2022-2023学年山东省济南市第十一中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年山东省济南市第十一中学高二上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．下列关于空间向量的说法中正确的是（    ）

A．方向相反的两个向量是相反向量

B．空间中任意两个单位向量必相等

C．若向量满足，则

D．相等向量其方向必相同

【答案】D

【分析】根据向量的相关概念逐一判断即可.

【详解】相反向量指的是长度相等，方向相反的向量，故A错误；

单位向量指的是模为1的向量，方向未定，故B错误；

向量不能比较大小，故C错误；

相等向量其方向必相同，故D正确；

故选：D.

2．两条直线：与：的交点坐标为（    ）．

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【分析】联立两直线的方程，解方程组即可求解.

【详解】因为直线：，直线：，

由，解得：，

所以与两条直线的交点坐标为，

故选：C.

3．已知、，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用两点间距离公式即可求解.

【详解】因为、，

所以，

故选：C.

4．原点到直线的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用点到直线的距离公式，求得所求的距离.

【详解】由点到直线距离可知所求距离.

故选：D

【点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式，属于基础题.

5．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ）

A．1 B．2 C． D．4

【答案】A

【分析】直接利用两平行直线之间的距离公式计算即可.

【详解】解：由题意，两直线的距离为.

故选：A.

6．圆的半径和圆心坐标分别为

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】 半径和圆心坐标分别为,选D

7．椭圆的焦点坐标为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由方程可得，结合椭圆中的关系及焦点位置可得焦点坐标.

【详解】因为椭圆的方程为，所以焦点在上，且，

由可得，

所以焦点为.

故选：C.

【点睛】本题主要考查椭圆的焦点坐标，利用方程求解焦点时，一看焦点位置，二算焦距大小，侧重考查数学运算的核心素养.

8．已知两个异面直线的方向向量分别为，，且||＝||＝1，•，则两直线的夹角为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先求出向量的夹角，再利用异面直线角的定义直接求解即可

【详解】设两直线的夹角为θ，则由题意可得1×1×cos，，∴cos，，

∴，，∴θ，

故选：．

【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义，注意两直线的夹角与，的关系，属于基础题．

9．椭圆上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】D

【分析】由椭圆的定义可得点P到两个焦点的距离之和为2a＝10，再由点P到一个焦点的距离为2，可得点P到另一个焦点的距离．

【详解】由椭圆，可得a＝5、b＝1，设它的两个焦点分别为F、F′，

再由椭圆的定义可得|PF|+|PF'|＝2a＝10，由于点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为8，

故选：D．

【点睛】本题主要考查椭圆的定义和标准方程的应用，属于中档题．

10．若双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则等于（   ）

A．11 B．9 C．5 D．3

【答案】B

【分析】由双曲线的定义运算即可得解.

【详解】由双曲线的定义得，即，

因为，所以.

故选：B.

11．已知过点和的直线的斜率为，则m的值为（    ）

A． B．0 C．2 D．10

【答案】A

【分析】利用直线的斜率公式求解即可.

【详解】解：过点和的直线的斜率为，

，解得，

故选：A.

12．已知向量分别是直线l与平面α的方向向量、法向量，若，则l与α所成的角为 （    ）

A．  B．  C．  D．

【答案】B

【分析】根据直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角与线面角之间的关系，可得线面角的正弦值，即可求得答案.

【详解】设直线l与α所成的角为，

因为向量分别是直线l与平面α的方向向量、法向量，且，

故 ，即得，

故选：B

13．如果直线的斜率为2，，则直线的斜率为（    ）

A． B．2 C． D．-2

【答案】A

【分析】直接由两直线垂直则斜率乘积等于,计算可得的斜率.

【详解】由于直线的斜率为2且，所以直线的斜率为.

故选：A

14．圆O1：和圆O2：的位置关系是

A．相离 B．相交 C．外切 D．内切

【答案】B

【详解】试题分析：由题意可知圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，又，所以圆和圆的位置关系是相交，故选B．

【解析】圆与圆的位置关系．

15．已知双曲线-=1的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等于

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】由题意知c＝3，故a2＋5＝9，解得a＝2，故该双曲线的离心率e＝＝．

16．直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为

A．相切

B．相交但直线不过圆心

C．直线过圆心

D．相离

【答案】B

【详解】试题分析：求出圆心到直线的距离d，与圆的半径r比较大小即可判断出直线与圆的位置关系，同时判断圆心是否在直线上，即可得到正确答案．

解：由圆的方程得到圆心坐标（0，0），半径r=1

则圆心（0，0）到直线y=x+1的距离d==＜r=1，

把（0，0）代入直线方程左右两边不相等，得到直线不过圆心．

所以直线与圆的位置关系是相交但直线不过圆心．

故选B

【解析】直线与圆的位置关系．

二、多选题

17．设抛物线的顶点在原点，焦点到准线的距离为4，则抛物线的方程是（    ）

A．  B．  C．  D．

【答案】AB

【分析】根据焦点到准线的距离为p求解.

【详解】解：因为焦点到准线的距离为4，

所以，

根据四个选项可得，满足，

故选：AB

三、单选题

18．已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】，故，即，故渐近线方程为.

【解析】本题考查双曲线的基本性质，考查学生的化归与转化能力.

19．已知抛物线：的焦点为,是C上一点，，则（  ）

A．1 B．2 C．4 D．8

【答案】A

【分析】解方程即得解.

【详解】解：由题得抛物线的准线方程为，则有，即有，解得．

故选：A

20．若抛物线的焦点与椭圆的上顶点重合，则（    ）

A． B． C．2 D．4

【答案】B

【解析】分别求得椭圆的上顶点和抛物线的焦点坐标，再利用重合求解.

【详解】椭圆的上顶点是

抛物线的焦点

因为两点重合

所以

所以

故选：B

【点睛】本题主要考查了椭圆和抛物线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

四、多选题

21．若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是，斜率分别为，则下列命题正确的是（    ）

A．若斜率，则  B．若，则

C．若倾斜角，则  D．若，则

【答案】ABC

【分析】根据两直线倾斜角和斜率与直线平行和垂直的关系分别判断选项，举反例可判断D.

【详解】对于A, 若两直线斜率，则它们的倾斜角，则，正确；

对于B，由两直线垂直的条件可知，若，则，正确；

对于C,由两直线平行的条件可知，若倾斜角，则 ，正确；

对于D, 若，不妨取，

则，不满足，不垂直，D错误，

故选：

22．下列命题中，正确的命题为（    ）

A．若，分别是平面，的法向量，则

B．若，分别是平面，的法向量，则

C．若是平面的法向量，是直线的方向向量，若与平面平行，则

D．

【答案】BD

【分析】由面面位置关系以及法向量的概念判断A、B；由法向量的概念和直线方向向量的定义判断C，根据空间向量线性运算法则判断D.

【详解】解：对于A，若，分别是两个不重合平面，的法向量，则，故A中平面，可能平行或重合，故A错误；

对于B，若，分别是平面，的法向量，则，故B正确；

对于C，若是平面的法向量，是直线的方向向量，与平面平行，则，所以，故C错误；

对于D，，故D正确．

故选：BD．

23．已知双曲线方程为，则（    ）

A．焦距为6 B．虚轴长为4

C．实轴长为8 D．离心率为

【答案】BCD

【分析】求出双曲线的标准方程，得到，，，对照选项即可求解.

【详解】双曲线方程化为标准方程为：，

可得：，，，

所以双曲线的焦距为，虚轴长为，实轴长为，离心率，

故选：.

24．(多选)经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程为（    ）

A．y2＝x B．y2＝8x C．y2＝－8x D．x2＝－8y

【答案】AD

【详解】当开口向右时，设抛物线方程为y2＝2p1x(p1>0)，则(－2)2＝8p1，所以p1＝，所以抛物线方程为y2＝x.当开口向下时，设抛物线方程为x2＝－2p2y(p2>0)，则42＝4p2，p2＝4，所以抛物线方程为x2＝－8y.

故选：AD

25．已知，两点到直线的距离相等，则实数的值可能为（    ）

A． B．3 C． D．1

【答案】AB

【分析】由点到直线的距离公式可得关于的方程，解方程即可．

【详解】解：因为，两点到直线的距离相等，

所以，

即，化简得，解得，

所以实数的值可能为．

故选：AB．

五、填空题

26．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为________．

【答案】

【分析】根据斜率和倾斜角的关系求得直线的斜率.

【详解】依题意，直线的斜率为.

故答案为：

27．已知平面α的法向量u＝(1,0，－1)，平面β的法向量v＝(0，－1,1)，则平面α与β的夹角为________．

【答案】

【详解】∵cos〈u，v〉＝＝－，∴〈u，v〉＝π，

∴平面α与β的夹角是.

28．已知椭圆的焦点在轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为，焦距为，则此椭圆的标准方程为____________.

【答案】

【分析】依题意可得，解得、，即可得解.

【详解】依题意，设椭圆方程为，

则，解得，

所以椭圆方程为.

故答案为：.

29．以两点和为直径端点的圆的标准方程是___________.

【答案】

【分析】通过圆过定点和，以及线段是直径，求出圆心和半径，即可求出圆的标准方程.

【详解】解：由题意，

在圆中，圆过和，且以为直径，

设圆心为，半径为，

∴，，，

∴，，

∴以两点和为直径端点的圆的标准方程是：，

故答案为：.

30．若经过点和的直线与斜率为的直线互相垂直，则的值是_______.

【答案】

【分析】分析可知，直线的斜率为，利用斜率公式可得出关于实数的等式，解之即可.

【详解】由题意可知，直线的斜率为且，所以，，解得.

故答案为：.

六、解答题

31．如图所示，在直三棱柱中，，，，点是的中点.

(1)求直线与平面所成角的正弦值；

(2)求平面与平面的夹角的余弦值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.

【详解】（1）解：在直三棱柱中，，，，点是的中点．

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，

所以，，，

设平面的法向量，

则，取，则，，得，

设直线与平面所成角为，则

所以直线与平面所成角的正弦值为.

（2）解：显然平面的一个法向量可以为，

设平面与平面的夹角为，则，

所以平面与平面的夹角的余弦值为.

32．已知圆经过点和坐标原点，且圆心在直线上

(1)求圆的标准方程；

(2)直线与圆相交，求的范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设圆的标准方程为，根据题意列出方程组，求出，即可得解；

（2）根据直线与圆相交可得圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式即可得解.

【详解】（1）设圆的标准方程为，

由题意得，解得，

所以圆的标准方程为；

（2）圆的圆心为，半径，

圆心到直线的距离，

因为直线与圆相交，

所以，

即，解得，

所以.

33．已知双曲线标准方程：.

(1)求此双曲线的渐近线方程；

(2)求以原点为顶点，以此双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程，过抛物线的焦点且倾斜角为的直线与此抛物线交于两点，求弦的长度.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据双曲线的标准方程，结合双曲线渐近线方程公式，可得答案；

（2）根据双曲线的标准方程，求得其右顶点的坐标，利用抛物线的标准方程，由焦点可得方程，写出直线方程，联立写出韦达定理，结合弦长公式，可得答案.

【详解】（1）由双曲线标准方程：，则，即渐近线方程.

（2）由双曲线标准方程：，则其右顶点坐标为，

由题意可得抛物线的标准方程为，

其该抛物线焦点且倾斜角为的直线方程为，

联立可得，整理可得，

设，则，，

则.

34．已知F1，F2分别为椭圆 (0＜b＜10)的左、右焦点，P是椭圆上一点.

(1)若∠F1PF2＝60°，且F1PF2的面积为，求b的值；

(2)求|PF1||PF2|的最大值.

【答案】(1)8；

(2)100.

【分析】（1）利用F1PF2的面积得到，再利用余弦定理求解；

（2）结合椭圆的定义，利用基本不等式求解.

【详解】（1）解：由椭圆方程知，a=10，

则，

由F1PF2的面积为，

解得，

由余弦定理得，

，

即，

所以，即；

（2）由基本不等式得，

当且仅当时，等号成立，

所以的最大值为100.