2022-2023学年福建省上杭县第二中学高二上学期12月月考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年福建省上杭县第二中学高二上学期12月月考数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省上杭县第二中学高二上学期12月月考数学试题 一、单选题1．已知为数列的前n项和，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用得到公比，利用求出首项，利用求和公式求出答案.【详解】因为，所以数列为等比数列，公比，所以，解得：，所以故选：D2．现有5幅不同的油画，2幅不同的国画，7幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（    ）A．7种 B．9种 C．14种 D．70种【答案】C【分析】根据分类加法计数原理求解即可【详解】分为三类:从国画中选，有2种不同的选法;从油画中选，有5种不同的选法;从水彩画中选，有7种不同的选法，根据分类加法计数原理，共有5+2+7= 14(种)不同的选法;故选：C3．已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（    ）A．2 B．3 C．6 D．9【答案】C【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得.故选：C.【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.4．圆 与直线 的位置关系是（    ）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定【答案】C【解析】求出圆心到直线的距离，与半径大小作比较，得出位置关系【详解】圆心为，半径圆心到直线的距离为所以直线与圆相离故选：C【点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．5．的展开式中的系数为（    ）A．270 B．135 C．－270 D．－135【答案】B【分析】由二项式展开项通项公式求出对应的项数即可求.【详解】二项式展开项第项为，则当时，.故选：B6．设点在双曲线上，若､为双曲线的两个焦点，且，则的周长等于（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由双曲线方程求得焦距，然后由双曲线的定义和已知焦半径之比，求得，从而得三角形周长．【详解】解：由题意知，由双曲线定义知，又，的周长为：.故选：A.7．在平面直角坐标系中，点A，B分别是x轴、y轴上的两个动点，有一定点，则的最小值是（    ）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】A【分析】根据题意作图，分类讨论：当A与B重合于坐标原点O时；当A与B不重合时，从而可求得答案.【详解】如图，设点关于y轴的对称点为P，关于x轴的对称点为Q，则P的坐标为，Q的坐标为，则．当A与B重合于坐标原点O时，；当A与B不重合时， ．综上可知，当A与B重合于坐标原点O时， 取得最小值10．故选：A8．已知椭圆C：（）的左､右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相交，则椭圆C的离心率的取值范围为（    ）A． B． C． D．.【答案】B【分析】由题设以线段为直径的圆为，根据直线与圆相交，利用点线距离公式列不等式求椭圆C的离心率的范围.【详解】由题设，以线段为直径的圆为，与直线相交，所以，可得，即，又，所以.故选：B 二、多选题9．给出下列几个问题，其中是组合问题的是（    ）A．求由1，2，3，4构成的含有两个元素的集合的个数B．求5个队进行单循环比赛的分组情况的种数C．3人去做5种不同的工作，每人做1种，求不同的安排种数D．求由1，2，3组成无重复数字的两位数的个数【答案】AB【分析】根据组合的定义判断可得选项.【详解】解：A，B中选出元素就完成了这件事，是组合问题；而C，D中选出的元素还需排列，与顺序有关，是排列问题.故选：AB.10．已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则（    ）A．实轴长为8 B．虚轴长为4C．焦距为6 D．离心率为【答案】ABD【分析】求出双曲线的标准方程，得到a＝4，b＝2，c＝6，即得解.【详解】解：双曲线方程x2－8y2＝32化为标准方程为－＝1，可得a＝4，b＝2，c＝6，所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为4，焦距为12，离心率为.故选：ABD11．设，则（    ）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】令可判断选项AB；令，令可判断选项CD.【详解】令，解得，故选项A错误，B正确.令，得，故选项C正确.令，得，故，即，故选项D正确.故选：BCD．12．在平面直角坐标系中，已知为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，，则（    ）A． B．直线过点C．的面积最小值是 D．与面积之和的最小值是【答案】BCD【分析】设：，联立方程后得关于的一元二次方程，由韦达定理写出，，再由，即可得，再结合，求解出，从而判断AB，再根据三角形面积公式表示出与的面积，由基本不等式可判断CD.【详解】设：，，消可得.，得，，∴，则或∵，∴，∴，，故A错；：过，故B对；设定点，，当且仅当时，取等号，故C对；又，不妨设，又，，当且仅当时，取等号，故D对.故选：BCD.【点睛】解决直线与抛物线的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、抛物线的条件；（2）强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 三、填空题13．已知直线l经过点P（0，1）且一个方向向量为（2，1），则直线l的方程为______．【答案】【分析】根据方向向量可得直线的斜率，进而根据点斜式求解方程即可.【详解】因为直线l的一个方向向量为（2，1），所以其斜率为，所以直线l的方程为，即．故答案为：14．数列满足，且，则它的通项公式______．【答案】##【分析】根据给定条件，结合等差数列定义求出公差，再求出通项作答.【详解】因数列满足，即，因此数列是首项为1，公差为的等差数列，所以数列的通项公式为.故答案为：15．已知双曲线C：的离心率为，A，B分别是双曲线的左、右顶点，点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，则直线PA、PB的斜率之积等于___．【答案】【分析】根据题意得到，设且，根据斜率公式求出，并且化简到只有离心率的表达式.【详解】因为双曲线C：所以，设且即，所以故答案为：16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一个动点，为圆上一个动点，则的最大值为__________【答案】12【分析】根据椭圆定义及圆心位置、半径，应用分析法要使最大只需让最大即可，由数形结合的方法分析知共线时有最大值，进而求目标式的最大值.【详解】由题意得：，根据椭圆的定义得，∴，圆变形得，即圆心，半径，要使最大，即最大，又，∴使最大即可.如图所示：∴当共线时，有最大值为，∴的最大值为，∴的最大值，即的最大值为11+1=12，故答案为：12 四、解答题17．已知曲线C的方程为，根据下列条件，求实数m的取值范围：(1)曲线C是椭圆；(2)曲线C是双曲线．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据椭圆的标准方程可得，即求；（2）利用双曲线的标准方程可得，即求.【详解】（1）∵曲线C的方程为，∴，又曲线C是椭圆，∴，解得且，∴实数m的取值范围为；（2）∵曲线C是双曲线，∴，解得或，故实数m的取值范围为.18．从5名男生和4名女生中选出4人去参加座谈会，问：（1）如果4人中男生和女生各选2人，有多少种选法？（2）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有多少种选法？【答案】（1）60；（2）91【分析】（1）根据题意，分别计算“从5名男生中选出2人”和“从4名女生中选出2人”的选法数目，由分步计数原理计算可得答案；（2）用间接法分析：先计算在9人中任选4人的选法数目，再排除其中“甲乙都没有入选”的选法数目，即可得答案；【详解】解：（1）根据题意，从5名男生中选出2人，有种选法，从4名女生中选出2人，有种选法，则4人中男生和女生各选2人的选法有种；（2）先在9人中任选4人，有种选法，其中甲乙都没有入选，即从其他7人中任选4人的选法有种，则甲与女生中的乙至少要有1人在内的选法有种；【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于中档题.19．在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：，设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N（6，n），．(1)求圆N的标准方程；(2)若直线l过点（0，－4）且与圆N相交于P，Q两点，O为坐标原点，且，求此时直线l的方程．【答案】(1)(2) 【分析】（1）设圆方程为，根据与圆外切得到，解得答案.（2）联立方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，代入计算得到或，验证即可.【详解】（1）圆与轴相切，圆为：，，又圆与圆外切，圆，即圆，圆心，半径；由，解得，故圆的标准方程为．（2）依题意，直线的斜率存在，设，联立，消得，设，则，由 ，得或，当时，舍去.故直线.20．已知椭圆：的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于不同的两点A、B，若P为线段AB的中点，O为坐标原点，直线OP的斜率为－．(1)求椭圆的方程；(2)求弦长|AB|．【答案】(1)(2) 【分析】(1)设,根据点差法和中点坐标公式及斜率公式可得,再与联立求解即可.(2)直线与椭圆方程联立求出交点,再由两点间距离公式计算即可.【详解】（1）设，由①－②得，∴    过点F的直线斜率为1∴，即又，∴，∴  ∴椭圆方程为（2）消去得   解得从而   ∴A（0，），B（－，－）∴.21．已知正项数列的前项和为，且．(1)求的通项公式；(2)令，数列{}的前项和为，证明：对于任意的，都有．【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】(1)应用与关系, 计算并检验,得出;(2)由(1)得到,应用裂项相消,结合,即可得证.【详解】（1）当n＝1时，，当时，，n＝1时也适用，∴（2），，，又为n的增函数，∴当n＝1时，最小为，22．在直角坐标系xOy中，已知点，，直线AD，BD交于D，且它们的斜率满足：．(1)求点D的轨迹C的方程；(2)设过点的直线l交曲线C于P，Q两点，直线OP与OQ分别交直线 于点M，N，是否存在常数，使，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)；(2)存在，λ的值为4. 【分析】(1)设出点D的坐标，根据给定条件列式、化简整理即可作答.(2)设出直线l的方程，与轨迹C的方程联立，借助韦达定理计算三角形面积即可判断作答.【详解】（1）设，而点，，则，，又，于是得，化简整理得：，所以点D的轨迹C的方程是：.（2）存在常数，使，如图，  依题意，直线l的斜率存在且不为0，设直线l：，，，由消去y得：，则，，，则，直线OP：，取，得点M横坐标，同理得点N的横坐标，则，因此有，于是得，所以存在常数，使.