2022-2023学年新疆实验中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年新疆实验中学高二上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．若平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则实数（    ）

A．2 B． C． D．10

【答案】B

【分析】直接利用数量积为零计算即可.

【详解】若，则

则，

解得：

故选：B.

2．圆的圆心和半径分别是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将一般式化为标准式即可得答案.

【详解】圆化为标准式得

故圆心为和半径为

故选：C.

3．方程表示的曲线是

A．两条直线 B．两条射线 C．两条线段 D．一条直线和一条射线

【答案】D

【详解】由，

得2x+3y−1=0或.

即2x+3y−1=0(x⩾3)为一条射线，或x=4为一条直线.

∴方程表示的曲线是一条直线和一条射线.

故选D.

点睛：在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：

（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；

（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．

那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．

在求解方程时要注意变量的范围.

4．已知直线经过椭圆的顶点和焦点，则椭圆的标准方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据椭圆的标准方程以及焦点与顶点的定义，利用直线的方程求出点的坐标，进而求出，可得答案.

【详解】由，令，解得；令，，

由，则该椭圆的一个焦点为，一个顶点为，故，，则，即椭圆的标准方程为.

故选：B.

5．已知F1、F2为双曲线C：x²-y²=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则cos∠F1PF2=

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】由x2-y2=2知,a2=2,b2=2,c2=a2+b2=4,

∴a=,c=2.

又∵|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|=2|PF2|,

∴|PF1|=4,|PF2|=2.

又∵|F1F2|=2c=4,

∴由余弦定理得cos∠F1PF2==.

故选C.

6．在直三棱柱中，，分别是的中点，，则与所成角的正弦值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】画出图形，找出与所成角的平面角，利用解三角形求出与所成角的余弦值，再求正弦值．

【详解】直三棱柱中，，，分别是，的中点，

如图： 的中点为，连接，

，∴,且,则是平行四边形，

∴,与所成角就是，

，

设，，，，

，

在中，由余弦定理可得：，

与所成角的余弦值是，则与所成角的正弦值是．

故选：C．

7．已知点是拋物线的焦点，过焦点的直线交抛物线于不同的两点，设，点为的中点，则到轴的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求出抛物线的焦点以及准线方程，设出点，的坐标，再由已知向量关系求出，的坐标关系，再利用点，在抛物线上，联立即可求解．

【详解】由抛物线的方程可得，准线方程为：，

设，，，，

则由可得：，

所以，解得，

则到轴的距离为，

故选：B．

8．已知椭圆为椭圆的右顶点，直线交于两点，且，则恒过除点以外的定点（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】若直线的斜率存在，设直线为，与椭圆联立，结合韦达定理得到，进而可求出结果，注意检验斜率不存在时即可得出结论.

【详解】椭圆为椭圆的右顶点，所以，

由题意知：若直线的斜率存在，设直线为，

则，联立可得，

设，则，

，

因为，即，则，

即

，

即，因此，

即，所以直线过定点，不符合题意，舍去；

，所以直线过定点，符合题意；

当直线的斜率不存在时，直线为，此时设，

，符合题意，故直线恒过除点以外的定点，

故选：A.

二、多选题

9．已知直线，则下列结论正确的是（    ）

A．直线的倾斜角是

B．若直线，则

C．点到直线的距离是2

D．过与直线平行的直线方程是

【答案】BCD

【分析】A.求出斜率即可判断；B.利用两直线垂直的公式判断；C.利用点到直线的距离公式计算；D.利用点斜式求出直线即可.

【详解】直线斜率为，倾斜角为，A错误；

直线与直线，，两直线垂直，B正确；

点到直线的距离，C正确；

过与直线平行的直线方程是，即，D正确.

故选：BCD.

10．已知为直线的方向向量，分别为平面的法向量不重合），并且直线均不在平面内，那么下列说法中正确的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】由空间向量的位置关系对选项逐一判断，

【详解】已知直线不在平面内，则，故A正确，D错误，

由空间向量的位置关系得，，故B，C正确，

故选：ABC

11．设椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是（    ）

A．|PF1|＋|PF2|＝2

B．离心率e＝

C．△PF1F2面积的最大值为

D．以线段F1F2为直径的圆与直线相切

【答案】AD

【分析】由椭圆定义可判断A；求出离心率可判断B；当P为椭圆短轴顶点时，△PF1F2的面积取得最大值，求出可判断C；求出圆心到直线距离可判断D.

【详解】对于A，由椭圆的定义可知，故A正确；

对于B，由椭圆方程知，所以离心率，故B错误；

对于C，，当P为椭圆短轴顶点时，△PF1F2的面积取得最大值，最大值为，故C错误；

对于D，以线段F1F2为直径的圆的圆心为(0，0)，半径为c＝1，圆心到直线的距离为＝1，即圆心到直线的距离等于半径，所以以线段F1F2为直径的圆与直线相切，故D正确.

故选：AD.

12．圆M：关于直线对称，记点，下列结论正确的是（    ）

A．点P的轨迹方程为 B．以PM为直径的圆过定点

C．的最小值为6 D．若直线PA与圆M切于点A，则

【答案】ABD

【分析】由题意可知过圆心，代入即可得作出图象,利用直线与圆的关系依次判断各选项即可求得结果.

【详解】圆M：配方得： ，

圆M关于直线对称，

直线过圆心.

,即

点P的轨迹方程为，A正确.

由，则，则以PM为直径的圆过定点，B正确.

的最小值即为到直线的距离，由于,则，C错误.

由于，要使取最小，即取最小值，,，则D正确.

故选：ABD

三、填空题

13．经过两直线和的交点，且与直线垂直的直线方程为___________.

【答案】

【分析】求出交点，再根据垂直写出直线即可.

【详解】联立解得，

又直线的斜率为，

故经过两直线和的交点，且与直线垂直的直线方程为，即

故答案为：

14．如图所示，在正方体中，点是侧面的中心，若，求______．

【答案】1

【解析】利用空间向量的加减法运算用来表示，即得结果.

【详解】，

故，，，则．

故答案为：1.

15．已知圆，圆相交于A，B两点，则______．

【答案】120°

【分析】两圆方程相减得出直线AB的方程，进而得出A，B两点坐标，根据余弦定理得出.

【详解】两圆方程相减得直线AB的方程为，由得出，即，，，，则.

故答案为：120°

四、双空题

16．已知抛物线的焦点为，过点作轴的垂线交抛物线于点，且满足，则抛物线的方程为_______；设直线交抛物线于另一点，则点的纵坐标为______.

【答案】         

【解析】根据抛物线的定义可得为抛物线的准线，即可求出抛物线方程，从而求出、点的坐标，求出直线的方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理即可得解；

【详解】解：依题意，根据抛物线的定义可得为抛物线的准线，所以，即，所以抛物线方程为，则，当时，，所以，所以直线的方程为，设直线与抛物线的另一个交点为，联立直线与抛物线方程，消去得，所以，所以

故答案为：；

【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；

(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．

五、解答题

17．如图，在边长是2的正方体中，E、F分别为AB、的中点．求证：

(1)平面；

(2)平面．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）连结，连结，先利用平行四边形证得，再利用线面平行的判定定理得到平面；

（2）利用线面垂直的判定定理，由，证得平面，再由证得平面.

【详解】（1）如图，连结，连结，

因为在正方体中，面是正方形，所以，是的中点，

又因为是的中点，所以且，

因为是的中点，所以，又，所以，

所以四边形是平行四边形，故，

又面，面，所以平面；

（2）由（1）知，易得平面，又面，故,

又因为，面，所以平面，

又，所以平面.

18．已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为3．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线y＝x﹣1与椭圆C交于不同的两点A、B，求|AB|．

【答案】(1)；(2)．

【分析】（1）由题意得离心率及短轴一个端点到右焦点的距离即为a的值，和a，b，c之间的关系求出椭圆的标准方程；

（2）直线与椭圆联立得两根之和与两根之积，由弦长公式求出弦长．

【详解】（1）由题意：e，a＝3，a2＝b2+c2，∴a2＝18，b2＝9，

所以椭圆的标准方程：；

（2）设A（x，y），B（x'，y'），与椭圆的方程联立整理：3x2﹣4x﹣16＝0，

∴x+x'，xx'，

所以弦长|AB|•|x﹣x'|••，

所以弦长|AB|的值：．

【点睛】考查直线与椭圆相交弦长的公式的应用，属于中档题．

19．已知的顶点坐标分别是.

(1)求边上的中线所在直线的方程；

(2)若点，当时，求直线倾斜角的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出的中点坐标，再根据直线的斜截式方程即可得解；

（2）根据斜率公式求出斜率的范围，从而可得出答案.

【详解】（1）解：的中点坐标为，

则边上的中线的斜率为，

所以边上的中线所在直线的方程，即；

（2）解：，

所以直线倾斜角的取值范围为.

20．在平面直角坐标系中，直线与的交点为，以为圆心作圆，圆上的点到轴的最小距离为．

（Ⅰ）求圆的标准方程；

（Ⅱ）过点作圆的切线，求切线的方程．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或．

【分析】（Ⅰ）求出点的坐标，设圆的半径为，圆上的点到轴的最小距离为1求得的值，由此可得出圆的标准方程；

（Ⅱ）对切线的斜率是否存在进行分类讨论，当切线的斜率不存在时，可得切线方程为，验证即可；当切线的斜率存在时，可设所求切线的方程为，利用圆心到切线的距离等于圆的半径可求得的值，综合可得出所求切线的方程.

【详解】（Ⅰ）联立方程组，解得，即点．

设圆的半径为，由于圆上的点到轴的最小距离为，则，所以，

故圆的标准方程为；

（Ⅱ）若切线的斜率不存在，则所求切线的方程为，圆心到直线的距离为，不合乎题意；

若切线的斜率存在，可设切线的方程为，即，

圆的圆心坐标为，半径为，由题意可得，整理得，

解得或．

故所求的切线方程为或．

【点睛】本题考查圆的标准方程的求解，同时也考查了过圆外一点的圆的切线方程的求解，考查计算能力，属于中等题.

21．在直角梯形中，，A为线段的中点，四边形为正方形．将四边形沿折叠，使得，得到如图（2）所示的几何体．

(1)求直线与平面所成角的正弦值；

(2)当F为线段的中点时，求二面角的余弦值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用即可向量法计算可得；

【详解】（1）解：依题意可得、，，如图建立空间直角坐标系，

则、、、、、，

所以，，，

设平面的法向量为，所以，令，则，，所以，

设直线与平面所成角为，则

（2）解：依题意可得，则，

设平面的法向量为，所以，令，则，

则，显然二面角的锐二面角，

所以二面角的余弦值为；

22．已知椭圆，其右焦点为，点M在圆上但不在轴上，过点作圆的切线交椭圆于，两点，当点在轴上时，.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)当点在圆上运动时，试探究周长的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意可知，再根据列出相应的方程，组成方程组解得答案;

（2）设，，从而表示出的周长，分类讨论，联立直线和椭圆方程，得到根与系数的关系式，从而结合基本不等式，求得答案.

【详解】（1）由题意可知，

当点M在x轴上时，，不妨设，

得，解得，

所以椭圆C的标准方程为.

（2）设，，

则，

同理，

，

同理，

所以的周长为，

①当直线PQ的斜率不存在时，PQ的方程为或.

PQ的方程为时，不妨设P，Q的坐标分别为，，

此时的周长为4.

PQ的方程为时，不妨设P，Q的坐标分别为，，

此时的周长为.

②当直线PQ的斜率存在时，设PQ的方程为，

由直线PQ与圆相切，得，即，

联立得，化简得，

则，易知恒成立，

而，即同号，

当时，即，此时点M在y轴右侧，所以，，

此时的周长为定值.

当时，即，此时点M在y轴左侧，所以，，

此时的周长

，

因为，所以，当且仅当，

即或时取等号.

从而，所以周长的取值范围为（4，8],

综上所述，周长的取值范围为.

【点睛】本题考查了椭圆方程的求解，以及直线和椭圆相交时三角形的周长范围问题，综合性很强，难度较大，解答的关键是理清解题的思路，要明确将直线和椭圆方程联立，利用根与系数的关系式进行化简，从而求得三角形周长范围，难点是计算量很大，很繁杂，要十分细心.