2022-2023学年江苏省盐城市第一中学高一上学期第二次学情调研考试数学试题（解析版）含答案

2022-2023学年第一学期高一年级第二次学情调研

数学试题

一、单项选择题：（每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）

1. 已知全集，，则集合（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

利用集合补集的性质直接求解即可

【详解】由于，，所以，

故选A

2. 函数的定义域为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据二次函数的性质与对数函数的性质列出不等式且，即可求解.

【详解】由题意可得且，

即且，

整理可得，

解得：

所以函数的定义域为

故选：C

3. 函数的单调递增区间是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由复合函数的单调性判断即可.

【详解】令，则有或，即函数的定义域为，在上单调递减，在上单调递增，函数在定义域内单调递增，故的单调递增区间为.

故选：D．

4. 已知函数，则（    ）

A. 的最小值为0，最大值为3 B. 的最小值为，最大值为0

C. 的最小值为，最大值为3 D. 既无最小值，也无最大值

【答案】C

【解析】

【分析】写出分段函数解析式，画出函数图像，数形结合得答案.

【详解】函数

所以当时，；当时，；当时，．结合函数图像可知，函数的最大值为3，最小值为．

故选：C.

5. 天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森()又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足.其中星等为的星的亮度为.已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四” 的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天津四”的倍，则与最接近的是(当较小时， )

A. 1.24 B. 1.25 C. 1.26 D. 1.27

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意，代值计算，即可得，再结合参考公式，即可估算出结果.

【详解】根据题意可得：

可得，解得，

根据参考公式可得，

故与最接近的是.

故选：C.

【点睛】本题考查对数运算，以及数据的估算，属基础题.

6. 函数，则的大致图象是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】判断奇偶性，再利用函数值的正负排除三个错误选项，得正确结论．

【详解】，偶函数，排除BC，

又时，，时，，排除A，

故选：D．

7. 已知,,,则的最小值是（    ）.

A. 3 B.  C.  D. 9

【答案】A

【解析】

【分析】由已知结合指数与对数的运算性质可得,从而根据,展开后利用基本不等式可得解.

【详解】,,,

所以,即,

则,

当且仅当且即,时取等号,

则的最小值是3.

故选：A

【点睛】本题主要考查了指数与对数的运算性质及利用基本不等式求解最值,要注意应用条件的配凑.属于中档题.

8. 已知定义在上的函数是奇函数，且在上是减函数，，则不等式的解集是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论.

【详解】由函数为奇函数且在上是减函数，，

可知时，时，，

，时；

等价于或或，

即或或，

解得的范围是.

故选：A

二、多选题：（每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求，全部选对得5分，部分选对得2分，错选得0分）

9. 已知实数a，b，c满足，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】根据幂函数，对数函数，指数函数的性质判断．

【详解】∵，由在上是增函数，，故A正确；

由对数函数性质是减函数，，∴，，即，故B错误；

由是减函数得，故C正确；

，，故D错误；

故选：AC

10. 下列四个命题是真命题的是（    ）

A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为

B. 函数（其中，且）的图像过定点

C. 函数的值域为

D. 已知在上是增函数，则实数a的取值范围是

【答案】ABD

【解析】

【分析】由得出定义域；由真数等于1判断B；由单调性判断C；由二次函数以及反比例函数的单调性判断D.

【详解】由，解得，即函数的定义域为，故A正确；

由，解得，，即函数的图像过定点，故B正确；

函数的定义域为，易知函数在上单调递增，即函数的值域为，故C错误；

由题意可得，解得，即实数a的取值范围是，故D正确；

故选：ABD

11. 2022年1月，在世界田联公布的2022赛季首期各项世界排名中，我国一运动员以1325分排名男子100米世界第八名，极大地激励了学生对百米赛跑的热爱．甲、乙、丙三名学生同时参加了一次百米赛跑，所用时间（单位：秒）分别为，，．甲有一半的时间以速度（单位：米/秒）奔跑，另一半的时间以速度奔跑；乙全程以速度奔跑；丙有一半的路程以速度奔跑，另一半的路程以速度奔跑．其中，．则下列结论中一定成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】首先利用时间和速度的关系表示三人的时间，再利用不等式的关系，结合选项，比较大小，即可判断选项.

【详解】由题意，所以，，，

根据基本不等式可知，故，当且仅当时等号全部成立，故A选项正确，B选项错误；

，故C选项正确；，故D选项错误．

故选：AC．

12. 某学校为了加强学生核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能力，让学生以函数为基本素材，研究该函数的相关性质，取得部分研究成果如下，其中研究成果正确的是（    ）

A. 函数的定义域为，且是偶函数

B. 对于任意的，都有

C. 对于任意的a，，都有

D. 对于函数定义域内的任意两个不同的实数，，总满足

【答案】BC

【解析】

【分析】利用对数的性质求定义域，由定义判断奇偶性可知A的正误；将等式两边函数中自变量代入解析式化简整理判断B、C的正误；应用特殊值：取，代入判断即可．

【详解】A：由，解得，故的定义域为．

又，

∴为奇函数，故错误．

B：由，，故正确．

C：，

，

∴，故正确．

D：取，，则，，

∴，故错误．

故选：BC．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知幂函数的图像不过原点，则实数m的值为__________.

【答案】3

【解析】

【分析】先由幂函数的定义求出或，再检验得解.

【详解】依题意得，解得或．

当时，，其图像经过原点，不符合题意；

当时，，其图像不经过原点，符合题意，

因此实数m的值为3．

故答案为3

【点睛】本题主要考查幂函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

14. 已知f(x)是定义在R上奇函数，当x>0时，f(x)=x3+x+1，则f(x)的解析式为___.

【答案】

【解析】

【分析】根据奇函数的定义可以求出时的解析式，再利用奇函数的性质可得，即求得f(x)的解析式．

【详解】设x<0，则-x>0，所以f(-x)=(-x)3+(-x)+1=-x3-x+1.

因为f(x)是奇函数，所以f(-x)=-f(x)，所以-x3-x+1=-f(x)，即f(x)=x3+x-1.

所以x<0时，f(x)=x3+x-1，又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，

即f(x)=．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查利用奇函数的定义和性质求函数的解析式，属于基础题．

15. 已知是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增．若实数x满足，则实数x的取值范围是____________．

【答案】

【解析】

【分析】首先分析得到函数的单调性，再解不等式即得解.

【详解】解：因为是上的偶函数且在上递增，

所以在上单调递减，

又因为，所以，

所以.

所以实数x的取值范围是.
故答案为：.

16. 已知函数，，为常数，若对于任意，，且，都有则实数的取值范围为________.

【答案】[0，2]

【解析】

【分析】构造函数F（x）＝f（x）﹣g（x），利用F（x）的单调性求出a

【详解】解：对于任意x1，x2∈[0，2]，且x1＜x2，都有f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2），即f（x1）﹣g（x1）＜f（x2）﹣g（x2），

令F（x）＝f（x）﹣g（x）＝x2﹣a|x﹣1|，即F（x1）＜F（x2），只需F（x）在[0，2]单调递增即可，

当x＝1时，F（x）＝0，图象恒过（1，0）点，

当x＞1时，F（x）＝x2﹣ax+a，

当x＜1时，F（x）＝x2+ax﹣a，

要使F（x）在[0，2]递增，

则当1＜x≤2时，F（x）＝x2﹣ax+a的对称轴x＝，即a≤2，

当0≤x＜1时，F（x）＝x2+ax﹣a的对称轴x＝，即a≥0，

故a∈[0，2]，

故答案为：[0，2]

【点睛】考查恒成立问题，函数的单调性问题，利用了构造函数法，属于中档题．

四、解答题：（共计70分解答题应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤）

17. 设集合．

（1）用列举法表示集合，并指出集合的子集的个数；

（2）记，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．

【答案】（1），16   

（2）

【解析】

【分析】（1）由题意得，，进一步可以求得及其子集的个数；

（2）由已知条件可得是的真子集，列出不等式组，求解即可．

【小问1详解】

∵，，

∴，

集合子集有：，，，，，，，，，，，，，，，，共16个．

【小问2详解】

因为“”是“”的必要不充分条件，

所以是的真子集，

所以，(两等号不能同时成立)，解得，

即实数的取值范围是．

18. 求下列各式的值：

（1）；

（2）．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据对数运算法则进行计算；

（2）将根式化为分数指数幂，进行计算.

【小问1详解】

原式=

=

=；

【小问2详解】

原式=

=

19. 已知函数为偶函数．

（1）求的值；

（2）已知函数，，若的最小值为1，求实数的值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

【分析】

（1）由函数是偶函数根据即可求出；

（2）令，则函数化为，，根据二次函数的性质讨论对称轴范围即可求解.

【详解】解析：（1）显然定义域为，是偶函数，，对恒成立，

即对任意恒成立，

，

．

（2）由（1）知，，令，则，原函数变为，．

①当，即时，，符合题意；

②当，即时，，

（舍去）；

③，即时，，（舍去）．

综上：．

【点睛】关键点睛：本题考查已知函数最值求参数，解题的关键是将函数转化为，，根据二次函数的性质求解.

20. 已知不等式的解集为或．

（1）求实数a，b的值；

（2）解关于x的不等式．

【答案】（1）   

（2）答案见解析

【解析】

分析】（1）根据韦达定理可解；

（2）根据m的范围分类讨论可得.

【小问1详解】

因为不等式的解集为或

所以，且的两根为

所以，所以

【小问2详解】

即

①若，则

②若，则或

③若，

当即时，

当即时，无解

当即时，

综上所述：时，不等式的解集为

时，不等式的解集为

时，不等式的解集为

时，不等式的解集为

时，不等式的解集为

21. 如图，某街道拟设立一占地面积为平方米的常态化核酸采样点，场地形状为矩形．根据防疫要求，采样点周围通道设计规格要求为：长边外通道宽5米，短边外通道宽8米，采样点长边不小于20米，至多长28米．

（1）设采样点长边为米，采样点及周围通道的总占地面积为平方米，试建立关于的函数关系式，并指明定义域；

（2）当时，试求的最小值，并指出取到最小值时的取值．

【答案】（1）   

（2）当时，S的最小值为，此时;

当时，S的最小值为，此时.

【解析】

【分析】（1）表示出采样点及周围通道的长，宽，写出S关于的函数关系式即可；

（2）分两种情况讨论a的取值范围，当时，根据基本不等式的性质求出S的最小值，以及满足条件的的值；当时，借助于导数解决问题，求得答案.

【小问1详解】

由题意采样点及周围通道构成的矩形的长是，宽是，

故；

【小问2详解】

由（1）知，，

当时，，

当且仅当即时取等号，此时，且满足，

故此时S的最小值为，此时;

当时，令，

则，

由于时， ，故，

即单调递减，

故，此时 ，满足 ,

故S的最小值为，此时.

22. 对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件：

①在区间上是单调的；

②当定义域是时，的值域也是．则称是函数的一个“黄金区间”．

（1）请证明：函数不存在“黄金区间”．

（2）已知函数在上存在“黄金区间”，请求出它的“黄金区间”．

（3）如果是函数的一个“黄金区间”，请求出的最大值．

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．

【解析】

【分析】（1）由为上增函数和方程的解的情况可得证；

（2）由可得出，再由二次函数的对称轴和方程，可求出函数的“黄金区间”；

（3）化简得函数的单调性，由已知是方程的两个同号的实数根，再由根的判别式和根与系数的关系可表示，由或，可得的最大值．

【详解】解：（1）证明：由为上的增函数，则有，

∴，无解，∴不存在“黄金区间”；

（2）记是函数的一个“黄金区间”，

由及此时函数值域为，可知

而其对称轴为，∴在上必为增函数，

令，∴，∴

故该函数有唯一一个“黄金区间”；

（3）由在和上均为增函数，

已知在“黄金区间”上单调，所以或，且在上为单调递增，

则同理可得，，即是方程的两个同号的实数根，等价于方程有两个同号的实数根，

又，则只要，∴或，

而由韦达定理知，，

所以，其中或，所以当时，取得最大值．

【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义，对于解决此类问题的关键在于紧扣函数的新定义，注意将值域问题转化为方程的根的情况得以解决.