2，﹣1）．

点评：本题考查直线和椭圆的位置关系、考查存在性问题，解题时要认真审题，仔细解答．