2023-2024学年江苏省盐城市大丰区新丰中学高二上学期第二次学情调研数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江苏省盐城市大丰区新丰中学高二上学期第二次学情调研数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，问答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设出该直线的方程，由点在该直线上，即可得出该直线方程.
【详解】设该直线方程为
由点在该直线上，则，即
即该直线方程为
故选：C
【点睛】本题主要考查了由两直线垂直求直线方程，属于中档题.
2．若函数可导，则等于（ ）
A． B．C．D．
【答案】C
【分析】根据导函数的定义得，根据，即可求出结果.
【详解】．
故选：C.
3．曲线y＝x＋上任意一点P处的切线斜率为k，则k的取值范围是（ ）
A．(－∞，－1)B．(－1，1)
C．(－∞，1)D．(1，＋∞)
【答案】C
【分析】结合导数的概念求出，进而可以求出结果.
【详解】上任意一点P(x0，y0)处的切线斜率为
＝
＝ ＝<1，即k<1.
故选：C.
4．已知圆O的半径为5，，过点P的2021条弦的长度组成一个等差数列，最短弦长为，最长弦长为，则其公差为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】可得过点P的最长弦长为直径，最短弦长为过点P的与垂直的弦，分别求出即可得出公差.
【详解】可得过点P的最长弦长为直径，，
最短弦长为过点P的与垂直的弦，，
公差.
故选：B.
5．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【分析】先确定抛物线的焦点坐标，和双曲线的渐近线方程，再由点到直线的距离公式即可求出结果.
【详解】因为抛物线的焦点坐标为，
双曲线的渐近线方程为,
由点到直线的距离公式可得.
故选：B
6．已知双曲线的左顶点为，右焦点为，为双曲线右支上一点，则最小值为
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设P点坐标为（x，y）（x≥1或x≤-1），由双曲线方程可得点坐标为（-1，0），点坐标为（2，0）,则,当x=1，y=0时，取最小值-2，故选A
7．已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段的延长线交椭圆C于点D，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】A
【分析】由题意设椭圆的焦点在轴上，，，设，由解得点坐标，代入椭圆方程，化简即可求得离心率.
【详解】设椭圆的焦点在轴上，方程为，，，
设，由，且，
故，，
由点在椭圆上，
故，整理得，
故离心率，
故选：A.
【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
8．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则a等于（ ）
A．B．1C．D．－1
【答案】C
【分析】对函数求导，由导数几何意义及垂直关系有，即可求参数.
【详解】由题设，则，
又在点处的切线与直线垂直，
所以，所以.
故选：C
二、多选题
9．已知双曲线，给出以下4个命题，真命题的是（ ）
A．直线与双曲线有两个交点
B．双曲线C与1有相同的渐近线
C．双曲线C的焦点到一条渐近线的距离为3
D．双曲线的焦点坐标为
【答案】BC
【分析】根据双曲线的渐近线、焦点坐标，结合各项描述判断正误即可.
【详解】A，因为直线与渐近线平行，与双曲线只有一个交点，错误；
B，两曲线渐近线方程均为，正确；
C，右焦点为到渐近线的距离为，正确；
D，因，所以双曲线焦点坐标为和，错误．
故选：BC
10．设抛物线：（）的焦点为，准线为，A为上一点，以为圆心，为半径的圆交于，两点．若，且的面积为，则（ ）
A．是等边三角形B．
C．点到准线的距离为3D．抛物线的方程为
【答案】ACD
【分析】利用圆的几何性质结合抛物线定义可推出为等边三角形，判断A；确定的边长，根据其面积求得p，即可判断BCD.
【详解】根据题意作图，如图所示:
因为以为圆心，为半径的圆交于，两点，所以，
又，故，A在抛物线上，所以，
所以为等边三角形，故A正确；
因为，则轴，过作于点，则点为的中点，
点的横坐标为，点的横坐标为，所以点A的横坐标为，则，
所以，解得，
则，故B错误；
焦点到准线的距离为，故C正确；
抛物线的方程为，故D正确．
故选：ACD．
11．设，分别为等差数列的公差与前项和，若，则下列论断中错误的有（ ）
A．当时，取最大值B．当时，
C．当时，D．当时，
【答案】ABD
【分析】根据和的正负性可判断A，求出可判断B，用表示、和可判断CD.
【详解】∵，∴，解得，
选项A，∵无法确定和的正负性，∴无法确定是否有最大值，故A错误；
选项B，，故B错误；
选项C，，故C正确；
选项D，，，
∵，∴，，，故D错误.
故选：ABD.
12．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，，，点满足．设点的轨迹为，则（ ）．
A．轨迹的方程为
B．在轴上存在异于，的两点，，使得
C．当，，三点不共线时，射线是的角平分线
D．在上存在点，使得
【答案】BC
【分析】利用求轨迹方程的方法确定轨迹的方程可判断A；设，，由两点间的距离公式结合轨迹的方程可判断B；由角平分线的定义可判断C；设，由求出点的轨迹方程与联立，可判断D.
【详解】对于A，在平面直角坐标系中，，，点满足，
设，则，化简得，
即，所以A错误；
对于B，假设在轴上存在异于，的两点，，使得，
设，，则，
化简得，
由轨迹的方程为，可得，，
解得，或，（舍去），所以B正确；
对于C，当，，三点不共线时，，
可得射线是的角平分线，所以C正确；
对于D，若在上存在点，使得，可设，
则，化简得，
与联立，方程组无解，故不存在点，所以D错误．
故选：BC．
三、填空题
13．过点(1,2)可作圆的两条切线，则实数的取值范围是 ．
【答案】(3,7)
【分析】把已知圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标和半径，由过点可作圆的两条切线，可得在圆外，利用到圆心的距离大于圆的半径,列出关于的不等式，同时考虑大于0 ,两不等式求出公共解集即可得到的取值范围.
【详解】把圆的方程化为标准方程得：，
∴圆心坐标为(－1,2)，半径r＝，
则点到圆心的距离d＝2，
因为点在圆外时，
过点(1,2)总可以向圆作两条切线，
∴d>r即<2，且7－k>0，解得：3则实数k的取值范围是(3,7)，故答案为(3,7)．
【点睛】本题主要考查圆的方程以及点与圆的位置关系，考查了转化思想的应用，属于中档题. 转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将过点可作圆的两条切线转化成点在圆外问题是解题的关键.
14．设椭圆的两个焦点分别为，，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆离心率等于 ．
【答案】
【详解】设到位于轴上方，坐标为，
∵为等腰直角三角形，
∴，即，
即，
∵，
∴，，
∴．
15．若数列的前项和为，，则称数列是数列的“均值数列”.已知数列是数列的“均值数列”且通项公式为，设数列的前项和为，若对一切恒成立，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】首先根据“均值数列”的定义求数列的前项和为，再求数列的通项公式，利用裂项相消法求，再根据不等式恒成立，求实数的取值范围.
【详解】由题意，得数列的前项和为，
由“均值数列”的定义可得，所以，
当时，；
当时，，
也满足，所以，
所以
所以，
又对一切恒成立，
所以，整理得，
解得或.
即实数的取值范围为.
故答案为：
16．在等差数列中，前m项（m为奇数）和为135，其中偶数项之和为63，且，则的值为 ．
【答案】101
【详解】偶数项的和，奇数项的和为，设公差为，
∵奇数项的和-偶数项的和为，
又，∴，∵，∴，，
∵，∴，∴ ，
∴，故答案为.
四、问答题
17．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数为．
（1）求a，b的值；
（2）设函数g(x)＝exsinx＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程．
【答案】（1）a＝1，b＝－8；（2）7x＋y－3＝0．
【分析】（1）求导对比已知条件即可求得a，b的值；
（2）根据导数的几何意义通过求导函数得出切线斜率，再求得切点，结合点斜式求得切线方程．
【详解】（1）因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，所以，
又，所以a＝1，b＝－8．
（2）由（1）可知g(x)＝exsinx＋x2－8x＋3，所以，
所以．
又g(0)＝3，所以g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)，即7x＋y－3＝0．
五、证明题
18．已知圆C：，直线l：．
(1)求证：直线l与圆C恒相交；
(2)当时，过圆C上点作圆的切线交直线l于点P，Q为圆C上的动点，求的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）直线方程整理为关于的方程，然后由恒等式知识列方程组求解得出直线所过定点坐标，证明定点在圆内即可；
（2）求出点坐标，再计算（为圆心），由加减半径得距离的最大值和最小值，从而得所求范围．
【详解】（1）∵直线l的方程可化为m(x＋2y－7)＋2x＋y－8＝0，故l恒过点A(3，2)．
∵(3－2)2＋(2－3)2＝2＜4，即点A在圆C内，
∴直线l与圆C恒相交．
（2）圆心是,圆半径为2,因此过的切线方程为x＝0．
又当m＝1时，l：x＋y＝5，
∴联立，得交点P（0，5），
∴，圆半径为2，
∴．
六、问答题
19．已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若，其中O为坐标原点，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设直线l方程为：.因与圆有两个交点，则其到圆心距离小于半径.
（2）将与圆方程联立，消去，利用韦达定理结合求出k.，并由此算出的面积.
【详解】（1）由题设直线l方程为：，
则其到圆C圆心距离为.
解得.
（2）将与联立得：，消去得：.
由题其大于0，则设.由韦达定理有：
，
又
则
，得.
得直线l方程为：，其过圆心，故
直线l到原点距离为.
故.
【点睛】关键点点睛：本题涉及直线与圆的位置关系，及利用韦达定理解决问题.注意以下两点：（1）处理圆与直线的位置关系时，常利用几何意义.
（2）对于较复杂直线与圆的综合题，常利用韦达定理.
20．给出下列条件：①焦点在轴上；②焦点在轴上；③抛物线上横坐标为的点到其焦点的距离等于；④抛物线的准线方程是.
（1）对于顶点在原点的抛物线：从以上四个条件中选出两个适当的条件，使得抛物线的方程是，并说明理由；
（2）过点的任意一条直线与交于，不同两点，试探究是否总有？请说明理由.
【答案】（1）选择条件①③;详见解析（2）总有，证明见解析
【解析】（1）通过焦点位置可判断条件①适合，条件②不适合，通过准线方程，可判断条件④不适合，利用焦半径公式可判断条件③适合；
（2）假设总有，设直线的方程为，联立，利用韦达定理计算可得结果.
【详解】解：（1）因为抛物线的焦点在轴上，所以条件①适合，条件②不适合.
又因为抛物线的准线方程为：，
所以条件④不适合题意，
当选择条件③时，，
此时适合题意，
故选择条件①③时，可得抛物线的方程是；
（2）假设总有，
由题意得直线的斜率不为，
设直线的方程为，
由得
设，
所以恒成立，，，
则，
所以，
所以，
综上所述，无论如何变化，总有.
【点睛】本题考查直线和抛物线的位置关系，考查韦达定理的应用，考查计算能力，属于中档题.
七、证明题
21．已知数列的前项和为，且满足，.
(1)求证：是等差数列；
(2)求数列的通项公式.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）用和表示即可求解；
（2）由（1）给出的表达式，再用和表示即可求解.
【详解】（1）证明 当时，由得
，
所以，
又，
所以是首项为2，公差为2的等差数列.
（2）由（1）可得，所以.
当时，；
当时，，不符合
故
八、问答题
22．在如图三角形数阵中，第行有个数，表示第行第个数，例如，表示第4行第3个数．该数阵中每一行的第一个数从上到下构成以为公差的等差数列，从第三行起每一行的数从左到右构成以为公比的等比数列（其中）．已知，，．
(1)求及；
(2)记，求．
【答案】(1)；
(2)
【分析】(1）根据题意先分别计算出和关于m的表达式，代入列出关于m的方程，解出m的值，然后先根据等差数列的通项公式计算出的值,再根据等比数列的通项公式计算出的值；
(2）根据题意及（1）推导出数列的通项公式，然后运用错位相减法即可计算出.
【详解】（1）由题意可知，，，
，
，
化简整理得：，解得或（舍去），
，
.
（2）由（1）可得，
当时，，（）
又，，
均满足（）式，
，
，
两式相减，可得，
.