2021-2022学年四川省泸州市泸县第四中学高二下学期期中数学（理）试题（解析版）

2021-2022学年四川省泸州市泸县第四中学高二下学期期中数学（理）试题

一、单选题

1．某学校有教师100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上（包括50岁）的人，用分层随机抽样的方法从中抽取20人，从低到高各年龄段分别抽取的人数为（       ）

A．7，5，8 B．9，5，6 C．6，5，9 D．8，5，7

【答案】B

【分析】根据分层抽样的计算方法计算可得；

【详解】解：因为样本容量与总体的个体数比为，

所以在每个层次抽取的个体数依次为：

，，．

故选：．

2．已知a∈R，若a–1+(a–2)i(i为虚数单位)是实数，则a=（       ）

A．1 B．–1 C．2 D．–2

【答案】C

【分析】根据复数为实数列式求解即可.

【详解】因为为实数，所以，

故选：C

【点睛】本题考查复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题.

3．命题的否定形式是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据全称命题的否定是特称命题求解.

【详解】因为命题：，，是全称命题，

所以其否定是特称命题，故为：，.

故选：D

4．若，则（       ）

A．1 B．2 C．4 D．8

【答案】A

【分析】由题意结合导数的运算可得，再由导数的概念即可得解.

【详解】由题意，所以，

所以.

故选：A.

【点睛】本题考查了导数的运算、导数概念的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

5．函数在上的最大值为

A． B． C． D．0

【答案】D

【分析】求得函数的导数，得出函数的单调性，即可求解函数的最大值，得到答案．

【详解】由题意，函数，则，

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减，

所以当，函数取得最大值，最大值为，故选D．

【点睛】本题主要考查了导数在函数中的应用，其中解答中利用导数求得函数的单调性是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．

6．某学生四次模拟考试时，其英语作文的减分情况如下表:

显然所减分数y与模拟考试次数x之间有较好的线性相关关系，则其线性回归方程为（       ）A．              B．

C． D．

【答案】D

【分析】由中心点满足回归方程可得.

【详解】由已知，中心点满足方程，

故选:D

7．已知抛物线的焦点为F，是上一点，，则（       ）.

A．1 B．2 C．4 D．8

【答案】A

【分析】根据抛物线的定义，将焦半径转化为点到准线的距离，列出方程，即可求得.

【详解】因为抛物线的焦点为F，是上一点，

故可得，解得.

故选：.

8．原子有稳定和不稳定两种．不稳定的原子除天然元素外，主要由核裂变或核聚变过程中产生碎片形成，这些不稳定的元素在放出α、β、γ等射线后，会转变成稳定的原子，这种过程称之为“衰变”．这种不稳定的元素就称为放射性同位素．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益．假设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系，其中N0为时钍234的含量．已知时，钍234含量的瞬时变化率为，则（       ）

A．12贝克 B．12 ln2贝克 C．6贝克 D．6 ln2贝克

【答案】A

【解析】由时，钍234含量的瞬时变化率为，可求，从而可求.

【详解】解：，所以，

，(贝克)，

故选：A.

【点睛】考查导数的几何意义以及求函数的值，基础题.

9．设椭圆C：的左、右焦点分别为、，P是C上的点，⊥，

∠=，则C的离心率为

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝ m，

             故离心率e＝选D.

点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.

10．某厂生产x万件某产品的总成本为C(x)万元，且．已知产品单价（单位：元）的平方与x成反比，且生产100万件这样的产品时，单价为50元，则为使总利润y（单位：万元）最大，产量应定为（       ）

A．23万件 B．25万件 C．50万件 D．75万件

【答案】B

【分析】设生产件产品时，总利润为,由条件求其解析式，用导数的方法研究其单调性，即可求出结果.

【详解】设产品单价为，因为产品单价的平方与产品件数成反比，所以,（其中为非零常数），又生产件这样的产品单价为元，所以，

故，所以，

记生产件产品时，总利润为,

所以,

则，令有，且在上单调递减，故由，得；由，得，

故函数在上单调递增，在上单调递减，

因此当时，取最大值，即产量定为万件时，总利润最大．

故选：B

11．已知双曲线的焦点在轴上，对称中心为原点，为等边三角形．若点在轴上，点，在双曲线上，且双曲线的虚轴为的中位线，则双曲线的渐近线方程为（       ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据为等边三角形，且双曲线的虚轴为的中位线，得到，则 ，将的坐标代入双曲线方程求解.

【详解】如图所示：

设双曲线方程为，虛轴长为，

则，、关于轴对称，不妨设在双曲线左支，

则其纵坐标为，

因为为等边三角形，，

所以，

故，将的坐标代入双曲线方程有，

则，

所以渐近线方程为．

故选：A

12．对任意的x∈R,函数不存在极值点的充要条件是(　　)

A． B．或

C．或 D．或

【答案】A

【详解】，对任意的x∈R,函数不存在极值点,只需

，选A.

二、填空题

13．已知函数，则函数的极大值为 ___________．

【答案】

【解析】对函数求导，通过赋值，求得，再对函数单调性进行分析，求得极大值.

【详解】，故

解得， ，

令，解得

函数在单调递增，在单调递减，

故的极大值为

故答案为：.

【点睛】本题考查函数极值的求解，难点是要通过赋值，求出未知量.

14．，，若且为假命题，则的取值范围是__________.

【答案】

【解析】化简命题，，转化条件得，中至少有一个为假命题，即可得解.

【详解】为真时，；为真时，.

“且”为假命题，

，中至少有一个为假命题，

或或，整理得或.

故答案为：.

【点睛】本题考查了复合命题真假性的应用，属于基础题.

15．由曲线y=x2和y2=x围成的封闭图形的面积是____．

【答案】

【详解】试题分析：联立两个解析式得到两曲线的交点坐标，然后对函数解析式求定积分即可得到曲线y=x2与y2="x" 所围成的图形的面积．

解：先将y2=x化成：，

联立的：因为x≥0，所以解得x=0或x=1

所以曲线y=x2与 所围成的图形的面积S=∫01（ ﹣x2）dx=﹣x3|01=

故答案为．

【解析】定积分在求面积中的应用．

16．若直线与曲线没有公共点，则实数所的取值范围是______.

【答案】

【解析】根据题意作出曲线的图象，然后采用平移直线的方法求解出的临界值，由此求解出的取值范围.

【详解】如下图所示：即为，表示圆心在，半径为的半圆，

当直线与曲线在左下方相切时，此时，所以，此时（舍）或；

当直线经过点时，，所以，

综上可知：当直线与曲线没有交点时，，

故答案为：.

【点睛】思路点睛：根据直线与半圆的交点数求解参数范围的思路：

（1）根据条件画出半圆的图象确定好圆心和半径；

（2）采用平移直线的方法确定出直线的临界位置；

（3）利用圆心到直线的距离公式以及直线经过某点求解出参数的临界值，由此确定出参数的取值范围.

三、解答题

17．在平面直角坐标系中，为曲线(为参数)上的动点，将点纵坐标变为原来的倍，横坐标变为原来的一半得到点，记点的轨迹为，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线的极坐标方程；

（2），是曲线上不同于的两点，且，，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由题知曲线(为参数)，再将参数方程化为普通方程，将普通方程化为极坐标方程；

（2）设，，进而根据极坐标的意义得计算求解即可.

【详解】曲线(为参数)，

化为普通方程为：，

所以曲线的极坐标方程为.

设，，，

因为，所以，

所以的取值范围是

【点睛】本题考查坐标的伸缩变换，参数方程，普通方程，极坐标方程之间的互化，极坐标的几何意义求解距离问题，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于设，，进而利用极坐标的几何意义并结合三角函数性质求解.

18．从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图(如图).

（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；

（2）求频率分布直方图中的，的值；

（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组.(只需写出结论)

【答案】（1）0.9；（2）＝0.085，＝0.125；（3）第4组.

【解析】（1）根据频率分布表求出1周课外阅读时间少于12小时的频数，再用频率和为1求出所求的频率；

（2）根据小矩形的高，即可求、的值；

（3）利用平均数公式求得数据的平均数，可得答案．

【详解】解：（1）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有6＋2＋2＝10(名)，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是

故从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9.

（2）课外阅读时间落在组[4，6)内的有17人，频率为0.17，所以＝＝＝0.085.

课外阅读时间落在组[8，10)内的有25人，频率为0.25，所以＝＝＝0.125.

（3）同一组中的每个数据用该组区间的中点值代替，

则数据的平均数为：

（小时），

样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第四组．

19．已知函数．

（Ⅰ）若是的极值点，确定的值；

（Ⅱ）当时，，求实数的取值范围．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）求导，根据得到答案.

（Ⅱ），讨论，，三种情况，计算得到答案.

【详解】（Ⅰ）的定义域为，，由题意.

若，则，

当时，；当时，.

所以是极大值点，故．

（Ⅱ），

①若，则，在上单调递增，

，满足题意．

②若，则当时，，单调递增；

当时，，单调递减；此时当时，，不合题意.

③若，则时，，单调递减.

，不合题意.

综上可知，当，时，，故.

【点睛】本题考查了函数的极值点问题，恒成立问题，转化为函数的最值问题是解题的关键.

20．为了解某班学生喜欢数学是否与性别有关，对本班人进行了问卷调查得到了如下的列联表，已知在全部人中随机抽取人抽到喜欢数学的学生的概率为.

（1）请将上面的列联表补充完整（不用写计算过程）；

（2）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为喜欢数学与性别有关？说明你的理由；

（3）现从女生中抽取人进一步调查，设其中喜欢数学的女生人数为，求的分布列与期望.

下面的临界表供参考：

（参考公式：，其中）

【答案】（1）列联表见解析；（2）能，理由见解析；（3）分布列见解析，.

【分析】（1）由题意可知，全部人中喜欢数学的学生人数为，据此可完善列联表；

（2）根据列联表中的数据计算出的观测值，结合临界值表可得出结论；

（3）由题意可知，随机变量的可能取值有、、，利用超几何分布可得出随机变量的概率分布列，并由此可计算出随机变量的数学期望值.

【详解】（1）列联表补充如下：   

（2），

在犯错误的概率不超过的前提下，认为喜欢数学与性别有关；

（3）喜欢数学的女生人数的可能取值为、、，

其概率分别为，，

，

故随机变量的分布列为：

的期望值为.

【点睛】本题考查利用独立性检验解决实际问题，同时也考查了离散型随机变量分布列及其数学期望的计算，涉及超几何分布的应用，考查计算能力，属于中等题.

21．已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点的坐标为，的面积为.

（I）求椭圆的离心率；

（II）设点在线段上，，延长线段与椭圆交于点，点，在轴上，，且直线与直线间的距离为，四边形的面积为.

（i）求直线的斜率；

（ii）求椭圆的方程.

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）（ⅰ）.（ii）.

【分析】根据的面积为列出一个关于的等式，削去求出离心率；根据关系巧设直线的方程，与直线FP的方程联立解出焦点的坐标，利用|FQ|=解出斜率，把直线FP的方程与椭圆方程联立，解出点坐标，分别求出和的面积，利用四边形的面积为，解出，得出椭圆的标准方程.

【详解】（Ⅰ）设椭圆的离心率为e.由已知，可得.又由，可得，即.又因为，解得.

所以，椭圆的离心率为.

（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP的方程为，则直线FP的斜率为.

由（Ⅰ）知，可得直线AE的方程为，

即，与直线FP的方程联立，

可解得，即点Q的坐标为.

由已知|FQ|=，有，

整理得，所以，即直线FP的斜率为.

（ii）解：由，可得，故椭圆方程可以表示为.

由（i）得直线FP的方程为，

与椭圆方程联立消去，

整理得，解得（舍去）

或.因此可得点，进而可得，所以.

由已知，线段的长即为与这两条平行直线间的距离，

故直线和都垂直于直线.

因为，所以，所以的面积为，同理的面积等于，由四边形的面积为，得，整理得，又由，得.

所以，椭圆的方程为.

【点睛】列出一个关于 的等式，可以求离心率；列出一个关于 的不等式，可以求离心率的取值范围.“减元”思想是解决解析几何问题的重要思想，巧设直线方程利用题目条件列方程求解斜率，求椭圆方程的基本方法就是待定系数法，根据已知条件列方程通过解方程求出待定系数.

22．已知.

（1）求函数的单调区间：

（2）设，，，求证：.

【答案】（1）函数在为减函数；（2）证明见解析.

【分析】（1）求得函数的导数，结合恒成立，即可求解；

（2）不妨设，转化为，令，，只需证，由（1）知，在为减函数，证得得证，令，令，利用函数的单调性证得成立，即可求解.

【详解】（1）由题意，函数定义域为为，

可得恒成立，

所以函数在为减函数.

（2）不妨设，

先证，只要证，即，即，令，，则需证，

由（1）知，在为减函数，

当时，，

又由，所以，即得证.

下面再证，即证，

令，，只要证，，

令，可得恒成立，

在为减函数，，

即得，所以成立.