江苏省宿迁市南师附中宿迁分校2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试卷

这是一份江苏省宿迁市南师附中宿迁分校2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试卷，共17页。试卷主要包含了 下列说法正确的是， 若＝，则＝ 　 　．等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年度第一学期九年级期末
数学试卷
（分值：150分，时长120分钟，考试时间：）
一．选择题（每题3分，共8小题，共24分）
1. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A．3x﹣1＝0 B．2x2+3＝0 C.y2﹣x2＝0 D．﹣1＝0
2．如果⊙O的半径为6cm，圆心O到直线l的距离为d，且d＝7cm，那么⊙O和直线l的位置关系是（　　）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
3．已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'分别是它们的对应高，若AD＝3，A'D'＝2，则△ABC与△A'B'C'的面积比是（　　）
A．9：4 B．4：9 C．3：2 D．9：2
4．甲、乙、丙、丁四支女子花样游泳队的人数相同，且平均身高都是1.68m，身高的方差分别是S2甲＝0.15，S2乙＝0.12，S2丙＝0.10，S2丁＝0.12，则身高比较整齐的游泳队是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5. 下列说法正确的是（　　）
A．三点确定一个圆 B．三角形的外心到三角形三边的距离相等
C．平分弦的直径垂直于弦 D．垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦
6.如图，△ABC中，点D在线段AC上，连接BD，要使△ABD与△ABC相似，只需添加一个条件即可，这个条件不能是（　　）
A．＝ B．∠ADB＝∠ABC C．∠ABD＝∠C D．AB2＝AD•AC
7. 如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积是（　　）
A．20 B．22 C．24 D．26

8. △ABC是边长为4的等边三角形，其中点P为高AD上的一个动点，连接BP，将BP绕点B顺时针旋转60°得到BE，连接PE、DE、CE，则△BDE周长的最小值是（　　）
第6题图 第7题图 第8题图
A． B． C． D．





二、填空题（每题3分，共10小题，共30分）
9. 若＝，则＝ 　 　．
10．将抛物线y＝3（x﹣2）2+1向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则所得抛物线的表达式为　 　．
11.如果圆锥的底面半径为4cm，母线长为5cm，那么它的侧面积　 　cm2．
12. 如图，在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，∠OBA＝26°，D为⊙O上一点，则∠ADC的度数是 　 　．
13.若二次函数y＝x2+x+1的图象，经过A（﹣3，y1），B（-2，y2），C（，y3），三点y1，y2，y3大小关系是　 　（用“＜”连接）
14.在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点B的对应点B'的坐标是　 　．
15.如图，将△ABC放在每个小正方形边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是　 　．
16.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，交AB于点D，过D作BC的平行线交AC于M，若BC＝3，AC＝2，则DM＝　 　．


第12题图 第15题图 第16题图







17.当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为　 　．
18. 如图，在△ABC中，BC＝6，BC边上的高为4，在△ABC的内部作一个矩形EFGD，使EF在BC边上，另外两个顶点分别在AB、AC边上，则对角线EG长的最小值为　 　．



第18题图


三、解答题（解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤共96分）
19. 计算：（共8分）
（1）﹣2sin45°+（）﹣1+|﹣|； （2）x2+4x﹣5＝0．


20.（共8分）如图，延长弦DB、弦EC，交于圆外一点A，连接CD、BE．
（1）证明：△ACD∽△ABE；
（2）若AB＝5，AC＝6，AD＝12，求AE．




21.（共8分）学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛关注，学校为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计表．
学生借阅图书的次数统计表
借阅图书的次数
0次
1次
2次
3次
4次及以上
人数
7
13
a
10
3
请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）a＝　 　，b＝　 　．
（2）该调查统计数据的中位数是　 　次，众数是　 　次．
（3）请计算扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数；
（4）若该校共有2000名学生，根据调查结果，估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数．



22.（共8分）为了响应区教育局“千师访万家”的新家庭教育活动，某校七年级3班的语文学科王老师、数学学科李老师决定分别利用周六上午、周日下午各自家访一名同学，本次家访的对象为班级第六组学习小伙伴，共有王鹏、李佳、刘丹三位同学．
（1）李佳同学被王老师选为家访对象的概率是：　 　；
（2）请利用树状图或表格的形式求王老师和李老师家访的是同一个同学的概率．




23. （共8分）如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED＝60°，在离电线杆6米的B处安置高为1.5米的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，求拉线CE的长（结果保留小数点后一位，参考数据：≈1.41，≈1.73）．








24.（共10分）如图，在△ABC中，AB＝BC，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．
（1）试证明DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AC＝6，求此时DE的长．










25.（共10分）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，CD⊥AB．如果以AB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，点D为坐标原点O，建立平面直角坐标系（如图2），若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q从B点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，以点B、P、Q为顶点的三角形的面积为2？
（2）是否存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．








26.（共10分）九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量是售价的一次函数，且相关信息如下表：
售价（元/件）
100
110
120
130
…
月销量（件）
200
180
160
140
…
已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元．
（1）请用含x的式子表示：销售该运动服每件的利润是（　 　）元；
（2）求月销量y与售价x的一次函数关系式：
（3）设销售该运动服的月利润为W元，那么售价为多少元时，当月的利润最大？最大利润是多少元？
27.（共12分）（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB上，DQ⊥AE于点O，点G，F分别在边CD，AB上，GF⊥AE．求证：AE＝FG；
（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中，＝k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP，当时k＝，若tan∠CGP＝，GF＝2，求CP的长．


















28.(共12分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于点A（1，0），点B（﹣3，0），与y轴交于点C，连接BC，点P在第二象限的抛物线上，连接PC、PO，线段PO交线段BC于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设：△PCE的面积为S1，△OCP的面积为S2，当＝时，求点P的坐标；
（3）设：点C关于抛物线对称轴的对称点为点N，连接BN，点H在x轴上，当∠HCB＝∠NBC时，
①直接写出所有满足条件的所有点H的坐标；
②当点H在线段AB上时，点Q是线段BH外一点，QH＝1，连接AQ，将线段AQ绕着点Q逆时针旋转90°得到线段QM，连接MH，直接写出线段MH的取值范围．











2022-2023学年度第一学期九年1月
数学练习（数学参考答案）
（分值：150，时长120分钟，）
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
B
A
A
C
D
A
D
A
二、 填空题
9. __4.5___10._y＝3x2__11._20Π__12.__32°__13._y3＜y2_<_y1______
14. _（﹣3，﹣1）或_（3，1）__15.__0.5__16.__1.2__17.__2或﹣__ 18.__
三、 解答题
19.（1）5；（2）x1=-5，x2=1
20.证明：∵∠D和∠E是所对的圆周角，
∴∠D＝∠E，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABE．
（2）∵△ACD∽△ABE，
∴＝，
∵AB＝5，AC＝6，AD＝12，
∴AE＝＝＝10，
∴AE的长为10．
21.解：（1）∵被调查的总人数为13÷26%＝50人，
∴a＝50﹣（7+13+10+3）＝17，b%＝×100%＝20%，即b＝20，
故答案为：17、20；
（2）由于共有50个数据，其中位数为第25、26个数据的平均数，
而第25、26个数据均为2次，
所以中位数为2次，
出现次数最多的是2次，
所以众数为2次，
故答案为：2次、2次；

（3）扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数为360°×20%＝72°；
（4）估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数为2000×＝120人．
22.解：（1）本次家访的对象为班级第六组学习小伙伴，共有王鹏、李佳、刘丹三位同学，共有3种情况，
其中李佳同学被王老师选为家访对象只有一种情况，
所以李佳同学被王老师选为家访对象的概率是．
故答案为：．
（2）画树状图列出等可能的所有结果为9种，其中王老师和李老师家访的是同一个同学共3种情况．

∴P（王老师和李老师家访的是同一个同学）＝．
23.解：过点A作AH⊥CD，垂足为H，
由题意可知四边形ABDH为矩形，∠CAH＝30°，
∴AB＝DH＝1.5（米），BD＝AH＝6（米），
在Rt△ACH中，tan∠CAH＝，
∴CH＝AH•tan∠CAH，
∴CH＝AH•tan∠CAH＝6tan30°＝6×（米），
∵DH＝1.5（米），
∴CD＝（2+1.5）（米），
在Rt△CDE中，
∵∠CED＝60°，sin∠CED＝，
∴CE＝＝4+≈5.7（米），
答：拉线CE的长约为5.7米
24.（1）证明：连接OD、BD，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD⊥AC，
∵AB＝BC，
∴D为AC中点，
∵OA＝OB，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD，
∵OD为半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）由（1）知BD是AC的中线，
∴AD＝CD＝＝3，
∵⊙O的半径为5，
∴AB＝10，
∴BD＝＝＝，
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C，
∵∠ADB＝∠CED＝90°，
∴△CDE∽△ABD，
∴，即＝，
∴DE＝3．
25.（1）如图2，作PH⊥AB于H，
由运动知，BQ＝t，CP＝t，
∵BC＝6，
∴BP＝6﹣t，
同（1）的方法得，CD＝，
∵PH⊥CO，
∴，
∴，
∴，
∴S△BPQ＝BQ•PH＝t•＝﹣t（t﹣6）（0＜t≤6），
∵以点B、P、Q为顶点的三角形的面积为2，
∴﹣t（t﹣6）＝2，
∴t＝1或t＝5，
即当t＝1或5时，以点B、P、Q为顶点的三角形的面积为2；

（2）存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，
理由如下：分两种情况：
①当∠BQP＝90°时，如图3，此时△PQB∽△ACB，

∴，
∴，
解得t＝2.25；
②当∠BPQ＝90°时，如图4，此时△QPB∽△ACB，

∴，
∴，
解得t＝3.75
综上可得，t＝2.25或t＝3.75．

26.解：（1）销售该运动服每件的利润是：（x﹣60）元，
故答案为：x﹣60；
（2）设月销量y与x的关系式为y＝kx+b，
由题意得，，
解得．
则y＝﹣2x+400；
（3）由题意得，y＝（x﹣60）（﹣2x+400）
＝﹣2x2+520x﹣24000
∴当x＝130时，利润最大值为9800元，
故售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9800元．
27.解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAQ，
∴∠QAO+∠OAD＝90°，
∵AE⊥DQ，
∴∠ADO+∠OAD＝90°，
∴∠QAO＝∠ADO，
∴△ABE≌△DAQ（ASA），
∴AE＝DQ，
∵DQ⊥AE，GF⊥AE，
∴DQ∥GF，
∵FQ∥DG，
∴四边形DQFG是平行四边形，
∴GF＝DQ，
∵AE＝DQ，
∴AE＝FG；
（2）结论：＝k．理由如下：
如图2中，过G作GM⊥AB于M，
∵AE⊥GF，
∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，
∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°，
∴∠BAE＝∠FGM，
∴△ABE∽△GMF，
∴，
∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，
∴四边形AMGD是矩形，
∴GM＝AD，
∴＝k；
（3）解：如图3中，过点P作PM⊥BC交BC的延长线于M．
∵FB∥GC，FE∥GP，
∴∠CGP＝∠BFE，
∴tan∠CGP＝tan∠BFE＝＝，
∴可以假设BE＝4t，BF＝3t，EF＝AF＝5t，
∵，FG＝2，
∴AE＝，
∴（4t）2+（8t）2＝（）2，
∴t＝或﹣（舍弃），
∴BE＝，AB＝，EF＝AF＝，BF＝2，
∵BC：AB＝3：4，
∴BC＝4，
∴CE＝BC﹣BE＝4﹣＝，AD＝PE＝BC＝4，
∵∠EBF＝∠FEP＝∠PME＝90°，
∴∠FEB＝∠EPM，
∴△FEB∽△EPM，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴EM＝，PM＝，
∴CM＝EM﹣CE＝﹣＝，
∴CP＝＝＝．
28.解：（1）将点A（1，0），点B（﹣3，0）代入 y＝ax2﹣2x+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如图1，过点P作PK⊥x轴交于点K，交BC于点L，
令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
，
∴，
∴y＝x+3，
设P（t，﹣t2﹣2t+3），则L（t，t+3），
∵PL∥CO，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∴＝，
∵CO＝3，
∴LP＝2，
∴﹣t2﹣2t+3﹣t﹣3＝2，
解得t＝﹣1或t＝﹣2，
∵点P在第二象限的抛物线上，
∴P点坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）；
（3）①∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∵点C关于抛物线对称轴的对称点为点N，
∴N（﹣2，3），
设直线BN的解析式为y＝k'x+b'，
∴，
∴，
∴y＝3x+9，
如图2，当CH∥BN时，∠HCB＝∠NBC，
∴直线CH的解析式为y＝3x+3，
∴H（﹣1，0）；
如图3，作线段BC的垂直平分线交NB于点F，
∵B（﹣3，0），C（0，3），
∴BC的中点T（﹣，），
∵OB＝OC，
∴∠CBO＝45°，
∴直线FT经过点O，
∴直线FT的解析式为y＝﹣x，
联立方程组，
解得x＝﹣，
∴F（﹣，），
设直线FC的直线解析式为y＝k''x+b''，
∴，
∴，
∴y＝x+3，
∴H（﹣9，0）；
综上所述，H点的坐标为（﹣1，0）或（﹣9，0）；
②∵点H在线段AB上，
∴H（﹣1，0），
∵QH＝1，
∴Q点在以H为圆心，1为半径的圆上，
设Q（m，n），
如图4，过点Q作TS∥y轴交x轴于点S，过点M作MT⊥TS交于T点，
∵∠AQM＝90°，
∴∠SQA+∠TQM＝90°，
∵∠SQA+∠SAQ＝90°，
∴∠SAQ＝∠TQM，
∵QA＝QM，
∴△AQS≌△QMT（AAS），
∴QS＝TM，TQ＝AS，
∴M（m+n，1+n﹣m），
∵QH＝1，
∴1＝（m+1）2+n2，
设对称轴x＝﹣1与直线BC的交点为G，则G（﹣1，2），
∴GM2＝（m+n+1）2+（1+n﹣m﹣2）2＝2[（m+1）2+n2]＝2，
∴GM＝，
∴M点在以G为圆心，为半径的圆上，
当M、G、H三点共线时，MH有最值，
∵GH＝2，
∴MH的最大值为2+，MH的最小值为2﹣，
∴2﹣≤MH≤2+，
∴MH的范围是2﹣≤MH≤2+．