2022-2023学年江苏省盐城市第一中学高二上学期第二次学情调研考试数学试题

2022-2023学年第一学期高二年级第二次学情调研

联考数学试题

一、单项选择题:(每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.)

1.过点且倾斜角为的直线在y轴上的截距是（）

A. B.4 C. D.2

2.已知双曲线(a＞0)的焦距为，则该双曲线的渐近线方程为（）

A. B.y＝±2x      C.D.

3.中国古代有一个问题为“今有竹九节,下三节容量四升,上四节容量三升.问中间二节欲均容各多少?”其中“欲均容”的意思是使容量变化均匀,即由下往上均匀变细.该问题中由上往下数的第2节,第3节,第8节竹子的容积之和为（）

A.升 B.升 C.升 D.升

4.过直线上的一个动点向圆引切线,则切线长的最小值为（    ）

A. B. C. D.

5.已知椭圆的右焦点为(3,0)，过点的直线交椭圆交于A,B两点，若线段AB的中点坐标为(1,－1)，则椭圆C的标准方程是（）

A. B. C. D.

6.设等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn，若,则=（）

A.3 B.4 C.5 D.6

7.已知抛物线的焦点为F，准线为l，点在C上，过P作l的垂线，垂足为Q，若，则F到l的距离为（）

A.2 B.4 C.6 D.8

8.已知椭圆的左,右焦点分别为为F1,F2,经过F1的直线交椭圆C于A,B两点,△ABF2的内切圆的圆心为I,若，则该椭圆的离心率为（    ）

A. B. C. D.

二、多选题:(每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求,全部选对得5分，部分选对得2分，错选得0分.)

9.下列说法中正确的是（    ） 

A.若b2=ac，则a,b,c成等比数列B.等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数

C.数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2

D.若一个常数列是等比数列,则这个数列的公比是1

10.嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右,嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道,如图中轨道③所示,其近月点与月球表面距离为100公里,远月点与月球表面距离为400公里,已知月球的直径约为3476公里,则下列说法正确的是（    ）

A.焦距长约为300公里      B.长轴长约为3988公里

C.两焦点坐标可以约为(±150，0)     D.离心率约为

11.设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d．已知a3＝12，S12＞0，a7＜0，则（　　）

A.a6＞0B.

C.Sn＜0时，n的最小值为14                   D.数列中最小项为第7项

12.已知抛物线：，过其准线上的点作的两条切线，切点分别为A，B，下列说法正确的是（    ）

A. B.当时，

C.当时，直线的斜率为2 D.直线过定点(0,1)

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13.若抛物线y2=2px(p>0)的准线经过双曲线x2－y2=1的一个焦点，则p=_____．

14.已知等差数列{an}的前m项之和为30，前2m项和为100，则它的前3m项的和为_________．

15.若直线上存在一点P,圆上存在一点Q，满足，则实数k的取值范围为________．

16.历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯（公元前375年-325年），大约100年后，阿波罗尼斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质：如图甲，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线表示与椭圆C的切线垂直且过相应切点的直线，如图乙，椭圆C的中心在坐标原点，焦点为，由发出的光经椭圆两次反射后回到经过的路程为．利用椭圆的光学性质解决以下问题：

(1)椭圆C的离心率为__________．

(2)点P是椭圆C上除顶点外的任意一点，椭圆在点P处的切线为在l上的射影H在圆上，则椭圆C的方程为__________.

四、解答题:(共计70分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.)

17.(本小题满分10分)

在ΔABC中，已知点A(3,2)，AC边上的中线BM所在直线的方程为，AB边上的高所在直线的方程为．

(1)求直线AB的方程；(2)求B点的坐标．

18.(本小题满分12分)

有下列3个条件：①a3+a8=－2；②S7=－28；③a2,a4,a5成等比数列.从中任选1个，补充到下面的问题中并解答

问题：设数列的前n项和为,已知，.

(1)求数列{an}的通项公式；(2)求的最小值并指明相应的n的值．

19.(本小题满分12分)

等差数列中，，．

(1)求数列{an}的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．

20.(本小题满分12分)

已知圆:,直线是过原点O的一条动直线，且与圆交于A，B两点.

(1)若A,B恰好将圆分成长度之比为1：2的两段圆弧，求的斜率；

(2)记AB的中点为M，在绕着原点O旋转的过程中，点M在平面内形成一段曲线E，求E的长度.

21.(本小题满分12分)

在平面直角坐标系xOy中，设动点M到坐标原点的距离与到x轴的距离分别为d1，d2，且，记动点M的轨迹为Ω.

(1)求Ω的方程；

(2)设过点(0,－2）的直线l与Ω相交于A,B两点，当△AOB的面积最大时，求直线l的方程.

22.(本小题满分12分)

如图，已知抛物线的焦点F，且经过点，．

(1)求p和m的值；

(2)点M，N在C上，且，过点A作，D为垂足，证明：存在定点Q，使得为定值．

2022-2023学年第一学期高二年级第二次学情调研

联考数学参考答案

一、选择题：

二、多选题：

三、填空题：

13.14.210   15.  16.; 

四、解答题:

17．【解】:(1)由AB边上的高所在直线的方程为得

则

又∵A(3，2)，∴直线AB的方程为

即(或)……………………………………………5分

(2)因为AC边上的中线过点B，

则联立直线方程：解得：

即点B坐标为(4，0)…………………………………………….10分

18.【解】:（1）因为,

所以an+1－an=2，即是公差为2的等差数列

选择条件①：因为a3+a8=－2，所以2a1+9d=－2,解得a1=－10，所以an=2n－12

选择条件②：因为S7=－28，所以,解得a1=－10，所以an=2n－12

选择条件③：因为a2,a4,a5成等比数列，

所以(a4)2=a2a5,即(a1+3d)2=(a1+d)(a1+4d)，解得a1=－10，所以an=2n－12

…………………………………………6分

（2）由（1）可知a1=－10，d=2

所以

因为n∈N* ,  所以当n=5或者6时，取到最小值，即……………….12分

19.【解】:（1）由题意得：

…………………………………4分

（2）

当时，；时，

当时，

……………………………………………6分

当时，

即

………………………………………10分

综上所述：………………………………………12分

20.【解】:（1）设直线的斜率为，则：，圆：以点为圆心，2为半径，因为A，B将圆C分成长度之比为1：2的两段圆弧，所以，

又因为半径，所以圆心C到弦AB的距离为（记圆心C到弦AB的距离为d），

所以，即，所以.………………………5分

（2）由于M为AB中点，过原点O的直线l与圆C交于A，B两点，

由垂径定理可知，即，

所以点M在以OC为直径的圆上，设OC的中点为T，则，所以，

所以点M在以为圆心，2为直径的圆T上，

所以，曲线E为圆T在圆C内部的部分圆弧，记圆T与圆C的交点为P，Q，

易得，所以，所以，

所以长度为，即曲线E的长度为.……………………………12分

21.【解】:（1）设，则，，

则，

故的方程为（或）.   …………………………………………4分

（2）依题意当轴不合题意，故设直线：，设，，

将代入，得，……………………………6分

当，即时，

，，

从而， ………………………………8分

从点到直线的距离，

所以的面积，

设，则，，………………………………………10分

当且仅当，即（满足）时等号成立，

所以当的面积最大时，，直线：. …………………12分

22.【解】:（1）由抛物线定义知：，则，  …………………2分

又在抛物线上，则，可得.           …………………3分

（2）设，，由（1）知：，

所以，，又，

所以，…………5分

令直线，联立，整理得，且，

所以，，则，，

综上，， ……………………8分

当时，过定点；

当时，过定点，即共线，不合题意；

所以直线过定点，又，故在以为直径的圆上，………10分

而中点为，即为定值，得证.      ……………………12分

（其它方法请酌情给分