【精编精校卷】2023届新疆巴音郭楞蒙古自治州第一中学高三上学期线上期中考试数学试题（解析版）

2023届新疆巴音郭楞蒙古自治州第一中学高三上学期线上期中考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】解指数不等式求得集合，由此求得.

【详解】，所以，

所以.

故选：A

2．已知=(1，2)，=(-1，1)，则= （    ）

A．5 B．3 C． D．2

【答案】C

【分析】根据向量坐标运算求得，进而可求得模长.

【详解】    

故选：

3．若复数，则 （    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先算出代入即可

【详解】因为，

所以，

故选：C.

4．已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（    ）

A．既不充分也不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．充分而不必要条件

【答案】D

【分析】根据单调性定义可知充分性成立；通过反例可知必要性不成立，由此可得结论.

【详解】当在上单调递增时，，充分性成立；

若，则在上单调递减，在上单调递增，

又，，必要性不成立；

综上所述：“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的充分而不必要条件.

故选：D.

5．“曼哈顿距离”也叫“出租车距离”，是19世纪德国犹太人数学家赫尔曼·闵可夫斯基首先提出来的名词，用来表示两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，即在直角坐标平面内，若，，则，两点的“曼哈顿距离”为，下列直角梯形中的虚线可以作为，两点的“曼哈顿距离”是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据公式，由图观察即可求解.

【详解】根据题意：，两点的“曼哈顿距离”为，再结合四个选项可以判断只有C选项符合题意.

故选：C．

6．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升，问：米几何？”下图是执行该计算过程的一个程序框图，若输出的（单位：升），则器中米的数量应为（    ）

A．升 B．升 C．升 D．升

【答案】C

【分析】由程序框图反向计算即可推导得到结果.

【详解】根据程序框图反向运算知：当输出时，，解得：；

由得：，解得：；由得：，解得：.

故选：C．

7．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：

由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型.

【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，

因此，最适合作为发芽率和温度的回归方程类型的是.

故选：D.

【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.

8．已知点为抛物线上的动点，设点到的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】直线为抛物线的准线，点到准线的距离等于点到焦点的距离，过焦点作直线的垂线，此时最小，再根据点到直线距离公式即可求解.

【详解】直线为抛物线的准线，点到准线的距离等于点到焦点的距离，过焦点作直线的垂线，

如下图所示，此时最小，为点到直线的距离.

，则．

故选：B．

【点睛】抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．

9．和是两个等差数列，其中为常值，，，，则（    ）

A．64 B．128 C．256 D．512

【答案】B

【分析】由已知条件求出的值，利用等差中项的性质可求得的值.

【详解】由已知条件可得，则，因此，.

故选：B.

10．若，则下列正确的是（    ）

A． B．ln(a-b) > 0

C． D．

【答案】D

【分析】由的单调性可判断A；判断与的大小关系可判断选项B；举反例可证明C；由的单调性可判断D.

【详解】解：A选项：单调递增，又，所以，故A选项错误；

B选项：，则，不一定成立，故B选项错误；

C选项：当时，，不成立，故C选项错误；

D选项：是单调递增函数，，则，故D选项正确；

故选：D

11．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是

A．8号学生 B．200号学生 C．616号学生 D．815号学生

【答案】C

【分析】等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案．

【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，

所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列，公差，

所以，

若，则，不合题意；若，则，不合题意；

若，则，符合题意；若，则，不合题意．故选C．

【点睛】本题主要考查系统抽样.

12．已知正实数，满足，则的最小值为（    ）

A．1 B．2 C．4 D．

【答案】B

【分析】将已知的式子，然后判断函数，，的单调性，从而可得，即，再利用基本不等式可求得结果

【详解】因为，

所以．

设，，易知在上单调递增，

故，即，又，，所以，

当且仅当时取等号，

所以的最小值为2．

故选：B．

【点睛】关键点点睛：此题考查函数单调性的应用，考查基本不等式的应用，解题的关键是将已知等式转化为等式两边结构相同的形式，然后构造函数判断其单调性，从而可得，再利用基本不等式可求得结果，考查数学转化思想，属于较难题

二、填空题

13．已知函数是偶函数，则实数a=_______

【答案】1

【分析】由偶函数性质建立方程即可得出答案.

【详解】函数是偶函数，

，

化简为：

解得：

故答案为：1

14．若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则____________．

【答案】

【分析】设直线的方程为，则点，利用直线与圆相切求出的值，求出，利用勾股定理可求得.

【详解】设直线的方程为，则点，

由于直线与圆相切，且圆心为，半径为，

则，解得或，所以，

因为，故.

故答案为：.

15．若x，y满足约束条件则z=x+7y的最大值为______________.

【答案】1

【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值.

【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，

目标函数即：，

其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，

据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，

联立直线方程：，可得点A的坐标为：，

据此可知目标函数的最大值为：.

故答案为：1．

【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.

16．如图，，分别是双曲线（，）的左、右焦点，且，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，．若为等边三角形，则双曲线的方程为______

【答案】

【分析】根据双曲线的定义算出中，，，由是等边三角形得，利用余弦定理算出，结合双曲线定义即可算出双曲线的方程.

【详解】解：根据双曲线的定义，可得，

是等边三角形，即，

又，，即，

，

中，，，，，

，

即，解得，又，

由此可得：，所以双曲线方程为：.

故答案为：.

三、解答题

17．已知函数.

（1）当，时，求函数的值域.

（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）根据对称轴的位置可求函数的值域.

（2）根据函数的单调性可得对称轴的位置，从而可求实数的取值范围.

【详解】（1）当时，，对称轴为直线，

而，故，

故函数的值域为.

（2）因为函数在上单调递增，故，故.

18．某学校共有1000名学生参加数学知识竞赛，其中男生200人.为了了解该校学生在数学知识竞赛中的情况，采取按性别分层抽样，随机抽取了100名学生进行调查，分数分布在450~950分之间.将分数不低于750分的学生称为“高分选手”.根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示.

(1)求的值，并估计该校学生分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)若样本中属于“高分选手”的男生有10人，完成下列列联表，并判断是否有99.5%的把握认为该校学生属于“高分选手”与“性别”有关.

参考公式：，其中.

【答案】(1)，670分

(2)表格见解析，有99.5%的把握认为该校学生属于“高分选手”与“性别”有关

【分析】（1）根据频率分布直方图特点得到关于的方程，解出，再利用平均数计算公式得到平均数值即可；

（2）根据题意计算相关数据，填写联表中数据，再代入公式，计算卡方值，最后得出结论.

【详解】（1），解得

平均数估计值为（分）

（2）由题意可知， 样本中男生有人，则女生有80人，属于“高分选手”的有人，其中男生10人，

则高分中女生为人，不属于“高分选手”的男生为人，不属于“高分选手”的女生为人，

因此，得到列联表如下：

因此，的观测值，

所以有99.5%的把握认为该校学生属于“高分选手”与“性别”有关

19．已知数列为等比数列，，且是与的等差中项．

(1)求的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）首先根据等差中项的性质列出等式，然后通过等比数列的基本量的计算列出方程，并解方程即可.

（2）首先根据题干条件，由（1）中的通项公式得到的通项公式，然后根据等比数列的前项和公式求得即可.

【详解】（1）设的公比为q．

因为是与的等差中项，所以，

即，整理得，

解得或．

又因为，所以．

所以．

（2）由（1）知，

所以，

而，

所以．

20．已知椭圆经过点.

(1)求椭圆的方程及其离心率；

(2)若为椭圆上第一象限的点，直线交轴于点，直线交轴于点，且有，求点的坐标.

【答案】(1)，离心率为；

(2)

【分析】（1）由题意可得，继而求出，即可得方程和离心率；

（2）设，则，又由可得，继而得到，联立即可解得，的值.

【详解】（1）依题知：，所以.

所以椭圆方程为，离心率.

（2）如图：

设，第一象限有，①；

由得：，

又，，

因此②，

联立①②解得，故.

21．已知函数.

(1)若曲线y=在点处的切线的斜率为0，求曲线y=在点处的切线方程；

(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）先利用求出，再求出和，即可得到切线方程；（2）利用导数研究单调性和极值，由函数有两个零点，列不等式即可求解.

【详解】（1）函数定义域为,.

因为曲线y=在点处的切线的斜率为0，所以，解得：，

所以.

而，所以曲线y=在点处的切线方程为：，即；

（2）i.当时，恒成立，所以在上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意，舍去；

ii. 当时，令，解得：；令，解得：.

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以.

当，；当，；

所以要使函数有两个零点，只需，解得：.

即

综上所述：实数的取值范围为.

【点睛】利用导数研究零点问题：

（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；

（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数g（x）的方法，把问题转化为研究构造的函数g（x）的零点问题；

（3）利用导数硏究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数硏究，

22．已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线经过定点，倾斜角为.

(1)写出曲线的普通方程；

(2)设直线与曲线相交于，两点，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）结合同角三角函数的基本关系式求得正确答案.

（2）求得直线的标准参数方程，并代入曲线的普通方程，结合直线参数的几何意义以及根与系数关系求得.

【详解】（1）因为曲线的参数方程为（为参数），

所以，又因为，

所以曲线的标准方程为.

（2）因为直线经过定点，倾斜角为，

所以直线的参数方（为参数），

即（为参数）；

把直线的参数方程代入，

可得：，

又，所以方程有两个不同的实根，

设，是方程的两个实根，则，

所以.