陕西省西安市周至县2024届高三一模数学（理）试题

这是一份陕西省西安市周至县2024届高三一模数学（理）试题，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．若z(1+i)=2i，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．设全集U=1,2,3,4,5，集合M=1,4,N=2,5，则N∪∁UM=（ ）
A．2,3,5B．1,3,4C．1,2,4,5D．2,3,4,5
3．函数fx=sinx1+csxx∈−π,π的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知等比数列an的前n项和为Sn,a1+a3=30,S4=120，则其公比q=（ ）
A．1B．2C．3D．1或3
5．过点A4,1的圆C与直线x−y=1相切于点B2,1，则圆C的方程为（ ）
A．x−32+y+12=5B．x−32+y2=2
C．x−32+y−82=50D．x−32+y2=2
6．如下图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
7．现有一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为8，若随机去掉一个数xi（i=1，2，3，4，5）后，余下的四个数的平均数为9，则下列说法正确的是（ ）
A．余下四个数的极差比原来五个数的极差更小B．余下四个数的中位数比原来五个数的中位数更大
C．余下四个数的最小值比原来五个数的最小值更大D．去掉的数一定是4
8．已知函数fx=csx+φ，则“f0=0”是“fx为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
9．已知一个圆锥的高与其底面圆的半径相等，且体积为8π3．在该圆锥内有一个正方体，其下底面的四个顶点在圆锥的底面内，上底面的四个顶点在圆锥的侧面上，则该正方体的棱长为（ ）
A．23B．1C．2−2D．4−22
10．已知等差数列an的公差为π；集合S=sinann∈N*，若S=a,b，则a+b=（ ）
A．−1B．0C．12D．1
11．正方形ABCD的四个顶点都在椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是
A．0,5−12B．5−12,1C．0,3−12D．3−12,1
12．若曲线y=lnx与曲线y=x2+2x+a(x<0)有公切线，则实数a的取值范围是（ ）
A．(−ln2−1,+∞)B．[−ln2−1,+∞)
C．(−ln2+1,+∞)D．[−ln2+1,+∞)
二、填空题
13．已知抛物线y2=2px(p>0)上横坐标为3的点M到焦点F的距离为6，则p= .
14．将6本不同的书平均分给甲、乙两名同学，则不同的分法种数为 .
15．已知函数y=fx+1是偶函数，且在区间−∞,−1上是增函数，则不等式f−2x>f−8的解集为 .
16．南宋数学家杨辉为我国古代数学研究做出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列，以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为1，3，7，13，则该数列的第14项为 .
三、解答题
17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知sinA=sin2B，a=4，b=6．
(1)求csB的值；
(2)求△ABC的面积．
18．为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组（加药物）.
(1)设其中两只小鼠中在对照组中小鼠数目为X，求X的分布列和数学期望；
(2)测得40只小鼠体重如下（单位：g）：（已按从小到大排好）
对照组：17.3 18.4 20.1 20.4 21.5 23.2 24.6 24.8 25.0 25.4
26.1 26.3 26.4 26.5 26.8 27.0 27.4 27.5 27.6 28.3
实验组：5.4 6.6 6.8 6.9 7.8 8.2 9.4 10.0 10.4 11.2
14.4 17.3 19.2 20.2 23.6 23.8 24.5 25.1 25.2 26.0
（i）求40只小鼠体重的中位数m，并完成下面2×2列联表：
（ii）根据2×2列联表，能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.
附：K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d.
19．如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点E在线段DD1上.
(1)求证：AC⊥BE；
(2)当E是DD1的中点时，求直线AC与平面BC1E所成角的正弦值.
20．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程y=2x，原点到过A(a,0)、B(0,−b)点的直线l的距离为63．
(1)求双曲线方程；
(2)过点Q(1,1)能否作直线m，使m与已知双曲线交于两点P1、P2，且Q是线段P1P2的中点？若存在，请求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．
21．已知函数fx=x−ax+1−lnx+1a∈R．
(1)求函数fx的单调区间；
(2)已知m，n是正整数，且11+nm．
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=t+8ty=t−8t（t为参数），点P4,0．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=23csθ，射线l的极坐标方程为θ=π6ρ≥0．
(1)写出曲线C1的极坐标方程；
(2)若l与C1，C2分别交于A，B（异于原点）两点，求△PAB的面积．
23．已知函数f(x)=|2x−1|−|x−3|.
(1)求f(x)的最小值m；
(2)若a，b为正实数，且a+b+2m=0，证明不等式a2b+b2a≥5.
<23.4
≥23.4
合计
对照组
实验组
合计
PK2≥k0
0.10
0.05
0.010
k0
2.706
3.841
6.635
参考答案：
1．D
【分析】根据复数的运算法则求得复数z，继而求得共轭复数对应的点，即可判定.
【详解】因为z(1+i)=2i，
所以z=2i1+i=2i1−i1+i1−i=2+2i2=1+i，
则z=1−i，其对应的点为1,−1，在第四象限，
故选：D.
2．A
【分析】利用集合的交并补运算即可得解.
【详解】因为全集U={1,2,3,4,5}，集合M={1,4}，所以∁UM=2,3,5，
又N={2,5}，所以N∪∁UM={2,3,5}，
故选：A.
3．A
【详解】首先判断函数的奇偶性，再由函数在0,π上的取值情况判断即可.
【分析】函数fx=sinx1+csxx∈−π,π则f−x=sin−x1+cs−x=−sinx1+csx=−fx，
所以fx=sinx1+csx为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除C、D；
当x∈0,π时sinx∈0,1，csx∈−1,1，所以1+csx∈0,1，则fx>0，故排除B.
故选：A
4．C
【分析】由a2+a4=90结合a2+a4a1+a3=qa1+a3a1+a3求解即可.
【详解】因为a1+a3=30,S4=120，所以a2+a4=90，则a2+a4a1+a3=qa1+a3a1+a3=q=3.
故选：C
5．D
【分析】由圆心和切点连线与切线垂直可得kBC=−1，得到关于圆心的一个方程，根据圆的性质，可知圆心C在AB的垂直平分线x=3上，由此可求得a,b的值，得到圆心坐标，进而可求得圆的半径即可求解.
【详解】设圆心C(a,b)，
因为直线x−y=1与圆C相切于点B2,1，
所以kBC=b−1a−2=−1，即a+b−3=0，
因为AB中垂线为x=3，则圆心C满足直线x=3，
即a=3,∴b=0，
所以半径r=(3−2)2+(0−1)2=2，
所以圆C的方程为x−32+y2=2，
故选：D.
6．C
【分析】根据已知条件建立空间直角坐标系，利用空间向量求异面直线所成角.
【详解】
以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD−A1B1C1D1棱长为2，则E2,1,0，F1,0,0，B12,2,2，
C0,2,0，B1C=−2,0,−2，EF=−1,−1,0，
设异面直线B1C与EF所成的角为θ,θ∈0,π2，
则csθ=B1C⋅EFB1C⋅EF=28⋅2=12,所以θ=60°.
故选：C
7．D
【分析】ABC选项，利用特殊值的方法判断；D选项，根据平均数的定义得到xi=4.
【详解】因为x1，x2，x3，x4，x5的平均数为8，设去掉xi后余下的四个数的平均数为9，
则xi=x1+x2+x3+x4+x5−4×9=5×8−4×9=4，D正确.
例如这5个数分别为3，4，4，4，25，则去掉4之后，极差依然不变为22，
中位数不变依然为4不变，，最小值不变依然为3，则C错误则可得A，B，C错误.
故选：D.
8．C
【分析】根据诱导公式以及三角函数的奇偶性结合充分、必要条件分析判断.
【详解】由题意可知：fx的定义域为R，
若f0=csφ=0，可得φ=π2+kπ,k∈Z，
若k为偶数，则fx=csx+π2+kπ=csx+π2=−sinx为奇函数；
若k为奇数，则fx=csx+π2+kπ=−csx+π2=sinx为奇函数；
即充分性成立；
若fx为奇函数，则f0=0，即必要性成立；
综上所述：“f0=0”是“fx为奇函数”的充要条件.
故选：C.
9．D
【分析】根据题意，求得圆锥的高与底面圆的半径为2，作出组合体的轴截面，结合△SO1D∽△SOA，列出方程，即可求解.
【详解】因为圆锥的高与其底面圆的半径相等，设圆锥的高为h，底面圆的半径为r，则r=h，
又因为圆锥的体积为8π3，可得13πr2h=13πr3=8π3，解得r=2，则h=2，
设圆锥的顶点为S，底面圆心为O，则高为SO=2，SO与正方体的上底面交点为O1,
在该圆锥内有一个正方体，其下底面的四个顶点在圆锥的底面内，上底面的四个顶点在圆锥的侧面上，取其轴截面，如图所示，
设正方体的棱长为a，可得CD=2a，
由△SO1D∽△SOA，可得SO1SO=O1DOA，即2−a2=22a2，解得a=42+2=4−22，
所以该正方体的棱长为4−22.
故选：D.
10．B
【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合正弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答即可.
【详解】∵等差数列an的公差为π，∴ an=a1+n−1π=nπ+a1−π，
∴ sinan=sin(nπ+a1−π)，∴最小正周期T=2ππ=2,
要使集合S=a,b只有两个元素, 则sina1≠sina2sina1=sina3，即sina1≠sinπ+a1sina1=sin2π+a1，
不妨取a1=π6，则a=sina1=sinπ6=12，b=sina2=sinπ+π6=−12，
所以a+b=0.
故选:B.
11．A
【详解】如图根据对称性，点D在直线y=x上，可得x2a2+x2b2=1,即x2=a2b2a2+b2>c2.
可得b2>ac,∴c2+ac−a2<0,∴e2+e−1<0，解得0本题选择A选项.
点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式e=ca；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
12．A
【分析】设公切线与函数f(x)=lnx切于点A(x1,lnx1)(x1>0)，设公切线与函数g(x)=x2+2x+a(x<0)切于点B(x2,x22+2x2+a)(x2<0)，然后利用导数的几何意义表示出切线方程，则可得1x1=2x2+2lnx1−1=a−x22，消去x1，得a=x22−ln(2x2+2)−1，再构造函数，然后利用导数可求得结果.
【详解】设公切线与函数f(x)=lnx切于点A(x1,lnx1)(x1>0)，
由f(x)=lnx，得f′(x)=1x，所以公切线的斜率为1x1，
所以公切线方程为y−lnx1=1x1(x−x1)，化简得y=1x1⋅x+(lnx1−1)，
设公切线与函数g(x)=x2+2x+a(x<0)切于点B(x2,x22+2x2+a)(x2<0)，
由g(x)=x2+2x+a(x<0)，得g′(x)=2x+2，则公切线的斜率为2x2+2，
所以公切线方程为y−(x22+2x2+a)=(2x2+2)(x−x2)，化简得y=2(x2+1)x−x22+a，
所以1x1=2x2+2lnx1−1=a−x22，消去x1，得a=x22−ln(2x2+2)−1，
由x1>0，得−1令F(x)=x2−ln(2x+2)−1(−1所以F(x)在(−1,0)上递减，
所以F(x)>F(0)=−ln2−1，
所以由题意得a>−ln2−1，
即实数a的取值范围是(−ln2−1,+∞)，
故选：A
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的几何意义，考查导数的计算，考查利用导数求函数的最值，解题的关键是利用导数的几何意义表示出公切线方程，考查计算能力，属于较难题.
13．6
【分析】求出抛物线的准线方程，再利用抛物线定义列式计算即得.
【详解】抛物线y2=2px(p>0)的准线为x=−p2，依题意，3−(−p2)=6，解得p=6，
所以p=6.
故答案为：6
14．20
【分析】直接从6本不同的书抽3本书给甲同学，剩余3本书给乙同学，结合组合计数原理可得结果.
【详解】将6本不同的书平均分给甲、乙两名同学，只需从6本不同的书抽3本书给甲同学，剩余3本书给乙同学，
所以，不同的分法种数为C63C33A22·A22=20种.
故答案为：20.
15．−∞,3
【分析】由y=f(x+1)与y=f(x)图象的平移关系，可得f(x)的对称性与单调性，利用单调性解抽象不等式即可.
【详解】因为函数y=fx+1是偶函数，且在区间−∞,−1上是递增增函数，
而函数f(x)图象可由函数f(x+1)向右平移1个单位得到，
故函数f(x)关于直线x=1对称，且在区间−∞,0上是递增增函数，
由f−2x>f−8，且−2x,−8∈(−∞,0]，
得−2x>−8，即2x<8，解得x<3.
不等式f−2x>f−8的解集为−∞,3.
故答案为：−∞,3.
16．183
【分析】根据二阶等差数列的定义求出数列an+1−an的通项公式，再利用累加法计算即可求解.
【详解】设该二阶等差数列为an，则a1=1,a2=3,a3=7,a4=13，
由二阶等差数列的定义可知，a2−a1=2,a3−a2=4,a4−a3=6,⋅⋅⋅，
可知数列an+1−an是以a2−a1=2为首项，公差d=2的等差数列，则an+1−an=2n，
即a2−a1=2,a3−a2=4,a4−a3=6,⋅⋅⋅,an+1−an=2n，
将所有上式累加可得an+1−a1=n2+2n2=n2+n，则an+1=n2+n+1，
所以a14=132+13+1=183，即该数列的第14项为a14=183.
故答案为：183.
17．(1)csB=13
(2)82
【分析】（1）利用正弦定理结合二倍角公式可得解.
（2）根据余弦定理可得c，由csB可得sinB，进而可得面积.
【详解】（1）在△ABC中，由正弦定理asinA=bsinB，
又sinA=sin2B=2sinBcsB，
所以a2sinBcsB=bsinB，即42sinBcsB=6sinB，
解得csB=13；
（2）由（1）得csB=13，则sinB=223，
又由余弦定理csB=a2+c2−b22ac=42+c2−622×4c=13，c>0，
解得c=6，
所以S=12acsinB=12×4×6×223=82.
18．(1)分布列见解析，期望为1
(2)（i）m=23.4，2×2列联表见解析；（ⅱ）有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用
【分析】（1）根据超几何分布求分布列，进而可得期望；
（2）（i）直接根据已知数据计算中位数及填写二联表即可；（ⅱ）利用卡方公式及对照表计算即可.
【详解】（1）依题意，X的可能取值为0,1,2，
则P(X=0)=C200C202C402=1978，P(X=1)=C201C201C402=2039，P(X=2)=C202C200C402=1978，
所以X的分布列为：
故E(X)=0×1978+1×2039+2×1978=1.
（2）（i）由所给数据可知40只小鼠体重的中位数为m=23.2+23.62=23.4，
填二联表如下：
（ⅱ）由上表及卡方公式可知:
K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=40×62−142220×20×20×20=6.4>3.841，
所以有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.
19．(1)证明见解析
(2)32
【分析】（1）连接BD，利用线面垂直的判定、性质推理即得.
（2）建系，利用空间向量求线面夹角.
【详解】（1）在长方体ABCD−A1B1C1D1中，连接BD，则AC⊥BD，
由ED⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，得AC⊥ED，
而ED∩BD=D,ED,BD⊂平面BED，因此AC⊥平面BED，
又BE⊂平面BED，所以AC⊥BE.
（2）如图，以D为坐标原点，DA,DC,DD1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，
则A1,0,0,B1,1,0,C0,1,0,E0,0,1,C10,1,2，
可得AC=−1,1,0,EC1=0,1,1,BC1=−1,0,2，
设平面BC1E的法向量n=x,y,z，则n⋅EC1=y+z=0n⋅BC1=−x+2z=0，
令x=2，则y=−1,z=1，可得n=2,−1,1，
设直线AC与平面BC1E所成角为θ∈0,π2，
则，
所以直线AC与平面BC1E所成角的正弦值为32.
20．(1)x2−y22=1
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）求出直线l的方程，根据原点到直线的距离求出a,b的关系式，再结合双曲线的渐近线方程求出a,b，即可得解；
（2）假设直线m存在，设Q是线段P1P2的中点，且P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，利用点差法求出直线m的方程，再联立方程，根据根的判别式即可得出结论.
【详解】（1）解：因为直线l过A(a,0)、B(0,−b)两点，所以方程为bx−ay−ab=0，
因为原点到直线l的距离为63，所以abb2+a2=63，
因为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程y=2x，
所以ba=2，解得a=1，b=2，
所以双曲线方程为x2−y22=1；
（2）解：假设直线m存在，设Q是线段P1P2的中点，且P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，
则x1+x2=2，y1+y2=2，
因为P1、P2在双曲线上，
则x12−y122=1x22−y222=1，两式相减整理得2(x1+x2)(x1−x2)−(y1−y2)(y1+y2)=0，
所以4(x1−x2)=2(y1−y2)，所以k=2，
所以直线l的方程为y−1=2(x−1)，即2x−y−1=0，
联立2x−y−1=0x2−y22=1，消y得2x2−4x+3=0，
因为Δ=16−4×3×2=−8<0，
所以直线m与双曲线无交点，所以直线m不存在．
21．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，令导数为0，结合定义域对a进行讨论即可；
（2）两边取对数，整理后，构造函数h(x)=ln(1+x)x，证明hx为0,+∞上的减函数，即可求解.
【详解】（1）函数fx的定义域为(−1,+∞)，f′(x)=a−x(x+1)2，
①当a≤−1时，f′x<0在−1,+∞上恒成立，fx的减区间为−1,+∞，无增区间；
②当a>−1时，令f′x>0，解得−1a，
所以fx的增区间为−1,a，减区间为a,+∞．
综上，当a≤−1时，fx的减区间为−1,+∞，无增区间；
当a>−1时，fx的增区间为−1,a，减区间为a,+∞．
（2）两边同时取对数，证明不等式成立等价于证明nln1+m>mlnn+1，
即证明ln(1+m)m>ln(1+n)n，
构造函数h(x)=ln(1+x)x,h′(x)=xx+1−ln(1+x)x2，
令g(x)=xx+1−ln(1+x)，由（1）知，当a=0时，gx在0,+∞上为减函数，故gx所以h′x<0，所以hx为0,+∞上的减函数，
因为1hn，即ln(1+m)m>ln(1+n)n，即1+mn>1+nm．
22．(1)ρ2cs2θ=32
(2)5
【分析】（1）由参数方程可得x2=t2+64t2+16，y2=t2+64t2−16，进而即可推得x2−y2=32，根据公式即可得出曲线C1的极坐标方程；
（2）将θ=π6分别代入C1，C2的极坐标方程得出ρA=8，ρB=3，进而得出弦长AB=5.然后求出点P4,0到射线的距离d，即可得出答案.
【详解】（1）由C1的参数方程得x2=t2+64t2+16，y2=t2+64t2−16，
所以x2−y2=32.
又x=ρcsθ，y=ρsinθ，所以ρ2cs2θ=32，
所以C1的极坐标方程为ρ2cs2θ=32.
（2）将θ=π6代入曲线C1的极坐标方程ρ2cs2θ=32可得ρA=8，
将θ=π6代入曲线C1的极坐标方程ρ=23csθ可得ρB=3，
所以AB=ρA−ρB=5.
又射线l的直角坐标方程为y=33x，即为3x−3y=0，
所以点P4,0到射线的距离为d=4332+−32=2，
所以S△PAB=12⋅d⋅AB=12×2×5=5.
23．(1)m=−52
(2)证明见解析
【分析】（1）讨论去绝对值可得f(x)的解析式及最小值；
（2）由（1）可得a+b=5，利用基本不等式可得答案.
【详解】（1）当x<12时，f(x)=−2x+1+x−3=−x−2≥−52，
当12≤x≤3时，f(x)=2x−1+x−3=3x−4∈−52,5，
当x>3时，f(x)=2x−1−x+3=x+2>5，
综上，
f(x)=−x−2,x<123x−4,12≤x≤3x+2,x>3，可知当x=12时，f(x)有最小值−52，
所以m=−52；
（2）由（1）可得a+b=5，因为a，b为正实数，所以a2b+b≥2a,b2a+a≥2b，
所以a2b+b2a≥a+b=5.
X
0
1
2
P
1978
2039
1978
<23.4
≥23.4
合计
对照组
6
14
20
实验组
14
6
20
合计
20
20
40