2021-2022学年四川省成都外国语学校高二下学期期中考试数学（理）试题含解析

2021-2022学年四川省成都外国语学校高二下学期期中考试数学（理）试题

一、单选题

1．向量＝（－2，1）所对应的复数是（　　）

A．z＝1＋2i B．z＝1－2i

C．z＝－1＋2i D．z＝－2＋i

【答案】D

【分析】根据复数的几何意义即可.

【详解】根据复数的几何意义，向量 ＝（－2，1）所对应的复数是z＝－2＋i；

故选：D.

2．由①是一次函数；②的图象是一条直线；③一次函数的图象是一条直线.写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提､小前提和结论的分别是（       ）

A．②①③ B．③②① C．①②③ D．③①②

【答案】D

【分析】根据三段论的概念，即可判断出结果.

【详解】该三段论应为：③一次函数的图象是一条直线（大前提），①y=2x+5是一次函数（小前提），②y=2x+5的图象是一条直线（结论）

故选：D.

3．用反证法证明“关于的一元二次方程有两个不相等的实数根”时，反设是“关于的一元二次方程（       ）

A．有两个相等实数根 B．无实数根

C．无实根或有两个相等实数根 D．只有一个实数根

【答案】C

【分析】根据反证法证明方法与步骤即可得出选项.

【详解】证明“关于的一元二次方程有两个不相等的实数根”

反证法需假设“关于的一元二次方程无实根或有两个相等实数根，

推出矛盾.

故选：C

4．要得到函数，的图象，只需将函数，的图象（       ）

A．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变

B．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变

C．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变

D．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

【答案】C

【分析】根据三角函数图象变换前后的解析式，确定图象变化过程.

【详解】将在横坐标方向上缩短到原来的，即可得，

∴.

故选：C

5．已知在上是增函数，则实数a的最大值是（       ）

A．0 B．1 C．3 D．4

【答案】C

【分析】由在上恒成立，参变分离求出a的取值范围即可求解.

【详解】由题意知：，在上是增函数，即在上恒成立，

则在上恒成立，又在上的最小值为3，故，即a的最大值是3.

故选：C.

6．已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（       ）

A．-2 B．-1 C．1 D．2

【答案】C

【分析】根据题意得两平面的法向量平行，从而得到，进而求出结果.

【详解】由题意得：与平行，故，即，解得：.

故选：C

7．在正方体中，分别为的中点，为侧面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】建立空间直角坐标系，用空间向量求解异面直线夹角的余弦值.

【详解】如图，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则，，，，则，，设异面直线与所成角为（），则.

故选：A

8．下列三个数：，，，大小顺序正确的是（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】构造函数，对其求导，判断单调性，进而可得出结果.

【详解】构造函数，

因为对一切恒成立，

所以函数在上是减函数，从而有，

即.

故选：A．

【点睛】本题主要考查根据函数单调性比较大小，涉及导数的方法判断函数单调性，属于常考题型.

9．函数的部分图象是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】首先判断函数的奇偶性，再利用导数说明其单调性，即可判断；

【详解】解：因为定义域为，且，所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、D；

当时，，则，

所以当时，，当时，，即在上单调递增，在上单调递减，故C错误、B正确；

故选：B

10．若函数在上无极值，则实数的取值范围（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】求，由分析可得恒成立，利用即可求得实数的取值范围.

【详解】由可得

，

恒成立，为开口向上的抛物线，

若函数在上无极值，

则恒成立，所以，

解得：，

所以实数的取值范围为，

故选：D.

11．现要做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其容积为且用料最省，则水桶底面圆的半径为（       ）

A．1 B．3 C．5 D．7

【答案】B

【解析】设圆柱的高为，半径为,得，即，要使用料最省即求全面积的最小值，将表示为的函数，令，结合导数可判断函数的单调性，进而可求函数取得最小值时的半径，此时用料最省，即水桶的表面积最小.

【详解】解：设高为，底面半径为，

则，即，

所用材料的面积是，

则，

令，得，解得：，

且时，，时，，

即在上单调递减，在上单调递增，

故当时S取得极小值，也是最小值，

故当水桶底面半径为3时，用料最省．

故选：B.

12．不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】分离参数，将变为，然后构造函数，即将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，利用导数判断函数的单调性，求最值即可.

【详解】由不等式对任意恒成立，此时 ，

可得 恒成立，

令，从而问题变为求函数的最小值或范围问题；

令 ，则，

当 时，，当时，，

故，即，

所以， ，当且仅当 时取等号，

令，则，

当 时，，当时，，

故 ，且当时，也会取到正值，

即在 时有根，即 等号成立，

所以     ，

则，故 ，

故选：C

【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，解法一般是分离参数，构造函数，将恒成立问题转化为求函数最值或范围问题，解答的关键是在于将不等式或函数式进行合理的变式，这里需要根据式子的具体特点进行有针对性的变形，需要一定的技巧.

二、填空题

13．函数，其导函数为，则________________

【答案】0.5

【分析】先求导，然后代入，进行求解

【详解】因为，所以

故答案为：

14．设复数满足（为虚数单位），则______．

【答案】

【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可求得结果.

【详解】由已知可得，因此，.

故答案为：.

15．定积分______．

【答案】

【分析】利用微积分的基本定理求解.

【详解】，

故答案为：-4

16．已知是函数且的个零点，则的取值范围是______．

【答案】

【分析】根据函数解析式可得，，由此可得知，，可将所求式子化为；令，利用导数可求得，由此可得所求式子的范围.

【详解】，

当时，；又，，，

；

令，则，在上单调递减，

，的取值范围为.

故答案为：.

三、解答题

17．（1）在极坐标系中，已知点，请将点的极坐标化为直角坐标；

（2）在平面直角坐标系中，求曲线经过伸缩变换后的曲线方程．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）根据极坐标与直角坐标关系可直接转化得到结果；

（2）由变换原则可得，代入曲线方程即可得到所求曲线方程.

【详解】（1）由题意得：，，，；

点的直角坐标为.

（2）由得：，，即，

变换后的曲线方程为：.

18．已知函数在处取得极值．

(1)求的解析式；

(2)当时，的图象与的图象有两个公共点，求m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由解出，代回导数，检验在处取得极值即可；

（2）先确定函数在上的单调性，求出最值及端点值，即可求得m的取值范围.

【详解】(1)，

∵在处取得极值，∴，∴，解得：，

∴，此时，当时，；当时，，

在单增，在单减，满足在处取得极值，故.

(2)由（1）知，当时，在上单调递增，在上单调递减；

又，，，所以．

19．已知长方体，，，为棱的中点，为线段的中点．

（1）求证：平面

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）

【分析】（1）取的中点G，连接GF，GB，可得四边形为平行四边形，则，进而可证明平面；

（2）建立空间直角坐标系，求出面的法向量，利用线面角的向量公式求解即可.

【详解】解：（1）如图：取的中点G，连接GF，GB，

则，又，

，

则四边形为平行四边形，

，又面，面，

平面；

（2）如果建立空间直角坐标系,

则，

则，

设面的法向量为，

则，即，

令，可得，

设直线与平面所成角为，

则，

所以直线与平面所成角的正弦值.

【点睛】本题考查线面平行的证明，考查向量法求线面角，是基础题.

20．已知函数．

(1)求函数的单调区间；

(2)求证：．

【答案】(1)的单调增区间为，单调减区间为

(2)证明见解析

【分析】（1）对求导，令导函数与大于0，小于0即可得出答案.

（2）设，对求导，此题转化为求.

【详解】(1)依题意知函数的定义域为，∵，

由，得；由，得，

∴的单调增区间为，单调减区间为．

(2)设，

∴，

∵当时，，当时，，

∴在上为减函数，上为增函数，

∴，即．

21．如图，是边长为3的正方形，平面，，，与平面所成角为.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）根据线面垂直的性质，结合正方形的性质，线面垂直的判定定理进行证明即可；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.

【详解】（1）证明：因为平面，面，所以.

因为是正方形，所以

又，面，面，故平面

（2）因为两两垂直，建立空间直角坐标系如图所示.

因为平面，且与平面所成角为，即，

所以，由已知，可得，.

则，，，，，

所以，.

设平面的法向量为，则，即.

令，则

因为平面，所以为平面的法向量，.

所以.

因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.

【点睛】本题考查了线面垂直的证明方法，考查了利用空间向量夹角公式求二面角余弦值问题，考查了推理论证能力和数学运算能力.

22．已知函数，其中e是自然对数的底数．

(1)当时，求在处的切线方程；

(2)若存在，，使得，且，求a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）对求导，求，由点斜式即可求出答案.

（2）设，，结合，代入整理得，构造函数，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得a的取值范围．

【详解】(1)当时，，，，所以在处的切线方程为：，所以.

(2)不妨设，，所以关于t的方程有正实数解，

所以，即有正实数解，

设，

则，，所以单调递增，

所以，

①当时，，所以单调递增，所以，不合题意；

②当时，存在，使得，

当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，所以，

所以，即存在，符合题意．

综上，a的取值范围为．