2022-2023学年福建省上杭县第二中学高一上学期12月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年福建省上杭县第二中学高一上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．若命题“，”为假命题，则的取值范围是（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】A

【分析】先转化为命题的否定，再由一元二次不等式的性质求解即可.

【详解】命题“，”的否定为“，”，该命题为真命题，即，解得.

故选：A

2．若角的终边上一点的坐标为，则(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据任意角三角函数的定义即可求解.

【详解】∵角的终边上一点的坐标为，它与原点的距离，

∴，

故选：C.

3．设（、为互不相等的正实数），，则与的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由基本不等式求得的范围，由二次函数性质求得的最大值后可得结论．

【详解】、为互不相等的正实数，则，

所以，

，时，，

所以．

故选：A．

4．已知，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用换元法设，则，然后利用三角函数的诱导公式进行化简求解即可．

【详解】设，则，则，

则，

故选：．

5．若函数f（x）=3ax﹣k+1（a＞0，且a≠1）过定点（2，4），且f（x）在定义域内是增函数，则函数g（x）=loga（x-k）的图象是      

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】函数图象过定点，则，在定义域内为增函数，可知．则原函数为．其定义域为且函数为增函数．故本题答案选．

6．已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】通过时，恒成立可得到在上递增，通过是偶函数可得到的图象关于直线对称，即可求出答案

【详解】解：∵当时，恒成立，

∴当时，，即，

∴函数在上为单调增函数，

∵函数是偶函数，即，

∴函数的图象关于直线对称，∴，

又函数在上为单调增函数，∴，

即，∴，

故选：B．

7．设函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】作出图象，不妨设，，由数形结合及二次函数图象性质可得，，即可求范围.

【详解】不妨设，，如图所示，，由 ，

故，，故.

故选：D

8．斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数1，1，2，3，5，8，…为边长比例的正方形拼成矩形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．如图，矩形是由若干符合上述特点的正方形拼接而成，其中，则图中的斐波那契螺旋线的长度为（    ）

A．11π B．12π C．15π D．16π

【答案】B

【分析】根据斐波那契螺旋线的特点，首先求出正方形的边长，再由弧长公式求题图中斐波那契螺旋线的长度.

【详解】不妨设正方形的边长为，则，解得，

所以图中斐波那契螺旋线的长度为．

故选：B．

二、多选题

9．若实数a，b，c，d满足，则以下不等式一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】根据所给条件，结合不等式的性质判断各选项的正误即可.

【详解】由且，则，A正确；

由且，则，B正确；

当时，有，C错误；

由且，则，又，故，D正确.

故选：ABD

10．给出下列四个结论，其中正确的结论是（    ）

A．函数的最小值为

B．已知函数（，且）在上是减函数，则的取值范围是

C．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于轴对称

D．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称

【答案】AD

【分析】利用和的单调性判定选项A正确；利用对数式真数为正和函数的单调性判定选项B错误；利用换底公式得到，再判定图象的对称性，即判定选项C错误；利用反函数的图象性质判定选项D正确.

【详解】对于A：令，则，

因为是减函数，所以，

即函数的最小值为，

即选项A正确；

对于B：函数在上是减函数，

所以，解得，

即选项B错误；

对于C：因为，

所以与的图象关于轴对称，

即选项C错误；

对于D：因为与互为反函数，

所以它们的图象关于直线对称，

即选项D正确.

故选：AD.

11．德国数学家狄利克雷（1805~1859）在1837年时提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，那么是的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个，有一个确定的和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示，例如狄利克雷函数，即：，以下关于狄利克雷函数的性质正确的有（    ）

A． B．的值域为

C．定义域为 D．

【答案】ACD

【分析】根据函数解析式逐项判断即可.

【详解】由函数，可知函数定义域为，值域为，故C正确、B不正确；

当为有理数时，，；当为无理数时，，；所以当，，故A正确；

当为有理数时，为有理数，当为无理数时，为无理数，即，故D正确；

故选：ACD.

12．已知函数，．记，则下列关于函数的说法正确的是（    ）

A．当时，

B．函数的最小值为

C．函数在上单调递减

D．若关于的方程恰有两个不相等的实数根，则或

【答案】ABD

【分析】得到函数，作出其图象逐项判断.

【详解】由题意得：，其图象如图所示：

由图象知：当时，，故A正确；

函数的最小值为，故正确；

函数在上单调递增，故错误；

方程恰有两个不相等的实数根，则或，故正确；

故选：ABD

三、填空题

13．已知扇形的周长为，半径为，则该扇形的面积是___________.

【答案】2

【分析】首先求出弧长，即可求出圆心角，再根据扇形面积公式计算可得.

【详解】解：因为扇形的周长为，半径，所以扇形的弧长为，

设扇形的圆心角的弧度数为，由弧长公式得，解得，

所以该扇形的面积是.

故答案为：

14．函数的单调递增区间是______．

【答案】

【分析】先求得函数的定义域，然后根据复合函数单调性同增异减求得正确答案.

【详解】由解得或，

所以函数的定义域是，

由于的开口向上，对称轴为，

在上递增，

根据复合函数单调性同增异减可知，

函数的单调递增区间是.

故答案为：

15．已知f(x)=，则____.

【答案】##

【分析】由，代入分段函数即可得出答案.

【详解】，

所以.

故答案为：

16．已知函数定义城为，恒有，时；若函数有4个零点，则t的取值范围为______．

【答案】

【分析】先化简函数的解析式，再转化为两函数图象的交点去判断函数有4个零点时t的取值范围.

【详解】设，则，则，

设，则，

则

，

则，则，

函数图象如下：

由，可得，或，

由，可得，或，或，

则仅有一根，又，，

则，解之得，

故答案为：.

四、解答题

17．计算下列各式的值：

(1)；

(2)．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据指数、根式运算求得正确答案.

（2）根据对数运算求得正确答案.

【详解】（1）

（2）

.

18．已知求：

(1)

(2)

【答案】(1)0

(2)

【分析】（1）根据给定条件，利用诱导公式及正余弦齐次式法计算作答.

（2）根据给定条件，利用正余弦齐次式法计算作答.

【详解】（1）因，所以.

（2）因，所以

.

19．设函数f(x)=ax2+(b－2)x+3（a≠0）．

(1)若不等式f(x)＞0的解集(－1，1)，求a，b的值；

(2)若f(1)=2，

①a＞0，b＞0，求的最小值；

②若f(x)＞1在R上恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】(1)；

(2)①9；②

【分析】（1）由一元二次不等式的解得一元二次方程的解，利用根与系数关系列方程求解；

（2）由条件得，①利用基本不等式求最小值；②化简不等式为标准的一元二次不等式，然后由一元二次不等式恒成立可得．

【详解】（1）由题意的两根是和1且，

所以，解得．

（2）①，，

又，

所以，当且仅当，即时等号成立．

所以的最小值是9．

②由①得，，即，

的解集为R，时，不合题意，

所以，且，解得，

所以的范围是．

20．某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为（单位：元）.

(1)求的函数关系式；

(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？

【答案】(1)

(2)当施用肥料为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为480元

【分析】（1）利用，即可求解；

（2）对进行化简，得到，然后，分类讨论和时，的取值，进而得到答案.

【详解】（1）根据题意，，化简得，

（2）由（1）得

当时，

当时，

当且仅当时，即时等号成立.

因为，所以当时，.

故当施用肥料为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为480元.

21．已知定义域为R的函数 是奇函数.

(1)求a、b的值；

(2)证明f(x)在(-∞，+∞)上为减函数;

(3)若对于任意R，不等式恒成立，求k的范围

【答案】(1)，；

(2)证明见解析；

(3)

【分析】（1）根据奇函数的性质由特殊值求得参数值，然后验证结论成立．

（2）由单调性的定义证明；

（3）由奇偶性变形，由单调性化简后求解．

【详解】（1）由已知，， ，

，，所以，解得，

，此时定义域是R，，为奇函数．

所以，；

（2）由（1），

设任意两个实数，，则，

，所以，即，

所以是减函数；

（3）不等式化为，

是奇函数，则有，

是减函数，所以，

所以恒成立，易知的最小值是，

所以．

22．知函数,.

(1)求方程的解集;

(2)若的定义域是,求函数的最值;

(3)若不等式对于恒成立,求的取值范围.

【答案】（1）   （2），  （3）

【分析】（1）将表达式代入中求解方程的解.（2）写出表达式后化简求值域.（3）先将不等式进行换元处理后，分离参数求解的取值范围.

【详解】（1）

因为，即

即或，所以或,

方程的解集为.

（2）因为的定义域是,所以的定义域

所以

又

设，则

所以，即

所以，

（3）设

所以不等式对于恒成立等价于

不等式对于恒成立

即在恒成立

第一种情况：当时，即，满足条件.

第二种情况：当时，即，，所以舍去，即

满足条件.

第三种情况：当时，即或者时

              i>，解得：

              ii>解得：无解.

综上所述： .

【点睛】此题考查换元思想和含参讨论二次函数在定区间恒成立问题，难点是分类讨论时的依据，属于较难题目.