2022-2023学年江苏省盐城市第一中学高二上学期第二次学情调研考试数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省盐城市第一中学高二上学期第二次学情调研考试数学试题

一、单选题

1．过点且倾斜角为的直线在y轴上的截距是（    ）

A． B．4 C． D．2

【答案】A

【分析】根据倾斜角确定斜率，再根据已知点和直线斜截式求出直线方程，找到直线截距.

【详解】根据直线倾斜角为可知直线斜率为，设直线方程为，将点代入方程，得出方程，由此看出直线在y轴上的截距是.

故选:A

2．已知双曲线的焦距为，则该双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由双曲线的性质根据焦距求得，从而可得渐近线方程．

【详解】由题意，又，故解得．

∴渐近线方程为，

故选：C．

3．中国古代有一个问题为“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升.问中间二节欲均容各多少?”其中“欲均容”的意思是使容量变化均匀，即由下往上均匀变细.该问题中由上往下数的第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为（    ）

A．升 B．升 C．升 D．升

【答案】B

【分析】设自上而下依次设各节竹子的容积分别为升，升，……，升，则数列，，……，为等差数列，再由已知条件列方程组，再根据等差数列的性质可求得结果.

【详解】设自上而下依次设各节竹子的容积分别为升，升，……，升，则数列，，……，为等差数列，

由题意得，

因为，

所以，

所以，

所以第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为升，

故选：B

4．由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】过圆心作直线的垂线，垂线与直线的交点向圆引切线，切线长最小．

【详解】圆心,半径 ，圆心到直线的距离

则切线长的最小值

【点睛】本题考查圆的切线长，考查数形结合思想，属于基础题．

5．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为

A．＋＝1 B．＋＝1

C．＋＝1 D．＋＝1

【答案】D

【详解】设、，所以，运用点差法，所以直线的斜率为，设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，所以；又因为，解得.

【考点定位】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查学生的化归与转化能力.

6．设等差数列，的前n项和分别为，，若，则为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【解析】根据等差数列的性质，得，此由可得结论．

【详解】是等差数列，则，

∴．

故选：C．

7．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点在C上，过P作l的垂线，垂足为Q，若，则F到l的距离为（    ）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】C

【分析】根据抛物线的定义，结合条件表示出的长度，然后列出方程即可得到结果.

【详解】

如图，不妨令在轴上方，准线l与轴交点为，

因为点在C上，根据抛物线定义可得，

且，则，所以为等腰三角形，且，

在中，，即

解得，即F到l的距离为.

故选:C.

8．已知椭圆的左、右焦点分别为、，经过的直线交椭圆于，，的内切圆的圆心为，若，则该椭圆的离心率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】对变形得到，进而得到以，结合椭圆定义可求出，，，由余弦定理求解关系式，求出离心率.

【详解】因为，所以，

如图，在上取一点M，使得，连接，则，

则点I为AM上靠近点M的三等分点，所以，

所以，

设，则，

由椭圆定义可知：，即，所以，

所以，，

故点A与上顶点重合，

在中，由余弦定理得：

，

在中，，

解得：，

所以椭圆离心率为.

故选：A

【点睛】对于求解圆锥曲线离心率问题，要结合题目中的条件，直接求出离心率或求出的齐次方程，解出离心率，本题的难点在于如何将进行转化，需要作出辅助线，结合内心的性质得到三角形三边关系，求出离心率.

二、多选题

9．下列说法中正确的是（    ）

A．若b2=ac，则a，b，c成等比数列

B．等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数

C．数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有

D．若一个常数列是等比数列，则这个数列的公比是1

【答案】CD

【分析】A. 举数列0，0，0判断；B.举数列1，1，1，…，判断； C.由等差数列的定义判断； D.由等比数列的定义判断.

【详解】A. 如数列0，0，0，满足b2=ac，但a，b，c不成等比数列，故错误；

B.如数列1，1，1，…，是等差数列，其前n项和为n，不是常数项为0的二次函数，故错误；

C.若数列{an}为等差数列，则，即，故必要，若，即为，则数列{an}为等差数列，故充分，故正确；D.若一个常数列是等比数列，即，则这个数列的公比是，故正确；

故选：CD

10．嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，对该椭圆下述四个结论正确的是

A．焦距长约为300公里 B．长轴长约为3988公里

C．两焦点坐标约为 D．离心率约为

【答案】AD

【解析】根据椭圆的几何性质及月球直径，分别求得椭圆的和月球半径，即可确定长轴长、焦距和离心率，因为没有建立坐标系，所以不能得到焦点坐标，即C不正确.

【详解】设该椭圆的半长轴长为，半焦距长为.

依题意可得月球半径约为，

，

，

，，，

椭圆的离心率约为，

可得结论A、D项正确，B项错误；

因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，所以C项错误.

综上可知，正确的为AD，

故选：AD.

【点睛】本题考查了椭圆几何性质的实际应用，属于基础题.

11．设等差数列的前n项和为Sn，公差为d．已知，S12＞0，，则（　　）

A． B．

C．Sn＜0时，n的最小值为14 D．数列中最小项为第7项

【答案】ABD

【分析】求得的正负情况判断选项A；求得公差的取值范围判断选项B；求得Sn＜0时，n的最小值判断选项C；求得数列中最小项判断选项D.

【详解】等差数列的前n项和为Sn，首项为，公差为d．

由S12＞0，可得 ，则

又，则，则选项A判断正确；

由， S12＞0，，可得，

解之得，则选项B判断正确；

由可得或（舍）

由，可得，

则Sn＜0时，n的最小值为13. 则选项C判断错误；

由时，，时，，

时，，时，，

可得时，，，，时，

二次函数开口向下，过原点，对称轴

则在时，单调递减，且

又时，为递减数列，为递增数列，为递减数列

则在时，数列为递增数列，则时取得最小值.

则数列中最小项为第7项，则选项D判断正确.

故选：ABD

12．已知抛物线：，过其准线上的点作的两条切线，切点分别为A，B，下列说法正确的是（    ）

A． B．当时，

C．当时，直线的斜率为2 D．直线过定点(0,1)

【答案】ABD

【分析】A选项：根据为准线上的点列方程，解方程即可得到；

B选项：利用导数的几何意义得到过点的切线斜率，然后利用斜率列方程得到，同理得到，即可得到，为方程的解，然后利用导数的几何意义和韦达定理得到，即可得到；

C选项：利用韦达定理和斜率公式求即可；

D选项：联立和得到，同理可得，即可得到直线的方程为，恒过.

【详解】因为为准线上的点，所以，解得，故A正确；

根据抛物线方程得到，则，设切点坐标为，，则，整理得，同理得，所以，为方程的解，，所以，则，故B正确；

由B选项得，所以，故C错；

由B选项得，又，联立得，同理得，所以直线的方程为，恒过点，故D正确.

故选：ABD.

三、填空题

13．若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则____．

【答案】

【详解】试题分析：由题设可得双曲线的一个焦点是,故,故应填.

【解析】抛物线和双曲线的几何性质及运用．

14．等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为_____．

【答案】210

【详解】试题分析：设前3m项和为 x，则 30，100﹣30，x﹣100 成等差数列，解出 x的值，即为所求．

解：等差数列{an}的每m项的和成等差数列，设前3m项和为 x，则 30，100﹣30，x﹣100 成等差数列，

故 2×70=30+（x﹣100 ），x=210，

故答案为210．

【解析】等差数列的性质．

15．若直线上存在一点P，圆上存在一点Q，满足，则实数k的取值范围为________．

【答案】

【分析】设，由得，由Q在圆上、P在直线上，联立圆与直线方程，由有解得，求解即可.

【详解】设，，∴，

∵Q在圆上，∴，联立得，

由有解得，解得.

故答案为：.

四、双空题

16．历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯（公元前375年-325年），大约100年后，阿波罗尼斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质：如图甲，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线表示与椭圆C的切线垂直且过相应切点的直线，如图乙，椭圆C的中心在坐标原点，焦点为，由发出的光经椭圆两次反射后回到经过的路程为．利用椭圆的光学性质解决以下问题：

（1）椭圆C的离心率为__________．

（2）点P是椭圆C上除顶点外的任意一点，椭圆在点P处的切线为在l上的射影H在圆上，则椭圆C的方程为__________．

【答案】     ##0.5    

【分析】(1)由题意得到关于a,c的等式,然后结合离心率的定义即可确定椭圆的离心率;

(2)由题意利用几何关系求得a,b的值即可求得椭圆方程.

【详解】设椭圆C的长轴长为2a(a>0),则由F1发出的光经椭圆两次反射后回到F1，经过的路程为，从而；

如图示：

延长,交于点F0.

在△中,PH⊥F0F2,由反射角等于入射角，可得：,则且H为中点.

在△中,

则,∴,

所以椭圆方程为.

故答案为：；.

五、解答题

17．在中，已知点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为.

（1）求直线的方程；

（2）求点的坐标.

【答案】（1）（2）

【分析】（1）先计算，过点，得到答案.

（2）联立直线方程：解得答案.

【详解】解：（1）由边上的高所在直线方程为得，

则.

又∵，∴直线的方程为，

即（或）.

（2）因为边上的中线过点，则联立直线方程：.

解得：，

即点坐标为.

【点睛】本题考查了直线方程，意在考查学生的计算能力.

18．有下列3个条件：①；②；③，，成等比数列.从中任选1个，补充到下面的问题中并解答

问题：设数列的前项和为，已知，           .

(1)求数列的通项公式；

(2)的最小值并指明相应的的值．

【答案】(1)；

(2)=5或者6时，取到最小值.

【分析】（1）由已知可得，则是公差为2的等差数列，若选①，则由列方程可求出，从而可求出通项公式；若选②，则由列方程可求出，从而可求出通项公式；若选③，则由，，成等比数列可得，由此可求出，从而可求出通项公式；

（2）由（1）可得，再由二次函数的性质可求出其最小值.

【详解】（1）因为,

所以，即是公差为2的等差数列，

选择条件①：因为，所以，则，

解得，所以；

选择条件②：因为，所以，解得，

所以；

选择条件③：因为，，成等比数列，

所以，即，解得，

所以；

（2）由（1）可知，，

所以，

因为，  

所以当或者6时，取到最小值，即

19．等差数列中，，.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据已知求出和公差，再由等差数列通项公式求解即可；

（2）写出的通项公式，可知当时，，当时，；再利用求和公式分别在两个范围内求解.

【详解】（1）由题意得：，解得，；

（2），当时，，；时，，；

当时，；

当时，；即

，综上所述：.

20．已知圆：，直线是过原点O的一条动直线，且与圆交于A，B两点.

(1)若A，B恰好将圆分成长度之比为1：2的两段圆弧，求的斜率；

(2)记AB的中点为M，在绕着原点O旋转的过程中，点M在平面内形成一段曲线E，求E的长度.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设出直线方程，由题可得，即可得出圆心C到弦AB的距离，利用点到直线的距离公式可求出；

（2）由题可得点M在以OC为直径的圆上，即可求出.

【详解】（1）设直线的斜率为，则：，

圆：以点为圆心，2为半径，

因为A，B将圆C分成长度之比为1：2的两段圆弧，所以，

又因为半径，所以圆心C到弦AB的距离为1，

，即，解得.

（2）由于M为AB中点，过原点O的直线l与圆C交于A，B两点，

由垂径定理可知，即，

所以点M在以OC为直径的圆上，设OC的中点为T，则，所以，

所以点M在以为圆心，2为直径的圆T上，

所以，曲线E为圆T在圆C内部的部分圆弧，记圆T与圆C的交点为P，Q，

易得，所以，所以，

所以，即曲线E的长度为.

21．在平面直角坐标系xOy中，设动点M到坐标原点的距离与到x轴的距离分别为d1，d2，且，记动点M的轨迹为Ω.

(1)求Ω的方程

(2)设过点(0，－2）的直线l与Ω相交于A，B两点，当△AOB的面积最大时，求直线l的方程.

【答案】(1)

(2)，或

【分析】（1）利用直译法即可求得Ω的方程；

（2）设出直线l的方程并与Ω的方程联立，利用设而不求的方法得到△AOB的面积的表达式，再利用均值定理即可求得当△AOB的面积最大时直线l的方程.

【详解】（1）设，则，，

则，

故的方程为.

（2）依题意，当轴时不合题意，

故设直线：，令，，

将代入，整理得，

当，即时，

，，

从而，

点到直线的距离，

所以的面积，

设，则，，

（当且仅当，即（满足）时等号成立）

所以当的面积最大时，，

则直线l的方程为.

22．如图，已知抛物线的焦点F，且经过点，．

(1)求p和m的值；

(2)点M，N在C上，且．过点A作，D为垂足，证明：存在定点Q，使得为定值．

【答案】(1)，；

(2)证明见解析.

【分析】（1）由抛物线定义有求，由在抛物线上求m即可.

（2）令，，，联立抛物线得到一元二次方程，应用韦达定理，根据及向量垂直的坐标表示列方程，求k、n数量关系，确定所过定点，再由易知在以为直径的圆上，即可证结论.

【详解】（1）由抛物线定义知：，则，

又在抛物线上，则，可得.

（2）设，，由（1）知：，

所以，，又，

所以，

令直线，联立，整理得，且，

所以，，则，，

综上，，

当时，过定点；

当时，过定点，即共线，不合题意；

所以直线过定点，又，故在以为直径的圆上，

而中点为，即为定值，得证.