2023届青海省海南藏族自治州高级中学高三上学期10月月考数学（理）试题（解析版）

2023届青海省海南藏族自治州高级中学高三上学期10月月考数学（理）试题

一、单选题

1．若集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据指数函数以及对数函数的性质，求得集合,根据集合的交集运算，可得答案.

【详解】因为，

故，

故选：C

2．已知，“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】A

【分析】解不等式，根据命题的充分必要性直接判断.

【详解】由，解得或，

所以“”是“”的充分不必要条件，

故选：A.

3．若，则下列命题为假命题的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】A

【分析】对于A，举例判断，对于BCD，利用不等式的性质判断.

【详解】对于A，若，则，所以A错误，

对于B，因为，所以，所以，所以B正确，

对于C，因为，所以，所以，即，所以C正确，

对于D，因为，所以，所以，所以D正确，

故选：A.

4．已知，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先利用诱导公式对已知等式化简可求得，然后利用正切的二倍角公式可求得结果.

【详解】由题意可得，则，

所以，

所以．

故选：B

5．已知，满足约束条件，则的最大值为（    ）

A．0 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】画出不等式组表示的平面区域，再根据目标函数的几何意义求解作答．

【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图所示（阴影部分）：

平移直线，当直线过可行域内的点时，直线在轴上的截距最大，

即目标函数取得最大值，

联立，解得，

故目标函数的最大值为．

故选：C．

6．已知，且满足，则有（    ）

A．最大值  B．最小值  C．最大值1 D．最小值1

【答案】A

【分析】由基本不等式即可求解.

【详解】，当且仅当，即时等号成立.

故选：A.

7．函数的递增区间是（    ）

A．和 B．

C． D．

【答案】D

【解析】求出，由可得答案.

【详解】由，得

令，即，解得

所以函数的递增区间是

故选：D

8．若，则

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】试题分析： ，

且，故选D.

【解析】三角恒等变换

【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示：

（1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．

（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．

9．已知函数，则不等式的解集是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】作出函数和的图象，观察图象可得结果.

【详解】因为，所以等价于，

在同一直角坐标系中作出和的图象如图：

两函数图象的交点坐标为，

不等式的解为或.

所以不等式的解集为：.

故选：D.

【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.

10．设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】由已知函数为偶函数，把，转化为同一个单调区间上，再比较大小．

【详解】是R的偶函数，．

，

又在(0，+∞)单调递减，

∴，

，故选C．

【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．

11．已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是

A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）

【答案】C

【详解】分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果.

详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，

再画出直线，之后上下移动，

可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，

并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，

即方程有两个解，

也就是函数有两个零点，

此时满足，即，故选C.

点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.

12．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ）

A．，， B．

C．，， D．，，

【答案】C

【分析】先用分离常数法得到，由单调性列不等式组，求出实数的取值范围.

【详解】解：根据题意，函数，

若在区间上单调递减，必有，

解可得：或，即的取值范围为，，，

故选：C．

二、填空题

13．函数的定义域是__________．

【答案】

【分析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．

【详解】要使函数=有意义,则,解得,即函数=的定义域为.

故答案为．

【点睛】本题考查了根据函数解析式求定义域的应用问题，是基础题目．

14．如图阴影部分是由曲线，与直线，围成，则其面积为__________．

【答案】

【分析】本题可以先将曲线，与直线，所围成图形画出，再将其分为两部分分别计算出面积．

【详解】由题意可知，面积为：

【点睛】本题考察的是求不规则图形的面积，需要对微积分以及定积分有着相应的了解．

15．已知函数的部分图像如图所示，则_______________.

【答案】

【分析】首先确定函数的解析式，然后求解的值即可.

【详解】由题意可得：，

当时，，

令可得：，

据此有：.

故答案为：.

【点睛】已知f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：

(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.

(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.

16．定义在R上的函数，当时，，则不等式的解集是_________.

【答案】

【分析】由题意构造函数，则函数为奇函数，根据时，可得函数的单调性，进而可得函数的大致图象，由于不等式的解集和的解集相同，结合图象可得所求．

【详解】∵，

∴函数为偶函数．

设，则，

∵当时，，

∴当时，函数单调递增．

又函数为奇函数，

∴当时，函数单调递增．

由得．

画出函数的大致图象如图所示．

由图象可得不等式的解集为．

又不等式的解集与不等式的解集相同，

∴不等式的解集是．

故答案为．

【点睛】本题以解不等式为载体考查函数性质、图象的应用，解题的关键是根据含导函数的不等式构造函数，并进一步得到函数的单调性、奇偶性，进而画出函数的大致图象，然后根据数形结合的方法得到不等式的解集．

三、解答题

17．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x）＝x2+2x．

（1）现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如图所示，请补全函数f（x）的图象；

（2）求出函数f（x）（x＞0）的解析式；

（3）若方程f（x）＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围．

【答案】（1）作图略（2）（3）<1

【分析】(1)根据函数奇偶性的性质即可画出函数的函数图象；

(2)根据函数奇偶性的定义即可求出函数解析式；

(3)结合图象利用数形结合即可求出的取值范围.

【详解】函数f(x)的图象如下：

（2）因为f(x)为奇函数，则f(-x)=- f(x)

当x时，

f(-x)=- f(x)=

故f(x)

（3）由（1）中图象可知：y=f(x)与y=a的图象恰好有三个不同的交点

<1

【点睛】该题考查的是有关奇函数的问题，涉及到的知识点有奇函数图象的对称性，奇函数解析式的求解，应用数形结合思想，将方程解的个数转化为曲线交点个数问题来解决，属于中档题目.

18．已知集合

（1）当时，求；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据集合的运算法则计算；

（2）由得，然后分类和求解．

【详解】（1）当时，中不等式为，即，

∴或，则

（2）∵，∴，

①当时，，即，此时；

②当时，，即，此时.

综上的取值范围为.

19．已知函数，．

（Ⅰ）求的最小正周期；

（Ⅱ）求在上的最小值和最大值．

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）最小值和最大值．

【详解】试题分析：（1）由已知利用两角和与差的三角函数公式及倍角公式将的解析式化为一个复合角的三角函数式，再利用正弦型函数的最小正周期计算公式，即可求得函数的最小正周期；（2）由（1）得函数，分析它在闭区间上的单调性，可知函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，由此即可求得函数在闭区间上的最大值和最小值．也可以利用整体思想求函数在闭区间上的最大值和最小值．

由已知，有

的最小正周期．

（2）∵在区间上是减函数，在区间上是增函数，，，∴函数在闭区间上的最大值为，最小值为．

【解析】1．两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式；2．三角函数的周期性和单调性．

20．已知函数．

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．

【答案】（1）；（2）函数的增区间为、，单调递减区间为，最大值为，最小值为.

【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；

（2）由可求得实数的值，然后利用导数分析函数的单调性与极值，由此可得出结果.

【详解】（1）当时，，则，，，

此时，曲线在点处的切线方程为，即；

（2）因为，则，

由题意可得，解得，

故，，列表如下：

所以，函数的增区间为、，单调递减区间为.

当时，；当时，.

所以，，.

21．已知.

（1）求的值；

（2）已知，，且，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）先求出，再化简即得解；

（2）先求出，再求出，求出，即得解.

【详解】（1）由已知得，所以

（2）由，可得，

则.

因为，所以，

又，则，

因为，，

则，则，

所以.

【点睛】易错点睛：本题容易得出两个答案，或.之所以得出两个答案，是没有分析缩小的范围，从而得到.对于求角的大小的问题，一般先求出角的某三角函数值，再求出角的范围，再得到角的大小.

22．已知函数，.

（1）讨论的单调性；

（2）若对任意，都有成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）当时，在上，是减函数,当时，在上，是减函数,在上，是增函数；（2）

【分析】求出函数的定义域，函数的导数，通过a的范围讨论，判断函数的单调性即可．（2）

对任意x＞0，都有f（x）＞0成立，转化为在（0，+∞）上f（x）min＞0，利用函数的导数求解函数的最值即可．

【详解】（1）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞）

又

当a≤0时，在（0，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数

当a＞0时，由f′（x）=0得：或（舍）

所以：在上，f′（x）＜0，f（x）是减函数

在上，f′（x）＞0，f（x）是增函数

（2）对任意x＞0，都有f（x）＞0成立，即：在（0，+∞）上f（x）min＞0

由（1）知：当a≤0时，在（0，+∞）上f（x）是减函数，

又f（1）=2a﹣2＜0，不合题意

当a＞0时，当时，f（x）取得极小值也是最小值，

所以：

令（a＞0）

所以：

在（0，+∞）上，u′（a）＞0，u（a）是增函数又u（1）=0

所以：要使得f（x）min≥0，即u（a）≥0，即a≥1，

故：a的取值范围为[1，+∞）

【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．