2022-2023学年新疆巴音郭楞蒙古自治州第一中学高二上学期10月线上月考数学试题（解析版）

2022-2023学年新疆巴音郭楞蒙古自治州第一中学高二上学期10月线上月考数学试题

一、单选题

1．下列图形中，对直线的倾斜角与斜率描述正确的是（    ）

A． B．

C．  D．

【答案】C

【分析】根据倾斜角定义及倾斜角与斜率的关系可以判断.

【详解】对于:倾斜角为钝角, 且,则,与已知矛盾, 故错误;

对于:倾斜角定义:轴正向与直线向上的方向之间所成的角为倾斜角, 倾斜角错误,故错误;

对于:倾斜角为钝角, 且,则,,故正确;

对于:倾斜角定义:轴正向与直线向上的方向之间所成的角为倾斜角, 倾斜角错误,故错误;

故选: .

2．如图，把棱长为2的正方体放在空间直角坐标系中，使点D与原点重合，点A与点C分别放在x轴和y轴的正半轴上，则的中点M的坐标为（  ）

A．  B．

C．  D．

【答案】D

【分析】根据空间中点的坐标的定义即可求解.

【详解】由平面,,故,

故选：D

3．下列选项中与平行的一个向量坐标为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据空间向量共线的坐标运算即可求解.

【详解】与平行的向量为，其中，

所以当时，，故选项C满足，其他选项均不符合，

故选：C

4．在空间直角坐标系中，已知点，点，求（    ）

A．(－1，2，1) B．(1，－2，－1) C． D．

【答案】C

【分析】应用空间两点间距离公式,计算即可

【详解】因为，,

所以

故选:.

5．若过两点的直线的倾斜角为，则y等于（    ）

A． B． C． D．1

【答案】C

【分析】由倾斜角与斜率关系有，即可求结果.

【详解】由题设，可得.

故选：C

6．在矩形中，，，平面，，则与平面所成角是．

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】建立空间直角坐标系,求出平面的法向量以及直线方向向量，利用空间向量夹角余弦公式可求出与平面所成角.

【详解】

建立如图所示的空间直角坐标系,

则，

易知平面的一个法向量为,

，

与平面所成的角为，故选A.

【点睛】求直线与平面所成的角由两种方法：一是传统法，证明线面垂直找到直线与平面所成的角，利用平面几何知识解答；二是利用空间向量，求出直线的方向向量以及平面的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式求解即可.

7．如图所示，在平行六面体中，为和的交点，若，，，则下列式子中与相等的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据空间向量的线性表示与运算法则，把用、、表示即可．

【详解】由题意知，

．

故选：．

8．正方体中，是的中点，是底面的中心，是棱上任意一点，则直线与直线所成的角是（    ）

A． B． C． D．与点的位置有关

【答案】C

【解析】建立空间直角坐标系，用向量法求解．

【详解】如图，以为轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则

，设，

，

∴，∴，即．

∴直线与直线所成的角为．

故选：C.

【点睛】本题考查异面直线所成的角，解题关键是建立空间直角坐标系，用空间向量法求解．

9．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝4，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】以D为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，取得平面的法向量为，即可求解点E到平面的距离，得到答案.

【详解】如图所示，以D为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，

则，

则，

设平面的法向量为，

则，取，得，

所以点E到平面的距离为，故选B.

【点睛】本题主要考查了空间向量在的距离中的应用，其中解答中建立适当的空间直角坐标系，熟练应用平面的法向量和距离公式求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

10．如图，正三角形与正三角形所在平面互相垂直，则二面角的余弦值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】取AC的中点E，连接BE,DE,证明BE垂直于平面ACD，以点E为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面BCD和平面CDA的法向量，利用空间向量公式即可求出所求二面角的余弦.

【详解】

如图示，取AC中点E，连结BE、DE，在正三角形与正三角形中，

BE⊥AC，DE⊥AC，因为面⊥面，面面，所以BE⊥面ADC,

以E为原点，为x轴正方向，为y轴正方向，为z轴正方向，建立空间直角坐标系，设AC=2，则

,

平面ACD的一个法向量为

而，设为面BCD的一个法向量，则：

即 ，不妨令x=1，则

设二面角的平面角为θ，则θ为锐角，

所以.

故选：D

【点睛】向量法解决立体几何问题的关键：

(1)建立合适的坐标系；

(2)把要用到的向量正确表示；

(3)利用向量法证明或计算.

二、填空题

11．已知向量，，若，则实数x = ______;

【答案】2

【分析】根据向量数量积的坐标运算即可求解.

【详解】由，，得，

故答案为：2

12．若两个向量，，则平面ABC的一个法向量为________;

【答案】

【分析】根据法向量与平面内的向量垂直，利用向量垂直的坐标运算即可求解.

【详解】设平面ABC的法向量为，则，即，两式子相减得，进而得，所以其中，

取，则

故答案为：

13．过点P（－1,3）且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程是__________________．

【答案】2x+y-1=0

【详解】试题分析：由题可知，设直线Ax+By+C=0，与它垂直的直线为-Bx+Ay+D=0，故设与已知直线垂直的直线为2x+y+D=0，将点P（－1,3）代入，得出D=－1，故直线方程为2x+y-1=0．

【解析】两条直线的位置关系

14．在棱长为2的正方体中，O为平面的中心，E为BC的中点，则点O到直线的距离为________.

【答案】

【分析】如图，以为原点建系，利用向量法即可求出答案.

【详解】解：如图，以为原点建系，

则，

则，

则，

又，所以，

所以点O到直线的距离为.

故答案为：.

三、解答题

15．已知向量，，，求：

(1)；

(2)；

(3).

【答案】(1)

(2)2

(3)4

【分析】（1）根据空间向量的坐标的线性运算即可求解，

（2）（3）根据空间向量数量积的坐标运算即可求解，

【详解】（1）由，得

（2）

（3）

16．写出满足下列条件的直线方程：

(1)经过点，斜率是；

(2)经过点，且与x轴垂直；

(3)经过两点；

(4)在x轴和y轴的截距分别是.

【答案】(1)

(2)

(3)

(4)

【分析】（1）根据直线的点斜式方程即可求解，

（2）根据直线无斜率即可求解方程，

（3）根据两点式即可求解直线方程，

（4）根据直线的截距式方程即可求解.

【详解】（1）根据直线的点斜式方程得，即

（2）经过点与x轴垂直的直线方程为，即

（3）根据经过两点，由两点式方程得

,所以直线方程为：，即

（4）根据直线的截距式可得，即

17．已知直线 和 .当m为何值时，有:

(1) ；

(2) .

【答案】(1) 或

(2)或

【分析】（1）根据直线方程一般式中平行满足的关系即可列方程求解，

（2）根据直线方程一般式中垂直满足的关系即可列方程求解，

【详解】（1）由 ，且，解得或，

故当或时，.

（2）由 ，得或m=.

故当 或时，.

18．如图:正方体ABCD - A1B1C1D1中，E、F、G分别是B1B、AB、BC的中点.

(1)证明:D₁F⊥平面AEG;

(2)求直线BB₁与平面AEG所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用法向量即可求解，

（2）利用空间向量求解法向量与直线方向向量所成角，即可求解线面角.

【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，,

故,

设平面的法向量为，

则，取，则，因此，

又 ,

故，因此D₁F⊥平面AEG，

（2），

设直线BB₁与平面AEG所成角为 ，则

，

故直线BB₁与平面AEG所成角的正弦值为

19．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD = DC，点E是PC的中点，作EFPB交PB于点F.

(1)求证：PA // 平面EDB；

(2)求二面角C - PB - D的大小.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】建立适当的空间直角坐标系，由坐标表示证明，又，，即可证得；

分别求出平面的一个法向量是，平面的一个法向量是，利用向量夹角公式可得二面角的大小为

【详解】（1）以为原点，分别为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，设，则，，，，

连接，交于，连接，则是的中点，则，

又是的中点，∴，，，

所以，所以

又，

∴

（2）由题意知平面的一个法向量是；

平面的一个法向量是

则

所以，，

即二面角的大小为