2022-2023学年广西南宁市第二中学高一12月联考数学试题（解析版）

2022-2023学年广西南宁市第二中学高一12月联考数学试题

一、单选题

1．设全集，集合，，则

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】，，，所以，故选择C.

2．“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】分别讨论充分性与必要性，可得出答案.

【详解】由题意，，

显然可以推出，即充分性成立，而不能推出，即必要性不成立.

故“”是“”的充分而不必要条件.

故选：A.

【点睛】本题考查充分不必要条件，考查不等式的性质，属于基础题.

3．若函数，且，则实数的值为（    ）

A． B．或 C． D．3

【答案】B

【分析】令，配凑可得，再根据求解即可

【详解】令（或），，，，.

故选；B

4．已知某扇形的周长是，面积是，则该扇形的圆心角的弧度数为（    ）

A．1 B．4 C．1或4 D．1或5

【答案】C

【分析】设扇形的弧长为，半径为，解方程组求得弧长与半径，从而可得答案.

【详解】解：设扇形的弧长为，半径为，所以，

解得或，

所以圆心角的弧度数是或.

故选：C

5．有一组实验数据如表：

则体现这组数据的最佳函数模型是（    ）A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据数据的增长速度可以排除A，B选项，代入的值，根据误差的大小即可判断出函数模型.

【详解】通过所给数据可知，随的增大而增大，且增长的速度越来越快，A，B选项中的函数增长速度越来越慢，不正确，对于C选项，当时，；对于D，当时，误差偏大，故C选项正确.

故选：C

6．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为.2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川里氏8.0级地震的（    ）倍.（精确到1）

（参考数据：，，，）

A．16 B．32 C．63 D．72

【答案】B

【分析】设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别是和，根据条件算出的值，然后可得答案.

【详解】设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别是和，由题意：，.

于是，所以.

故选：B.

7．已知偶函数f(x)与奇函数g(x)的定义域都是[－2，2]，它们在[0，2]上的图象如图所示，则关于x的不等式f(x)·g(x)＜0成立的x的取值范围为（    ）

A．(－2，－1)∪(0，1)

B．(－1，0)∪(0，1)

C．(－1，0)∪(1，2)

D．(－2，－1)∪(1，2)

【答案】C

【分析】根据图象，函数的奇偶性以及符号法则即可解出．

【详解】如图所示：当时，，，；当时，，，，故当时，其解集为，∵是偶函数，是奇函数，∴是奇函数，由奇函数的对称性可得：当时，其解集为，综上：不等式的解集是 ．

故选：C.

8．已知函数有四个不同的零点，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将函数零点问题转化为两函数的交点个数问题，画出函数图象，数形结合求出实数a的取值范围.

【详解】由得，因为函数有四个不同的零点，

所以函数与的图象有四个交点，

画出函数的图象，如图所示，

观察图象可知，，即，所以实数a的取值范围是.

故选：C

二、多选题

9．下列函数为偶函数且在上是增函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】根据各函数的性质直接判断即可

【详解】对A，为偶函数且在上是增函数，故A正确；

对B，为偶函数且在上是减函数，故B错误；

对C，不为偶函数，故C错误；

对D，为偶函数且在上是增函数，故D正确

故选：AD

10．已知函数在R上单调递减，且为奇函数，若，则满足的x的值可能是（    ）

A．-1 B．0 C．1 D．2

【答案】CD

【分析】根据函数的奇偶性及得到，从而，再由函数的单调性解不等式，得到答案.

【详解】∵为奇函数，

∴.

∵，

∴.

故由，得.

又在R上单调递减，

∴，

∴.

故选：CD.

11．已知，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C． D．若，则

【答案】BCD

【分析】A选项，根据题干条件得到，A错误；

由在上单调性得到B正确；

由基本不等式得到，C正确；

作差法比较出，D正确.

【详解】因为，所以，

不妨令，

则，故，故A错误，

因为在上单调递减，故，B正确；

因为，故C正确；

若，因为，故，D正确.

故选：BCD

12．给出下列命题，其中正确的命题有（    ）

A．函数的图象过定点

B．已知是定义在R上的偶函数，时，则的解析式为

C．若，则a的取值范围是

D．若命题“，使得成立”是假命题，则实数k的取值范围是

【答案】BCD

【分析】令可求出函数的图象所过定点，即可判断A，对于B，利用奇偶性求出时的解析式，即可判断，分、两种情况讨论求解不等式，然后可判断C，“，使得成立”是假命题等价于“，都有恒成立”是真命题，然后求出的最小值可判断D.

【详解】对A，令，解得，所以函数经过定点，故A错误；

对B，当时，，由条件可知，

则的解析式为，即，故B正确；

对C，当，若，解得，所以a的值不存在；

当，若，解得，所以；

综上可知a的取值范围是，故C正确；

对D，“，使得成立”是假命题等价于“，都有恒成立”是真命题，

因为，即的最小值为1，要使恒成立，只需，即，故D正确.

故选：BCD

三、填空题

13．计算：___________.

【答案】##

【分析】根据指对数的运算可得答案.

【详解】

故答案为：

14．函数的单调增区间是______．

【答案】

【分析】先求出函数的定义域，再换元，利用复合函数单调性的求法求解

【详解】由，得，

所以函数的定义域为，

令，则，

因为在上递增，在上递减，而在上为增函数，

所以在上递增，在上递减，

故答案为：

15．函数的最小值为___________.

【答案】##0.75

【分析】换元法求解函数的最值.

【详解】令，则且，

故，所以当时，.

故答案为：.

16．已知定义在上的函数的值域是.若函的图象不经过第一象限，则实数m的取值范围为___________.

【答案】

【分析】由对数函数的值域分类讨论求得，再由指数函数性质得结论．

【详解】函数（且）在上的值域是

当时，单调递减

∴，无解

当时，单调递增，

∴，解得

∵的图象不经过第一象限，

∴解得，

故答案为：

四、解答题

17．已知集合，.

(1)求；

(2)若，且，求实数m的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）解不等式得到，从而求出交集；

（2）先求出，根据列出不等式组，求出实数m的取值范围.

【详解】（1）因为，

由得：，

∴，

∴，

所以；

（2）因为，，

因为，所以，

当时，可得，

解得：

故m的取值范围为.

18．（1）解方程：；

（2）解不等式.

【答案】（1）或；（2）.

【分析】（1）根据指数幂的运算得到，求出方程的解；

（2）由对数运算法则，定义域及单调性列出不等式组，求出不等式的解集.

【详解】（1）原方程化为，

等价于，即，

解得：或，所以原方程的解为或.

（2）原不等式化为，

又因为函数是增函数，

原不等式等价于，

解得：，原不等式的解集为.

19．已知函数在区间上的最大值为5，最小值为1．

(1)求，的值；

(2)若正实数，满足，求的最小值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据最值建立方程后可求解；

（2）运用基本不等式可求解.

【详解】（1）由，可得其对称轴方程为，

所以由题意有，解得.

（2）由（1）为，

则，

（当且仅当时等号成立）.

所以的最小值为.

20．已知函数.

(1)求函数的定义域及值域；

(2)设函数，若对任意的恒成立，不等式恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】(1)定义域为，值域为

(2)

【分析】（1）由对数函数的真数大于0列出不等式组，求出定义域，再根据对数运算变形后，结合二次函数的值域求出的值域；

（2）转化为任意的，不等式，由（1）求出在区间上的最大值为，从而得到，构造，为一次函数，列出不等式组，求出实数a的取值范围.

【详解】（1）根据题意可得，解得：，

所以函数的定义域为，

，

令，由，得，

设，由，得，

即函数的值域为；

（2）若对任意的，不等式恒成立，

则对任意的，不等式，

由（1）得在区间上的最大值为，

即，即，

即对任意的，恒成立，

设，为一次函数，

由，解得：，

所以实数a的取值范围是.

21．已知函数.

(1)判断函数的奇偶性并加以证明；

(2)解关于x的不等式.

【答案】(1)定义在R上的奇函数，证明见解析．

(2)答案见解析

【分析】（1）根据奇偶性的定义证明；

（2）由复合函数单调性确定函数为增函数后，由奇偶性与单调性解不等式可得．

【详解】（1）由得：，即的定义域为R．

因为，

所以为定义在R上的奇函数；

（2），

因为恒成立，且在R上单调递增，所以在R上单调递减，

所以在R上单调递增，

由得，

原不等式等价于，即，

①当时，解不等式，得；

②当且即时，解不等式得；

③当且即时，解不等式得或；

④当时，显然，解不等式得．

22．已知函数，.

(1)若函数的图像与函数的图像有公共点，求a的取值范围；

(2)设函数，，是否存在实数m，使得的最小值为2，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)

(2)存在，

【分析】（1）由题意可得方程有实根，然后求出函数的值域可得答案；

（2）令，则，设，，的最小值即为的最小值，然后分、、三种情况讨论即可.

【详解】（1）原题意等价于方程有实根，

即方程有实根，

即

由，得，，

所以，故实数a的取值范围为.

（2）由题意可得，，

令，则，

设，，的最小值即为的最小值，

①当时，，

所以，解得，满足；

②当时，

所以，解得

③当时，，

所以，解得（舍）.

综上所述，存在，使得最小值为2.