2022-2023学年天津市南开中学高一上学期期末数学试题含解析

2022-2023学年天津市南开中学高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据交集和补集的概念，直接求解即可.

【详解】因为，，

所以，

又，

所以.

故选：A

2．函数的最小正周期为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据周期公式直接求解即可.

【详解】的最小正周期为

，

故选：C

3．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【解析】特称量词的否定是全称量词，据此得到答案.

【详解】特称量词的否定是全称量词：

命题“，”的否定是，

故选：

【点睛】本题考查了特称量词的否定，意在考查学生的推断能力.

4．已知x、y都是实数，那么“”的充分必要条件是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据不等式的性质，结合充分条件与必要条件的概念，逐项判断，即可得出结果.

【详解】对于A，，故“”是“”的充分不必要条件，不符合题意；

对于B，，即“”是“”的充要条件，符合题意；

对于C，由得，或，，不能推出，由也不能推出，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，不符合题意；

对于D，由，不能推出，由也不能推出，故“”是“”的既不充分也不必要条件，不符合题意；

故选：B.

【点睛】方法点睛：本题主要考查判定命题的充要条件，及不等式的性质，充分条件、必要条件的三种判定方法：

（1）定义法：根据，进行判断，适用于定义、定理判断性问题．

（2）集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题．

（3）等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．

5．已知为角终边上一点，则（    ）

A．7 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【分析】先根据三角函数的定义求出，再利用齐次化将弦化切进行求解.

【详解】为角终边上一点，故，故.

故选：B

6．设函数，则函数的零点所在区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据零点存在性定理分析可得结果.

【详解】因为函数的图象连续不断，

且，,

,，，

所以函数的零点所在区间是.

故选：C

7．已知函数是幂函数，且在上是减函数，则实数m的值是（    ）．

A．或2 B．2 C． D．1

【答案】C

【解析】由函数是幂函数可得，解得或2，再讨论单调性即可得出.

【详解】是幂函数，，解得或2，

当时，在上是减函数，符合题意，

当时，在上是增函数，不符合题意，

.

故选：C.

8．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A．b＜c＜a B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b

【答案】A

【分析】分别将与比较确定它们的大小关系．

【详解】；

；

．

故．

故选：A．

9．若，，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意求得和的值，结合两角和的余弦公式，即可求解.

【详解】由，，可得，，

则.

故选：D.

10．已知命题p：函数是R上的减函数，命题q：对都成立.若命题p和命题q中有且只有一个真命题，则实数a的取值范围（    ）

A．（2，3） B． C．（2，4） D．（3，4）

【答案】B

【分析】分别求出命题成立的等价条件，结合复合命题之间的关系进行求解即可.

【详解】函数是上的减函数

，解得：

对都成立

,则，解得：，

当命题成立命题不成立时：，解得：不存在

当命题成立命题不成立时，，解得：

实数取值范围为：

故选：B

11．已知函数，若函数有两个零点，则m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】存在两个零点，等价于与的图象有两个交点，数形结合求解.

【详解】

存在两个零点，等价于与的图象有两个交点，在同一直角坐标系中绘制两个函数的图象：

由图可知，保证两函数图象有两个交点，满足，解得：

故选：A.

12．函数的部分图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】先根据函数的奇偶性，可排除A，C，根据当时，即可排除B．得出答案.

【详解】因为，所以，

所以为奇函数，故排除A，C．

当时，，，则，故排除B，

故选:D．

【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

13．已知函数是定义在区间上的偶函数，且在区间上单调递增，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据偶函数的定义域关于原点对称可得，根据以及函数的单调性可解得结果.

【详解】因为函数是定义在区间上的偶函数，

所以，解得，

可化为，

因为在区间上单调递增，所以，解得.

故选：B

【点睛】关键点点睛：根据以及函数的单调性解不等式是解题关键.

14．已知函数，，若对任意的，总存在使得成立，则实数k的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据函数的单调性求出两函数的最大值，然后由题意可知，再解关于的不等式可求得结果.

【详解】当时，单调递减，则，

当时，单调递减，则，

所以当时，，所以，

因为在上单调递增，

所以，

因为对任意的，总存在使得成立，

所以，

所以，解得，

故选：C

二、填空题

15．已知函数的图象恒过点A，则点A的坐标为______.

【答案】

【分析】由，令真数为，即代入求值，可得定点坐标．

【详解】∵，∴当时，，∴函数的图象恒过定点

故答案为：

16．已知扇形的圆心角为，扇形的面积为，则该扇形的弧长为____________.

【答案】

【解析】利用扇形的面积求出扇形的半径，再带入弧长计算公式即可得出结果．

【详解】解：由于扇形的圆心角为，扇形的面积为，

则扇形的面积，解得：，

此扇形所含的弧长.

故答案为：.

17．已知，且，求的最小值为______.

【答案】

【分析】根据，利用基本不等式可求得最小值.

【详解】，且，

（当且仅当，即时取等号），

.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：本题考查利用基本不等式求最值的问题，解题关键是能够灵活利用已知条件中“”的等式，将所求项配凑成符合基本不等式的形式.

18．若函数在区间单调递增函数，则实数a的取值范围是______.

【答案】

【分析】根据分段函数的单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解.

【详解】由题意，函数是上的单调递增函数，

则满足，解得，

所以实数a的取值范围.

故答案为：

19．已知函数，的部分图象如图所示，下列说法正确的是______.

①函数的图象关于点对称；    ②函数的图象关于直线对称；

③函数在单调递减；        ④是以为最小正周期的周期函数；

⑤可改写为.

【答案】①②⑤

【分析】根据函数的图象，可求出的解析式，进而对选项逐个分析，可得出答案.

【详解】解：由函数图象可得，最小正周期，所以，故④错误；

当时，函数取得最大值，即，

所以，则，又，得，

故函数.

对于①，当时，，

即点是函数的一个对称中心，故①正确；

对于②，当时，，

即直线是函数的一条对称轴，故②正确；

对于③，令，解得，

则函数的单调递减区间为，故③错误；

对于⑤，，故⑤正确.

故答案为：①②⑤.

三、双空题

20．（1）______；

（2）的值为______.

【答案】         

【分析】（1）根据指数幂以及对数运算性质，以及特殊角对应三角函数值，直接化简求解即可；

（2）根据诱导公式，以及同角三角函数基本关系，直接化简求解即可.

【详解】（1）；

（2）.

故答案为：；.

21．已知，，则______；（2）______.

【答案】         

【分析】根据同角三角函数基本关系，求出，，再由二倍角公式以及两角和的正切公式求解即可.

【详解】因为，，所以，则，

所以；

.

故答案为：；.

四、解答题

22．已知函数.

(1)求函数的最小正周期和函数的单调递减区间；

(2)当时，求函数的最大值、最小值，并分别求出使该函数取得最大值、最小值时的自变量x的值.

【答案】(1)，函数的单调递减区间为；

(2)当时，取最大值为；当时，取最小值为.

【分析】（1）利用两角和差正弦公式公式和辅助角公式化简，根据正弦型函数的周期公式和正弦函数单调性结论求解即可；

（2）根据函数在上的单调性确定其最大值、最小值及相应的自变量x的值..

【详解】（1）由已知，

所以，所以的最小正周期为.

由化简可得，

所以函数的单调递减区间为；

（2）由(1) 可得函数的单调递减区间为，同理可得函数的单调递增区间为，因为，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

且，，，

所以，当时，取最大值为；当时，取最小值为.

23．已知函数是定义域为上的奇函数.

(1)求的解析式；

(2)判断并证明在上的单调性；

(3)解不等式.

【答案】(1)

(2)在上单调递增

(3)

【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得，求出，得到函数解析式，再验证即可；

（2）任取，且，作差比较与，进而可根据单调性定义判断出结果；

（3）根据函数单调性，结合题中条件列出不等式组求解，即可得出结果.

【详解】（1）因为是定义域为上的奇函数，

所以，即，解得，所以，

又，所以是奇函数，符合题意；

（2）任取，且，

则，

因为，所以，，

因此，即，

所以在上单调递增；

（3）由得，

因为在上单调递增；

所以，解得.

故原不等式的解集为.

24．已知函数，其中为常数.

（1）若不等式的解集是,求此时的解析式；

（2）在（1）的条件下，设函数，若在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围；

（3）是否存在实数使得函数在上的最大值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）（2）（3）存在，或

【解析】（1）根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，利用韦达定理，即可求解；

（2）根据二次函数图像确定对称轴和区间的关系，即可求解；

（3）由二次函数图像，求出函数可能取到的最大值，建立方程，求出参数，回代验证；或由对称轴，分类讨论，确定二次函数图象开口方向，函数在上的单调性，求出最大值且等于4，建立方程，即可求得结论.

【详解】解：(1)由题意得：是的根

∵， 解得

∴

 (2)由（1）可得 ，

其对称轴方程为   

若在上为增函数，则，解得  

综上可知，的取值范围为

(3)当时，

，函数在上的最大值是15，不满足条件

当时，假设存在满足条件的，

则的最大值只可能在对称轴处取得，

其中对称轴  

① 若，则有 ，

 的值不存在，

② 若，则，

解得，此时，对称轴，

则最大值应在处取得，与条件矛盾，舍去       

③ 若，

则：，且，

化简得，

解得或 ，满足

综上可知，当或时，

函数在上的最大值是4.

(3)另解：当时，

，函数在上的最大值是15，不满足条件

所以，此时的对称轴为

若，，此时

在上最大值为，

解得，与假设矛盾，舍去；

若

①当，即，函数在为增，

在上最大值为

，解得，矛盾舍去

②当，即，矛盾舍…

③当.即，

在上最大值为，

则 ，化简得，

解得或 ，满足  …

综上可知，当或时，

函数在上的最大值是4

【点睛】本题考查求二次函数的解析式，以及单调性和最值，要熟练掌握二次函数的图像和性质，考查分类讨论数学思想，属于中档题.