2021-2022学年四川省资阳市外国语实验学校高二下学期期中数学（理）试题（解析版）

2021-2022学年四川省资阳市外国语实验学校高二下学期期中数学（理）试题

一、单选题

1．复数

A．2 B．－2 C．2i D．-2i

【答案】A

【分析】利用即可得解.

【详解】故选A.

【点睛】本题考查了复数的乘法及乘方运算，属于基础题.

2．观察下列算式：，，，，，，，，，用你所发现的规律可得的末位数字是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据的末位数字以为周期变化可知与的末位数字相同，由此可得结果.

【详解】由算式变化规律可知：末位数字分别为这个数字循环，即以为周期，

又，的末位数字与的末位数字相同，即其末位数字为.

故选：C.

3．已知双曲线（a＞0）的离心率是 则a=

A． B．4 C．2 D．

【答案】D

【分析】本题根据根据双曲线的离心率的定义，列关于a的方程求解.

【详解】 ∵双曲线的离心率 ， ，

∴ ，

解得 ，

故选D.

【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的定义，双曲线中a,b,c的关系，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

4．抛物线过点，则的准线方程为(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】将点代入抛物线方程可得a，根据抛物线标准方程即可求其准线方程.

【详解】∵抛物线过点，

∴，

∴，

∴其准线方程为y＝－1.

故选：B.

5．展开式中的第四项是

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】试题分析：展开式中的第四项是.故选B．

【解析】二项式定理．

6．乒乓球单打决赛在甲、乙两名运动员间进行，决赛采用局胜制即先胜局者获胜，比赛结束，已知每局比赛中甲获胜的概率为，则在本次决赛中甲以的比分获胜的概率为(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】甲以的比分获胜，甲只能在、、次中失败次，第次胜，根据独立事件概率即可计算．

【详解】甲以的比分获胜，则甲只能在第、、次中失败次，第次获胜，

因此所求概率为：．

故选：C．

7．甲、乙两名射手一次射击得分(分别用X1，X2表示)的分布列如下：

甲得分：

乙得分：

则甲、乙两人的射击技术相比（    ）A．甲更好

B．乙更好

C．甲、乙一样好

D．不可比较

【答案】B

【分析】分别求两个随机变量的数学期望，再比较.

【详解】因为E(X1)＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.5＝2.1，E(X2)＝1×0.1＋2×0.6＋3×0.3＝2.2，所以E(X2)>E(X1)，故乙的射击技术更好.

故选：B

8．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．

【详解】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为=，故选A．

【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．

9．函数在处有极值为，那么，的值为（    ）

A．， B．，

C．，或， D．，

【答案】A

【分析】由题意可知，由此可求出，并验证即可求解．

【详解】，

由题意可知即，

则解得或，

当时，，

在处不存在极值，不符合题意；

当时，，

，，，，符合题意．

，

故选：A．

10．若函数在区间上单调递增，则实数m的取值范围（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意得在上恒成立，然后参变分离，构造函数，利用导数研究函数的最值即可求出结果.

【详解】由题意，函数，可得，

因为函数在上单调递增，即在上恒成立，

即在上恒成立，

设，则，

所以函数在为单调递增函数，所以，

即实数m的取值范围是.

故选：B.

11．已知抛物线的焦点为，准线为.若与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B，且（为原点），则双曲线的离心率为

A． B． C．2 D．

【答案】D

【分析】只需把用表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率．

【详解】抛物线的准线的方程为，

双曲线的渐近线方程为，

则有

∴，，，

∴．

故选D．

【点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB的长度．

12．已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】先判断时，在上恒成立；若在上恒成立，转化为在上恒成立．

【详解】∵，即，

（1）当时，，

当时，，

故当时，在上恒成立；

若在上恒成立，即在上恒成立，

令，则，

当函数单增，当函数单减，

故，所以．当时，在上恒成立；

综上可知，的取值范围是，

故选C．

【点睛】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析．

二、填空题

13．曲线在点处的切线方程为______．

【答案】

【分析】求出代入可得切线斜率，由直线的点斜式方程可得答案.

【详解】，

，，

所以切线方程为，即．

故答案为：．

14．如图，直线是曲线在点处的切线，则的值等于______ ．

【答案】##5.5

【分析】由函数的图像可得，以及直线过点和，由直线的斜率公式可得直线的斜率，进而由导数的几何意义可得的值，将求得的与的值相加即可.

【详解】由函数的图像可得，直线过点和，则直线的斜率，

又由直线是曲线在点处的切线，则，

所以．

故答案为：

15．的展开式中，的系数为________．

【答案】

【分析】根据，再分别求展开式中的系数与的系数即可.

【详解】解：因，

故由题设应求展开式中的系数与的系数.

又因，

当时，

当时，，

故所求系数为.

故答案为：

16．已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______.

【答案】

【分析】先用坐标表示，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得，即得结果.

【详解】抛物线： ()的焦点,

∵P为上一点，与轴垂直，

所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为,

不妨设,

因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，

又，

因为，所以,

，

所以的准线方程为

故答案为：.

【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.

三、解答题

17．已知抛物线的焦点为F，为抛物线C上的点，且.

（1）求抛物线C的方程；

（2）若直线与抛物线C相交于A，B两点，求弦长.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据抛物线定义可得，从而得到抛物线C的方程；

（2）设，联立抛物线方程，消去，可得的方程，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值．

【详解】（1），

所以，即抛物线C的方程.

（2）设，

由得

所以，

所以

.

【点睛】方法点睛：计算抛物线弦长的方法，

(1)若直线过抛物线的焦点，则弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝ (α为弦AB的倾斜角)．

(2)若直线不过抛物线的焦点，则用|AB|＝·|x1－x2|求解．

18．已知三次函数的极大值是，其导函数的图象经过点，如图所示，求

(1)，，的值；

(2)若函数有三个零点，求的取值范围．

【答案】(1)，，；

(2).

【分析】（1）根据导数的正负判断原函数的单调性，进而判断原函数的极值点，再利用代入法求解即可；

（2）根据函数零点的定义，通过数形结合思想进行求解即可.

【详解】（1）由导函数的图象可知：

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增，

所以是函数的极大值点，是函数的极小值点，

于是有，

由，

所以有；

（2）由（1）函数的极小值为，极大值为，

而知函数的图象如下图所示

因为函数有三个零点，

所以函数的图象与直线有三个不同的交点，

所以.

19．某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从道备选题中一次性随机抽取道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中道题便可通过．已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．

(1)求甲正确完成两个面试题的概率；

(2)求乙正确完成面试题数的分布列．

【答案】(1)；

(2)答案见解析.

【分析】设考生甲正确完成题数为，则取值分别为，，，；乙正确完成题数，取值分别为，，，求出取每个值时的概率，即得分布列．

【详解】（1）设甲正确完成面试的题数为，则的取值范围是．

.

（2）设乙正确完成面试的题数为，则取值范围是．

，，，．

应聘者乙正确完成题数的分布列为

20．已知一个口袋中装有n个红球(n≥1且n∈N＋)和2个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出2个球，若2个球颜色不同则为中奖，否则不中奖．

(1)当n＝3时，设三次摸球中中奖的次数为X，求随机变量X的分布列；

(2)记三次摸球中恰有两次中奖的概率为P，求当n取多少时，P的值最大．

【答案】（1）见解析；（2）1或2

【分析】（1）当n=3时，每次摸出两个球，中奖的概率，设中奖次数为ζ，则ζ的可能取值为0，1，2，3．分别求出 由此能求出ζ的分布列和Eζ．

（2）设每次摸奖中奖的概率为p，则三次摸球（每次摸球后放回）恰有两次中奖的概率为，，由此利用导数性质能求出n为1或2时，P有最大值．

【详解】（1）当n=3时，每次摸出两个球，中奖的概率，

；    ；

；；

ξ分布列为：

（2）设每次摸奖中奖的概率为p，

则三次摸球（每次摸奖后放回）恰有两次中奖的概率为：

， ，

，在上P为增函数，在上P为减函数，

当时P取得最大值．

又，

故 ，解得：或，

故为1或2时，有最大值．

21．在①，②，③轴时，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．

问题：已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且______．

（1）求抛物线的标准方程．

（2）若直线与抛物线交于，两点，求的面积．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】条件选择见解析（1）；（2）．

【分析】方案一 选择条件①．

（1）由抛物线焦半径公式可得，解得，即可求得抛物线的标准方程为；

（2）设，，，由（1）可知．联立和可得，利用韦达定理结合弦长公式，求面积即可得解.

方案二

选择条件②．

（1）将，代入抛物线方程可得，所以抛物线的标准方程为；（2）同方案一；

方案三  选择条件③．

（1）当轴时，，可得， 故抛物线的标准方程为；（2）同方法一.

【详解】方案一  选择条件①．

（1）由抛物线的定义可得．

因为，所以，解得．    

故抛物线的标准方程为．        

（2）设，，，由（1）可知．

由，得，

则，，

所以，

故．    

因为点到直线的距离，

所以的面积为．

方案二  选择条件②．

（1）因为，所以，，

因为点在抛物线上，

所以，即，解得，    

所以抛物线的标准方程为．        

（2）设，，由（1）可知．        

由，得，

则，，

所以，

故．    

因为点到直线的距离，

所以的面积为．    

方案三  选择条件③．

（1）当轴时，，所以．    

故抛物线的标准方程为．        

（2）设，，由（1）可知．

由，得，

则，，

所以，

故．    

因为点到直线的距离，

所以的面积为．

22．已知函数.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求的单调区间；

（3）若对于任意，都有，求实数的取值范围.

【答案】（1）（2）的单调递增区间是；的单调递减区间是（3）.

【解析】（1）先求得导函数，由导数的几何意义求得切线的斜率，再求得切点坐标，即可由点斜式得切线方程；

（2）求得导函数，并令求得极值点，结合导函数的符号即可判断函数单调区间；

（3）将不等式变形，并分离参数后构造函数，求得并令求得极值点，结合极值点左右两侧的单调性和端点求得最值，即可确定的取值范围.

【详解】（1）因为函数，

所以，.

又因为，则切点坐标为，

所以曲线在点处的切线方程为.

（2）函数定义域为，

由（1）可知，.

令解得.

与在区间上的情况如下：

所以，的单调递增区间是；

的单调递减区间是.

（3）当时，“”等价于“”.

令，，，.

令解得，

当时，，所以在区间单调递减.

当时，，所以在区间单调递增.

而，.

所以在区间上的最大值为.

所以当时，对于任意，都有.

【点睛】本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，由导函数求函数的单调区间，分离参数法并构造函数研究参数的取值范围，由导数求函数在闭区间上的最值，属于中档题.