2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市尚志中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）

 2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市尚志中学高二上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知点，则点关于轴的对称点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】关于轴对称，则坐标值不变，坐标变为互为相反数即可.

【详解】解：因为关于轴对称，则坐标值不变，坐标变为互为相反数

所以，点关于轴的对称点的坐标为

故选：D.

2．直线的一个方向向量是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据直线方程写出其对应的方向向量，即可得答案.

【详解】由直线方程知：其方向向量为且，

所以时一个方向向量是.

故选：B

3．与椭圆有公共焦点，且离心率为的双曲线的标准方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据给定条件，求出椭圆的焦点坐标，再利用给定的离心率求解作答.

【详解】由椭圆得，半焦距，显然椭圆焦点在x轴上，

因此双曲线的焦点为，因双曲线离心率为，令其实半轴长为a，即有，解得，

则双曲线虚半轴长，

所以所求双曲线的标准方程为.

故选：A

4．已知、是椭圆的两个焦点，P为椭圆C上一点，且，若的面积为9，则的值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】根据椭圆的定义，和条件列式，再通过变形计算求解.

【详解】由条件可知，

，

即，解得：.

故选：C

【点睛】本题考查椭圆的定义，焦点三角形的性质，重点考查转化与变形，计算能力，属于基础题型.

5．双曲线的两个焦点为，，双曲线上一点到的距离为8，则点到的距离为（    ）

A．2或12 B．2或18 C．18 D．2

【答案】C

【分析】利用双曲线的定义求.

【详解】解：由双曲线定义可知：

解得或（舍）∴点到的距离为18，

故选：C.

6．若直线与曲线恰有两个交点，则实数k的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】如图，直线恒过点，曲线表示出以为圆心，2为半径的右半圆，求出直线与圆相切时的斜率和直线过点的斜率，从而可求出答案.

【详解】如图，直线恒过点，曲线表示出以为圆心，2为半径的右半圆，

设直线与半圆相切于点，则

，解得（舍去）或，

所以，

因为，，所以，

因为直线与曲线恰有两个交点，

所以，

所以，

故选：A

7．如图，四边形为正方形，平面平面，且为正三角形，，为的中点，则下列命题中错误的是（    ）

A． B．∥平面

C．直线与所成角的余弦值为 D．二面角大小为

【答案】B

【分析】取CD的中点O，连接OP，证明出平面ABCD，以O为坐标原点，、、的方向分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断选项的正误.

【详解】

解：取CD的中点O，连接OP，因为为正三角形，O为CD的中点，则，平面平面，平面平面，平面，所以平面ABCD，又因为四边形为正方形，以O为坐标原点，、、的方向分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，，则，选项A正确；

，易知平面的一个法向量为，所以，故AM与平面不平行，选项B错误；

，，所以直线与所成角的余弦值为，选项C正确；

设平面的一个法向量为，，，则，取，则，所以，由图可知，二面角的平面角为锐角，故二面角大小为，选项D正确；

故选：B.

8．已知是椭圆的左､右焦点，点为抛物线准线上一点，若是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用几何性质确定中得，利用可得的关系，即可得椭圆离心率.

【详解】解：如图，抛物线的准线与轴的交点为

因为是椭圆的左､右焦点，所以

抛物线准线为：直线，所以

因为是底角为的等腰三角形，则

则

则 ，整理得：

所以离心率.

故答案为：A.

二、多选题

9．已知空间中三点，，，则（    ）

A．与是共线向量

B．与向量方向相同的单位向量坐标是

C．与夹角的余弦值是

D．在上的投影向量的模为

【答案】BD

【分析】求出向量坐标，，，由空间向量共线定理判断A，求出判断B，根据向量夹角公式计算判断C，求出在上的投影，其绝对值为投影向量的模，判断D．

【详解】由已知，，，

，因此与不共线，A错；

，所以与向量方向相同的单位向量坐标是，B正确；

，，

，C错；

在上的投影是，所以投影向量的模为，D正确

故选：BD．

10．已知圆O：x2+y2＝4和圆M：x2+y2－2x+4y+4＝0相交于A、B两点，下列说法正确的是（　　）

A．圆M的圆心为（1，－2），半径为1

B．直线AB的方程为x－2y－4＝0

C．线段AB的长为

D．取圆M上点C（a，b），则2a－b的最大值为

【答案】ABD

【分析】化圆M的一般方程为标准方程，求出圆心坐标与半径判断A；联立两圆的方程求得AB的方程判断B；由点到直线的距离公式及垂径定理求得AB的长判断C；利用直线与圆相切求得2a－b的范围判断D．

【详解】由圆M：x2+y2－2x+4y+4＝0，得(x－1)2+(y+2)2＝1，

则圆M的圆心为（1，－2），半径为1，故A正确；

联立圆O：x2+y2＝4和圆M：x2+y2－2x+4y+4＝0，消去二次项，

可得直线AB的方程为x－2y－4＝0，故B正确；

圆心O到直线x－2y－4＝0的距离d，圆O的半径为2，

则线段AB的长为2，故C错误；

令t＝2a－b，即2a－b－t＝0，由M（1，－2）到直线2x－y－t＝0的距离等于圆M的半径，

可得，解得t＝4．

∴2a－b的最大值为，故D正确．

故选：ABD．

11．已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，且的最小值为1，M是线段AB的中点，是平面内一定点，则（    ）

A．

B．若，则M到x轴距离为3

C．若，则

D．的最小值为4

【答案】ABD

【分析】根据给定的条件，求出抛物线的方程，结合抛物线定义，逐项分析计算即可判断作答.

【详解】抛物线上的点A到抛物线焦点F距离的最小值为1，则有，解得，A正确；

抛物线的方程为，焦点，准线，设，

对于B，点，由抛物线的定义知，，

有，所以M到x轴距离，B正确；

对于C，，由得：，即，

又，即，则，解得，

于是得，C不正确；

对于D，抛物线中，当时，，因此点在抛物线上方，

过点P作于，交抛物线于点Q，连QF，过A作于，连AF，AP，，如图，

显然，当且仅当点A与Q重合时取等号，

所以，D正确.

故选：ABD

12．若方程所表示的曲线为，则下列命题正确的是（    ）

A．若为椭圆，则 B．若为双曲线，则或

C．曲线可能是圆 D．若为焦点在轴上的椭圆，则

【答案】BC

【解析】根据方程所表示的曲线为的形状求出的取值范围，进而可判断各选项的正误.

【详解】对于A选项，若为椭圆，则，解得，A选项错误；

对于B选项，若为双曲线，则，即，解得或，B选项正确；

对于C选项，若曲线为圆，则，解得，C选项正确；

对于D选项，若为焦点在轴上的椭圆，则，解得，D选项错误.

故选：BC.

三、填空题

13．过双曲线的右焦点且弦长为8的直线有______条.

【答案】3

【分析】先验证直线斜率不存在时是否符合题意，然后斜率存在时，设出直线，与双曲线联立，利用韦达定理和弦长公式计算求出满足条件的直线方程.

【详解】双曲线的标准方程为，右焦点

设直线与双曲线交于，

当直线斜率不存在时，直线方程的方程为，

令，则，得，此时弦长为，符合题目；

当直线斜率存在时，设直线方程为

联立，可得，

，解得且

，

解得

综上，总共有三条直线符合条件

故答案为：3.

14．已知直线l：x＋y＝0与双曲线无公共交点，则双曲线C离心率e的取值范围为_______．

【答案】

【分析】双曲线的一条渐近线方程为，由直线与双曲线无公共点，得，进而可得答案．

【详解】双曲线的一条渐近线方程为，

因为直线与双曲线无公共点，

所以，即，

所以，

又，

所以离心率的取值范围为，

故答案为：

15．若两平行平面、分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量为，则两平面间的距离是______．

【答案】

【分析】根据给定条件，结合平行平面距离的意义，利用空间向量计算作答.

【详解】依题意，平行平面间的距离即为点O到平面的距离，

而，所以平行平面、间的距离.

故答案为：

16．是椭圆上一点，M，N分别是椭圆E的左、右顶点，直线的斜率之积，则椭圆的离心率为___________．

【答案】##

【分析】根据直线的斜率之积列方程，化简求得，由此求得椭圆的离心率.

【详解】依题意，

，

.

故答案为：

四、解答题

17．已知向量，，.

(1)当时，若向量与垂直，求实数x和k的值；

(2)当时，求证：向量与向量，共面.

【答案】(1)；；

(2)证明见解析.

【分析】（1）根据可求得，再根据垂直的数量积为0求解即可.

（2）设，根据条件可得，根据共面向量定理即得.

【详解】（1）因为,

所以，

解得，

因为，向量与垂直，

所以，

∴，

∴；

所以实数和的值分别为和；

（2）当时，，

设（），

则，

，解得，

即，

所以向量与向量，共面.

18．已知圆经过，两点，且圆心在直线上.

(1)求经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程；

(2)求圆的标准方程.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）由于直线在两个坐标轴的截距相同，则分两种情况处理，直线过原点和直线截距相等不为零设直线方程求解即可；

（2）根据圆的几何性质设圆心坐标，列式求解即可得圆的方程.

【详解】（1）解：经过点，在两坐标轴上的截距相等的直线，当直线过原点时，直线的方程为，当直线不过原点时，设直线的方程为，将点代入解得，即直线的方程为，所以所求直线的方程为或.

（2）解：因圆心在直线上，则设圆心，

又圆经过，两点，于是得圆的半径，

即有，解得，圆心，圆的半径，

所以圆的标准方程为.

19．已知抛物线C：，经过点．

(1)求抛物线C的方程及准线方程；

(2)设O为原点，直线与抛物线相交于A，B两点，求证：OA⊥OB．

【答案】(1)，

(2)证明见解析

【分析】（1）把点代入抛物线方程即可求解；

（2）设，，联立，利用根于系数的关系，由平面向量的数量积证明，即可得证

【详解】（1）因为点在抛物线上，

所以，解得，

故抛物线的方程为，

准线方程为；

（2）设，

联立得

，

，

因为

所以

所以

20．如图，直三棱柱中，为的中点，，，.

(1)证明：平面；

(2)线段上是否存在点，使得二面角的平面

角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)不存在，理由见解析

【分析】（1）连接交于点，连接，利用中位线的性质可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；

（2）由正弦定理可求得，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可得出关于的等式，解方程即可.

【详解】（1）证明：连接交于点，连接，

在三棱柱中，四边形为平行四边形，则为的中点，

又因为为的中点，则，

平面，平面，平面.

（2）解：在中，由正弦定理得，则，

所以，，

因为平面，，

以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

设，则，，

故，，，其中，

设平面的法向量为，

则，令，得，

设平面的法向量为，

则，令，得.

假设存在点满足条件，则，

整理得，解得，不合题意，

故线段上不存在点使得二面角的平面角为.

21．动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，记动点M的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)已知过点的直线与曲线C相交于两点，，请问点P能否为线段的中点，并说明理由.

【答案】(1)

(2)不能，理由见解析.

【分析】（1）利用题中距离之比列出关于动点的方程即可求解；

（2）先假设点P能为线段的中点，再利用点差法求出直线的斜率，最后联立直线与曲线进行检验即可.

【详解】（1）解：动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是

则

等式两边平方可得：

化简得曲线C的方程为：

（2）解：点不能为线段的中点，理由如下：

由（1）知，曲线C的方程为：

过点的直线斜率为，，

因为过点的直线与曲线C相交于两点，

所以，两式作差并化简得：①

当为的中点时，则，②

将②代入①可得：

此时过点的直线方程为：

将直线方程与曲线C方程联立得：

，

，无解

与过点的直线与曲线C相交于两点矛盾

所以点不能为线段的中点

【点睛】方法点睛：当圆锥曲线中涉及中点和斜率的问题时，常用点差法进行求解.

22．已知椭圆的长轴长为6，椭圆短轴的端点是，，且以为直径的圆经过点 ．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于两点．试问x轴上是否存在定点P，使PM平分 ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)存在定点；

【分析】（1）根据题意确定的值，即可求得椭圆方程；

（2）设 ，直线 的方程为，联立方程可得根与系数的关系式，假设x轴上存在定点P，使平分，则可得 ，结合根与系数的关系化简，求得参数的值，可得结论.

【详解】（1）因为椭圆的长轴长为6，故，

椭圆短轴的端点是，，且以为直径的圆经过点，则，

所以椭圆C的方程是 ；

（2）设 ，直线的方程为，

将直线的方程与椭圆C的方程联立，

消去x得，因为M点在椭圆内，则必有，

所以，，

假设x轴上存在定点P，使平分，则直线的倾斜角互补，

所以 ，

设 ，则有 ，

将代入上式，整理得 ，

所以，

将 ，代入上式，整理得 ，

由于上式对任意实数m都成立，所以 ，

综上，存在定点 ，使平分 ．